2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数)4
2sin(3π
+=x y 的最小正周期为 ．
【答案】π
【解析】T ＝|2πω |＝|2π
2 |＝π．
2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5
【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝
＝5．
3．双曲线
19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 4
3±
= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 4
31692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3
【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：905
92
88919089=++++=
x ．
方差为：25
)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222
=-+-+-+-+-=
S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 【答案】
63
20
【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为
63
20
9754=??． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥
ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．
【答案】1：24
【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故
体积之比为1：8．
又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：
3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比
为1：24．
9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形
区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围
是 ． 【答案】[—2，12 ]
【解析】抛物线2
x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝1
2 ．
10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，AB AD 21=
，BC BE 3
2
=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】1
2
【解析】)(3
2
213221++=+=
+=
x
A
B C
1A
D
E F
1B
1C
AC AB AC AB 213
2
61λλ+=+-
= 所以，611-
=λ，3
2
2=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为
F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，
若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ． 【答案】
3
3
【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝c b 2
，
由等面
积得：1d ＝a bc
。若126d d =，则c
b 2＝
6a bc ，整理得：06622=--b ab a ，两边同除以：2
a ，得：0662
=+??
? ??-??? ??a b a b
，x
y
y ＝x
y ＝x 2—4P (5,5)
解之得：a b ＝36，所以，离心率为：331e 2
=??
?
??-=a b ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x
y 1
=
（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 【答案】1或10 【解析】
14．在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ． 【答案】12
【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则：?????
=+=
3
)1(2
15141q q a q a ，得：a 1＝1
32 ，q
＝2，a n ＝2
6－n
．记5
2121
2-=+++=n n n a a a T ，2
)1(212n
n n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则
2
)1(5
221
2n n n ->-，化简得：
52
11
212212+->-n n n
，当5211212+->
n n n 时，122
121
13≈+=n ．当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0． （1）若2||= -b a ，求证：b a ⊥； （2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)， |a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0， 所以，b a ⊥． （2）?? ?=+=+② 1 sin sin ①0 cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ． 所以，α－β＝ π32，α＝π3 2 ＋β， 带入②得：sin( π32＋β)＋sin β＝2 3cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以， 3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6 π ． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥． 证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ， 所以F 为SB 的中点． 又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ． 又AB ∩AC ＝A ，AB ?面SBC ，AC ?面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ， AF ?平面ASB ，AF ⊥SB ． 所以，AF ⊥平面SBC ． 又BC ?平面SBC ， 所以，AF ⊥BC ． 又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ． 又SA ?平面SAB ， 所以，SA BC ⊥． 17．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ． 设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围． 解：（1）联立：? ??-=-=421 x y x y ，得圆心为：C (3，2)． 设切线为：3+=kx y ， A B C S G F E d ＝ 11|233|2 ==+-+r k k ，得：4 3 0-==k or k ． 故所求切线为：34 3 +-==x y or y ． （2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：2 2222)3(y x y x +=-+， 化简得：4)1(22=++y x ， 即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ． 解之得：0≤a ≤12 5 ． 18．（本小题满分16分） 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行 到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两 位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的 速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，5 3 cos =C ． （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ， 设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ． （2）设乙出发x 分钟后到达点M ， 此时甲到达N 点，如图所示． 则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)， 由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2－14000 x ＋10000， 其中0≤x ≤8，当x ＝35 37 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝126 5 (min)． 若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：86 5 (min) ． 此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝1250 43 m/min ． 若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：56 5 (min) ． C B A D M N 此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝625 14 m/min ． 故乙步行的速度应控制在[125043 ，625 14 ]范围内． 19．（本小题满分16分） 设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记c n nS b n n += 2， *N n ∈，其中c 为实数． （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）； （2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ． 证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-= ，2 2)1(a d n b n +-=． 当421b b b ，，成等比数列，412 2b b b =， 即：??? ? ?+=??? ??+2322 d a a d a ，得：ad d 22 =，又0≠d ，故a d 2=． 由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=． 故：k nk S n S 2=（* ,N n k ∈）． （2）c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22 222)1(， c n a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2 222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=2 22)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：022)1(2 =++-c n a d n c ，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c ． 经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列． 20．（本小题满分16分） 设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数． （1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）a x x f -= '1)(≤0在),1(+∞上恒成立，则a ≥x 1 ， )1(∞+∈，x ． 故：a ≥1． a x g x -='e )(， 若1≤a ≤e ，则a x g x -='e )(≥0在),1(+∞上恒成立， 此时，ax e x g x -=)(在),1(+∞上是单调增函数，无最小值，不合； 若a ＞e ，则ax e x g x -=)(在)ln 1(a ，上是单调减函数，在)(ln ∞+，a 上是单调增函数，)ln ()(min a g x g =，满足． 故a 的取值范围为：a ＞e ． （2）a x g x -='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立，则a ≤e x ， 故：a ≤1 e ． )0(11)(>-=-= 'x x ax a x x f ． (ⅰ)若0＜a ≤1e ，令)(x f '＞0得增区间为(0，1 a )； 令)(x f '＜0得减区间为(1 a ，﹢∞)． 当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹣∞； 当x ＝1a 时，f (1a )＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝1 e 时取等号． 故：当a ＝1e 时， f (x )有1个零点；当0＜a ＜1 e 时， f (x )有2个零点． (ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝﹣ln x ，易得f (x )有1个零点． (ⅲ)若a ＜0，则01 )(>-= 'a x x f 在)0(∞+，上恒成立， 即：ax x x f -=ln )(在)0(∞+，上是单调增函数， 当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹢∞． 此时，f (x )有1个零点． 综上所述：当a ＝1e 或a ＜0时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1 e 时， f (x )有2个零点．
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