《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波
7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成
j()
e
n r t m βω?-=e E E 。
解 E m 为常矢量。在直角坐标中
co s co s co s n x y z x y z x y z
αβγ=++=++e e e e r e e e
故
(co s co s co s )()
co s co s co s n x y z x y z x y z x y z αβγαβγ
?=++?++=++e r e e e e e e
则
j()[(co s co s co s )]
2
2
2
2
2
[(co s co s co s )]
2
e
()()n r t j x y z t m m x x y y z z
j x y z t m e
j e
j βωβαβγωβαβγωββ?-++-++-==?=?+?+?==e E E E E e E e E e E E E
而
2
2j[(co s co s co s )]
2
22
{e
}x y z t m t
t
βαβγωω++-??
=
=-??E E E
故
2
2
2
2
2
2
()(0
j j t
με
βμεωω
μεω??-=+=+=?E E E E E E
可见，已知的
()
n j e r t m e
βω?-=E E 满足波动方程
2
2
20
t
με
??-=?E E
故E 表示沿e n 方向传播的平面波。
7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为
12
()j z
x x y y E jE e
β-=+=+E e e E E
式中取
121[()()]21[()()]2
j z
x x y y x y j z
x x y y x y E E j E E e E E j E E e
ββ--=+++=
---E e e E e e
显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3 在自由空间中，已知电场
3
(,)10s i n ()V /m
y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度
(,)
z t H 。
解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
3
(,)10co s()V /m
2
y z t t z π
ωβ=--
E e
这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90?
-。与之相伴的磁场为
3
03
1
1
(,)(,)10cos 210
cos 265sin()A /m 1202z z y x
x z t z t t z t z t z πωβηηπωβωβπ??=
?=?-- ??
??
?=---=-?- ???H e E e e e e
7.4 均匀平面波的磁场强度H
的振幅为1
A /m
3π
，以相位常数30rad/m 在空气中沿z
-e 方向传播。当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e
，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频
率和波长。
解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
1co s()A /m
3y
t z ωβπ
=-+H e
与之相伴的电场为
01[()]120[co s()()]
340co s()V /m
z y
z x t z t z ηπωβπ
ωβ=?-=-+?-=+E H e e e e
由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为
8
9
9
9
20.21m
310H z 1.4310H z
0.21
22 1.4310rad /s 910rad /s p
v c
f f πλβ
λ
λ
ωππ==?=
=
=
=?==??=?
则磁场和电场分别为
9
9
1co s(91030)A /m
340co s(91030)/m
y
x t z t z V π
=-?+=?+H e E e
7.5 一个在空气中沿
y
e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为
6
π410
co s(10π)A /m
4
z t y β-7
=?-+
H e
（1）求β和在3m s
t
=时，
z
H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。
解（1
）
7
8
1π10πrad /m rad /m 0.105rad /m
310
30
βω
==?
==?
在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求
7
3
10310
,0,1,2,30
4
2
y n n π
π
π
ππ-??-
+
=
±=
若取n =0，解得y =899992.m 。
考虑到波长
260m
π
λβ
=
=，故
299990.752999922.5
2
2
2
y λ
λ
λ
=?
+?
=?
+
因此，t =3ms 时，H z =0的位置为
22.5m
2
y n
λ
=±
（2）电场的瞬时表示式为
67
3
7
()410co s(10)12041.50810
co s(100.105)V /m
4
y z y x t y t y ηππβππ
π--=???=?-+??????
=-?-+
E H e e e e
7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。设1
r
μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。
解 在自由空间，波的相速
8
0310m /s
p v c ==?，故波的频率为
8
9
310H z =1.510H z
0.2
p v f λ?=
=
?
在理想介质中，波长0.09m
λ=，故波的相速为
9
8
1.5100.09 1.3510m /s
p v f λ==??=?
而
p v =
=
=
故
2
2
8
8310 4.941.3510r p c v ε?????=== ? ? ??????
7.7 海水的电导率4S /m γ=，相对介电常数81
r ε=。求频率为10kHz 、100kHz 、1MHz 、
10MHz 、100MHz 、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解 先判定海水在各频率下的属性
8
48.810
2281r f f f
γγωε
πεεπε?=
=
=
?
可见，当
7
10H z
f ≤时，满足1
γ
ωε>>，海水可视为良导体。此时
(1c j αβη≈≈
≈+f =10kHz 时
0.1260.396N p /m
2215.87m
0.126(10.099(1)c j j αππ
πλβ
π
η====
=
==+=+Ω
f =100kHz 时
1.26N p /m
225m
1.26(10.314(1)c j j αππ
πλβ
π
η===
=
==+=+Ω
f =1MHz 时
3.96N p /m
22 1.587m
3.96(10.99(1)c j j απ
πλβ
π
η===
===+=+Ω
f =10MHz 时
12.6N p /m
220.5m
12.6
(1 3.14(1)c j j απ
πλβ
η===
===+=+Ω
当f =100MHz 以上时，1
γ
ωε
>>不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，
022f
f
απβπη===
f =100MHz 时
41.8
37.57N p /m 42.1rad /m 20.149m 42
14.05j c e αβπ
λβ
η=====
=Ω
f =1GHz 时
20.8
69.12N p/m
203.58rad/m
2
0.03m
36.5j e
α
β
π
λ
β
η
=
=
==
==Ω
7.8求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。
证明在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时
αβ
≈≈
故场量的衰减因子为
2
20.002
z z
e e e e
π
λ
αβπ
λ
-?
---
===≈
即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。
2
()
20lg20lg20lg(2)20lg55d B
(0)
m
m
E z
e e e
E
αλππ
--
??
===-?≈-
??
??
7.9在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad/m
β=，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 1.81rad/m
β=。设1
r
μ=
，求理想电介质的rε和波在电介质中的传播速度。
解自由空间的相位常数
βω
=
，故
88
0.524310 1.57210rad/s
ω==??=?
在理想电介质中，相位常数
1.81rad/s
βω
==
，故
2
2
00
1.81
11.93
r
ε
ωμε
==
电介质中的波速则为
8
8
/s0.8710m/s
p
v=====?
7.10在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的||50V/m
=
E，||0.1A/m
=
H。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的rμ、r
ε
。
解自由空间中，波的相速
8
310m/s
p
v c
==?
，故波的频率为
8
09
2
00
310
2.510H z
1210
p
v c
f
λλ-
?
====?
?
在无损耗媒质中，波的相速为
928
2.510810210m/s
p
v fλ-
==???=?
故
8
210
=?
（1）无损耗媒质中的波阻抗为
||50
500
||0.1
η====Ω
Ε
H
（2）联解式（1）和式（2），得
1.99, 1.13
r r
με
==
7.11一个频率为f=3GHz，e y方向极化的均匀平面波在 2.5
r
ε=
，损耗正切
2
tan10
γ
δ
ωε
-
==
的非磁性媒质中沿()
e
x
+方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的
9
50s i n(610)V/m
3
y
t
π
π
=?+
E e
，写出H(x,t)的表示式。
解（1）
2
99
18
10
1
23 2.5
2310 2.510
36
r
f
γγγγ
ωεπεε
π
π
-
-
====
?
?????
故
2
2
3 2.510
0.41710S/m
18
γ
-
-
??
==?
而
2
101
γ
ωε
-
=>>
该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为
0.497N p/m
α≈==
由
1
2
x
eα-=
得
11
ln2ln2 1.395m
0.497
x
α
===
（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为
2
0.2860.0016
10
11238.44(10.005)
22
238.44238.44
c
j j
j j j
e eπ
γ
η
ωε
-?
?
≈+=+=+
?
?
??
==Ω
而相位常数
9
8
2
231031.6rad/m
310
f
βωπ
ππ
≈=
=???=
?
故波长和相速分别为
9
8
220.063m
31.62310 1.8910m /s
31.6p v π
πλβπ
ωπβ
π
=
=
=??=
=
=?
（3）在x =0处，
9
(0,)50sin (610)V /m
3
y t t π
π=?+
E e
故
0.4979
(,)50sin (61031.6)V /m
3x
y x t e
t x π
ππ-=?-+
E e
则
0.49731.60.00163
2
0.49731.60.00163
2
1()()||150238.44
0.21A /m
j x c j
j
x
j x
j x y j
j
x
j x
j z x x e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
?
ππππ
ππππ
η--------=
?=
?=H e Εe e e
故
0.4979
(,)R e[()]
0.21sin (61031.60.0016)A /m
3
j t
x
z x t x e
e
t x ωπ
πππ-==?-+
-H H e
7.12 有一线极化的均匀平面波在海水(80,1,4/r r S m
εμγ===)中沿+y 方向传播，
其磁场强度在y =0处为
10
0.1sin(10/3)A /m
H e x t ππ=-
（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H 的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出E (y ,t )和H (y ,t )的表示式。
解 （1）
10
10
9
44360.18
1080108010
γ
πωε
πεπ-?=
=
=???
可见，在角频率10
10ωπ=时，海水为一般有损耗媒质，故
10
10
0.028
0.028
1083.9N p/m
10300rad/m
42.15
41.82
1.008
c
j
j
e
e
π
π
αω
π
βω
ππ
η
-
=
==
=
=≈
==
==Ω
10
8
3
3
10
0.33310m/s
300
22
6.6710m
300
11
11.9210m
83.9
p
c
v
ωπ
βπ
ππ
λ
βπ
δ
α
-
-
===?
===?
===?
（2）由0.010.1y
eα-
=即0.1
y
eα-=得
3
11
ln10 2.303m27.410m
83.9
y
α
-
==?=?
（3）
83.910
(,)0.1sin(10300)A/m
3
y
x
y t e t y
π
ππ
-
=--
H e
其复数形式为
83.93003
()0.1A/m
j
y j y
x
y e e e
π
π
-
--
=
H e
故电场的复数表示式为
(300)
0.02883.932
(3000.028)
83.932
()()41.820.1
4.182 V/m
j y
j y
c y x y
j y
y
z
y y e e e
e e
ππ
π
π
ππ
ππ
η-++
-
-+-+
-
=?=???
=
E H e e e
e
则
83.910
(,)R e[()]
4.182sin(103000.028)V/m
3
j t
y
z
y t y e
e t y
ω
π
πππ
-
=
=--+
E E
e
7.13在自由空间（z<0）内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平面上。导体的电导率61.7M S/m
γ=，1
r
μ=
。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为1V/m；在分界面(z=0)处，E由下式给出
(0,)sin2
y
t ft
π
=
E e
对于z>0的区域，求2(,)
H z t。
解
6
9
6
61.710
704.410
2 1.510
γ
ωεπε
?
==?
??
可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故
4
4
4545
4454
1.9110N p/m
1.9110rad/m
4.3810(3.1 3.1)10
j j
c
j
e j
α
β
η
--
≈==?
≈=?
≈=
=?Ω=+?Ω
分界面上的透射系数为
445
645
2
4
210
2
22 4.3810
2.3210
(3.1 3.1)10377
j
j
c
c
e
e
j
η
η
τ
ηηηη
-
-
-
??
====?
++++
入射波电场的复数表示式可写为
02
1
()V/m
j
j z
y
z e e
π
β
-
-
=
E e
则z>0区域的透射波电场的复数形式为
44
2
2
645 1.9110 1.91102
()
2.3210V/m
j
z j z
y
j
j z j z
y
z e e e
e e e e
π
αβ
π
τ-
--
-
--?-?
=
=?
E e
e
与之相伴的磁场为
4
4
4
4
22
(1.911045)
6 1.91102
445
(1.9110)
2 1.91102
1
()()
1
2.3210
4.3810
0.5110A/m
z
c
j z
z
z y
j
j z
z
x
z z
e e
e
e e
π
π
η
-?-+
--?
-
-?+
--?
=?
=??
?
=-?
H e E
e e
e
则
4
22
2 1.911064
(,)R e[()]
0.5110sin(2 1.510 1.9110)A/m
j t
z
x
z t z e
e t z
ω
π
--?
=
=-???-?
H H
e
7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为
()j z
m x y
E j eβ
-
=+
E e e
求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？
解设媒质1为空气，其本征阻抗为0η；介质板的本征阻抗为2η。故分界面上的反射系数和透射系数分别为
20
20
2
20
2
ηη
ρ
ηη
η
τ
ηη
-
=
+
=
+
式中
20
ηη
===
都是实数，故,ρτ也是实数。
反射波的电场为
()j z
m x y
E j eβ
ρ
-=+
E e e
可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为
2
2
()j z
m x y
E j eβ
τ-
=+
E e e
式中，2
βωω
==
2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
7.15 均匀平面波的电场振幅
100V/m
j
m
E e
+=
，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的20202
,4,0
μμεεγ
===
），求反射波和透射波的电场振幅。
解
1
120π
η===Ω
2
60π
η===Ω
反射系数为
21
21
601201
601203
ηηππ
ρ
ηηππ
--
===-
++
透射系数为
2
21
22602
601203
ηπ
τ
ηηππ
?
===
++
故反射波的电场振幅为
100
||33.3V/m
3
m m
E E
ρ
-+
===
透射波的电场振幅为
2
2100
66.6V/m
3
m m
E E
τ+
?
===
7.16最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数0
2.8
εε
=，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？
解 天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为2η，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1η和3η。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x 分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
1()
1
111
1
1
j z d m z y
E e
βηη+
-++
+
=
?=H e E e
而媒质1中的反射波电场为
1()
11j z d x m E e
β+-
-
=E e
与之相伴的磁场为
1()
1
111
1
1
()j z d m x y
E e
βηη-
+-
-
=
-?=-H e E e
故媒质1中的总电场和总磁场分别为
1111
()
()11111()
()1
1
1111
1
j z d j z d x m x m j z d j z d m m y
y
E e
E e E E e
e ββββηη-+++
-
+
-
+
-
-+++-
?=+=+?
?=+=-?
?E E E e e H H H e e （1）
同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场
2222222212
2
2222
2
j z
j x m x m j z
j z m m y
y
e
E e E E e
e ββββηη-+
-
+
-
+
-
-+-
?=+=+??=+=-?
?E E E e E e H H H e e （2）
媒质3中只有透射波
33333
33
j z
x m j z m y
E e E e ββη-+
+-?=??=?
?E e H e （3）
在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅1
m E +
，而2
m E -
、2
m E +
、
2
m E -
和
3
m E +
为待求
量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。
在分界面②处，即z =0处，应有
2323,x x y y
E E H H ==。由式（2）和（3）得
2232
232
3
1
1()m m m m m m E E E E E E ηη+-
+
+
-+?+=?
?
-=?
? （4）
由式（4）可得出分界面②上的反射系数
23222
32
m m E E ηηρηη-
+-=
=
+ （5）
在分界面①处，即z =-d 处，应有
12x x
E E =，
12y y
H H =。由式（1）和（2）得
222222*********
1122212
2
()
1
1
()()()j d
j d
j d
j d
m m m m m j d
j d
j d
j d m m m m m E E E e E e
E e
e E E E E e
E e
e
e ββββββββρρηηη--+
-
+
-
+
+
--+
-
+
-
?+=+=+??-=
-=
-?
? （6）
将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得
11111
11
111
1
()
m m m m ef m m m m E E E E E E E E ηηη+
-
+-
+
-
+-
++=
=-- （7）
将式（6）代入式（7）得
222222
2j d j d ef j d
j d
e e e
e
ββββρηηρ--+=- （8） 将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得
3222
232tan tan ef j d j d
ηηβηηηηβ+=+ （9）
再由式（7）得分界面①上的反射系数
1111
1
ef m m ef E E ηηρηη-+
-=
=
+ （10）
显然，若分界面①上的等效波阻抗ef
η等于媒质1的本征阻抗1η，则1
ρ=，即分界面①上
无反射。
通常天线罩的内、外都是空气，即1
30
ηηη==，由式（9）得
02202
202tan tan j d j d
ηηβηηηηβ+=+
欲使上式成立，必须
2,1,2,3d n n βπ==
。故 2
2
2
n d n
λπ
β=
=
频率f 0=3GHz 时
809
3100.1m
310
λ?=
=?
则
0.1m 30m m
2 1.67
d λ=
=≈?
当频率偏移到f 1=3.1GHz 时，
9
22 3.110
108.6rad /m
βπ==??=
故
3
2tan tan(108.63010
)0.117
d β-=??=
而
2225.3η=
=
=Ω
故此时的等效波阻抗为
7.08
377225.30.117225.3
370.8736845.7225.33770.117
j ef j e
j j η-+?===-Ω
+?
反射系数为
1(18082.37)
11
36845.73770.0636845.7377
ef j ef j e
j ηηρηη+---=
=
=+-+
即频率偏移到3.1GHz 时，反射将增大6%。
同样的方法可计算出频率下偏到2 2.9G H z
f =时，反射将增加约5%。 [讨论]
（1）上述分析方法可推广到n 层媒质的情况，通常是把坐标原点O 选在最右侧的分界面上较为方便。
（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时
13
ηη≠）。
取
2
4d λ=
，则有
2
22
2tan tan (
)4
d λπ
βλ=?
=∞
由式（9）得
2
2
3
ef ηηη=
若取
2η=
1
ef ηη=
此时，分界面①上的反射系数为
111
ef ef ηηρηη-=
=+
即电磁波从媒质1入射到分界面①时，不产生反射。可见，厚度24
d λ=的介质板，当其
本征阻抗
2η=
时，有消除反射的作用。
7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度334
d λ=的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d 2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。
解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为
1η=
=
区域（2）为良导体，其波阻抗为
45
2j η?
=
区域（3）为理想介质，其波阻抗为
3η=
区域（4）为理想导体
4()
γ=∞，其波阻抗为
45
40
j η?
=
=
利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为
3
432
433333
33334334
3432tan()tan 42tan tan()
4
ef j j d j d j λπηηηηβληηηηλπηηβηηηλ++?+====∞
++?②
应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得
2222
222
tan h tan h ef ef ef d d ηηηηηη+Γ=+Γ②③② （1）
式中的2Γ是良导体中波的传播常数，22tan h d Γ为双曲正切函数。将ef η=∞
②代入式（1），得
2
22
tan h ef d ηη=
Γ③ （2）
由于良导体涂层很薄，满足
221
d Γ<<，故可取
2222
tan h d d Γ≈Γ，则式（2）变为
222
ef d ηη≈
Γ③ （3） 分界面③上的反射系数为
131
ef ef ηηρηη-=
+③③
可见，欲使区域（1）中无反射，必须使
10
ef ηηη==③
故由式（3）得
20
22
d ηη=Γ （4）
将良导体中的传播常数
45
2j ?
Γ=
和波阻抗
45
2j η?
=
代入式（4），得
3
22022
1
1
2.6510
377d γηγγ-?=
=
=
?
这样，只要取理想介质层的厚度334
d λ=，而良导体涂层的厚度3
22
2.6510
d γ
-=?，就可消除分界面③上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面
（即分界面①上产生全反射，则在离该表面34
λ处（即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d 2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。 7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。
解 自由空间的总电场为
11
11111111()
j z
j j z
j z
x m x m x m e
e
e
e
ββββρ--+
-
+
-
+
=+=+=+E E E e E e E e E
式中
11
m m ρ-
+=
E E
是分界面上的反射系数。
驻波比的定义为
m ax 11m in
11
1||1||
m m m m E E E S E E E ρρ+
-
+
-
++=
=
=
--
得
1|| 2.7
1||
ρρ+=-
据此求得
1.7||0.459
3.7
ρ=
=
因介质平面上是驻波最小点，故应取
0.459
ρ=-
反射系数
2020
0.459
ηηρηη-=
=-+
得 20.371377139.79η=?=Ω
则
12
020
2
64.310
7.26139.79
μεε-=
=?=
7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为2ε，在此媒质前置有厚度为d 、介电常数为1ε的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM
波，试证明当
1r ε=
且
d =
1时，没有反射（λ为自由空间的波长）。
10
η=
=
=
（1）
媒质2中的波阻抗为
210
η=
=
=
（2）
当
1r ε=时，由式（1）和（2）得
2
2
1020
1
r ηηηηηε=
=
= （3）
而分界面O 1处（即z
d
=-处）的等效波阻抗为
2111
121tan
tan ef j d j d
ηηβηηηηβ+=+
当d =
、即
1
4d λ=
时
2
1
2
ef ηηη=
（4）
分界面O 1处的反射系数为
00
ef ef ηηρηη-=
+
（5）
将式（3）和（4）代入式（5），则得
ρ=
即
1r d ε==
O 1上无反射。
1
4d λ=
的介质层称为匹配层。
7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为
100sin cos()V /m 0.265
sin cos()A /m
t r r t r r
θφ
θωβθωβ=-=-E e E e
试求穿过r=1 000m 的半球壳的平均功率。
解 将电场、磁场写成复数形式
100sin 0.265
sin j r
j r
r e
r r e
r βθβφ
θθ--()=()=E e H e
平均坡印廷矢量为
2
2
2
2
2
2
1R e[()*()]211000.265R e[sin sin ]
211000.265
sin sin W /m
13.25
W /m
2a v j r
j r
r
r r r e
e
r r
r
r
ββθφ
θθθθ-=
?=??==S E H e e e e
故穿过r=1000m 的半球壳的平均功率为
1d 2
a v a v
S
=
??P S
S
式中d S 为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是
2
d d sin d d r r r r θθφ
==S e S e
故
2
22
3
2
3
1
sin 13.25
sin d d 13.25sin d 2
1413.25(cos cos )
13.2555.5W
3
3
av r r P r r ππππ
θθθφπ
θθ
πθθπ=
?==-+=?
=???
e e
7.21 在自由空间中，
150sin()V /m
x
t z ωβ=-E e 。试求0
z
=平面内的边长为30mm
和15mm 长方形面积的总功率。
解 将已知的电场写成复数形式
(90)
()150j z x z e
β?
-+=E e
得与()z E 相伴的磁场
(90)
1
150()()377
j z z y
z z e
βη-+?=
?=H e E e
故平均坡印廷矢量为
(90)
(90)
2
1R e[()*()]21150R e[150]29.84W /m
2
377
av j z j z x y
z x z e
e
ββ?
?
-++=
?=?=S E H e e e 则穿过z=0平面上2
3015m m
S
=?的长方形面积的总功率为
3
3
3
29.843010
1510
W 13.4310
W
av av z P S ---=?=????=?S e
7.22 均匀平面波的电场强度为
100sin()200cos()V /m
x y t z t z ωβωβ=-+-E e e
（1）运用麦克斯韦方程求出H ：（2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域内的E 和H ；（3）求理想导体上的电流密度。
解 （1）将已知的电场写成复数形式
(90)
()100200j z j z
x y z e
e
ββ?
-+-=+E e e
由
0j ωμ??=-E H
得
0011()()0x y z x
y
z z j j x
y z E E ωμωμ???
??
????=-??=-
???????????e
e e H E
1()
y x x
y
E E j z
z
ωμ??=-
-+??e e
(90)
1[200()100()]
j z j z x y j e
j e
j ββββωμ?
--+=-
--+-e e
(90)
[200100]
j z
j z x y e
e
βββωμ?
--+=
-+e e
(90)
1
[200100]A /m
j z
j z x y e e
ββη?
--+=
-+e e
写成瞬时值表示式
(,)R e[()]
1
[200co s()100co s(90)]1
[200co s()100sin ()]A /m
j t
x y x y z t z e
t z t z t z t z ωωβωβηωβωβη?
==--+--=
--+-H H e e e e
（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为
(90)100200j z x j z
y E e E e
ββ?
-
--=-=-
即0z <区域内的反射波电场为
(90)
100200j z j z
x x y y x y E E e
e
ββ?
-
-
-
-=+=--E
e e e e
与之相伴的反射波磁场为
(90)
1
1
()(200100)
j z
j z z x y e
e
ββηη?
-
-
-=
-?=
-+H
e E e e
至此，即可求出0z <区域内的总电场
E 和总磁场H 。
(90)
(90)
90
90
100100100()200sin 200200400sin j z j z x x x j j z
j z
j j z
j z
y y y E E E e
e
e
e
e
j ze
E E E e
e j z
ββββββββ?
?
?
+
-
-+----+
-
-=+=-=-=-=+=-=-
故
90
200sin 400sin j x x y y x y E E j ze
j z
ββ?
-=+=--E e e e e
同样
1
1
1
200200400co s j z
j z
x
x
x
H
H
H
e
e
z
βββηηη+--=+=-
-
=-
(90)
(90)
90
1
[100100]
1
200cos j z j z y
y
y
j H
H H
e
e
e
z
ββηβη?
?
?
+--+--=+=+=
故
90
1
(400co s 200co s )
j x x
y y
x y H
H
z e
z ββη?
-=+=-+H e e e e
（3）理想导体平面上的电流密度为
90
1
(400co s 200co s )
j s z x y z z z e
z ββη?
-===?=-?-+J n H
e e e
90
0.53 1.06A /m
j x y e
?
-=+e e
7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平面前的自由空间中，合成波的驻波比为3，无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的1
6。试求介质的相对磁导率r μ和相对介电常数r ε。
解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为
m ax 11m in
11
1||3
1||
m m m m E E E S E E E ρρ+-
+
-
++=
=
=
=--
由此求出反射系数
1||2ρ=
设在介质平面上得到驻波最小点，故取
1
2ρ=-
。而反射系数为
2121
ηηρηη-=
+
式中的1
0120ηηπ==Ω
，则得
2020
12ηηηη--=
+ 求得
200
113
3
ηηη=
=即
得
19
r r
με=
（1）
又
06
λπ
λβ2=
=
=
=
=
得
36
r r με= （2）
联解式（1）和（2）得
2,
18
r r με==
7.24 均匀平面波的电场强度为
610j z
x e
+
-=E
e ，该波从空气垂直入射到有损耗媒质
22
( 2.5,0.5)
r γεδωε==
=损耗角正切t a n 的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求
反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。
解（1）根据已知条件求得如下参数。 在空气中（媒质1）
18
9
116rad /m
6310 1.810rad /s 377Ω
c βωβη=
==??=?=
=
=
在有损耗媒质中
22
29
29
213.3
tan 0.5
1.810
2.31N p /m
1.810
9.77rad /m
255218.9651.76j e j γδωεαω
βω
η?
=
===?===?==
=
==+Ω
分界面上的反射系数为
156.9
2121
218.9651.763770.278218.9651.76377
j j e
j ηηρηη?
-+-=
=
=+++
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？ 矢量场F穿出闭合曲面S的通量为： 当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。 当小于0时，小于 有汇集矢量线的源，称为负通量源。 当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。 1.8什么是散度定理?它的意义是什么？ 矢量分析中的一个重要定理： 称为散度定理。意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。 1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？ 矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿 的环流。 大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。
等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。 1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？ 在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系 这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面. 1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0,即F为无散场。 1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0即为无旋场 1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？ 不对。电力线可弯，但无旋。 1.14 无旋场与无散场的区别是什么？ 无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 第五章习题解答 5.1 真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。 解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场 02I r φ μπ=B e 穿过三角形回路面积的磁通为 d S ψ==?B S 0 00 2[d ]d d 2d d z d d I I z z x x x x μμππ= ? 由题5.1 图可知，()tan 6z x d π=-=，故得到 d d d x d x x ψ-== 0[)]22I b d μπ+ 5.2 通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所 示。计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。 解 将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。 由安培环路定律 d C I μ?=?B l ，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电 I 题 5.1 图 题5.2图
流产生的磁场为 0 2 0222 b b b b b b r b b r b r J r B J r μμ???? 电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为 2 0222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ?-??? 这里a r 和b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。 将a B 和b B 叠加，可得到空间各区域的磁场为 圆柱外：22 222b a b a b a r r B J r r μ??=?- ??? ()b r b > 圆柱内的空腔外：2 022b a a a r B J r r μ??=?- ?? ? (,)b a r b r a <> 空腔内： ()0022 b a B J r r J d μμ=?-=? ()a r a < 式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。 5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J 。 (1) 0,r ar H e B H μ== （圆柱坐标） (2) 0(),x y ay ax H e e B H μ=-+= (3) 0,x y ax ay H e e B H μ=-= (4) 0,ar H e B H φμ==（球坐标系） 解 根据恒定磁场的基本性质，满足0B ??=的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由J H =??求出源分布。 （1）在圆柱坐标中 211()()20r rB ar a r r r r B ????===≠?? 该矢量不是磁场的场矢量。 （2） ()()0ay ax x y B ?? ??= -+=?? 该矢量是磁场的矢量，其源分布为 20 x y z z a x y z a y a x e e e J H e ???=??==???- （3） ()()0ax ay x y B ?? ??=+-=??
五章习题解答 5.1 真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。 解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场 02I r φ μπ=B e 穿过三角形回路面积的磁通为 d S ψ==?B S g 0002 [d ]d d 2d d z d d I I z z x x x x μμπ π =? 由题5.1 图可知，()tan 6 z x d π =-= ，故得到 d d d x d x x ψ-== 0[2I b μπ 5.2 通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所 示。计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。 解 将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。 由安培环路定律 d C I μ?=?B l ?，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电 流产生的磁场为 0 2 0222 b b b b b b r b b r b r J r B J r μμ???? 电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为 0 2 0222 a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ?-??? 这里a r 和 b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。 将a B 和b B 叠加，可得到空间各区域的磁场为 圆柱外：220 222b a b a b a r r B J r r μ?? =?- ??? ()b r b > 圆柱内的空腔外：2 022b a a a r B J r r μ??=?- ?? ? (,)b a r b r a <> 空腔内： ()0022 b a B J r r J d μμ=?-=? ()a r a < I 题 5.1 图 题5.2图
电磁场与电磁波第四版思考题答案 2.1 点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。当带电体 的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带 电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。 2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模 型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。 2,3 点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？ 点电荷的电场强度与距离 r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离 r 的立方成反比。 2.4 简 述 E / 和 E 0 所表征的静电场特性 E / 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关， 静电荷是静电场的 通量源。 E 表明静电场是无旋场。 2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无 关，即 E 1 dV 在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定 律求解给定电荷分 dS S 0 V 布的电场强度。 2.6 简 述 B 0 和 B 0J 所表征的静电场特 性。 B 表明穿过任意闭合面的磁感应强度的 通量等于 0，磁力线是无关尾的闭合线， B 0 J 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7 表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。 安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和倍，即 0 B dl 0I 如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。 C 2.8 简述电场与电介质相互作用后发生的现象。 在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场
电磁场与电磁波答案第 四版谢处方 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-
一章习题解答 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量； （6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 cos AB θ = 14==?A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ= 17 =-A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123 PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点1(0,1,2) P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见 故123 PP P ?为一直角三角形。
电磁场与电磁波（第四版）课后答案 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ； （8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +- --+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （ 4 ） 由 cos AB θ = ==A B A B g ，得 1cos AB θ-=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ= =A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502 x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ； （8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-===+e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 c o s AB θ = 8==A B A B ，得 1c o s AB θ- =()135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ ==A B B
（6）?=A C 123502 x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 0415 02x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 10145 02x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5) P 。 （1）判断123PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5) P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228 x y z =-=++R r r e e e ， 311367x y z =-=---R r r e e e 由此可见 1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e 故123 PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积 12231221117.1322S =?=?=R R R R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。 解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ， 则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为 11cos ()cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R
2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。 2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。 2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？ 点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。 2.4简述 和 所表征的静电场特性 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。 表明静电场是无旋场。 2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无关，即 在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 2.6简述 和 所表征的静电场特性。 表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线， 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。 安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和 倍，即 如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。 2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。 在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场 2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？ 单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为 极化强度P 与极化电荷面的密度 2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么 电位移矢量定义为 其单位是库伦/平方米 （C/m 2 ） 2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？ ερ/=??E 0=??E ερ/=??E 0= ??E ??=?V S dV S d E ρε01 0=??B J B 0μ=??0=??B J B 0μ=??0 μI l d B C 0μ?= ? P ??=-p ρn sp e ?=P ρE P E D εε=+=0
3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。 解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为 33[]4q R R π+- +- =-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 0d d z z S S S Φ====??D S D e 223222320()[]2d 4()() a q a a r r r a r a ππ--=++? 2212 01)0.293()a qa q q r a ==-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为 02314r a Ze r r r π?? =- ??? D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12 4r Ze r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33 3434a a Ze Ze r r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π?? =+=- ??? D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30 C m ρ, 两圆柱面半 径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分的 电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 题3.1 图 题3. 3图( )a
电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案 第一章 习 题 解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的 分量；（6） ?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 cos AB θ =14==?A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分 量 B A =A cos AB θ= 17=-A B B （6）?=A C 1 23502 x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502 x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e 1.2 三角形的三个顶点 为1(0,1,2) P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断 123 PP P ?是否为一 直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点1(0,1,2) P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置 矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见 故123PP P ?为一直角三角形。 （2 ）三角形的面积 122312231117.1322S =?=?==R R R R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。
三章习题解答 3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。 解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为 33[]4q R R π+- +- = -=R R D 22322232 () (){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 d d z z S S S Φ====??D S D e g g 223222320()[]2d 4()() a q a a r r r a r a ππ--=++? 2212 1)0.293()a qa q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π?? =- ??? D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12 4r Ze r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33 3434a a Ze Ze r r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3223 4344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π??=+=- ??? D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3 0C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空 间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在b r >区域中，由高斯定律0 d S q ε= ?E S g ?，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生 题3.1 图 题3. 3图()a
电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在 B 上的分量； （6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==+e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-= e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 c o s AB θ = 1 1 1238 =A B A B ，得 1c o s AB θ- =(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ ==A B B （6）?= A C 1235 02 x y z -=-e e e 41310 x y z ---e e e （7）由于?= B C 04 1502 x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014 x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42 x z -=-e e
第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5) P 。
第一章习题解答 1.1给定三个矢量4、〃和C 如下： A=e r +e v 2-e.3 B = -e v 4 + e, C =0 5-W.2 ■' z 求：(1) “l; 1 2 kM ： (3) A ?B ；(4)0\B ：(5)A 在B 上的分量：(6)AxC ： (7) A>(BxC) 和(Ax 〃)?C ：(8) (AxB)xC 和 Ax(BxC)」 A c x +e v 2—e.3 1 2 3 解⑴ “「PT *+22+(_3)2 7 為《 而7 而 (2) \A-B\ = |(e x +e >.2-e.3)-(-e y 4+e.)| = |e t +e 、6_e ：4| = >/53 ⑶ A ?B=(S+?.2-e ：3) ?(_e 、.4 + ej = -ll A ? B —11 11 Ax(BxC)= 1 2 一 3 = e x 55-e, 44-eA 1 _3 = -e x 10-e.\-eA 1 A ?(Bxf) =(€x +0尹2 — (e x S + e v 5 + e :20) = —42 (A x B^C = (一￡」0-0」一冬4)?(乞5-《2) = -42 AxB = 所以 (8) (AxB)xC = 务 S J 一 10 -1 一 4 5 0 —2 =e r 2-e v 40 + e,5 (4)由 cos 。” = ||||= — =_ ] ----- 得 趴R = cos -1 (— ) = 135.5 曲 |A||B| 714x717 V238 朋 >/238 ..,,z . A^B 11 A 在 B 上的分呈 4 = \A\ COS0A[) = = (5) (6) AxC = (7) 由于B xC = 1 = e v 8 + e v 5 + ^.2O 一 2