第十一章 反常积分
§1反常积分概念
1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）
2
x xe dx +∞
-?
解：
2
222
00111()222
A
A x x A xe dx e d x e ---=-
-=-+?? ∴ 222001
11lim lim 2
22A x x A A A x e dx xe dx e +∞---→+∞→+∞???==-+= ?????
（2）
2
x xe dx +∞
--∞
?
解：
2222200011lim 02211lim lim 022x A A x x B B B B x e e x e xe e +∞
--→+∞----∞→-∞→-∞
???=-+= ??????==-+= ???
??? ∴ 2
2
2
0x x x x e dx x e dx x e dx +∞
+∞
----∞
-∞
?=?+?=?
?
?
（3
）
+∞
?
解：
2
2
00
2x
A
A
A x e dx e -
-??=-=-???
?
∴
2
l i m 22A
x
A e →+∞+∞
??-=????=?
（4）21
(1)
dx
x x +∞
+?
解：
()221
11
111(1)11ln ln 111ln 1ln 2
A
A A
dx dx x x x x x x x x A A A ??=-++ ?++??
??
=--++??
??+=+--?
? ∴ 21lim 11ln 1ln 21ln 2(1)A dx A x x A A →+∞+∞+??
=??=+--?-?
+? （5）
2445
dx
x x +∞
-∞
++?
解：
2202
001
445(21)lim lim 1lim arcta 2(2n 1)8
2A
A A A A
A dx x x x x π→+∞→+∞→+∞==+++++=??
22200
01445(21)2
(21)l i m l i m 1l i m a r c t a n 4
1l i m a r c t a 1)48n(2B B B B B B B
dx dx x x x x B π→-∞→-∞→-∞→-∞
=+++++=+=??-=?????? ∴
002224454454l i m l m 4i 5
884
A B A B dx dx dx
x x x x x x πππ→++∞-→∞∞-∞=+++++=+=++??? （6）
0sin x e xdx +∞
-? 解： ()0
sin sin 1
sin co lim
im s l 2
2
A
x
A x x A A e xdx e xdx
e x x →+∞→++---∞∞
==--=?
?
（7）
sin x e xdx +∞
--∞
?
解：
lim
sin sin A
A x
x e xdx e xdx →++∞∞
=?
?
0sin lim
cos 2
A
A x x →+∞-= ()1
sin lim cos 12
A A A →+∞=-+发散 而
lim
sin sin B x x B
e xdx e xdx →∞--∞
?=?
?
0sin lim
cos 2
B
B x x →-∞-=发散
∴sin x e xdx +∞
--∞
?发散
（8
）
+∞
?
解：0
lim
li m A A A A →+∞→+∞
=?
发散
故
+∞
?
2. 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：
（1）
()b
p a dx
x a -?
解： ()
2
1
()f x x a =-在(,]a b 上连续， 从而在(,]a b 上可积，x a =为其瑕点
由瑕积分定义，知
111lim
()()lim ()()
1lim ()11lim ()()1b
b p p
a
u u a b
p u
u a p b
u u a p p
u a dx dx x a x a x a d x a x a p
b a u a p →-→-→--→=--=--=--??=---?
?-?
??
显然当1p <时，上式收敛于1()1p
b a p
---，其瑕积分也收敛，
其值为1()1p
b a p
---
若1p ≥，则上式发散，其瑕积分也发散
（2）1
201dx x -?
解：
1
22
00101001001
1lim 11111lim 211111lim 2111
1lim ln 1ln 12211lim ln 1ln 122u u u u u u u u u u u dx
dx x x dx x x dx dx x x x x u u →→→→→=--??=+ ?-+????=+??
-+??
??=-?-?+?+?????????
??
=--++????
????? 上式的极限不存在，故瑕积分1
2
1dx
x -?发散 （3
）2
?
解：
()()()()()()2
1
20
01112
2
2
11112
22
011
11221
1lim 1lim 1lim 21lim 21lim 212lim 2214
u
u
u u u u
u u u u x dx x dx
x x u u -
-→→--→→--→→=+=-+-??=--+-????
???
?=--++--????????=?
?
?
??
故瑕积分收敛，其值为4 （4
）
1
?
解：
()()()()(
))
1
1
122
20
1
222
11
220
11
11121lim 1121lim 12
lim
1
1
u u u
u u x d x x d x x --→-→→=---=---=--=-=??? 故瑕积分收敛，其值为1 （5）1
ln xdx ?
解：
()1
1
01
100
ln lim ln lim ln lim ln 11
u
u u u u u xdx xdx
x x dx u u u +
++
→→→=??=-????
=--+=-??? 故瑕积分收敛，其值为-1
（6
）
?
解：令
21x
t x
=-，则
(
)
20
200020202lim 1lim 21lim arctan 12
tdt t t t t t εεεπ
+++→→→=+??=-?+???
=- +?=
?
故瑕积分收敛，其值为2
π
（7）1
?
解：
()()()()11
1
20
111
2
1
12
10
2
00lim lim lim arcsin 21lim arcsin 21lim arcsin 21lim arcsin 2112
2
x x ε
ε
εεε
εεεεεεεπ
π
π
+++
+
++-→→-→→→→=+==-+-=--+---????????=
+
=?
?
?
?
故瑕积分收敛，其值为π （8）
1
0ln (ln )p d x x ?
解：
()()1
1
12
10021
12
10
2
11112
1002
11100ln (ln )ln (ln )ln (ln )lim (ln 2)ln lim (ln )ln 1
1
lim (ln )lim (ln )11111lim ln ln lim ln 1121p p p p p
p
p
p p d x x d x x d x x d x x d x x x p
p
p p ε
ε
εεεε
εεεεεε+++
+
++
-----→→---→→---→→=+=+=+--????=-+-?? ?--???????????
11ln 2p
p -??
??-?? ???????
上面极限式发散，故瑕积分发散
3. 举例说明：瑕积分?
b
a
dx x f )(收敛时，?b
a
dx x f )(2不一定收敛。
解：
例如瑕积分
1
0?，由268P 页例6结论
1
110
02
1
,012dx q x =<=
?，则瑕积分收敛
2
1
1001dx dx x =??中，1q =则瑕积分发散 4. 举例说明：?
+∞
a
dx x f )(收敛且f 在],[+∞a 上连续时，不一定有0)(lim =+∞
→x f x
解： 设
??
?
????
-∈----∈+---∈=+++)
,1[)(2)21,21[)21(2)2
1,1[,0)(12112n n x n x n n n n n x n n x n n n n x x f n n n n n n
则f 在),0[∞+连续，且
21
2121212
1)(110
==??=∑∑?
+∞=+∞
=∞+n n n n n n dx x f
但f 在),0[∞+无界且)(lim x f x +∞
→不存在.
5. 证明：
?
+∞
a
dx x f )(收敛，且存在极限A x f x =+∞
→)(lim ，则0=A 。
证：反证法. 假设0≠A ，不妨设0>A . 由保号性，存在a N >，
当N x >时，02
)(>>
A
x f ，于是 +∞=+
≥+=??
??
?
∞
+∞+∞+N
N a
N
N a
a
dx A dx x f dx x f dx x f dx x f 2)()()()(
这与
?∞+a
dx x f )(收敛相矛盾，所以0=A .
6. 证明：若f 在],[+∞a 上可导，且?
+∞
a
dx x f )(与?
+∞
a
dx x f )('都收敛，则0)(lim =+∞
→x f x
证：因为
)]()([lim )(lim )(a f u f dx x f dx x f u u
a
u a
-='='+∞
→+∞
→∞+??
收敛，
所以极限)(lim u f u +∞
→存在，从而由第5题知，0)(lim =+∞
→x f x
§2 无穷积分的性质与收敛判断
1. 证明定理11.2及其推论1。 （1）定理11.2（比较法则）
设定义在[,)a +∞上的两个函数()f x 和()g x 都在任何有限区间[,]a u 上可积，
且满足：()(),[,)f x g x x a ≤∈+∞
则当()a g x dx +∞
?收敛时，()a
f x dx +∞
?
必收敛
（或当()a
f x dx +∞
?
发散时，()a
g x dx +∞
?
必发散）
证：由定理11.1，对120,,,,A a p A p A ε?>?>?>?>
有
21
()p p g x dx ε
由不等式()()f x g x ≤
2
21
1
()()p p p p f x dx g x dx ε≤
?
则无穷积分
()a
f x dx +∞
?
收敛
（2）推论1：若()f x 和()g x 都在任何[,]a u 上可积，()0g x >，且()lim
()
x f x c g x →+∞
=
则有
（i ）当0c <<+∞时，()a
f x dx +∞
?与()a
g x dx +∞
?
同敛态；
（ii ）当0c =时，由
()a
g x dx +∞
?
收敛可推知()a
f x dx +∞?
也收敛；
（iii ）当c =+∞时，由
()a
g x dx +∞?
发散可推知()a
f x dx +∞?
也发散
证：当0c ≤<+∞时及()0g x >时，知()
lim
()
x f x c g x →+∞
=的极限存在，为某一常数c 则有极限的定义知，对0,0A ε?>?>，对x A ?>有
()
()
f x c c
g x εε-<<+
即()()()()()c g x f x c g x εε-<<+
由定理11.2的结论知()a
f x dx +∞
?
与()a
g x dx +∞
?同敛态；
即（i ）与（ii ）成立
又当c =+∞时，由()lim
()
x f x c g x →+∞
=，取0,0B A >?>对于x A ?>有
()()
f x B
g x >，或()()f x B g x >?
又由定理11.2知，
当
()a
g x dx +∞
?
发散时，()a
f x dx +∞
?
也发散
2. 设f 与g 是定义在),[+∞a 上的函数，对任何a u >，它们在],[u a 上可积。 证明：若
?
+∞
a
dx x f )(2
与?+∞
a
dx x g )(2
收敛，
则?+∞
a
dx x g x f )()(与?+∞
+a
dx x g x f 2)]()([也
都收敛。
证：因为2)
()(|)()(|22x g x f x g x f +≤，且?∞++a dx x g x f 2
)()(2
2收敛， 所以?∞+a dx x g x f |)()(|收敛，从而?∞+a
dx x g x f )()(收敛.
由于
?
?
∞+∞+++=+a
a
dx x g x g x f x f dx x g x f )]()()(2)([)]()([222，所以收敛
3. 若h g f ,,是定义在),[+∞a 上的三个连续函数，且成立不等式)()()(x g x f x h ≤≤，证明： （1） 若
?
+∞
a
dx x h )(与?+∞
a
dx x g )(都收敛，则?
+∞
a
dx x f )(也收敛；
（2） 又若
??+∞+∞==a
a
A dx x g dx x h )()(则A dx x f a
=?
+∞
)(
证明：⑴ 因为
?
∞+a
dx x h )(与?
∞+a
dx x g )(都收敛，由无穷积分的Cauchy 准则，
有0>?ε，a G ≥?，使得当G u u >21,时， 有εε<<
-?
21
)(u u dx x h 与 εε<<-?
21
)(u u dx x g .
又由)()()(x g x f x h ≤≤，有?
??
≤≤21
21
21
)()()(u u u u u u dx x g dx x f dx x h .
从而有即εε<<
-?
21
)(u u dx x f . 由Cauchy 准则，积分?
∞+a
dx x f )(收敛；
⑵ 由)()()(x g x f x h ≤≤，得
???
≤≤u
a
u a
u a
dx x g dx x f dx x h )()()(
2221
1
1
()()()u u u u u u h x dx f x dx g x dx εε-<≤≤
?
?
若A dx x g dx x h u a
u u a
u ==?
?
+∞
→+∞
→)(lim )(lim
，所以
A dx x f dx x f u
a
u a
==??
+∞
→∞+)(lim )(
4.讨论下列无穷积分的收敛性 （1）
?
+∞
+0
3
4
1
x dx ；
解：
4
3
1x x →+∞
→
∴由柯西判别法知，?
+∞
+0
3
4
1
x dx 收敛
（2）
dx e
x
x
?
+∞
-1
1 解： 2
3
0li 1lim 1m x x x x x x e e
x →+∞→+∞==--?
由柯西判别法的推论知，
dx e x
x
?
+∞
-1
1收敛 （3）
?
+∞
+0
1x
dx
解：由于12
lim 1x x →+∞=由柯西判别法的推论2，有?+∞+01x
dx 发散 （4）
dx x x
x ?+∞
+131arctan
解：因为21arctan lim 32π=++∞→x
x x x x ，所以 ?
∞++1
3
1arctan dx x
x
x 收敛
(5)
dx x x n ?+∞
+1)
1ln( 解：当1n >时，
1
11
111ln(1)
lim ln(1)lim ln(1)lim 0n
n
n n
n n n n n x x
x x x x x x +
→+∞+→+∞??→+∞
-+ ???
+?
+=?+==收敛
当1n ≤时，11ln(1)
lim n
n
n x x
x
+
→+∞
+?
→∞ (6)
(,0)1m
n
x dx n m x +∞
≥+?
解：
10
01111m
m m n n n x x x dx dx dx x x x
+∞
+∞=++++?
??， 先考虑积分1
01m n x dx x +?， 01111m x m
n n
x x x x +
→-?=→++，故 当且仅当1m >-时，积分1
01m
n
x dx x +?收敛 再考虑积分
1
1m n x dx x +∞
+?
，因为1111m x n m
n n
x x x x →+∞-?=→++
故当且仅当1n m ->时，积分
1
1m
n
x dx x +∞
+?
收敛 综上所述，当1m >-，1n m ->时，积分
(0)1m
n
x dx n x
+∞
≥+?
收敛，否则发散 5.讨论下列无穷积分绝对收敛还是条件收敛
(1)
1
dx ?
令2,2x t dx tdt ==，
21
11sin sin 22t t tdt dt t t
+∞+∞=?=?
?? 而对1u ?≥，1
sin cos12u
tdt cosu =-≤?
而当x →+∞时，
1
x
单调趋于0 故有狄利克雷判别法知1sin t
dx t
+∞?收敛 又2sin sin 1cos 222t t t
t t t t
≥=-
而其中
1
2dt
t
+∞
?
是发散的, 1
sin t
dx t
+∞
∴?
发散,
故
1
?
发散,
1
dx ∴?
在[1,)+∞是条件收敛, （2）
2
sgn(sin )
1x dx x
+∞
+?
解：由于
22
sgn(sin )1
,011x x x x ≤≥++
而
2
1dx
x +∞
+?
收敛 ∴
20sgn(sin )
1x dx x +∞+?绝对收敛
（3
）
100x
dx x
+∞
+?
解：由于
cos 1,
100A
xdx x
≤+?
，在[0,)+∞上单调且当x →+∞时趋于0，
由狄利克雷判别法知积分收敛。 又
(
)(
)()
2
cos 2
cos 21002100x x
x x ≥=-?++
而
()
2100dx x +∞
+?
发散，
2xdx ?收敛，故积分条件收敛. (4)
()
ln ln sin ln e
x xdx x
+∞
??
解:
sin 2A
e
x dx ≤?
()
ln ln ln x x
在上[3,)+∞单调递减且当x →+∞时,趋于0. 故由狄利克雷判别法知积分收敛.
又()()2ln ln ln ln sin sin ln ln x x x x x x
?≥?
()()ln ln ln ln cos 22ln 2ln x x x x x
=-?
而
()
ln ln ln e
x dx x
+∞
?
发散 ()
ln ln cos 22ln e
x xdx x
+∞
??
收敛
从而积分条件收敛 6.举例说明：
?
+∞
a
dx x f )(收敛时?
+∞
a
dx x f )(2不一定收敛；?
+∞
a
dx x f )(绝对收敛时，
?
+∞
a
dx x f )(2也不一定收敛。
解：设??
??
?-
∈---∈=),4
1[)2()41,1[,
0)(n n x n n x x f n n n
则
121
42|)(|110
===∑∑?+∞=+∞
=∞+n n n n n dx x f ，收敛，
但
+∞==∑?
+∞
=∞+10
2
4
4)(n n n
dx x f ，发散.
7.说明：若
?
+∞
a
dx x f )(绝对收敛，且0)(lim =+∞
→x f x ，则?
+∞
a
dx x f )(2必定收敛。
证：因0)(lim =+∞
→x f x ，故存在0>N ，当N x >时，1)( 由比较判别法，知 ? ∞+a dx x f )(2收敛. 8. 证明：若f 是],[+∞a 上的单调函数，且 ? +∞ a dx x f )(收敛，则0)(lim =+∞ →x f x ，且 +∞→=x x o x f ),1 ()( 证：设f 在),[∞+a 上单调无界（不妨设无上界），即对任何0>M ，存在a X >， 使得当X x >时，M x f >)(. 于是 +∞=+≥+=? ? ? ? ? ∞+∞+∞+X X a X X a a dx M dx x f dx x f dx x f dx x f )()()()( 这与 ? ∞+a dx x f )(收敛相矛盾， 从而f 在),[∞+a 上单调有界，故存在极限 A x f x =+∞ →)(lim . 由P.269习题5，知0)(lim ==+∞ →A x f x 下面证明：)1 ()(x o x f =，+∞→x ，即0)(lim =+∞ →x xf x . 不妨设在),[∞+a 上0)(≥x f ，且单调减少. 因 ? ∞+a dx x f )(收敛， 由无穷积分的柯西准则，0>?ε，a G ≥?，使得当G x x >>2时，有ε )(， 于是ε<≤=≤ ??x x x x dt t f dt x f x xf 2 2)()()(21 0，即0)(lim =+∞→x xf x 9. 若f 在),[+∞a 上一致连续， ? +∞ a dx x f )(收敛，则0)(lim =+∞ →x f x 证：因f 在),[∞+a 上一致连续，0>?ε，0>?δ（不妨设εδ≤）， 使得当),[,21∞+∈a x x 且δ≤-||21x x 时，有2 |)()(|21ε <-x f x f . 又因 ? ∞+a dx x f )(收敛，由无穷积分的柯西准则，对上述δ，a G ≥?， 使得当G u u >21,时，有2 |)(| 2 21 δ< ? u u dx x f . 现在对任何G x >，取G u u >21,，使得21u x u <<，且δ=-12u u ，于是 |)()()(||)(||)(|2121 21 21 ? ? ? ? +-==u u u u u u u u dt t f dt t f dt x f dt x f x f δ 2 2 |)(|2 |)(||)()(|2 21 21 21 21 δδε ε + ?< +≤+-≤? ? ?? u u u u u u u u dt t f dt dt t f dt t f x f 从而εδ ε ≤+ < 2 2 |)(|x f ，所以0)(lim =+∞ →x f x . 10.利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 证：阿贝尔判别法是指: 若 ()a f x dx +∞ ? 收敛,()g x 在上[,)a +∞单调有界, 则 ()()a f x g x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 收敛, 则令()()u a F u f x dx =?在[0,)+∞上有界 ()g x 在上[,)a +∞单调有界,则必有极限存在, 设lim ()x g x a →∞ =，则[]lim ()0x g x a →∞ -= 设()()x g x a ?=- 则由狄利克雷判别法知,[]()()a f x g x a dx +∞ -? 收敛. 即 []()()()()()()a a a f x g x f x a dx f x g x dx a f x dx +∞ +∞ +∞ ?-?=?-??? 由已知 ()a f x dx +∞ ? 收敛，从而()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛 §3瑕积分的性质与收敛判别 1. 写出性质3的证明 （性质3： 设函数()f x 的瑕积分为x a =,()f x 在(,]a b 的任一内闭区间[],u b 上可积, 则当 ()b a f x dx ? 收敛时, ()b a f x dx ? 也必定收敛,并有 ()()b b a a f x dx f x dx ≤? ?） 证： 瑕积分 ()b a f x dx ?在瑕点x a =处收敛,则由柯西准则有 对0,0εδ?>?>,当()12,,u u a a δ∈+，总有 ()()2 2 1 1 u u u u f x dx f x dx ε= ? 又()f x 在(,]a b 的任一内闭区间[],u b 上可积, 再利用定积分的绝对不等式又有()()2 2 1 1 u u u u f x dx f x dx ε= ? 再由柯西准则(充分性)知()b a f x dx ?收敛. 又因 ()()b b a a f x dx f x dx δ δ ++≤? ? 令0δ→便得到 ()()b b a a f x dx f x dx ≤? ? 2. 写出定理11.6及推论1的证明 （定理11.6(比较法则)设定义在(,]a b 上的两个函数()f x 与()g x ,瑕点同为x a =, 在任何[](,],a b u b ?上都可积,且满足()(),(,]f x g x x a b ≤∈ 则当 ()b a g x dx ?收敛时,()b a f x dx ?必定收敛 (或者当 ()b a f x dx ? 发散时,()b a g x dx ?亦必发散). 推论1：又()0g x >若,且()lim x a f x C g x + →=,则有 (i)当0C <<+∞时,()b a f x dx ?与()b a g x dx ?同敛态; (ii) 当0C =时,由 ()b a g x dx ? 收敛可推知()b a f x dx ?也收敛; (iii) 当C =+∞时, 由()b a g x dx ? 发散可推知()b a f x dx ?也发散.） 证：定理11.6 若 ()b a g x dx ?(瑕点为a )收敛. 由定理11.5瑕积分收敛的充要条件:对0,0εδ?>?>, 只要()12,,u u a a δ∈+,总有 ()2 1 u u g x dx ε ，由不等式()()f x g x ≤,有 ()()2 2 1 1 u u u u f x dx g x dx ε= ? 再由定理11.5知()b a f x dx ?必定收敛(同理可证发散). 推论1 当0C ≤<+∞及()0g x >时,知()lim x a f x C g x + →=的极限存在,为某一常数C . 则又极限定义知,对0,0εδ?>?>,当(),x a a δ∈+时, 总有()f x C C g x εε-< <+. 即()()()()()C g x f x C g x εε-<<+. 由定理11.6结论,当0C <<+∞时, ()b a f x dx ?与()b a g x dx ?同敛态.当0C =时, 由 ()b a g x dx ? 收敛可推知()b a f x dx ?也收敛. 当C =+∞时,由()() lim x a f x C g x + →=,取0,0B δ?>?>, 当(),x a a δ∈+时, 总有 ()f x B g x >或()()f x g x B >?. 由定理11.6结论,当 ()b a g x dx ? 发散可知,()b a f x dx ?也发散. 3. 讨论下列瑕积分的收敛性 (1) () 2 2 1dx x -? 解: 1x =是瑕点, 由定理11.6的推论3,有 ()() 2 1 1 lim 11x x x + →-?=+∞- 其中1,p λ==+∞,故积分发散 (2) 3 2 sin x dx x π ? 0x =是瑕点,由于12 3 2 sin lim 1x x x x + →?=，而1 ,12 p λ==, 故积分发散 (3) 1 ? 解： 0,1x x == 是瑕点, 则 1 1 12 =? ? . 由于1 lim(1)1x x - →-=,则1,1p λ==. 由定理11.6的推论3, 积分 1 发散，从而积分10 ?. (4) 1 0ln 1x dx x -? 解 111 ln lim lim 111 x x x x x -- →→==---，故1x =不是瑕点,因而只有0x =为瑕点. 又1 2 ln lim 01 x x x x + →=-,由于1,02p λ==，由定理11.6的推论3知,积分收敛 (5) 2 3 arctan ;1x dx x π -? 解：为1x =瑕点. 3 1 arctan lim(1)112x x x x π- →-=- ,其中1p =,12 π λ=,∴瑕积分分散. (6) 2 1cos m x dx x π -? ; 解：0x =为瑕点. 2 20 01cos 1cos 1 lim lim ,2 m m x x x x x x x + + -→→--?== 其中1 2 λ= ,故当3m <时,积分收敛;时3m ≥积分发散. (7)1011sin ;dx x x ?? 解：此瑕积分的瑕点为0x =.由定理11推论2知 111 ()sin f x x x x αα = ?≤, 此时p α=,当01α<<时, 1 11 sin dx x x α?? 绝对收敛. 又(0,1)x ∈ ,有 1 111 sin x x x αα -< ?. 当1p α=-时,则1p ≥,即11,2αα-≥≥时, 由推论2的(ii)知积分发散. 当12α≤<时,由狄利克雷判别法知 1 1 sin x dx x α ? 为条件收敛. (8)0ln x e xdx +∞ -?? 解: 0ln x e xdx +∞ -??1 01ln ln x x x x dx dx e e +∞=+? ? 由2ln lim 0x x x x e →+∞?=知,0ln x x dx e +∞?收敛, 又由1 2 ln lim 0x x x x e + →?=知,10ln x x dx e ?收敛, 由以上两个结果知, ln x e xdx +∞ -?? 收敛. 4. 计算下列瑕积分的值（其中n 为正整数） （1） dx x n ? 1 )(ln ； 解：当1n =时有[]1 1 10 ln lim ln lim 1xdx x x dx εε εε+ +→→=-=-?? 设1 1 (ln )lim (ln )n n n I x dx x dx ε ε+→= =? ? 当2n ≥时有 1 1 1 00lim (ln )lim (ln )n n n I x x n x dx εε εε++-→→??=-???1 10 (ln )n n x dx -=-?1n nI -=- ∴1 (ln )n n I x dx =?()1!n n =-? （2） dx x x n ? -1 1； 解：令2 sin x θ=,则2sin cos dx d θθθ=? 于是1 n n I = ? 2202sin sin n d π θθθ=?? 2221 20 2sin cos 2cos sin n n n d ππ θθθθθ-? ? =-?+?????? ? ? 22102sin 2n n d π θθ-??=?-???? ?()12n n n I I -=- 因此1221 n n n I I n -= +,而200sin 2I d πθθ==? 故()()2!!221!! n n I n =?+()()2 212!21!n n n +?= + 5.证明dx x J ? = 2 )ln(sin π 收敛，且2ln 2 π - =J （提示利用 220 ln(sin )ln(cos )x dx x dx ππ =? ?，并将它们相加） 证： 0)0x x →=,所以瑕积分20 ln(sin )J x dx π = ? 收敛. 为了求J ,考虑积分20 ln(cos )x dx π ? ，同理可证,此积分收敛. 令2 t x π = -，则有 220 00 ln(cos )lim ln(cos )x dx x dx π π ε ε+-→=? ?2 lim ln(sin )t dt π ε ε+→=? 20 sin tdt π=?J = ∴[]202ln(sin )ln(cos )J x x dx π=+?201 ln(sin 2)2 x dx π =??2200ln(sin 2)ln 2x dx dx ππ =-?? 2 l i m l n (s i n 2) l n 22 x d x π ε επ + →=-? (令2u x =)0 1lim ln(sin )ln 222 u du π ε επ + →=-? 01l n (s i n )l n 222 u du ππ =-?20211ln(sin )ln(sin )ln 2222 u du u du ππππ =+-?? 2 l n (s i n )l n 22 u d u π π = - ? l n 22 J π =- ln 22 J π ∴=- 其中, 02 2 ln(sin )lim ln(sin )u du u du ππε π π ε+-→=?? (令u V π=-) 2 lim ln(sin )V dV πε ε+→? 20 ln(sin )V dV π=? 6.利用上题结果证明： （1） 2ln 2 )ln(sin 2 πθθθπ - =? d 证：令x πθ=- 则 ln(sin )d π θθθ? ln(sin )ln(sin )x dx x x dx π π π=-??? ∴00 ln(sin )ln(sin )2d x dx π π π θθθ= ?? 2 2 ln(sin )ln(sin )22 x dx x dx π π ππ π = + ? ? 2 ln 2224 πππ??= -- ???2 ln 22π=- （2） 2ln 2cos 1sin 0 πθθ θ θπ =-? d 证: 0sin ln(1cos )1cos d d π πθθθθθθθ =--? ?00ln(1cos )ln(1cos )d ππ θθθθ=---? 2 ln 2ln(2sin )2 d π θ πθ=-?220 ln 2ln(2sin )2x dx π π=-?? (令2 x θ = ) 2 20 ln 22ln 24ln(sin )dx x dx ππ π=--??ln 2ln 24ln 22ππππ?? =--- ??? 2ln 2π= 总练习题 1.证明下列不等式： （1） 0,1 111 1 >+=+?? ∞+--p dx x x dx x x p p ； 证:令1 x t = 则 11 1100lim 11p p x x dx dx x x εε+--→=++??1 112011lim 11p t dt t t εε+-→?? ?????=?- ??? +?110lim 1p t dt t εε+-→=+? 1 1 p t dt t -+∞ =+? 11p x dx x -+∞=+? （2） 1 0,0111 p p x x dx dx p x x --+∞ +∞=<<++? ?； 证：由于01p <<从而可知等式两边的两个积分都收敛. 故 1 1110 01111 p p p x x x dx dx dx x x x ---+∞ +∞=++++? ?? 有(1)式结论有: 1 1 111 p p x x dx dx x x --+∞=++? ? 对右端第二个积分,令1 x t = ,则有 1 11 1lim 11p p A A x x dx dx x x --+∞ →∞=++? ?11lim 1p A A t dt t -→∞=+?101p t dt t -=+?101p x dx x -=+? ∴1 10 00111p p p x x x dx dx dx x x x ---+∞ +∞=++++? ??01 p x dx x -+∞=+? 2.证明下列不等式： （1 1 2 π << ?； 证： 1 10 2 π <=?? 又 11 = ? ? 10 >= ∴ 1 2 π << ? （2） 2 1111122x e dx e e +∞-??-<<+ ???? 证： 2 2 2 1 1 x x x e dx e dx e dx +∞ +∞ ---=+? ??2 10 1 1 12x dx x e dx e +∞ -<+?=+ ?? 又 2 2 2 1 1 x x x e dx e dx e dx +∞ +∞ ---=+? ??2 2 1 1 x x e dx x e dx -->>??? 2 10 12 x e -=-1112e ??=- ??? ∴20111 1122x e dx e e +∞-??-<<+ ???? 3.计算下列反常积分的值： （1） ? +∞ ->0 )0(cos a bxdx e ax 解： cos lim cos A ax ax A e bxdx e bxdx +∞ --→+∞=? ? ()0 22lim sin cos ax A A e b bx a bx a b -→+∞=-+ 22 a a b = + （2） ? +∞ ->0 )0(sin a bxdx e ax 解： sin lim sin A ax ax A e bxdx e bxdx +∞ --→+∞=? ? ()0 22lim sin cos ax A A e a bx b bx a b -→+∞=--+ 22 b a b = + （3） ? +∞ +0 2 1ln dx x x 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 《数学分析》第十一章 反常积分复习自测题 [1] -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d p a x x +∞?（0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01 d p x x +∞?（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11 d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）1 1 d (ln ) p x x x +∞? 。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 2 1d 1x x +∞+? ；（2）2 1 d 1x x +∞-∞+?；（3）10x ?；（4）11 x -? 。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积 分()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且 第11 章测验题（二）曲线积分与曲面积分的应用1.C 2.D 3.B 4.解：令 I = ()() 3,4 3,4 ∫?+?=∫+ (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy ()() 1,2 1,2 ?P ?y = 12xy? 3y 2 = ?Q ?x 因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,2)→B(3,2)→C(3,4)的折线计算I ∫?+?+∫?+? I =(6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy AB BC 在积分区域AB 上，y = 2，x :1 → 3，若化为对x 的定积分，则dy = 0 3 3 I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6x 4 8)dx (6x 2 3x 4) 0dx 1 =∫?+?=∫×?+∫×?×× 2 3 2 2 2 AB 1 1 3 =∫x dx x x (24 8) ? ?= 2 = [12 8 ]80 3 1 1 在积分区域BC 上，x = 3，y : 2 → 4 ，若化为对y 的定积分，则dx = 0 4 4 I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6y 3 y ) 0dy (6y 9 3y2 3)dy 2 =∫?+?=∫×?×+∫×?× 2 3 2 2 2 3 BC 2 2 4 4 =∫y y dy y y (54 ? 9 ) =?= [27 3 ]156 2 2 3 2 2 因此I =I1 +I = 80 +156 = 236 2 5.解：令 I = ()() 2,3 2,3 ∫++?=∫+ (x y)dx (x y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy ()() 1,1 1,1 ?P ?y = 1 = ?Q ?x 因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,1)→B(2,1)→C(2,3)的折线计算I 1 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=?? 第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有 4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求 10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是, 4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证： 第11章 曲线积分与曲面积分 一．曲线积分 1.对弧长的曲线积分 （第一类） )()(')(')](,)([,f βαβ α <ψ+ΦψΦ=?? dt t t t t f ds y x L ）（ 典型例题： (1)圆周10{ cos x sin ≤≤==t t a t a y 12222 2220 2 22 2)s i n '(c o s '()s i n c o s ()(x +=++=+ ?? n n n L a dt t a t a t a t ds a y ππ ） （2）线段:把线段表示出来 ds y x ? +L ） （ L 是（1，0）到（0,1）的直线段 原式= 2 1)11 =+-+?dx x x x （ 直线为：y=1-x (3)圆弧的整个边界（分段） ds L y ?+2 2x e 2)4 2(11)sin'()cos'(12 20 40 2 2 a 2 2-+ =++++? ?? +a e dx e dt t a t a e dx e a a y x a x π π （4）参数方程 （公式） （5）利用折线围成的封闭图形 （坐标分段）ds yz ?Γ 2 x A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2) AB: 0=? AB BC:0=? BC CD:90102y 130 23 2==++=?? y dy CD 9=++=∴ ? ? ??Γ CD BC AB 2.对坐标的曲线积分 （第二类） dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x L )(')](),([)(')](),([{),(),(P ψψΦ+ΦψΦ=+?? β α 典型例题 （1）圆周 10{c o s x s i n ≤≤==t t a t a y dx xy ?L 圆周 )0(y x 222 >=+-a a a ）（及x 轴在一 象限 逆时针{ {0 2acost a x asint y 1:,)10(x x y L L t ==+==≤≤： 320 2 1 2 0)'cos (sin )cos 1(a a dx dt t a a t a t a L L L π - =+++=+=??? ? 第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一） 一、考试要求 1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。 2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关 系。 4、掌握计算两类曲线积分的方法。 5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。 7、了解散度与旋度的概念，并会计算。 8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 二、内容提要 1、 三重积分的概念 ???Ω dV z y x f ),,( 2、两类曲线积分 1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义：f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)=→=?∑λξη0 1 ? (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即f x y ds f x y ds BA AB (,)(,)=?? 2) 可加性 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L (,)(,)(,)=+??? +2 1 12 2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义：P x y dx Q x y dy P x Q y L i i i i i i i n (,)(,)lim [(,)(,)]+=+→=?∑λξηξη0 1 ?? (2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L (,)(,)(,)(,)+=-+?? - 2) 可加性 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L L (,)(,)(,)(,)(,)(,)+=+++?? ?+1 12 2 注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系 第十一章反常积分 教学要点 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数 8学时 教学内容 §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法 与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 考核要求 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛 和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别 法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 §1 反常积分概念 一问题的提出 例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解设地球半径为，火箭质量为 地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为 设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系： 由此得 所以流完一桶水所需的时间应为 但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二反常积分的定义 1无穷限反常积分的定义， . 第十一章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 1. 选择题： (1) 对弧长的曲线积分的计算公式 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要 求 （C ） . （A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β (2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则? L ds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π12 2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)? +L ds y x )(，其中L 为 I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2 2 2 R y x =+； 解：I ） 111 ()()()()(1)13 222 L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds xdx y dy +=+++++=+++= ++=??????? II ） 22 ()(cos sin [sin cos ]2L x y ds R t R t R t t R π π+=+=-=?? (2)? L yds ，其中L 为x y 22 =上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧； 解： 2 2 23/21 1 [(1)]3 3 L yds y ===+=?? ? *(3) ? Γ +ds y x )(2 2，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ； )20(π≤≤t 解：1/2 222 222222 20 ()(sin cos )2x y ds a a t a t b dt a a π ππΓ +=++==??? *(4) ? +L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+； 解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则 ds θ=。 222224sin 8 L rd d ππ π π π π π π θθ θθθ====-=???? 第二节 对坐标的曲线积分 1．填空题 (1) 对坐标的曲线积分的计算公式 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{ 中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是 [(,)cos (,)cos ]L P x y dx Q x y ds αβ+? ，其中βα,为有向光滑曲 线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角. 2．选择题： (1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ） （A ）无关， （B ）有关； (2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ? - +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+-L dy y x Q dx y x P ),(),(， （B ） ? - +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+L dy y x Q dx y x P ),(),(. 第十一章 反常积分习题课 一 概念叙述 1．叙述()dx x f a ? +∞ 收敛的定义． 答： ()dx x f a ? +∞ 收敛? ()()lim +∞ →+∞=? ? u a a u f x dx f x dx 存在． ?()lim 0+∞ →+∞=?u u f x dx ． ?()()0,0,,εε+∞ ?>?>?>-?>?>?>当δ<<+a u a ， 有()()ε-，存在0M >，只要12,u u M >， 便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ，存在0δ>，只 要()12,,u u a a ∈+δ，总有 ()()()2 1 2 1 b b u u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε??? ． 二 疑难问题 1．试问 ? +∞ a dx x f )(收敛与0)(lim =+∞ →x f x 有无联系？ 答：首先，0)(lim =+∞ →x f x 肯定不是 ? +∞ a dx x f )(收敛的充分条件，例如01 lim =+∞→x x ，但 ? +∞ 11 dx x 发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是?+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如 ? +∞ 1 2 sin dx x ，?+∞ 1 2 cos dx x ，? +∞ 1 4sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得 （一）对弧长的曲线积分（第一类） （1）对光滑曲线弧() :,()() x t L t y t =?≤≤? =??αβψ (,)d [(),(L f x y s f t t t βα ?ψ=? ?； （2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ?=≤≤ (,)d (,()) b L a f x y s f x x x ?=? ?； （3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类） （1）对有向光滑弧() :() x t L y t φψ=??=?，:t αβ→， {}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d L P x y x Q x y y P t t t Q t t t t βα φψφφψψ+=+? ? ； （2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ?=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d b L a P x y x Q x y y P x x Q x x x x ???+=+? ? ； （格林公式） d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ?? ??+=- ???? ?????； (斯托克斯公式) R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑????????????++=-+-+- ? ? ????????????????? L dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R ∑ ? ??++=?????? ? （一）对面积的曲面积分（第一型） 计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈， (,,)d (,,(,d x y D f x y z S f x y z x y x y ∑ =?? ?? ； （2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d [(,),,yz D f x y z S f x y z y z ∑ =?? ??； （3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d [,(,),xz D f x y z S f x y x z z ∑ =?? ?? （二）对坐标的曲面积分（第二型） 计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则 (,,)d d (,, (,))d d x y D R x y z x y R x y z x y x y ∑ =±???? (上侧正，下侧负) 2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d d ((,), ,)d d y z D P x y z y z P x y z y z y z ∑ =±???? ； (前侧正，后侧负) 3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d d (,(,),z )d d z x D Q x y z z x Q x y x z z x ∑ =±?? ?? (右侧正，左侧负) 合一投影公式：(,)z z x y = ()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑????++=?-+?-+????? ????? （高斯公式） ()d d d d d d d d d P Q R P y z Q z x R x y x y z x y z ∑ Ω ???++=++????? ??? ò； ()( )cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z ∑Ω???α+β+γ++????????。 第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1 d p a x x +∞? （0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01d p x x +∞?（0a >） 。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）11 d (ln )p x x x +∞?。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 20 1d 1x x +∞+? ；（2）21d 1x x +∞-∞+?；（3）10x ?；（4）11 x -? 。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶 函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分 ()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分 ()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积分 ()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且 () ()()d ()()()()d a a f x g x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞''=-? ? ， 其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞ +∞+∞=。 第十一章曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于 x 轴对称, 1L 表示 L 在 x 轴上侧的部分,当 (y x f , 关于 y 是偶函数时, (=?L ds y x f , (?1 , L ds y x f C. (?-1 , 2L ds y x f D.ABC都不对 2、设 L 是以点 ((((1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1--D C B A 为顶点的正方形边界 , 则 +L y x ds = 24 D. 22 3、有物质沿曲线 L :(103 , 2, 3 2≤≤===t t z t y t x 分布,其线密度为, 2y =μ,则它 =m ++1 42dt t t t B.?++1 422dt t t t C.?++1 42dt t t D.?++1 42dt t t 4.求 , ?L xds 其中 L 为由 2, x y x y ==所围区域的整个边界解:( 2 2 155121241 1 1 + -= + +? ? xdx dy y y 5. , ds y L ?其中 L 为双纽线 0(( (222222>-=+a y x a y x 解:原积分 =(( 22sin 4sin 4420 2 2' 21 -==+=? ??a d a d r r r ds y L χπ π θθθθθ 6. ?+L ds y x , 22 其中 L 为 (022>=+a ax y x 原积分 =222 2cos 2a adt t a ==?π 7. , 2?L ds x 其中 L 为球面 2222a z y x =++与平面 0=-y x 的交线 解:将 y x =代入方程 2222a z y x =++得 2222a z x =+于是 L 的参数方程:t a z t a y t a x sin , sin 2 , cos 2 == = ,又 adt ds = 原积分 =? =π π20 3222 cos 2a adt t a 8、求均匀弧(0, sin , cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标3, 0 == =? ∞ -dt e M dt e ds t t , 52cos 10 数学分析(华东师大)第十一章反常积分 r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但 在 很多实 际 问题中往 往 需 要突 破这 些限制 , 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R ) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = m g R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ? 含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε- (,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε 第十一章 反常积分 一、单选题（每题2分） 1、广义积分 dx x x ? ∞ +-1 2 1 1=（ ） A 、0 B 、2π C 、4π D 、发散 2、广义积分 dx x x ? ∞+-+2 2 21 =（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散 3、广义积分?+-2 02 34x x dx =（ ） A 、3ln 1- B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ） A 、 ? ∞ +e dx x x ln B 、?∞+e x x dx ln C 、 ?∞ +e x x dx 2 )(ln D 、?∞+e x x dx 21)(ln 5、下列广义积分发散的是（ ） A 、 ?∞ -0 dx e x B 、 ? π 2cos x dx C 、?-20 2x dx D 、?∞+-0dx e x 6、下列积分中（ ）是收敛的 A 、?∞ +∞-xdx sin B 、?-2 22sin π πx dx C 、?∞+0dx e x D 、 ?-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ） A 、?-1 1sin x dx B 、?--1121x dx C 、?∞+-02 dx xe x D 、?∞+22)(ln x x dx 8、?=-1 01 2 1dx e x x （ ） A 、e 1 B 、11-e C 、e 1 - D 、∞ 9、已知 2sin 0 π =? ∞ +dx x x ，则=?∞+dx x x x 0cos sin （ ） A 、0 B 、4π C 、 2π D 、π 10、广义积分=+?∞ +∞-dx x 2 11 （ ） A 、0 B 、2π C 、2π - D 、π 11、下列积分中绝对收敛的是（ ） A 、 dx x x ? ∞ +1 2sin B 、dx x x ?∞+1sin C 、dx x ?∞+12sin D 、dx x x ?∞+14sin 12、已知广义积分 dx x ?∞+∞ -sin ，则下列答案中正确的是（ ） A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =?∞ +∞-dx x B 、 dx x ? ∞+∞-sin = () ()()[]0 cos cos cos =∞--∞+-=∞ -∞+-x C 、dx x ?∞+∞-sin =()0 cos cos lim sin lim =+-=? -+∞ →+∞ →b b xdx b b b b D 、 dx x ?∞+∞ -sin 发散 13、设广义积分 dx e kb ?∞ +-0 收敛，则k （ ） A 、0≥ B 、0> C 、0< D 、0= 答案：BCDCB DAABD ADB 二、判断题（每题2分） 1、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 cos λ条件收敛； （ ） 2、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 sin λ绝对收敛； （ ） m g R 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图习题反常积分的收敛判别法
《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
(答案)第11章章测题2(曲线积分与曲面积分的应用部分)
§_5_定积分习题与答案
第十一章曲线积分与曲面积分经典例题
含参量积分汇总
高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题
第十三讲 三重积分和线面积分
第十一章 反常积分
新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案
第十一章反常积分习题课教学总结
(完整版)常用公式--线面积分公式大全
数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
高等数学 习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
第11章反常积分答案
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
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