第80课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间的距离
课题：空间的距离
一．复习目标：
1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线iu 和平面的距离，两平行
平面间的距离；
2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化． 二．知识要点：
1．点到平面的距离： ． 2．直线到平面的距离： ． 3．两个平面的距离： ． 4．异面直线间的距离： ． 三．课前预习：
1．在ABC ?中，9,15,120AB AC BAC ==∠=，ABC ?所在平面外一点P 到三顶点,,A B C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是 （ B ）
()A 6 ()B 7 ()C 9 ()D 13
2．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是 （ A ） ()A 7
()B 8 ()C 9 ()D 10
3．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则P 到CD 的距离为cm ，
P 到BD 的距离为
cm ． 4．已知二面角βα--l 为60，平面α内一点A 到平面β的距离为4AB =，则B 到平面α的距离为 2 ．
四．例题分析：
例1．已知二面角PQ αβ--为
60，点A 和B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上
30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==，（1）求证：PQ AB ⊥；（2）求点B 到平面α的距离；（3）设R
是线段CA 上的一点，直线BR 与平面α所成的角为
45，求CR 的长
（1）证明：作BM PQ ⊥于M ，连接AM ， ∵ 30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==， ∴MBC MAC ???，∴AM PQ ⊥，
PQ ⊥平面ABM ，AB ?平面ABM ，
∴PQ AB ⊥．
解：（2）作BN AM ⊥于N ， ∵PQ ⊥平面ABM ，∴BN PQ ⊥，
∴BN α⊥，BN 是点B 到平面α的距离，由（1）知60BMA ∠=，
∴3sin 60sin 30sin 604
a
BN BM CB ==
=
． ∴点B 到平面α． （2）连接,NR BR ，∵BN α⊥，
BR 与平面α所成的角为45BRN ∠=，
RN BN ==
，3cos30a CM BC == ∴1
2
RN CM =
，∵60BMA ∠=，BM AM =，BMA ?为正三角形， N 是BM 中点，∴R 是CB 中点，∴2
a
CR =．
小结：求点B 到平面α的距离关键是寻找点B 到α的垂线段．
例2．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，
90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成
角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离． 解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，
G E D C 1
B 1
A 1
C B
A
F
E
1
1
1
1
D C B A D
C
B
A
∴(0,0,1),(,
,1)22
a a
D E ，∵G 是ABD ?的重心， 5(,,)333a a G ，∴2
(,,)663a a EG =-，(,,0)AB a a =-， (0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面ABD ，,
EG AB EG ⊥⊥得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6
||EG =，112BE BA ==sin 3
EG EBG BE ∠=
=，
（2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍， ∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于26
2||3
EG =
． 小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍．
例3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，（1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．
解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系， 则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11
(,,1)22
F ，
11
(,,0)22
EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，
∴110,0EF BD EF CC ?=?=， ∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线． （1） 设(1,,)n x y =是平面BDE 的法向量， ∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE =
∴10n DB x ?=+=，0n DE x y ?=+=，(1,1,1)n =-，
1
y
O
G
F
E
D
C
B
A
点1D 到平面BDE
的距离1||||
BD n d n ?=
=． 小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．
五．课后作业：
1．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，1PD AD ==，点C 到平面PAB 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ，则 （ ）
()A 121d d << ()B 121d d << ()C 121d d << ()D 211d d <<
2．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60的二面角，点A 到BC
的距离是（ ）
()A a ()
B 2 ()
C 3 ()
D 4
3．四面体ABCD 的棱长都是1,,P Q 两点分别在棱,AB CD 上,则P 与Q 的最短距离是( )
()A 2 ()
B 32 ()
C 56 ()
D 67
4．已知二面角βα--l 为
45， 30,,成与l AB B l A α∈∈角，5=AB ，则B 到平面β的距离
为 ．
5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，12,51==AB AA ，那么直线11C B 到平面11BCD A 的距离是 ．
6．如图，已知ABCD 是边长为a 的正方形，,E F 分别是AD AB ,的中点，CG ABCD ⊥面，CG a =，（1）求证：//BD EFG ；（2）求点B 到面GEF 的距离．
7．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，
（1）求：点A 到平面1BD 的距离；（2）求点1A 到平面11D AB 的距离； （3）求平面11D AB 与平面D BC 1的距离；（4）求直线AB 到11B CDA 的距离．
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