§14．2．2 一次函数
第一课时
教学目标
（一）知识与技能
使学生初步理解一次函数的概念，并能够根据实际问题中的条件，确定一次函数的解析式。
（二）过程与方法
通过函数的具体实例和课堂交流让学生进一步巩固新概念和解题技巧。
（三）情感态度与价值观
培养学生灵活多变的思维能力。
教学重点
１．理解一次函数的概念．
教学难点
根据条件求一次函数的解析式。
教学方法
合作─探究，总结─归纳．
教具准备
多媒体演示．
教学过程
复习提问：正比例函数的概念以及性质。
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y?与x的关系．分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm 时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：
y=15-6x （x≥0）
当然，这个函数也可表示为：
y=-6x+15 （x≥0）
当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．
Ⅱ．导入新课
我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？
１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C?的值约是t的7倍与35的差．
２．一种计算成年人标准体重G （kg ）的方法是，以厘米为单位量出身高值h 减常数105，所得差是G 的值．
３．某城市的市内电话的月收费额y （元）包括：月租费22元，拨打电话x 分的计时费（按0．01元／分收取）．
４．把一个长10cm ，宽5cm 的矩形的长减少xcm ，宽不变，矩形面积y （cm 2）随x 的
值而变化．
[生]通过思考分析，可以得到这些问题的函数解析式分别为：
１．C=7t-35． ２．G=h-105．
３．y=0．01x+22． ４．y=-5x+50．
它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x 的k 倍与一个常数的和．
[师]不错！确实如此，如果我们用b 来表示这个常数的话．?这些函数形式就可以写成：
y=kx+b （k ≠0）
一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0?）的函数，?叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b 即y=kx ．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
尝试练习：
１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y=-8x ． （2）y=8x
-． （3）y=5x 2+6． （4）y=-0．5x-1
． （7）y=2(x-4) ２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．
（1）一个小球速度v 随时间t 变化的函数关系．它是一次函数吗？
（2）求第2．5秒时小球的速度．
３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y （升）随行驶时间x （时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．y 是x 的一次函数吗？
解答：
１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．
２．（1）v=2t ，它是一次函数．
（2）当t=2．5时，v ＝2×2．5=5
所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．
３．函数解析式：y=50-5x
自变量取值范围：0≤x ≤10
y 是x 的一次函数．
12)5(+=x y 132)6(-=x y 2
3)8(-=x y
课时小结
怎样的函数是一次函数？
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。作业: 120页3.4.（1）（2）6.
函数的表示法 1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法 2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ” 给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象. 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 6.复合函数：如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f （u ），u=g （x ），那么y 关于x 的函数y=f （g （x ））叫做函数y=f （u ）（外函数）和u=g （x ）（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y.例如：函数212x y += 是由y=2u
2017-2018 学年度第二学期八年级数学19 单元测试卷章第一次函数____________________________________________ 考号：姓名：班级：学校： 总分题号二一三得分 分评卷人得 10小题）一．选择题（共1y=x ）．在函数的取值范围是（中，自变量 Ax2 Bx2 Cx2 Dx0 ≠．．≠＞≥．．212cm的锥形瓶放入一个空玻璃槽中，并向锥形瓶中匀速注水，若．如图，将一个高度为10cmycmxs）的变化图象大致是（（）随注水时间）（水槽的高度为，则水槽中的水 面高度 A B ．． C D ．．3ABCACB=90°AC=BC=2DEFG2，．如图所示，△，正方形为等腰直角三角形，∠边长也为，ACDEABCCDDEA向右平移，直到点点与且从与在同一直线上，△点重合开始，沿直线ECDxABCDEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积与点重合为止，设与正方形的长为，△yyx ）为，则与之间 的函数关系的图象大致是（ B A．．
D C．．4k0b0y=kxb ），+＞．若，则≠的图象可能是 （CA D B．．．．5bk0y=kxb ）＜一定通过（，则直线．若+A B C D ．第一、四象限．第一、二象限．第三、四象限．第二、三 象限x4xy6y=ABC在．如图，在平面直角坐标系中，直线轴、、﹣+轴分别交于与两点，点 BC=OC=OAC ）第二象限，若，则点的坐标为（ ，）3C．B（﹣，2）．A．（﹣ 7y=kxy4x30），以下各点在．直线轴的交点坐标是（﹣沿轴向下平移，个单位长度后与y=kx ）上的是（直线A．C． 890030米的速某天他从家去上学时以每分钟米，．小亮每天从家去学校上学行走的路程为45米的速度行走完了剩下的路程，度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟t yt15）之间的函数关系正确的是（那么小亮行走的路程（（米）与他行走的时间（）分）＞Ay=30tt15 By=90030tt15 ）（﹣（＞）．＞．Dy=45t675t15 Cy=45t225t15 ）＞（﹣．）＞（﹣． 9ymxh）（）与挖掘时间．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度（30m3h6h； ②挖掘之间的关系如图所示．根据图象所提供的信息有：①甲队挖掘时，用了10m；③乙队的挖掘速度总是小于甲队；④开挖后甲、乙两队所挖河时甲队比乙队多挖了x=4 ）．其中一定正 确的有（渠长度相等时， A1 B2 C3 D4 个个个．．．个．10y=kxy=3xk ）与的图象大致是（﹣．在同一坐标系中，函数
1.2.2函数的表示法 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习 【基础过关】 1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为 A. B. C. D. 2．已知函数若,则的取值范围是 A. B. C. D. 3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( ) A. B. C. D. 4．已知则 v C. D. 5．已知函数，且，则 . 6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f [f(5)]= .
【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以 f(5)=f(1)=-5,所以f [f(5)]=f(-5)=f(-1)===- 7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式. 8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的 图形的面积为，试求函数的解析式. 【能力提升】 下图是一个电子元件在处理数据时的流程图: (1)试确定y与x的函数关系式; (2)求f(-3), f(1)的值; (3)若f(x)=16,求x的值.
答案 【基础过关】 1．C 【解析】根据题意可设(k≠0)， ∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2. 2．D 【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2?[-1，1]，∴f(2)＝2；若x?[－1，1]，则f(x)＝x?[－1，1]， ∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2. 【备注】误区警示：本题易将x?[－1，1]的情况漏掉而错选B. 3．A 【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A. 4．C 【解析】∵， ∴. 【备注】无 5． 【解析】， ∴，∴，
第二部分 题型研究 题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型 针对演练 1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝4 3x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围． 2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2 －2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . (1)求点A ，B 的坐标； (2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值； (3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式． 第2题图 3. 已知二次函数y ＝kx 2 ＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2. (1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式； (2)点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系． 4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2 ＋x －1)的图象交于点A (1，k )和点B (－1，－ k )．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 考向2) 函数类型不确定型(杭州：，， 针对演练 1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值． 2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)． (1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象； (2)根据图象，写出你发现的一条结论； (3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值． 第2题图 3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)． (1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象； (2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值． 4. 已知函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2(k为常数)． (1)求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点； (2)当k为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点； (3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k值；若不存在，请说明理由． 5. 已知关于x的函数y＝kx2＋(2k－1)x－2(k为常数)． (1) 试说明：无论k取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)；
13.4 函数的连续性及极限的应用 ●知识梳理 1.函数的连续性. 一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件： （1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0 lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0 lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续. 2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值. 3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,) ()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续. 特别提示 （1）连续必有极限,有极限未必连续. （2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f ”是可以交换顺序的. ●点击双基 1.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 2.f （x ）=x x πcos π cos 的不连续点为 A.x =0 B.x = 1 22+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =1 22+k （k =0,±1,±2,…） 解析：由cos x π=0,得x π=k π+2 π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k . 又x =0也不是连续点,故选D 答案：D 3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是
中考一次函数与反比例函数复习17．（4分)(20１５?枣庄）如图，直线y=２ｘ+4与ｘ，y轴分别交于Ａ,B两点，以OB为边在ｙ轴右侧作等边三角形OＢＣ,将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为. 18．(4分)（2015?枣庄)如图，在平面直角坐标系中,点A（0,4),B(３，０），连接AB，将△AOB 沿过点Ｂ的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处,折痕所在的直线交ｙ轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为. 2２．（8分）（201５?枣庄）如图，一次函数y＝ｋx＋b与反比例函数y＝(x>０）的图象 交于A（m,6），B(3,n）两点. （1)求一次函数的解析式； （２)根据图象直接写出使ｋx+b＜成立的x的取值范围； (３)求△AOＢ的面积. 12．（３分)（201５?德州)如图,平面直角坐标系中,A点坐标为(2，2)，点P（m,ｎ）在直线y=﹣ｘ+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是()
A．B． C. Ｄ. 20.(8分)（2015?德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OAＢC的对角线OB，AC相交于点D，且BＥ∥AC，AE∥ＯB， (1)求证：四边形AEBＤ是菱形; . (2）如果OＡ=3,ＯC=2,求出经过点Ｅ的反比例函数解析式 (1）根据图象求y与x的函数关系式; （2)商店想在销售成本不超过３00０元的情况下，使销售利润达到24０0元，销售单价应定为多少？ 11．(3分）(2015?济南)如图,一次函数ｙ１=x+b与一次函数y2＝kｘ+4的图象交于点P(1，3），则关于x的不等式x+b＞ｋx+4的解集是（)
20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷 大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可 记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0 lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0 右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0 lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则： 如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0 lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0 lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1.+→0 lim x x f （x ）=-→0 lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=? ??<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1 x f x + →=-→1 lim x f （x ）
§2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象 【学习要求】 1.进一步认识一次函数，会借助图象分析其性质，理解其定义； 2.掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象； 3.提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力． 【学法指导】 通过由一次函数的图象探究其性质的过程，提高探索新问题的能力；培养对分类讨论及数形结合的思想方法的应用. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.一次函数的概念：函数y ＝kx ＋b(k ≠0) 叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为R . 2.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的 截距 .一次函数又叫做 线性函数 . 3.一次函数的性质：(1)函数值的改变量 Δy ＝y 2－y 1 与自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1 的比值等于直线的斜率k. (2)当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是 减函数 . (3)当b ＝0 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 b ≠0 时，它既不是奇函数也不是偶函数． (4)直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为????－ b k ，0，与y 轴的交点为(0，b) . 研一研：问题探究、课堂更高效 探究点一 一次函数的概念 问题1 在初中我们学过一次函数，那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？ 答： 函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为R . 问题2 一次函数的图象是什么，表达式中的k ，b 的几何意义又是什么？ 答： 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距．一次函数又叫做线性函数． 例1 设函数y ＝(m －3)x m2－6m ＋9＋m －2： (1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性． 解： (1)由一次函数的表达式知，? ???? m －3≠0， m 2－6m ＋9＝1. 解得m ＝2或m ＝4. (2)当m ＝2时，m －3＝2－3＝－1<0，所以对应的函数是减函数；当m ＝4时，m －3＝1>0，所以对应的函数是增函 数． 小结： 只有当k≠0时，函数y ＝kx ＋b 才是一次函数，若已知y ＝kx ＋b 是一次函数，则隐含着条件k≠0.要判断一个多项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数x 的最高次为1次，x 的系数不为0. 跟踪训练1 函数y ＝2mx ＋3－m 是正比例函数，则m ＝_____. 解析： 由正比例函数的定义可知，2m ≠0，且3－m ＝0，所以m ＝3. 探究点二 一次函数的性质 问题 1 一次函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值与一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)中的哪个量相等？请说明原因？ 答：函数值的改变量Δy ＝y 2－y 1与自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1的比值等于直线的斜率k. 在直线y ＝kx ＋b (k ≠0)上任取两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ， 两式相减，得y 2－y 1＝k(x 2－x 1)， 即Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1 ＝k 或Δy ＝kΔx (x 2≠x 1)． 问题2 斜率k 的符号与一次函数单调性有怎样的关系？ 答： 当k>0时，一次函数是增函数； 当k<0时，一次函数是减函数． 问题3 在一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)中，b 的取值对函数的奇偶性有怎样的影响？ 答： 当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数； 当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数． 问题4 一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的图象与坐标轴的交点坐标是怎样的？ 答： 直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为??? ?－b k ，0，与y 轴的交点为(0，b)． 例2 已知一次函数y ＝3x ＋12.求：(1)一次函数y ＝3x ＋12的图象与两条坐标轴交点的坐标； (2)x 取何值时，y<0? (3)当y 的取值限定在(－6,6)内时，x 允许的取值范围． 解：(1)当y ＝0时，x ＝－4；当x ＝0时，y ＝12. 所以一次函数y ＝3x ＋12的图象与两条坐标轴交点坐标分别为(－4,0)、(0,12)． (2)由3x ＋12<0，得x<－4. (3)由－6<3x ＋12<6，得－6 1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1 8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2 C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1 一、选择题 1．如图①，在长方形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿着N P Q M →→→方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为,x MNR ?的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ） A ．5MN = B ．长方形MNPQ 的周长是18 C ．当6x =时，10y = D ．当8y =时，10x = 2．如图，A 、M 、N 三点坐标分别为A （0，1），M （3，4），N （5，6），动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y=－x+b 也随之移动，设移动时间为t 秒，若点M 、N 分别位于l 的异侧，则t 的取值范围是（ ） A ．611t << B ．510t << C ．610t << D ．511t << 3．下列图形中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 为常数，且mn≠0）的图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线 ()1:20l y mx m =+<与直线2:4l y x =-，若两直线与y 轴围成的三角形区域内(不含三 角形的边)有且只有三个整点，则m 的取值范围是（ ） A ．21m -<<- B ．21m -≤<- C ．322m -≤<- D ．322 m -<≤- 5．已知点()1,4P 在直线2y kx k =-上，则k 的值为（ ） A ． 43 B ．43 - C ．4 D ．4- 6．如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ） A ．3x >- B ．3x <- C ．2x > D ．2x < 7．如图，一次函数4 43 y x = -的图像与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，过点A 作直线l 将ABO ?分成周长相等的两部分，则直线l 的函数表达式为（ ） A ．26y x =- B ．23y x =- C ．1322 y x = - D ．3y x =- 8．已知直线()1:0l y kx b k =+≠与直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M ，若 初三数学 成就英才,设计未来 二次函数 二次函数的图象及性质（学案） 一.知识巩固: 1.什么样的函数是一次函数?它有哪些性质? 2.什么样的函数是反比例函数?它有哪些性质? 二.新课学习: ㈠二次函数: 观察思考1: 写出下列关系的解析式能将所列函数式概括出一个基本形式吗? ⑴现有一组数列:2, 5, 10, 17,…… . 那么第n个数y与n的函数关系为______________. ⑵有n支球队进行单循环比赛,总比赛场次m与n的关系式为______________. ⑶某工厂一种产品现在的年产量是20万件,计划今后两年增加产量.如果每年的产量都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y(万件)与x的关系为______________________. 1.定义: 一般地,形如y= ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫二次函数.某中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 注意:①二次函数是一个关于自变量的二次整式; ②含自变量x的项的最高次数是2，若当一个二次函数包含一个次数大于2的项，那么这个项的系数必为0; ③定义是用象形的手段来定义的,式子中的x、y 可代表代数式。如y＋2＝k（x＋1）2＋x是指y＋2是关于x＋1 的二次函数。 2.二次函数的图像及性质: 实践与观察1: 在同一坐标系中,画出函数y=x2 , y=2x2, y =x2 , y= x2 +1, y=x2 -1 , y= － x2 , y=－2x2, y = －x2 , y= －x2 +1, y=－x2－1 的图象. 从中你会发现什么规 律? 2 二次函数的性质: 1.二次函数的图象是一条抛物线. 2.当a＞0时,抛物线的开口______,顶点是抛物线的___点; 当a＜0时,抛物线的开口____,顶点是抛物 线的____点. | a | 越大,抛物线的开口越_____. 3.二次函数y= ax2的图象关于y轴对称, 顶点坐标是(0,0) 4.二次函数y=ax2+b (a≠0)的图象关于y轴对称, 顶点坐标为( 0, b) ;抛物线y=ax2 +b是抛物线y=ax2向上(下)平移| b |个单位长度得到的. 5. 抛物线y= ax2+b (a≠0)与抛物线y= - (ax2 +b) = -ax2 -b 关于x轴对称. 课时授课计划 课次序号： 03 一、课题：§1.3 函数的极限 二、课型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育； 2.《高等数学教与学参考》，宏志主编，西北工业大学． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时， ； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对 于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义 1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε）， 则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）A ． 例1 证明cos lim x x x →+∞0． 证 由于 cos 0x x -cos x x x ?ε＞0cos 0x x -＜εx ＜ε， 授课日期 班 次 八年级（上学期）数学学科导学案 课题：3.1一次函数的图象（第 1课时） 编写人：刘伟备课组长：戴旭香审核人：孙端锋 学习目标： 1.会画简单的正比例函数的图象； 2.能记住正比例函数的相关性质； 3.初步了解数形结合思想. 重点难点： 重点：会画简单的正比例函数的图象并能记住正比例函数的相关性质 难点：初步了解数形结合思想. 温故知新： 1.下列各式中是一次函数的有；是正比例函数的有；（填序号） ① y= x 3 ② y=2x+1 ③ y=2x ④ y=2x2-3x ⑤y=-3x 2.一次函数的一般形式是（其中k,b为常数，k≠0）,当b=0时，我们称y是x 的； 3.在下面数轴上分别用点A和点B表示数3和－2.5； 4.观察半径为1的圆向数轴的正方向滚动一周表示的数是； 5.结论：任何一个（填：有理数、无理数、实数）都可以用数轴上的一个点表示.反 之成立吗？若成立说明（填：有理数、无理数、实数）和数轴上的点一一对应. 合作探究： 1.（1）下列三个点在正比例函数 y=2x 和图象上的有 A（2，4） B（－1，－1） C（－1，－2） （2）你能在右边的平面直角坐标系中画出（1）中的这 个点吗？还有其它的点在正比例函数 y=2x的图象上 吗？ 2.自主学习：阅读课本P83页的例1并回答下列问题 （1）画一个函数图象一般有步，分别 是； （2）为什么要列表，表格中的省略号是什么意思？ （3）描点时把自变量x的值作为点的（填横 坐标，纵坐标），y的值作为点的（填横坐标， 纵坐标）； （4）连线以后我们发现正比例函数 y=2x 的图象是一 条经过的 . (1)和同伴交流你的画法； （2）我们发现正比例函数 y=－3x 和图象是一条经 过 的 . 4.再探正比例函数图象的画法 （1）既然正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我 们知道 点确定一条直线。通常我们以原点（ ， ）和（ ， ）两点来画正比例函数会更方便。 试一试：在同一坐标系中画出快速的画出y=x 、 y=3x 、 y=－2 1 x 、y=－4x 的图象（组长分好工，一人画一个，并检查本组成员画的正确性） 5.小结：通过观察右图中的四个正比例函数图象归纳 正比例函数图象的性质： 正比例函数的图象是一条经过 和 的直线， 当k>0时，直线经过 象限，并且y 随x 的增大而 当k<0时，直线经过 象限，并且y 随x 的增大而 6.思考课本P84页想一想 正比例函数y=kx ，|k|越大，它的图象越靠近 （x 轴或y 轴） 当堂检测： 1.函数y=－3 1 x 的图象会经过第 象限； 2.请你写出一个随自变量x 增大而减小的正比例函数的表达式 ； 3.下列正比例函数中，随着x 的增大，y 值增大得最快的是（ ） A y=－2 1 x B y=x C y=3x D y=－4x 反思提升： 1.通过本节课的学习，你掌握了什么知识，方法，有什么收获？ 1.2.2函数的表示法 教学目的：（1）明确函数的三种表示方法； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识． 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程： 一、引入课题 1.复习：函数的概念； 2.常用的函数表示法及各自的优点： （1）解析法；（2）图象法；（3）列表法． 二、新课教学 （一）典型例题 例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表． 解：（略） 注意： ○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○2解析法：必须注明函数的定义域； ○3图象法：是否连线； ○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 巩固练习：课本P27练习第1题 例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 解：（略） 注意： ○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点； ○2本例能否用解析法？为什么？ 巩固练习： 课本P27练习第2题 例3．画出函数y = | x | ． 解：（略） 巩固练习：课本P27练习第3题 拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系． 课本P27练习第3题 例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里 数学练习题 班级_______姓名______ 一．选择题 1.一次函数()f x 的图象过点(1,0)A -和(2,3)B ，则下列各点在函数()f x 的图象上的是 （A ） (2,1) （B ） (1,1)- （C ）(1,2) （D ）(3,2) 2.下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）= ，g （x ）=（）2 B ．f （x ）=1，g （x ）=x 0 C ．f （x ）=，g （x ）=x D ．f （x ）=x ﹣1，g （x ）= 3.函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣3在3(,)2 +?上是增函数，则实数a 的范围是（ ） A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 4.函数y=ax 2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（ ） A ．b ＞0且a ＜0 B ．b=2a ＜0 C ．b=2a ＞0 D ．a ，b 的符号不确定 二．填空题 5.设函数1)(2--=mx mx x f ，若对于R x ∈，0)( 9.函数f （x ）=2x ﹣1在x ∈[0，2]上的值域为 ． 10.函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是 ． 11.设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 12.已知函数y=f （x ）在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ，则f （﹣ 3）= ． 三．三解答题 13.已知一次函数()f x 满足2(2)3(1)5 2(0)(1)1f f f f -=--=． （1）求这个函数的解析式； （2）若函数2()()g x f x x =-，求函数()g x 的零点 （3）x 为何值时，()0g x > ` 14.若二次函数2() (,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足(1)()41f x f x x +-=+，且 (0)3f =. (1)求()f x 的解析式； (2)()f x 在区间[1,1]-上的值域 （2)若在区间[1,1]-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2 ，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象， 能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： x y O 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二：【浙教版初中数学】《二次函数的性质》综合练习
新人教版初中数学八年级数学下册第四单元《一次函数》检测卷(包含答案解析)(2)
二次函数的性质
高等数学同济大学版课程讲解13函数的极限
3.1一次函数的图象(第一课时)
§122函数的表示法
高一二次函数的性质经典练习题
二次函数的图像和性质知识点与练习
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