各地解析分类汇编（二）系列: 立体几何2
1.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的
表面积为 ．
【答案】75+
【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，
，底面梯形的上底为4，下底为5，腰CD =
=所以梯形
的面积为(45)327
22
S +?=
=
，梯形的周长为34512++=，所以四个侧面积
为12)448+?=，所以该几何体的表面积为27
482752
+?=+。
2.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.
【答案】【解析】取AC 的中点，连结BE,DE 由主视图可知,BE AC BE DE ⊥⊥.DC ABC ⊥且
4,2DC BE AE EC ====.所以4BC ==，
即BD ====。
3.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】如右图, 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若
AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且
AB AC =，2AD =，则A 、D 两点间的球面距
离 ．
【答案】
23
π 【解析】因为AB 、AC 、AD 两两互相垂直，所以分别以AB 、AC 、AD 为棱构造一个长方体，在
长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径24R ===，所以球
半径为2R =,在正三角形AOD 中，3
AOD π
∠=
，所以A 、D 两点间的球面距离为
23
3
R π
π
=
. 4.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2
．
【答案】62)π+
【解析】由三视图可知，该几何体试题是半个圆锥，如图
底面
半径为2，圆锥的高为3.=所以底面积为21
222
ππ?=，三角形1
4362
VAB S ?=
??=,圆锥的底面弧长为2π，圆锥的侧面积为1
22
π?=，所以圆锥的表面积为626(2ππ++=+。 5.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3
.
【答案】
32
【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所
以梯形面积为
1(12)322
?+=，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为3
2。
6.【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 . 【答案】2π
【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所
以
22
,2
R R ==,则球的表面积为
21
4422
S R πππ==?
=.
7.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】正三棱柱111C B A ABC -内接于半径为1的
球，则当该棱柱体积最大时，高=h 。 【答案】
3
3
2 【解析】根据对称性可知，球心O 位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的
底面边长为x ，
则2,'3AB x AB x ===，
所以'OB ==
所以高2'h OB ==2
103
x -
≥得23x ≤，即正三棱柱底面边长x
的取值范围是0x <≤。三棱柱的体积
为
212V x ==
=222
222222314663(1)36(1)36()366333
x x x x x x x x x ++-
-=??-≤?= ,
即体积42233V =≤= ,当且仅当22163
x x =-，即22x =时取等
号，此时高h ====。
8.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】（本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形， ,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ^； （Ⅲ）
若,AB =
在线段EO 上是否存在点G ，使C G B D E
平面^？若存在，求出
EG
EO
的值，若不存在，请说明理由．
O
F
E
D
C
B
A
【答案】解：（I ）连接OF .
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点.
又F 为BE 的中点，
G A
B
C D
E
F
O
所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DE
ACF 平面平面趟
所以DE ∥平面ACF ………….4分
y
x
(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^
由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^
又=,,AC EC C AC EC ACE 平面，翘
所以,BD ACE 平面^………………………………..8分
又AE ACE 平面，ì
所以BD AE ^…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -
中，,2
AB CO AB CE =
=
=， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?
因为,CG EO CG ACE 平面，^
所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.
由G 为EO 中点，得1
.2
EG EO =…………………………………………… 14分 解法二：
由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -
由已知,AB =
设(0)CE a a =>，
则
(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a
(,,0),,,0),(0,,),(,,).
22
22
O a a BD BE a EO a a a uu u r uur
uu u r =-=-
=-
设G 为线段EO 上一点，且
(01)EG
EO
λλ=<<，则(,,),22EG EO a a a λλλλuu u r uu u r ==-
(,,(1)),22
CG CE EO a a a λλuu u r uur uu u r =+=-…………………………..12分
由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uu u r uu u r ，CG BE ^uu u r uur
. 所以，221
(1)0,0,12
a a λλλ解得，（）
-+-==
， 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且
1
.2
EG EO =…………………… 14分 9.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】（本小题满分14分）
在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，点E 在棱CD 上，且1
3
CE=CD ． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角11A-B E-A 的余弦值为
6
AB 的长．
【答案】证明：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A B C D 中，
因为11A B ⊥面11A D DA ，
所以111A B AD ⊥． ……………………2分 在矩形11A D DA 中，因为12AA =AD=， 所以11AD A D ⊥．
所以1AD ⊥面11A B D ． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）如图，在长方体1111ABCD-A B C D 中，以1D 为原点建立空间直角坐标系1D xyz -． 依
题
意
可
知
，
11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)
D A D ，(2,0,2)A ，
设AB 的长为x ，则11(0,,0),(2,,0)C x B x ，
2
(0,,2),(0,,2)3
C x E x ．
假设在棱1AA 上存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ．
设点P (2,0,)y ，则(2,0,-2)DP y =
， (0,0,-2)AP y =
．
易知112
(-2,-,2),(-2,,0)33
B E=x AE x = ．
设平面1B AE 的一个法向量为(,,)a b c =n ，
则100
B E =AE =???????
n n ，即1-2-203
2-2+03a xb c =a xb =?+??????．………………………………………………7分 令3b =得，3,2a x c x ==
，所以3
(,3,)2
x x =n ． 因为DP ∥平面1B AE ，等价于0DP ?=
n 且DP ?平面1B AE ．
得32+(-2)02
x y x ?
=，所以23y =．
所以4(0,0,-)3
AP = ，43AP = ，所以AP 的长为4
3．………………………………9分
（Ⅲ）因为CD ∥11A B ，且点E CD ∈，
所以平面11A B E 、平面11A B D 与面11A B CD 是同一个平面． 由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B D ，
所以1(2,0,2)D A =
是平面11A B E 的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面1B AE 的一个法向量为3
(,3,)2
x x =n ． 因为二面角11A-B E-A
的余弦值为
6
所以11cos 6D A AD θ?===? n n
，解得x =
故AB
的长为 …………………………………………………………14分 10.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】（本小题共14分）
如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=
，E 是AB 的中点， MA ⊥平面ABCD ，且
在矩形ADNM 中，2AD =
，AM =． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ； （Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ；
（Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.
【答案】解：（Ⅰ）连结BD ，则AC BD ⊥. 由已知DN ⊥平面ABCD ， 因为DN DB D = ，
所以AC ⊥平面NDB .……………………2分 又因为BN ?平面NDB ，
所以AC BN ⊥.……………………4分 （Ⅱ）CM 与BN 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，
所以F 是BN 的中点. 因为E 是AB 的中点，
所以//AN EF .…………………………7分 又
EF ?
平面
MEC
，
AN ?平面
MEC
，
所以//AN 平面MEC . ……………………………………………………………9分
（Ⅲ）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D
，E , (0,2,0)C ，
A
B
C
D
E
N
M
1,
7
M-
.
2.0)
CE=-
，(0,1,
7
EM=-
.…………………………………………10分错误！未找到引用源。
设平面MEC的法向量为(,,)
x y z
=
n.
则
0,
0.
CE
EM
??=
?
?
?=
??
n
n
错误！未找到引用源。
所以
20,
0.
y
y z
-=
?
-=
?
?
错误！未找到引用源。
令2
x=.
所以
3
=
n.……………………………………………………………12分错误！未找到引用源。
又平面ADE的法向量(0,0,1)
=
m，错误！未找到引用源。
所以
1
cos,
2
?
<>==
m n
m n
m n
.错误！未找到引用源。
所以二面角M EC D
--的大小是60°. ………………………………………14分
11.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）理】（本小题满分14分）
如图，在三棱锥ABC
S-中，侧面SAC与底面ABC垂直，,E O分别是AC
SC,的中
，
90
=
∠
=
∠ACB
ASC.
（1）求证：OE//平面SAB；
（2）若点F 在线段BC 上，问：无论F 在BC 的何处，是否都有SF OE ⊥？请证明你的结论；
（3）求二面角C AS B --的平面角的余弦值. 【答案】．解：（1） E O ，分别是AC SC ,的中点 ∴OE //SA 又?OE 平面SAB
∴OE //平面SAB …………………………3分
(2) 在SAC ?中，OE //AS , 90=∠ASC ∴SC OE ⊥
平面⊥SAC 平面ABC ， 90=∠BCA
∴⊥BC 平面ASC ，?OE 平面ASC ∴OE BC ⊥ ∴⊥OE 平面BSC ?SF 平面BSC ∴SF OE ⊥
所以无论F 在BC 的何处，都有SF OE ⊥ ………………………8分 (3) 由（2）⊥BC 平面ASC
∴BC AS ⊥
又 90=∠ASC
∴AS SC ⊥ ∴⊥AS 平面BCS
∴SB AS ⊥
∴BSC ∠是二面角C AS B --的平面角
在Rt BCS ?中
所以二面角C AS B --的平面角的余弦值为…………………14分 法二：
（2） O 是AC 的中点，SC SA =∴ AC SO ⊥ 又 平面⊥SAC 平面ABC
∴SO ⊥平面ABC
同理可得⊥BC 平面ASC
在平面ABC 内，过O 作AC OM ⊥ 以O 为原点，OS OC OM ,,所在直线为x,,y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,0(O )0,1,0(-A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)1,0,0(S ，
)1,1,0(=AS ，)0,2,1(=AB ，
BC F ∈，设)0,1,(x F ，则)1,1,(-=x SF ，0=?OE SF 恒成立，所以无论F 在BC 的何处，都有SF OE ⊥
（3）由（2）知平面ASC 的法向量为BC
= (1,0,0)-
设平面SAB 的法向量为(,,)n x y z =
则0=?AS n ，0=?AB n 即??
?=+=+0
20
y x z y 令1=y ，则2-=x ，1-=
z
)1,1,2(--=n
所以二面角C AS B --的平面角的余弦值为
………………………14分 12.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，
PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小.
【答案】解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点， ∴DE//BC ．
DE ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，
∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，
∴ PD ⊥ AB ． …………………………….5分
//DE BC ，BC ⊥ AB ， ∴
DE ⊥
AB ． .... ......................................................................
.................................6分 又 PD DE D = ， ∴
AB ⊥平面
PDE ．............................. ...........................................8分
PE ?平面PDE ，
∴AB ⊥PE ． ....................... ...........................................
......................9分
（Ⅲ） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ， ∴
PD
⊥平面
ABC ．.................... ..........................................................10分
如图,以D 为原点建立空间直角坐标系
∴B (1,0,0)，P (0,0,3)，E(0,
3
2,0) , ∴PB
=(1,0, )，PE =(0, 3
2
, ．
设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =
，
∴0,
3
0,2
x y ?=??=??
令z =
得
1n =
． ............................11分
DE ⊥平面PAB ， ∴
平
面
PAB
的
法
向
量
为
2(0,1,0)n =
．………………….......................................12分
设二面角的A PB E --大小为θ，
由图知，121212||1
cos cos ,2n n n n n n θ?=<>==
?
，
所
以
60θ=?即
二面角
的
A P
B E
--大小为
60?． ..........................................14分
13.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ?的中位线， 所以1//EO A B
………………2分
又EO ?平面1AEC ，1A B ?平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC
………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E
设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--
， 因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ?= ，解得1m =，所以1AM = ……8分
（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==
，
设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =
， 则有1
00AE n AC n ??=???=?? ，得00x y y z +=??+=?，
令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-
， …………10分
因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC =
…11分
所以cos ,||||
AC n AC n AC n ?<>==
…13分
平面1AEC 与平面1ABB A 1
…………14分 14.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理】（本小题共13分）如图所示，正
方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。 （Ⅰ）求证：DE A BD 11//平面 (Ⅱ) 求证：D A E D 11⊥
（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为
6
π
？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
D 1
E
B
D
C
A
A 1
【答案】（Ⅰ）的中点是为正方形，四边形111AD O A ADD , 点E 为AB 的中点,连接OE 。
∴1ABD EO ?为的中位线 EO ∴//1BD ……2分
又DE A OE DE A BD 111,平面平面??
∴DE A BD 11//平面 ……4分
（II ） 正方形11A ADD 中,11AD D A ⊥
由已知可得：11A A DD AB 平面⊥，111A ADD D A 平面? …….6分
D A AB 1⊥∴,A AD AB =?1 …….7分
E AD E D DE,A 1111平面平面?⊥∴D A
E
D D A 11⊥∴
…….8分
（Ⅲ）由题意可得：ABCD D D 平面⊥1,以点D 为原点，DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的
空
间
直
角
坐
标
系
，
则
)1,0,0(),1,0,1(),0,2,0(),0,0,0(11D A C D ，
………9分 设)20)(0,,1(00≤≤y y M
)1,2,0(),0,2,1(10-=--=C D y MC ……10分
设平面MC D 1的法向量为),,(1z y x n =
则?????=?=?0
0111D n n 得 ?
?
?=-=-+-020
)2(0z y y y x ……11分
取)2,1,2(,101y n y -==则是平面MC D 1的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为
)1,0,0(2=n ……12分
要使二面角D MC D --1的大小为6
π
而23
2
1)2(2|||||||,cos |6
cos
2220212121=++-=??=
><=y n n n n n n π
解得：)20(3
3
200≤≤-
=y y 当AM =332-
时，二面角D MC D --1的大小为6
π
13分
x
B
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F （1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 专题01 直线运动 【2018高考真题】 1．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能（） A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷） 【答案】 B 2．如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题 【答案】 C 【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为：,总时间为：,故C正确,A、B、D错误；故选C。 【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3．（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是（） A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大 【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷） 【答案】 BD 点睛：本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题 4．（多选）地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷） 为2∶1,选项C正确；加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0；第次提升过 程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0；两次做功相同,选项D错误。 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积． 5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． 2020年高考试题分类汇编（集合） 考法1交集 1.（2020·上海卷）已知集合{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，求A B = . 2.（2020·浙江卷）已知集合{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，则P Q = A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 3.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2} 4.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{3,}A x x x Z =<∈，{1,}A x x x Z =>∈，则A B = A ．? B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知集合{(,),,}A x y x y N y x *=∈≥， {(,)8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 8.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设集合2{40}A x x =-≤，{20}B x x a =+≤，且 {21}A B x x =-≤≤，则a = A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 考法2并集 1.（2020·海南卷）设集合{13}A x x =≤≤，{24}B x x =<<，则A B = 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 立体几何大题专练 1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点； (1)求证：MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点． 1)求证：EF // 平面PAB ； 2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求 证：平面PEF 平面PBC ． ABC 90 ， A P C F B （1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点， EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ????????5 分 （2）Q PA PC，E为AC的中点， PE AC ???????? 6 分 又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分 又因为F 为BC 的中点， EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 1)求证：BC1// 平面CA1D； 2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分 别是AB、PC的中点． (1) 求证：EF∥平面PAD； (2) 求证：EF⊥ CD； (3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小． 2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}. 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.立体几何练习题
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