漳州一中2016级高一新生入学考试
数 学 模拟 试 题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A ．每2次必有1次正面向上
B ．可能有5次正面向上
C ．必有5次正面向上
D ．不可能有10次正面向上
2． 化简
2
21
11x x ÷--的结果是（ ） A ．21x - B ．321
x -
C ．
2
1
x + D ．2(1)x +
3． 已知函数5422
-+=x x y ，当23<≤-x 时，函数值y 的取值范围是（ ▲ ）
A ．13≤≤-y
B ．17≤≤-y
C ．117≤≤-y
D ．117<≤-y
4． 某工厂为了选拔1名车工参加直径为5㎜精密零件的加工技术比赛，随机抽取甲、乙两名车
工加工的5个零件，现测得的结果如下表，平均数依次为 甲x 、乙x ，方差依次为2
甲s 、2
乙s ，则下列关系中完全正确的是（ ▲ ）
A ．甲x ＜乙x ， 2甲s ＜2
乙s
B ．甲x ＝乙x ， 2甲s ＜2
乙s
C ．甲x ＝乙x ， 2甲s ＞2
乙s D ．甲x ＞乙x ， 2甲s ＞2
乙s
5． 若,a b 是方程2
220150x x +-=的两根，则23a a b ++=（ ▲ ） A ．2013
B ．2014
C ．2015
D ．2017
6． 如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，2AD =，D 是AB 边上的一个动点
（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E . 设AD x =，CE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系所对应的图象是（ ▲ ）
C
7． 如图，抛物线2
1(2)3y a x =+-与221
(3)12
y x =
-+交于点(13)A ，
，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论： ①无论x 取何值，2y 的值总是正数； ②1a =； ③当0x =时，214y y -=； ④23AB AC =；
其中正确的结论序号是（ ▲ ） A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
8． 已知AD 是△ABC 的高（在形内）. 给出下列四个条件：
①CD AC BD AB +=+； ②CD AC BD AB -=-； ③CD AC BD AB ?=?；
④CD AC BD AB ::=.
一定能得到AB =AC 的有（ ▲ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答题卷的相应位置. 9． 在12?的正方形网格格点上放三枚棋子，按右图所示的位置已放置了两枚棋
子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 ▲ .
10．如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六
边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 ▲ . 11．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位
同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报1
11??+ ???
，
第2位同学报112??+
???，第3位同学报113??
+ ???
，…，这样得到的20个数的积为 ▲ . 12．设3819-的整数部分为x ，小数部分为y ，则1
x y y
++= ▲ .（需要化至最简） 13．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法. 例如：⑴am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)
⑵2x -2y -y 2-1=)12(22++-y y x =2
2)1(+-y x =(1)(1)x y x y ++-- 试用上述方法分解因式：=++++222b bc ac ab a ▲ .
14．二次函数2
y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点,A B ，顶点为C . 若ACB ?恰是直角三
角形，则判别式的值是 ▲ .
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为
（9，0),tan BOA =
∠，点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为 ▲ . 16．设12,,
,n P P P 为平面内的n 个点，在该平面内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距
离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都
是端点,A B 的中位点．则有下列命题：
①若,,A B C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．
.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.
17．（本小题满分10分）
小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A （楼梯）、B （客厅）、C （走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率
是多少？请用树状图或列表加以说明．
18．（本小题满分10分）
已知关于x 的一元二次方程2210x x k -+-=．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围； （2）已知x =3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k 的值；
（3）当Rt △ABC 的斜边长c ，且两条直角边a 和b 恰好是这个方程的两个根时，求
Rt △ABC 的面积．
19．（本小题满分10分）
（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在
2∶00~2∶15之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关．．．．．
系．
的方法： ①恰当选取变量x 和y ．小明设2点钟之后经过x min （0≤x ≤15），时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图1）所成的角的度数为y 1°、y 2°； ②确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图2；
③根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题．
请你按照小明的思路解决这个问题．
（2）请运用建立函数关系．．．．．．
的方法解决问题：钟面上，如果把
时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在7∶30~8∶00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？
20．（本小题满分10分）
观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2
图1 图2
是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的 接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研
究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得OH =
4分米，PQ = 3分米，
OP = 2分米． 解决问题
（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；
点Q 与点O 间的最大距离是 分米； 点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．
（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位
置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l
的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米； ②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
21．（本小题满分15分）
在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE ＝
l
图14-3
l
Q
图14-2
1
2
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BF
PE
= ，并结合图②证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，
求BF
PE
的值．（用含α的式子表示）
22．（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线23
2
y ax x c =++（0a ≠）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线3
2
x =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，
当线段CM =CH 时，求点M 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形
与△ABC 相似漳州一中学
2015级高一入学考试
数学试题参考答案及评分标准（2015.8.23）
1 2 3 4 5 6 7 B C D C A B D 9 10 11 12 13 14 15
34
8 21 6
))(c b a b a +++（
4
67
17．（本小题满分10分） 【解析】
（1）小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：13
··········································· 3分 （2）画树状图得：
·················································································· 7分
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：62=3
1
． ····················································· 10分
18．（本小题满分10分） 【解析】
（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴B 2﹣4AC=4-4（k-1）＞0，解得k ＜2． ·············· 3分
（2）当x=3时，得k=-2，解x 2
-2x-3=0得x=3或-1，所以方程的另一个根为x=-1，k=-2． ·· 6分
（3）根据勾股定理得：A 2+B 2=C 2
=3;因为两条直角边A 和B 恰好是这个方程的两个根， 则A+B=2，因为（A+B ）2-2AB=A 2+B 2=3，所以2AB=1，△ABC 的面积为1
4
． ··············· 10分 19．（本小题满分10分） 【解析】
（1）时针：y1＝60＋1
2 x． ··················································································· 1分
分针：y2＝6x．······························································································ 2分
60＋1
2
x＝6x，解得x＝
120
11
．·········································································· 4分
所以在2∶00~2∶15之间，时针与分针重合的时刻是2∶1010
11
．····························· 5分
（注：写2∶120
11
也可．）
（2）方法不惟一．
评分要点：
正确建立函数关系． ····························································································· 8分
求出时针与分针垂直的时刻是7∶546
11
． ································································10分
（注：没有建立函数关系而直接利用方程求出时针与分针垂直的时刻是7∶546
11
只得2分．）
20．（本小题满分10分）
【解析】（1）4 5 6；··················································································· 3分（2）不对． ····························································································· 4分∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，
∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切． ············································· 5分（3）①3； ····························································································· 6分
②由①知，在⊙O上存在点P，P'到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，
如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．
连结P'P，交OH于点D．
∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ =P'3
Q'=，
∴四边形PQ Q'P'是矩形．∴OH⊥P P'，PD =P'D．
由OP = 2，OD = OH-HD = 1，得∠DOP = 60°．
∴∠PO P' = 120°．
∴所求最大圆心角的度数为120°．························10分
21．（本小题满分15分）
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP ，∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。 ······································· 4分
（2）BF1
PE2
=。 ··································································································· 5分证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB。
l
图3
∴NB=NP 。
∵∠MBN=900—∠BMN ， ∠NPE=900—∠BMN ，∴∠MBN=∠NPE 。 ∴△BMN ≌△PEN （ASA ）。∴BM=PE 。
∵∠BPE=
1
2
∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF 。 ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900。
又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）。∴BF=MF ，即BF=1
2
BM 。 ∴BF=
12PE ， 即BF 1PE 2
=。 ··································································· 9分 （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。
由（2）同理可得BF=1
2BM ， ∠MBN=∠EPN 。
∵∠BNM=∠PNE=900
，∴△BMN ∽△PEN 。 ∴BM BN PE PN
=。 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF
=tan PE
α。
∴BF 1=tan PE 2
α。 ························································································ 15分 22．（本小题满分15分） 【解析】
（1）∵322b x a =-
=，32b =，∴12a =-，
把A （4，0），12a =-代入232y ax x c =++，可得213
()44022c -?+?+=，解得c=2，
则抛物线解析式为213
222
y x x =-++； ·································································· 3分
（2）如图1，连接CM ，过C 点作CE ⊥MH 于点E ，
∵213
222
y x x =-
++，∴当x=0时，y=2，∴C 点的坐标是（0，2）
， 设直线AC 解析式为y kx b =+（0k ≠），
把A （4，0）、C （0，2）代入y kx b =+，可得402k b b +=??=?，解得：122
k b ?
=-?
??=?，
∴直线AC 解析式为1
22
y x =-+， ········································································ 5分
∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，
∴设点M 的坐标为（m ，213222m m -++）
，H （m ，1
22
m -+）， ∴MH=21312(2)222m m m -++--+=21
22
m m -+， ··············································· 6分
∵CM=CH ，OC=GE=2，
∴MH=2EH=1
2[2(2)]2
m m ?--+=， ·
·································································· 7分 又∵MH=2
122
m m -+， ∴2
122
m m m -
+=，即m （m ﹣2）=0，解得m=2或m=0（不符合题意，舍去）
， ··········· 8分 ∴m=2，当m=2时，213
222322
y =-?+?+=，
∴点M 的坐标为（2，3）； ···················································································· 9分
（3）存在点P ，使以P ，N ，G 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由为： ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A （4，0），A 、B 两点关于直线3
2
x =成轴对称， ∴B （﹣1，0），
∵
AB=5， ∴22AC BC +
=22
25+=，22525AB ==，
∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形， ∴∠ACB=90°，线段MG 绕G 点旋转过程中，与抛物线交于点N ，当NP ⊥x 轴时，∠NPG=90°，设P 点坐标为（n ，0），则N 点坐标为（n ，213
222
n n -++）
， ··································· 11分 ①如图2，当
11
1N P PG AC CB
=时，∵∠N 1P 1G=∠ACB=90°
，∴△N 1P 1G ∽△ACB ，
213
2
n n -++=13n =，24n =-（不符合题意，舍去），
当n=3时，213
332222
y =-?+?+=，∴P 的坐标为（3，0）； ·································· 13分
②当222N P P G
BC CA
=时，
∵∠N 2P 2G=∠BCA=90°， ∴△N 2P 2G ∽△BCA ，
213
2
n n -++=
11n =
21n =（不符合题意，舍去），
当1n =+
213
(1(1222
y =-?++?++
∴P
的坐标为（10）．
又∵点P 在线段GA 上，∴点P 的纵坐标是0，
∴存在点P ，当P 的坐标为（3，0
）或（10），使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似． ·············································································································· 15分
？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．