高一数学第一学期授课讲义
(一) 集合的含义与表示（2课时）
（Ⅰ）、基本概念及知识体系： 1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、?关系；元素：用小写的字母a,b,c,…
表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；
2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：
｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2
+1｝；
｛(x,y)|y=x 2
+1｝； ?；｛?｝,｛0｝ 3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、?； （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： 一、集合的概念以及元素与集合的关系：
1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、? ②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、?；
③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：
★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2
+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。 ●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a= -32
▲★课堂练习：
1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、
2、5：①②
2、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2
∈A ，求出x 之值。(解：x=-1)
3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2
+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。（解：a=0) 二、集合的表示---------列举法和描述法 ★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2
★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x | x = 2k, k ∈N, k ≤3｝；（3）、3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；
问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
●
解：(Ⅰ)、⑴ 1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N ,k ≤5｝＝｛1，3，5，
7，9，11｝；
⑵、2A =｛x | x = 2k, k ∈N, k ≤3｝＝｛0，2，4，6｝；
⑶、3A =｛x | x = 4k ±1,k ,N ∈k ≤3｝＝｛－1，1，3，5，7，9，11，13｝；
（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A 、3A 所表示的集合都是奇数集；2A 所表示的集合都是偶数集。 ▲点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；
（2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。
★【例题4】、已知某数集A 满足条件：若1,≠∈a A a ，则A a
∈+11.
①、若2A ∈，则在A 中还有两个元素是什么；②、若A 为单元素集，求出A 和a 之值.
● 解：①2
1-和
3
1； ②}2
5
1{
+
-=A （此时2
5
1+
-=
a ）或}2
5
1{
-
-=A （此
时2
5
1-
-=
a ）。
▲●课堂练习：
1、书本P5：练习题2；P12：题3、4
2、设集合M=｛x|x= 4m+2,m ∈Z ｝,N=｛y|y= 4n+3,n ∈Z ｝，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0〃y 0与集合M 、N 的关系是（ A ）：A 、x 0〃y 0∈M B 、x 0〃y 0?M C 、x 0〃y 0∈N D 、无法确定
●解：x 0〃y 0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x 0〃y 0∈M 三、今日作业：
1、已知集合B=｛x|ax 2
-3x+2=0,a ∈R ｝,若B 中的元素至多只有一个，求出a 的取值范围。（解：a=0或a ≥9/8)
2、已知集合M=｛x ∈N|6
1+x ∈Z ｝，求出集合M 。（解：M=｛0，1，2，5｝
3、已知集合N=｛6
1+x
∈Z | x ∈N ｝，求出集合N 。（解：N=｛1，2，3，6｝
四、提高练习： ★【题1】、(2006年?〃辽宁〃T 5〃5分）设⊕是R 上的一个运算,A 是R 上的非空子集,若
对任意的a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）
A 自然数集
B 整数集
C 有理数集
D 无理数集 ★【题2】（2006年〃山东〃T 1〃5分）定义集合运算：A ⊙B=｛z ︳z= xy(x+y)，z ∈A ，y ∈B ｝，
设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ D ）
（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18
★【题3】（2005年〃湖北〃T 1〃5分）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a
若}6,2,1{=Q ，则
P+Q 中元素的个数是（ B ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 ★【题4】（广东2007年理科〃8题）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个
二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一
确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ A ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =
D ．()[()]****a b b a b b =
（Ⅲ）、课堂回顾与小结： 1、 记准N 、Z 、Q 、R ；?
2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。?◆ ?
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讲义二： 集合之间的基本关系（2课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码
139********
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本关系：包含关系------子集?、真子集 、空集?；集合的相等。
2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。 （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： （一）、集合之间的基本关系：子集?、真子集 、空集?（如方程x 2
+1=0的根）；集合的相等。
（二）、含有n 个元素的集合A 的子集个数是_____2n ,,真子集个数是___2n
-1,非空真子集：2n
-2
★【例题1】、已知集合P=｛x|x 2
-5x+4≤0｝,Q=｛x|x 2
-(b+2)x+2b ≤0｝且有P ?Q ，求实数b 的取值范围。
●解：{b|1≤b ≤4}；注意利用数轴去加以判断。
★【例题2】、（2007年湖南〃10题）．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，...，都是M
的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，
{123}i j k ∈ 、，，，，），都有m in m in
j j
i i i i j j a b a b b a b a ????
??
≠???
?????
?
?
，，（m in {}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ B ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
★【例题3】、（2007年北京文科〃15题〃12分）记关于x 的不等式01
x a x -<+的解集为P ，
不等式11x -≤的解集为Q ．
（I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ?，求正数a 的取值范围． ●解：（I ）由
301
x x -<+，得{}13P x x =
-<<
．
（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．
由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ?，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．
▲★课堂练习：
1、书本P7：练习题1、
2、3；P12： 5：①②③；B 组第2题。
2、已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2
-3a+4｝,又A B ，求出a 之值。(解：a= -1或4)
3、已知集合A=｛x|-3≤x ≤4｝B=｛x|2m-1≤x ≤m+1｝,当B ?A 时，求出m 之取值范围。（解：m ≥-1)
特别注意：当B ?A 时，B 一定包括有两种情形：B=?或B ≠?，解题时极易漏掉B=?这一情况从而出错！
（三）、今日作业：
●1、判断下列集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系：
①、已知集合A=｛x|x=2k-1,k ∈Z ｝B=｛x|x=2m+1,m ∈Z ｝(解：A=B ） ②、已知集合A=｛x|x=2k,k ∈Z ｝B=｛x|x=4m,m ∈Z ｝(解：B ? A ）
●2、已知集合M=｛x|-2≤x ≤5},N={x|m+1≤x ≤2m-1} ①、若N ?M ，求实数m 的取值范围；（解：m ≤3，注意N 为?的情况！)
②、若x ∈Z ，则M 的非空真子集的个数是多少个？（解：28
-2=254个） ③、（选做）当x ∈R 时，没有元素使得x ∈M 与x ∈N 同时成立，求实数m 的取值范围（解：m<2或m>4)
（四）、提高练习： ★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e ｝,则包含｛a,b ｝的S 的子集共有（D ）个
A 2
B 3
C 5
D 8
★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（C ） Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７
★【题3】、对于两个非空数集A 、B ，定义点集如下：A ×B=｛(x,y)|x ∈A, y ∈B ｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A ×B 的非空真子集的个数是___14_个
★【题4】、集合{|03}A x x x N =≤<∈且的真子集个数是 （ A ）
（A ）16 （B ）8 （C ）7 （D ）4
●解答、{0,1,2}A =，A 的真子集有：,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}?，共7个，选C
★【题5】、（2004湖北）已知集合P=｛m|-1 +4mx-4<0对任意的x ∈R 恒成立}，则有（ B ） A P=Q B P Q C P Q D P ∩Q=Q ★【题6】、设集合M=｛x|x=k 2 +14,k ∈Z ｝,N=｛x|x=k 4 +1 2,k ∈Z ｝,则（ B ） A M=N B M N C M N D M ∩N=? （Ⅲ）、课堂回顾与小结： 3、 分清子集?、真子集 、空集?；注意?的特殊性。 4、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义三： 集合之间的基本运算（2课时） 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （Ⅰ）、基本概念及知识体系： 1、集合之间的基本运算：①、交集A ∩B=｛x|x ∈A 且x ∈B ｝; ②、并集A ∪B=｛x|x ∈A 或x ∈B ｝； ③、全集和补集：C U A=｛x|x ∈U 且x ?A ｝ 2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。 （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： （一）、集合之间的基本运算： A ∩B=｛x|x ∈A 且x ∈ B ｝; A ∪B=｛x|x ∈A 或x ∈B ｝； C U A=｛x|x ∈U 且x ?A ｝ （二）、A ∪B=A ?B ?A ，要特别注意B 是否为?的情况的讨论。 ★【例题1】、已知集合A=｛x|x 2-2x-8=0｝,B=｛x|x 2+ax+a 2 -12=0｝且有A ∪B=A ，求实数a 的取值集合。 ●解：{a|a<-4,或a=-2,或a ≥4}；注意?，注意分类讨论。 ★【例题2】、已知全集U=｛x|x ≤4｝,集合A=｛x|-2 ●解：{a|a<-4,或a=-2,或a ≥4}；注意?，注意分类讨论。 ★【例题3】、已知集合A=｛x|x 2 -4mx+2m+6=0｝,B=｛x|x<0｝,且有A ∩B ≠?，求实数m 的 取值范围。 ●解：（正难则反，补集的思想）｛m|m ≤-1｝ ▲★课堂练习： ◆1、书本P11：练习题1、2、3、4；P12： 6、7、8、9；B 组第3、题。 ◆2、、(2006年〃辽宁〃T 1〃5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A ∪B=｛1,2,3｝的集合B 的个数为( C ) A 1 B 3 C 4 D 8 ◆3、(2005年〃全国Ⅰ〃T 2〃5分）设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 上的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下列论断正确的是（ C ） A C I S 1∩（S 2∪S 3）=? B S 1?（ C I S 2∩C I S 3） C C I S 1∩C I S 2∩C I S 3=? D S 1?（C I S 2 ∪C I S 3） ◆ 4、已知集合A=｛x|-3≤x ≤4｝B=｛x|2m-1≤x ≤m+1｝,当A ∪B=A 时，求出m 之取值范围。 （解：m ≥-1) 特别注意：当B ?A 时，B 一定包括有两种情形：B=?或B ≠?，解题时极易漏掉B=?这一情况从而出错！ （三）、今日作业： ●1、已知集合A=｛x|x+2>0｝,B=｛x|ax-3<0｝且有A ∪B=A ，求a 的取值范围。 (解：｛a|a ≤-3/2｝） ●2、书本P12：10题、B 组4题。 （四）、提高练习： ●★【题1】、设全集U=R ，A=｛x| x x+3 <0｝,B=｛x|x<-1｝,则图中阴影部分所表示的集合是（ C ） A ｛x|x>0｝ B ｛x|-3 C ｛x|-3 D ｛x|x<-1｝ ●★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（C ） Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７ ★【题3】、集合M=｛x||x-3|≤4｝,N=｛y|y=x-2 +2-x ｝,则M ∩N=____｛0｝ ★【题4】、(2004年〃上海〃T 3〃4分）设集合A=｛5，log2(a+3)｝，集合B=｛a,b ｝若满足A ∩B=｛2｝，则A ∪B=____｛1，2，5｝ ★ 【题5】、①已知集合A=｛y|y=2x 2 -3x+1 ｝,B=｛y|y=x 2 -2x-3,x ∈R ｝,则A ∩B=____｛y|y ≥0｝ ②已知集合A=｛x|y=2x 2-3x+1 ｝,B=｛y|y=x 2 -2x-3,x ∈R ｝,则A ∩B=____｛x|x ≥1或-14≤x ≤12｝ ★【题6】、已知集合P=｛x|x 2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x 2 -(b+2)x+2b ≤0｝且有P ?Q ，求实数b 的取值范围。 解：(答案：{b|1≤b ≤4}） ★【题7】、若全集I=R ，?(x),g(x)均为x 的二次函数，且P=｛x|?(x)<0｝,Q=｛x| g(x)≥0,｝则不等式组()0()0 f x g x ★【题8】、．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集，则阴影部分所表示的集合为（ C ） A ．(M ∩P)∪S B ．(M ∩P)∩S C ．(M ∩P)∩(C I S ） D ．(M ∩P)∪(C I S ） ●题9、（2007年江苏第2题）．已知全集U =Z ，{}1012A =-，，，，{}2 B x x x ==，则A ∩(C R B)为（ A ） Ａ．{}12-， Ｂ．{}10-， Ｃ．{}01， Ｄ．{}12， ★题10、（07北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452 ≥+-=x x x B ，若φ=B A ， 则实数a 的取值范围是 . （Ⅲ）、课堂回顾与小结： 5、 注意集合之间的运算：交、并、补； 6、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义四： 函数及其表示（1） 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （Ⅰ）、基本概念及知识体系： 1、 函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例 2、臭氧问题——图象法； 实例3、恩格尔系数——列表法； 2、 函数的定义：P16定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于 集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）；注意记为y=f(x),x ∈A ； 3、 构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。 4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数(0)y a x b a =+≠、二次函数 2 (0) y a x b x c a =++≠的定义域与值域？ ●练习：题1、2 ()23 f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 → 题2、求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域. 5、 区间的概念： ●练习：1、用区间表示：R 、{x|x ≥a}、{x|x>a}、{x|x ≤b}、{x|x ●作业： 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： （一）、函数的概念： （二）、函数的定义域的常见求法： ★【例题1】、书本P17例题1、例题2 ★【例题2】、如果函数?(x)满足：对任意的实数m 、n 都有?(m)+ ?(n)= ?(m+n)且?(1003)=2， 则?(1)+ ?(3)+ ?(5)+…+?(2005)=____(2006) ★【例题3】、(06〃重庆〃T 21〃12分)已知定义域为R 的函数f(x)满足?(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2 +x. （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)= x 0,求函数f(x)的解析表达式. ▲解：（Ⅰ）因为对任意x ∈R ，有f(f(x)- x 2 + x)=f(x)- x 2 +x ，所以f(f(2)- 22 +2)=f(2)- 22 +2. 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a ，则f(a-02+0)=a-02 +0，即f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意x εR ，有f(f(x))- x 2 +x)=f(x)- x 2 +x.；又因为有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)- x 0. 所以对任意x ∈R ，有f(x)- x 2 +x= x 0.；在上式中令x= x 0,有f(x 0)-x 2 0 + x 0= x 0, 又因为f(x 0)- x 0，所以x 0- x 2 0=0，故x 0=0或x 0=1.；若x 0=0，则f(x)- x 2 +x=0，即f(x)= x 2 –x. 但方程x 2 –x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故x 2≠0. 若x 2=1,则有f(x)- x 2 +x=1，即f(x)= x 2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f(x)= x 2 –x+1（x ∈R ）. ▲★课堂练习： ●练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5 ●思考题：已知函数?（x ）对一切实数x 、y 均有?（x+y ）-?（y ）=（x+2y+1）〃x 成立，且?（1）=0 ①求?（0）之值;②当?（x ）+3<2x+a 且0 2 恒成立时，求a 的取值范围 解、①?（0）=-2； ②化为a>(x-12)2+3 4 从而有｛a| a ≥1｝为所求（函数的恒成立问题— —函数思想去处理！） （三）、今日作业： ●1、设f(x)＝2 |1|2,||1, 1, ||11x x x x --≤?? ?>?+?，则f[f(21)]＝( B ) (A) 2 1 (B) 413 (C)－ 95 (D) 2541 解：f[f(12 )]=f[|12 -1|-2]=f[-32 ]= 2 11431313 1() 2 4==+- ,选(B) （四）、提高练习： ★【题1】、已知函数f (x)=2x-1,2 (()x g x ?≥=??当x 0时)-1(当x <0时) ，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。 ★【题2】、书本：P25：6题。 ★【题3】、已知函数f(x+1)=x 2 -3x+2，求f(x)之表达式 ★【题4】、已知函数f(x +4)=x+8x +2，求f(x 2 )之表达式（学习高手P44） ★思考题：【题5】、二次函数?（x ）=ax 2 +bx (a,b 为常数且a ≠0)满足?（-x+5）=?（x-3）且方程?（x ）=x 有等根；①求?（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m 解、①?（x ）=-12x 2+x ②由于?（x ）的值域是?（x ）≤12,则3n ≤12,即n ≤1 6,所以有?（m ） =3m 且?（n ）=3n ∴存在实数m=-4,n=0使?（x ）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0] （Ⅲ）、课堂回顾与小结： 1、注意函数的表示和定义域问题。 2．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则 则 [(1)] f g 的值 为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 2． 3．设函数1()f x =213 23()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f = 120076． 4、已知a,b 为常数，若2 2 ()43,()1024,f x x x f a x b x x =+++=++则5a b -= 2 . x 1 2 3 ()f x 1 3 1 x 1 2 3 ()g x 3 2 1 5．函数2 2 1()1 x f x x -= +, 则 (2)1() 2f f =（ B ） A ．2 B ．－2 C ． 35 D ．35 - 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义五： 函数及其表示（2） 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （Ⅰ）、基本概念及知识体系： 函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。 【★例题1】设?（x+1）的定义域为[-2,3）则?(1x +2）的定义域为___({x|x ≤-13或x>1 2} 【★例题2】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这 种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少 元。 ★●练习题: 1、下面可能表示函数的图象的是 ( ) ★1、（07广东）客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. B. （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： ●例题1：（2000年全国高考题）某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p 与上市时间t 的关系图是一条折线（如图(1)），种植成本Q 与上市时间t 的关系是一条抛物线（如图(2)）①、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t). ②、写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t). ③、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ p Q 300 300 250 200 200 150 100 100 50 O 100 200 300 t O 50 100 150 200 250 300 t (图1) （图2） ●解:（1）f(t)=???≤<-≤≤+-. 300200,3002,2000,300t t t t （2）g(t)= )3000(,100)150(200 12 ≤≤+-t t . （3）纯收益h(t)=f(t)-g(t) =??? ??≤<+--≤≤+--.300200,100)350(200 1,2000,100)50(20012 2 t t t t 当t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益最大． ★【题2】如右图,已知底角45o为的等腰梯形ABCD,底边BC 长为7,腰长为2 2 , 当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分 的面积y 与x 的函数关系式. 解： ??????? ∈+--∈-∈=].7,5(,10)7(2 1], 5,2(,22], 2,0(,212 2x x x x x x y ●【题3】、有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出如下一个的变换公式: x ′= x+1 2 (x ∈N,1≤x ≤26,x 不能被2整除) x 2+13(x ∈N,1≤x ≤26,x 能被2整除) 将明文转换成密文,如8→8 2 +13=17,即h 变成q ；5→5+1 2=3，即e 变成c 。①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定， 若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？ ●解：①g →7→7+12=4→d;o →15→15+1 2 =8→h;d →o;则明文good 的密文为dhho ②逆变换公式为x= 2x ′-1 (x ′∈N, 1≤x ′≤13) 2x ′-26 (x ′∈N,14≤x ′≤26),则有s →19→2×19-26=12→l;h →8→2×8-1=15→o,x →24→2×24-26=22→v;c →3→2×3-1=5→e;故密文shxc 的明文为love. 四、今日作业： ★1、．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg ） 与其运费（元）由如图的一次函数图像确定，那 么乘客免费可携带行李的最大重量为 ______ _____19 kg _. ★2．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元.；（I ）设学生数为x ，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；（II ）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；（III ）就学生数x 讨论哪家旅行社更优惠. ★解：（I ）y 甲=120x+240, y 乙=240〃60%(x+1)=144x+144. （II ）根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4. 答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多. （III ）当y 甲>y 乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4; 当y 甲 答：当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠. 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义六： 函数的值域和映射概念 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （Ⅰ）、基本概念及知识体系： 函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。 【★例题1】 ■①、设?（x+1）的定义域为[-2,3）则?(1x +2）的定义域为___({x|x ≤-13或x>1 2} ■②、求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)= 2 32 --x x ； f(x)= 29 x -； f(x)= 1 +x － x x -2 （Ⅱ）、教学：函数值域的求法： 1、常见函数的值域：①、一次函数y= kx+b (k ≠0)的值域： ②、二次函数y= ax 2 +bx+c (a ≠0)的值域： ③、反比例函数y= k x (k ≠0)的值域： ●例2：求值域（用区间表示）：y ＝x 2 －2x ＋4；f(x)＝x 2 -3x+2 ；y ＝ 3 5+-x ；f(x)＝ 3 2+-x x ； ▲★：小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法 （Ⅲ）、巩固练习： ▲1、求下列函数的值域： ①、y= 4-3+2x-x 2 ：配方及图象法： ②、y=1-2x +x 的值域 （换元法答案：y ≤1); ③、y= 1-x 2x+5 分离常数法： ④、y= 3x x 2+4 判别式法或均值不等式法： ●2.求函数y ＝－x 2＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 在值域。 解、（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域（注意描成阴影部分） ◆3.已知函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(x ＋a)的定义域是 。 ＃●4.课堂作业：书P24： 1、2、3题。 （Ⅳ）、综合提高部分： 【★例题1】设函数?(x)=x 2 -2x+2,x ∈[t,t+1]的最小值为g(t),写出g(t)的表达式。 解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法. 【★题2】 设函数?（x ）表示-2x+2与-2x 2 +4x+2中的最小值,则?（x ）的最大值为( B ) A 1 B 2 C 3 D 0 （Ⅴ）、典例剖析与课堂讲授： ●★【例题3】、二次函数?（x ）=ax 2 +bx(a,b 为常数且a ≠0)满足?（-x+5）=?（x-3）且方程?（x ）=x 有等根；①求?（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m ▲解、①?（x ）= -12x 2+x ②由于?（x ）的值域是?（x ）≤12,则3n ≤12,即n ≤1 6,所以有? （m ）=3m 且?（n ）=3n ∴存在实数m=-4,n=0使?（x ）定义域为[-4，0]，值域为[-12， 0] ●注意：若函数满足有：?（a+x ）=?（b-x ）则此函数必有对称轴：x=a+b 2 (Ⅵ). 教学映射概念： ① 先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意 {1,4,9}A =, {3,2,1,1,2,3}B =---，对应法则：开平方； {3,2,1,1,2,3}A =---，{1,4,9}B =，对应法则：平方； {30,45,60}A =???, 231 {1, , ,}2 22 B =, 对应法则：求正弦； ② 定义映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 :f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ） ．记作“:f A B →” 关键: A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 口诀：看原象，要求每元必有象，且象唯一。对应方式：一对一；多对一；不允许一对 多！ 2.教学例题： ① 出示书本例题7： 探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ； A ={三角形}，B ={圆}； A ={ P | P 是平面直角体系中的点}， {(,)|,} B x y x R y R =∈∈； A ={高一某班学生}，B = ？ ③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？ A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+； * ,{0,1} A N B ==，对应法则:2f x x →除以得的余数； A N =，{0,1,2}B =，:3f x x →被除所得的余数； 设111 {1,2,3,4},{1, ,,}234 X Y ==:f x x →取倒数； {|2,},A x x x N B N =>∈=， :f x x →小于的最大质数 三、巩固练习： 1、练习：书P23、 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题. （Ⅲ）、课堂回顾与小结： 1、 函数的定义域、值域的求解————特别是图形结合的应用； 2、映射的概念及注意之处。 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义七： 函数图象的基本变换 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （一）、基本概念及知识体系： 1、常见函数的图象：①、一次函数y= kx+b (k ≠0)： ②、二次函数y= ax 2 +bx+c (a ≠0)： ③、反比例函数y= k x (k ≠0)： 2、基本的图象变换： 特别要求注意函数y=f(|x|)和函数y=|f(x)|的图象的作图方法. ①、平移变化：y=?（x)左移m ：?_______；y=?（x)右移m ：?_______；y=?（x)上移h ：?_______；y=?（x)下移h ：?_______； ③、对称变化： y=?（-x)的图象为：_____；y=-?（x)的图象为：_____； y= -?（-x)的图象为：_____； y=?（|x|)的图象为：_____ ；y=|?（x)|的图象为：_____； 3、几个常用结论：①、若函数y=?（x)满足?（x+a)= ?（b-x)恒成立，则函数y=?（x)的对称轴为直线x=a+b 2；②、若两个函数y=?（a+x) 与函数y=?（b-x)，则它们的图象关 于直线x= b-a 2 对称。 (二)、典例剖析和教学过程： 【★例题1】P21、例题5、画出函数y=|x|的图象 ●练习题 ★1、书本第P23、练习题3题：画出函数y=|x-2|的图象； ★题2：画出函数y=| x 2 -2x-3|的图象。 ★3、函数y=?（x)=x+3/x+4的图象是由函数y=?（x)=1 /x 经过怎样的变换而得到的? （三）、关于分段函数的图象问题: 书本例题：第P21 题1：招手即停的应用问题 ★练习题: ※【题1】给出两个命题,甲:不等式|x|+|x-2| 乙:方程4x 2 +4(m-2)x+1=0无实根，若甲真乙假，则m 的取值范围为＿＿＿＿ ●解、①甲真，则不等式|x|+|x-2| ②乙假,则方程4x 2 +4(m-2)x+1=0有实根， 即△＝［４（m-2)]2 -4×4×1≥0?m ≤1或m ≥3 ∴｛m|m ≥3｝为所求 ※【★题2】不等式x+|x-2c|>1的解集为Ｒ(c>0)，则c 的取值范围为＿ ●解、 ｛c|c>12 ｝ （四）、函数图象的应用： ★【★题1】已知函数?（x ）=x 2-2(2a+1)x +a 2 (a ∈R)，当x ∈[0,1]时，求出函数?（x ） 的最小值g(a) a 2 (a ≤-12 ) ●解、g(a) = -3a 2 -3a-1 (-12 ≤a ≤0) a 2 -4a-1 , (a>0) 【★题2】对R b a ∈,,记{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max ；函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的 最小值是 . ●解析：由()()2 121212 2 ≥ ?-≥+?-≥+x x x x x ，故 ()??? ? ?? ? ? ? ? ??<-? ?? ?? ≥+=212211x x x x x f ，其图象如右， 则()2312121min =+=? ? ? ??=f x f 。 （五）、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题： ★书本第P29例题1： （六）、今日作业: ●画出下列函数的图象:《学习高手》第P62的例题4 （七）、课堂回顾与小结： 注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题（上下平移、左右平移之规律）。 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义八： 函数的的基本性质----单调性和最值(1) 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （一）、基本概念及知识体系： 1、教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明 和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 3、教学难点：理解概念。 （二）、教学过程与典例剖析： ●、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 1 +=x y 2 -=x y 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ ★题3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 ④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x)的单调区间。 ⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？y ＝x 2 的单调区间怎样？ ③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。 2.教学增函数、减函数的证明： ①出示 ★例1：指出函数f(x)＝－3x ＋2、g(x)＝ x 1的单调区间及单调性，并给出证明。 （由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x ＋2的证明格式→练习完成。） ②出示例2：物理学中的玻意耳定律k p V = （k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当 其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明. （学生口答→ 演练证明） ③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1 x 1的(0,1]上是减函数，在[1,+≦)上是增函数。 2.判断f(x)=|x|、y=x 3的单调性并证明。 3.讨论f(x)=x 2－2x 的单调性。 推广：二次函数的单调性 4.课堂作业：书P43 1、2、3题。 四、本堂课之备选例题和习题： ★例题1、证明函数y=x 3 -b （b 为常数）是R 上的增函数。（见教案P40面题1） ★例题2、定义（-1，1）上的函数f(x)是↘，且满足f(1-a) ★例题3、求函数y= x-1 x-2（当-2≤x ≤1时)，求出其最大值和最小值 ●解：最大值为3 4，最小值为0。见教案P44面题补充练习题） ●★例题4、已知{ 1,(0),()1,(0), x f x x ≥= -?当时当时则不等式2)(≤+x x xf ≤5的解集是 .x ≤3/2 五、备选之练习题： ★题1、已知函数f(x)= x 2 +2x+3 x (x ∈[2,+≦),证明该函数为↗，并求出其最小值。 解：（见教案P45面题2）；（为11 2） ★题2、已知函数f(x)=ax 2 -2ax+2+b(a ≠0)在[2，3]上的最大值为5和最小值为2，求出a 和b 之值。 ●解：a=-1,b=3或a=1,b=0见教案P45面题1。 ★题3、已知函数f(x)= x 2 +bx+c,对任意的实数t,都有f(2=t)=f(2-t),试比较f(1)、f(2)、f(4)之大小。 ●解：见教材全解P108例题4；注意函数满足f(a+x)=f(b-x)时，其对称轴为x=a+b/2；同时要注意利用对称性，将所比较的数值对应的自娈量转化到同一个单调区间之上，才能利用函数的单调性得出相应结果。 ★题4、已知函数f(x)= x 2 -2(1-a)x+2,在（-≦，4）上是减函数，求出实数a 之取值范围。 解；见教材全解P109例题5；a ≤-3;二次函数的问题要特别注意三点：开 口方向，对称轴，顶点坐标。 ★题4、图中的图象所表示的函数的解析式为（ B ） Ａ．312y x =- (02x ≤≤ Ｂ33122 y x = -- (02)x ≤≤ Ｃ．312 y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤ ★题6．设函数 ,2)2(),0()4(.0, 2, 0,0,)(2 -=-=-???>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于 x 的方程 x x f =)(解的个数为 （ C ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ★题7．若不等式x 2 ＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0， 12 ）成立，则a 的取值范围是（ C ） A ．0 B. –2 C.-52 D.-3 ●解：设f （x ）＝x 2 ＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2 －；若a 2 － ≥ 12 ，即a ≤－1时，则f （x ）在…0， 12 ?上是减函数，应有f （ 12 ）≥0?－52 ≤x ≤－1若a 2 －≤0，即a ≥0时， 则f （x ）在…0，12 ?上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2 － ≤ 12 ， 即－1≤a ≤0，则应有f （a 2 － ）＝ 2 2 2 a a a 1104 2 4 ≥－ ＋＝－ 恒成立，故－1≤a ≤0，综上， 有－52 ≤a 故选C ★例题1、设函数f(x)=x 2 +1 -ax,其中a ≥1,证明：函数f(x)为区间[0,+≦）的↘ ●解：注意分子有理化。 3 2 y x 1 2 O 第7题图 ★ 例题2、定义于R 上的函数y=f(x)，有f(0)≠0，，当x>0时f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)〃f(b)；（1）、证明：f(0)=1；（2）、对任意的x ∈R,恒有f(x)>0； （3）、证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)〃f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 ●解：①、抽象函数的单调性的证明，注意利用f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)或令f(x 2)=f(x 1+t)(其中t>0)去灵活变形。 ②、注意转化为函数的单调性去处理不等式：x ∈(0,3) ●今日作业： 【★题1】已知函数：①、y=x 2+2x+5; ②y=-x 2 -4x+3 (1)、分别写出它们的单调区间；（2）分别求出它们在[0，5）上的值域； 【★题2】设?（x+1）的定义域为[-2,3）则?(1 x +2）的定义域为___({x|x ≤-13或x>12} 【★例题3】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这 种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少 元。 ★【题4】如右图,已知底角45o为的等腰梯形ABCD,底边BC 长为7,腰长为2 2 , 当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分 的面积y 与x 的函数关系式. 解： ??????? ∈+--∈-∈=].7,5(,10)7(2 1], 5,2(,22], 2,0(,2122x x x x x x y 湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义 讲义九： 函数的基本性质----单调性和最值(2) 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@https://www.doczj.com/doc/047173410.html, 手机号码 139******** （一）、基本概念及知识体系： 教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义. 教学重点：熟练求函数的最大（小）值。 教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。 教学过程： 一、复习准备： 1.指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。 2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？ 3.知识回顾：增函数、减函数的定义。 二、讲授新课： 1.教学函数最大（小）值的概念： ① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？ ()23f x x =-+，()23f x x =-+ [1,2]x ∈-； 2()21f x x x =++，2 ()21f x x x =++ [2,2]x ∈- ② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义． → 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法. 2.教学例题： ① 出示 ★例题1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？ （学生讨论方法 → 师生共练：配方、分析结果 → 探究：经过多少秒落地？） ② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？ （引导：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值； →小结：数学建模） ③ 出示 ★例2：求函数32 y x = -在区间[3，6]上的最大值和最小值． 分析：函数3,[3,6]2 y x x = ∈-的图象 → 方法：单调性求最大值和最小值. → 板演 → 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值. → 变式练习：3,[3,6] 2 x y x x +=∈- ④ 探究：32 y x = -的图象与3y x =的关系？ ⑤ 练习：求函数21y x x =+-的最小值. （解法一：单调法； 解法二：换元法） 3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结：最大（小）值定义 ；三种求法. 三、巩固练习： 1. 求下列函数的最大值和最小值： （1）2 5332,[,]22 y x x x =--∈- ； （2）|1||2|y x x =+-- 2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ （分析变化规律→建立函数模型→求解最大值） 3. 课堂作业：书P43 A 组5题；B 组1、2题. 四、备选用思考题： 【题1】、二次函数?（x ）=ax 2 +bx (a,b 为常数且a ≠0)满足?（-x+5）=?（x-3）且方程?（x ） =x 有等根；①求?（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m 房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85
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