第一部分专题一第4讲导数及其应用（文科）
(限时60分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)
1．一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t 的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：∵s′＝－1＋2t，∴s′|t＝3＝－1＋6＝5，
∴t＝3 s时的瞬时速度为5 m/s.
答案：C
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2等于()
A．9 B．－9 C．1 D．－1
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.
答案：C
3．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为() A．y＝－2x B．y＝3x
C．y＝－3x D．y＝4x
解析：由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2，因为f′(x)是偶函数，所以a＝0，即f′(x)＝3x2－2，从而f′(0)＝－2，所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.
答案：A
4．函数y ＝f (x )在定义域(－32
，3)内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )
A ．[－13，1]∪[2,3)
B ．[－1，12]∪[43，83
] C ．[－32，12]∪[1,2] D ．[－32，－13]∪[12，43
] 解析：由题意知，选择f (x )的减区间即为所求．
答案：A
5．(精选考题·山东高考)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)
与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13
x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A ．13万件
B ．11万件
C ．9万件
D ．7万件
解析：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)
时，y ′＞0，所以函数y ＝－13
x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．
答案：C
6．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )
A.13 B ．－13 C.73
D ．－13或53
解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口
向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第三个图．
由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1，
故f (－1)＝－13－1＋1＝－13
. 答案：B
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)
7．函数f (x )＝x 3－3tx ＋3t 在(0,1)内有极小值，则t 的取值范围是
________．
解析：∵f ′(x )＝3x 2－3t ＝0，∴x ＝±t (t ≥0)．
经验证知x ＝t 时，f (x )有极小值．
∴0＜t ＜1.从而0＜t ＜1.
答案：(0,1)
8．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x
＝2所围成的三角形的面积为________．
解析：y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝
f ′(1)(x －1)，
即y ＝3x －2.
作图可知：S △ABC ＝12|AB |·|BC |＝12×(2－23)×4＝83.
答案：83
9．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )
的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不．
正确的是________．
①当x ＝32
时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．
解析：从图象上可以看到：当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：①
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数．
(1)若f (x )在x ＝1处取得的极值为2，求a ，b 的值；
(2)若f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，求a 的取值范围． 解：(1)由题设可知：
f ′(1)＝0且f (1)＝2，
即?????
3－6a －b ＝0，1－3a －b ＝2.解得a ＝43，b ＝－5. (2)f ′(x )＝3x 2－6ax －b ＝3x 2－6ax －9a ，
又f (x )在[－1,2]上为减函数，
∴f ′(x )≤0对x ∈[－1,2]恒成立．
即3x 2－6ax －9a ≤0对x ∈[－1,2]恒成立．
∴f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，
即????? 3＋6a －9a ≤0，12－12a －9a ≤0???? a ≥1，a ≥47?a ≥1，
∴a 的取值范围是a ≥1.
11．(本小题满分15分)已知三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1,2)上单调递减．
(1)求a ，b 的值；
(2)若当且仅当x ＞4时，f (x )＞x 2－4x ＋5，求f (x )的解析式． 解：(1)∵f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1,2)上单调递减，
∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两根－1,2，
∴?????
－1＋2＝－2a 3，
－1×2＝b 3，∴??? a ＝－32，b ＝－6. (2)令H (x )＝f (x )－(x 2－4x ＋5)＝x 3－52
x 2－2x ＋c －5， 则H ′(x )＝3x 2－5x －2.
因为H ′(x )在[4，＋∞)上恒大于0，所以H (x )在[4，＋∞)上单调递增，故H (4)＝0，∴c ＝－11，
∴f (x )＝x 3
－32x 2－6x －11. 12．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .
(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最小值和最大值．
解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.
由f ′(x )>0(x ≥1)，得a <32
(x －1x )． 记t (x )＝32
(x －1x )， 当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32
(1－1)＝0. ∴a <0，又∵a ＝0时也符合题意，故a ≤0.
(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，∴a ＝4， ∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝－13
，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ∴当x ∈(－∞，－13]与[3，＋∞)时，f (x )是增函数；当x ∈[－13
，3]时，f (x )是减函数．
于是，当x ∈[1,4]时，有极小值f (3)＝－18；
而f (1)＝－6，f (4)＝－12，
∴f (x )max ＝f (1)＝－6，f (x )min ＝－18.
1．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )
A．(a，b)B．(a，c)
C．(b，c) D．(a＋b，c)
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1、－1是方程3ax2＋2bx
＋c＝0的两根，1－1＝－2b
3a，b＝0，故选A.
答案：A
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图
所示，则函数f(x)()
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
解析：设f′(x)与x轴的4个交点，
从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，
x＝x2，x＝x4为极小值点．
答案：C
3．若曲线C：y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于()
A．－2 B．0
C．1 D．－1
解析：曲线C上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，即y′＞0恒成立，即3x2－4ax＋2a＞0恒成立，Δ＝16a2－24a＜0解得0＜a＜
32
，因为a 为整数，所以a ＝1. 答案：C
4．设函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，已知它们的图象在x ＝1处有相同的切线．
(1)求函数f (x )和g (x )的解析式；
(2)若函数F (x )＝f (x )－m ·g (x )在区间[12
，3]上是单调减函数，求实数m 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ，
????? f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，即????? 1＋a ＝2＋b ，3＋a ＝4，∴?????
a ＝1，
b ＝0. ∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2.
(2)∵F (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2，
∴F ′(x )＝3x 2－4mx ＋1.
若x ∈[12
，3]时，F (x )是单调减函数，则3x 2－4mx ＋1≤0恒成立，得??? F ′(12)≤0，F ′(3)≤0，
∴m ≥73. 5．设函数f (x )＝x 3
－92x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；
(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，
因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成
立，所以Δ＝81－12
(6－m)≤0，得m≤－3 4，
即m的最大值为－3
4.
(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；
当x＞2时，f′(x)＞0.
所以当x＝1时，f′(x)取极大值f(1)＝5
2－a，
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，
故当f(2)＞0或f(1)＜0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．解得a
＜2或a＞5 2.
【典型题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 2．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
6．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04?? - ??? B ．10,4?? ??? C ．11,42?? ??? D ．13,24?? ??? 7．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ． 2 2 B ． 3 C ． 5 D ． 72 9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 22 D ．2 10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100cm 3 C ．92cm 3 D ．84cm 3 11．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题 13．若三点1 (2,3),(3,2),( ,)2 A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________． 15．若过点()2,0M 3()2 :0C y ax a =>的准线l 相交于点
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 1.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 2.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=ae x++b(a>0). (1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值; (2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值. 3.(2012重庆,16,13分)设f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 4. (2012大纲全国,20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x∈[0,π]. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围. 5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈. （1）求函数f(x)的最小正周期 （2）若y=f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围 6.(2012湖北,18,12分)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和. 8.(2012河北高三模拟，21，12分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时, f(x)有极小值. (1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围; 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题） （一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜 甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙； 第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； （二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证：EF ∥平面SAD ； （三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角 的大小； （III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 （四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E 高考数学模拟试题 （第一卷） 一、选择题：（每小题5分，满分60分） 1、已知集合A={x|x 2+2ax+1=0}的真子集只有一个，则a 值的集合是 A ．（﹣1，1）； B ．(﹣∞,﹣1)∪[1，+∞]； C ．{﹣1，1}； D ．{0} 2、若函数y=f(x)的反函数y=f －1(x)满足f －1(3)=0，则函数y=f(x+1)的图象必过点： A ．（0，3）； B ．（－1，3）； C ．（3，－1）； D ．（1，3） 3、已知复数z 1,z 2分别满足| z 1+i|=2，|z 2－3－3i|=3则| z 1－z 2|的最大值为： A ．5； B ．10； C ．5+13； D ．13 4、数列 ,4 3211,3211,211++++++ ……的前n 项和为： A ．12+n n ； B ．1+n n ； C ．222++n n ； D ．2+n n ； 5、极坐标方程ρsin θ=sin2θ表示的曲线是： A ．圆； B ．直线； C ．两线直线 D ．一条直线和一个圆。 6、已知一个复数的立方恰好等于它的共轭复数，则这样的复数共有： A ．3个； B ．4个； C ．5个； D ．6个。 7、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是异面直 线AC ，A 1D 的公垂线，则EF 和ED 1的关系是： A ． 异面； B ．平行； C ．垂直； D ．相交。 8、设(2－X)5=a 0+a 1x+a 2x+…+a 5x 5, 则a 1+a 3+a 5的值为： A ．－120； B ．－121； C ．－122； D ．－243。 9、要从一块斜边长为定值a 的直角三角形纸片剪出一块圆形纸片，圆形纸片的最大面积为： A ．2 πa 2； B ．24223a π-； C ．2πa 2； D ．2)223(a π- 10、过点（1，4）的直线在x,y 轴上的截距分别为a 和b(a,b ∈R +)，则a+b 的最小值是： A ．9； B ．8； C ．7； D ．6； 11、三人互相传球，由甲开始发球并作为第一次传球。经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有： A ．6种； B ．8种； C ．10种； D ．16种。 12、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x －2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则 A ．f(1)>f(5.5) ; B ．f(1) 普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 时间120分钟, 满分150分 一、填空题（本大题共有12题, 满分54分, 第1～6题每题4分, 第7～12题每题5分） 1.行列式41 25的值为_________. 2.双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中, 2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈, 函数2()log ()f x x a =+。若()f x 的反函数的图像经过点(3,1), 则 a =_________. 5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位）, 则z =_________. 6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 若30a =, 6714a a +=, 则7S =_________. 7.已知12,1,,1,2,32α? ?∈---???? 。若幂函数()f x x α=为奇函数, 且在(0,)+∞上递减, 则 α=_________. 8.在平面直角坐标系中, 已知点(1,0)A - , (2,0)B , E 、F 是y 轴上的两个动点, 且 2EF =u u u r , 则AE BF ?u u u r u u u r 的最小值为_________. 9.有编号互不相同的五个砝码, 其中5克、3克、1克砝码各一个, 2克砝码两个。从中随机选取三个, 则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n ∈N ）, 前n 项和为n S 。若1 1lim 2n n n S a →+∞+= , 则q =_________. 11.已知常数0a > , 函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ?? ???、1,5Q q ??- ?? ?。若236p q pq +=, 则a =_________. 12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y += , 22221x y += , 121212 x x y y += , 则的最大值为_________. 二、选择题（本大题共有4题, 满分20分, 每题5分） 13.设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点, 则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）14.已知a ∈R , 则“1a >”是“11a <”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中, 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设1AA 是正六棱柱的一条侧棱, 如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边, 则这样的阳马的个数是（ ） （A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16 16.设D 是含数1的有限实数集, ()f x 是定义在D 上的函数。若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6 π后与原图像重合, 则在以下各项中, (1)f 的可能取值只能是（ ） A 1高考数学数列大题训练答案版
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