2018年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷解
析版文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．i(2＋3i)＝( )
A ．3－2i
B ．3＋2i
C ．－3－2i
D ．－3＋2i
D 【考查目标】 本题主要考查复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.
【解题关键】 按照复数的运算法则计算即可，同时牢记复数运算中i 2＝－1.
2．已知集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( )
A ．{3}
B ．{5}
C ．{3，5}
D ．{1，2，3，4，5，7}
C 【考查目标】 本题主要考查集合的交运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 因为集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{3，5}，故选
C.
【解后反思】 集合的交、并、补运算是高考中的高频考点，应熟练掌握，解题时一定要认真、细心．
3．函数f (x )＝e x －e －
x
x 2的图象大致为( )
B 【考查目标】 本题主要考查函数的图象、函数奇偶性的判断，考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．
【解析】 因为f (－x )＝e －x －e x （－x ）2
＝－e x －e －
x
x 2＝－f (x )(x ≠0)，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以函数f (x )的图象关于原点(0，0)中心对称，排除选项A ；因为f (1)＝e －1e
＞2，所以排除选项C ，D ，选B.
4．已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0 B 【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3，故选
B.
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
D 【考查目标】 本题主要考查古典概型，考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 将2名男同学分别记为x ，y ，3名女同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中事件A
包含的可能情况有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故P (A )＝310
＝0.3.故选D. 【方法总结】 对于古典概型，计算事件A 的概率的具体步骤：①分析一次试验由多少个基本事件组成(即求n ＝？)；②分析事件A 包含多少个基本事件(即求m ＝？)；③利用
公式P (A )＝m n
，求得事件A 的概率．在求解n ，m 的值时，可利用列举法逐一列出基本事件求解，列举基本事件时要做到不重不漏．
6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±22x
D ．y ＝±32
x A 【考查目标】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 因为双曲线的离心率为3，所以c a
＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，所以y ＝±2x .故选A.
【拓展结论】 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为y ＝±b a
x ；(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为y ＝±a b
x . 7．在△ABC 中，cos C 2＝55
，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2
B ．30 C.29 D ．25 A 【考查目标】 本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×???
?552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×???
?－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.
【命题风向】 解三角形是近几年高考中的高频考点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查．
8．为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100
，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
A ．i ＝i ＋1
B ．i ＝i ＋2
C ．i ＝i ＋3
D ．i ＝i ＋4
B 【考查目标】 本题主要考查程序框图，考查考生的逻
辑推理能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．
【解析】 由题意可将S 变形为S ＝????1＋13
＋…＋199－????12＋14＋…＋1100，则由S ＝N －T ，得N ＝1＋13＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100.据此，结合N ＝N ＋1i ，T ＝T ＋1i ＋1
易知在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B.
9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )
A.22 B ．32
C.52 D ．72
C 【考查目标】 本题主要考查异面直线所成的角，考查考生的空间想象能力、化归与转化能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．
【解析】 如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股
定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52
.故选C.
【答题模板】 求异面直线所成的角，需要将异面直线所成的角等价转化为相交直线所成的角，然后利用解三角形的知识加以求解．
10．若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4
B ．π2 C.3π4 D ．π
C 【考查目标】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．
【解析】 解法一 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ????x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈????π4
，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4
.故选C. 解法二 f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ????x ＋π4.于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin ???
?x ＋π4≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈????π4，a ＋π4，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4
，故所求a 的最大值是3π4
.故选C.
【解题关键】灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y＝A sin(ωx＋φ)(ω＞0)，y＝A cos(ωx＋φ)(ω＞0)，y＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0)的三角函数问题的关键．具体问题中，首先将“ωx ＋φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解．
11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()
A．1－
3
2B．2－3
C.3－1
2D．3－1
D【考查目标】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．
【解题思路】结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a，c满足的关系式．
【解析】由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3 c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即3c＋c＝2a，所以(3＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率
e＝c
a＝
2
3＋1
＝3－1.故选D.
【方法总结】在求解有关椭圆或双曲线的离心率的问题时，一般不直接求出a和c 的值，而是根据题设条件建立关于基本量a，b，c的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求得离心率的值或取值范围．
12．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()
A．－50 B．0
C．2 D．50
C【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．
【解题思路】可以先根据题设条件确定函数f(x)的周期，再由已知求出一个周期内的
相关函数值，最后结合周期化简求和；也可以找一个符合题意的特殊函数，以便迅速求解．
【解析】 通解：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为f (x )是奇函数，所以函数f (x )的图象关于坐标原点(0，0)中心对称．数形结合可知函数f (x )是以4为周期的周期函数．因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以当x ＝1时，f (2)＝f (0)＝0；当x ＝2时，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2；当x ＝3时，f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0.综上，可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.
优解：取一个符合题意的函数f (x )＝2sin
πx 2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列．
故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.
【拓展结论】 一般地，①若函数f (x )的图象既关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)(b ≠a )对称，则函数f (x )是以2|a －b |为周期的周期函数；②若函数f (x )的图象既关于直线x ＝a 对称，又关于直线x ＝b (b ≠a )对称，则函数f (x )是以2|a －b |为周期的周期函数；③若函数f (x )的图象既关于点(a ，0)对称，又关于直线x ＝b (b ≠a )对称，则函数f (x )是以4|a －b |为周期的周期函数．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．
y ＝2x －2 【考查目标】 本题主要考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解析】 由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′| x ＝1＝2，故所
求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.
14．若x ，y 满足约束条件?????x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值为________．
9 【考查目标】 本题主要考查线性规划中的最值问题，考查考生的数形结合能力、
运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．
【解析】 通解：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，并平移，当平移后的直线经过点B 时，z 取得最大值．联立，得?????x －2y ＋3＝0，x －5＝0，解得?
????x ＝5，y ＝4，所以B (5，4)，故z max ＝5＋4＝9.
优解：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数z ＝x ＋y 可求得z 的值是3，9，5，故z max ＝9.
【方法总结】 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得，所以对于可行域为封闭型的线性规划问题，可以直接解出可行域的所有顶点坐标，然后将坐标分别代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
15．已知tan ?
???α－5π4＝15，则tan α＝________． 32
【考查目标】 本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解题思路】 可直接利用正切函数的差角公式求解；也可灵活利用加减变形技巧加以求解．
【解析】 解法一：因为tan ????α－5π4＝15，所以tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4
＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32
. 解法二：因为tan ?
???α－5π4＝15，
所以tan α＝tan ????????α－5π4＋5π4 ＝tan ????α－5π4＋tan 5π41－tan ????α－5π4tan 5π4
＝15＋11－15×1＝32. 【解题高招】 (1)有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，常见的有2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝α－(α－β)等；(2)处理有关三角函数问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，然后通过换元，进一步分析、解决问题．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．
8π 【考查目标】 本题主要考查圆锥与直角三角形的交汇，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．
【解题思路】 首先结合题设条件求得圆锥的母线长，然后在直角三角形中求得圆锥的高以及底面圆的半径，最后利用圆锥的体积公式求解即可．
【解析】 由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，
连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，
△SAB 的面积为8，得12
l 2＝8，得l ＝4.在Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13
π×(23)2×2＝8π. 【方法总结】 (1)求简单几何体的体积时，可直接利用相应几何体的体积公式求解；(2)求组合体的体积时，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图还原几何体的直观图，然后根据题设条件求解．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并求S n 的最小值．
【考查目标】 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，配方法求最小值，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解题思路】 (1)结合题设，构建关于首项和公差的方程，解之即可求得数列的通项公式；(2)先求出S n ，再利用配方法求得最小值．
【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.
(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.
所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
【方法总结】 在进行等差(比)数列的通项与前n 项和的运算时，常化成关于首项和公差(公比)的方程(组)求解，但要注意消元法及整体计算的应用，以减少计算量．
18．(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立
模型②：y ^＝99＋17.5t .
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【考查目标】 本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是数据分析、数学建模、数学
运算．
【解题思路】 (1)模型①中取t ＝19，模型②中取t ＝9，求出对应的函数值即可；(2)利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可．
【解析】 (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额
的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可
以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，AB＝BC＝2 2，P A
＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的
距离．
【考查目标】本题主要考查立体几何中线面垂直以及点到平面的距离，考查考生的空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．
【解题思路】(1)利用线面垂直的判定定理加以证明；(2)利用“等面积法”巧解点到平面的距离．
【解析】(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2 3.
连接OB.因为AB＝BC＝
2
2AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝
1
2AC
＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM，垂足为H.
又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .
故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．
由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423
，∠ACB ＝45°. 所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455
. 所以点C 到平面POM 的距离为455
. 【方法总结】 (1)证明线线平行常用的方法：①利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理证明；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线这一性质；②勾股定理的逆定理；③线面垂直的性质定理，即要证两直线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．
20．(12分)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．|AB |＝8.
(1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【考查目标】 本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．
【解题思路】 (1)利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解；(2)由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解．
【解析】 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由?
????y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则
?????y 0
＝－x 0＋5，（x 0
＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得?????x 0＝3，y 0＝2或?????x 0＝11，y 0
＝－6. 因此所求圆的方程为
(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.
【拓展结论】 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的倾斜角为θ，θ∈(0，π)，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ，1|AF |
＋1|BF |＝2p ，S △AOB ＝p 2
2sin θ
(其中O 为坐标原点)． 21．(12分)已知函数f (x )＝13
x 3－a (x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；
(2)证明：f (x )只有一个零点．
【考查目标】 本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．
【解题思路】 (1)通过求导、解不等式即可迅速求解；(2)构造函数，利用导数研究该函数的单调性，进而得f (x )的单调性，然后利用零点存在性定理即可证得结论．
【解析】 (1)当a ＝3时，f (x )＝13
x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.
当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )＞0；
当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )＜0.
故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．
(2)由于x 2＋x ＋1＞0，所以f (x )＝0等价于x 3
x 2＋x ＋1
－3a ＝0. 设g (x )＝x 3
x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2
≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．
故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．
又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6????a －162－16＜0，f (3a ＋1)＝13
＞0，故f (x )有一个零点． 综上，f (x )只有一个零点．
【方法总结】 ①若求函数f (x )的单调区间(或证明函数f (x )的单调性)，只需在函数f (x )的定义域内求解(或证明)不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0；②若已知函数f (x )的单调性，则可转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立；③函数的零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等，并借助函数图象求解，实现形与数的完美结合．
(二)选考题：共10分．该考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?
????x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为?
????x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．
【考查目标】 本题主要考查椭圆和直线的参数方程、直角坐标方程，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解题思路】 (1)求解的关键在于灵活“消参”；(2)先将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，再结合点(1，2)为曲线C 截直线l 所得线段的中点及参数t 的几何意义加以求解．
【解析】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216
＝1. 当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，
当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
(1＋3cos 2 α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.
又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2 α
，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.
【解题高招】 (1)一般地，曲线的参数方程转化为直角坐标方程的关键是消参，曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是活用 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.
(2)直线l 的参数方程为?????x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0
＋t sin α(t 为参数)，其中α为直线l 的倾斜角，α∈[0，π)，直线l 必过定点M 0(x 0，y 0)．在直线l 的参数方程中，|t |表示直线上的动点M (x ，y )到定点M 0的距离，若直线l 与曲线C 相交于M 1，M 2两点，设点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，
t 2，则有如下结论成立：
①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；
②若定点M 0(x 0，y 0)为弦M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0；
③若弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数t M ＝t 1＋t 22
. 23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．
【考查目标】 本题主要考查绝对值不等式的求解与含参不等式恒成立问题，考查考生的分类讨论能力、化归与转化能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
【解题思路】 (1)按x 与－1和2的大小关系，分三种情况加以讨论；(2)先等价转化，再灵活利用绝对值不等式的性质，构建关于参数的不等式，最后通过解不等式求解．
【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )＝?????2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.
可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．
(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．
故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.
由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.
所以a 的取值范围是(－∞，－6)∪[2，＋∞)．
【方法总结】 (1)求解形如|x －a |＋|x －b |≥m (或＞m ，或＜m ，或≤m )的不等式时，往往需要按变量x 与常数a ，b 的大小关系讨论(假设a ＜b ，则按x ＜a ，a ≤x ≤b ，x ＞b 加以分类讨论)，或利用“图象法”加以求解．
(2)根据绝对值不等式|a |＋|b |≥|a ±b |，可得函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |(a ≠b )的最小值为|a －b |；根据绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |，可得函数f (x )＝|x －a |－|x －b |(a ≠b )的最小值为－|a －
b|，最大值为|a－b|.
(3)不等式恒成立问题的常见类型及其解法：①分离参数法，运用“a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min”可解决恒成立问题中的参数的取值范围问题；②更换主元法，当直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否
2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )
A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题
17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点
2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+
2018年数学高考全国卷3答案
参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB
2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】C 【解析】()()() 2 1i 2i 2i 2i i 1i 1i 2z --=+=+=+-,则1z =,选C . 2.【答案】B 【解析】2{|20}R C A x x x =--≤={|12}x x -≤≤,故选B . 3.【答案】A 【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%,故选A . 4.【答案】B 【解析】令{}n a 的公差为d ,由3243S S S =+,12a =得113(33)67a d a d +=+3d ?=-,则51410a a d =+=-,故选B . 5.【答案】D 【解析】x R ∈,3232()()(1)(1)f x f x x a x ax x a x ax -+=-+--++-+2 2(1)a x =-0=,则1a =,则3()f x x x =+,2()31f x x '=+,所以(0)1f '=,在点(0,0)处的切线方程为 y x =,故选D . 6.【答案】A 【解析】1111113()()()2222444BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 则3144 EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,故选A . 7.【答案】B 【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形,从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为 故选B .
2018年高考全国2卷理科数学W o r d版 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
全国二——理科数学 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 2.已知集合A=｛（x，y）｜x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 3.函数f（x）=e 2-e-x/x 2的图像大致为 A. B. C. D. 4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）= A.4 B.3 C.2 D.0 5.双曲线x 2/a 2-y 2/b 2=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为
A.y=±x B.y=±x C.y=± D.y=± 6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= A.4 B. C. D.2 7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中 应填入 A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的 成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数 的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 9.在长方体ABCD-A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面 直线AD1与DB1所成角的余弦值为 A. B. 10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是 A. B. C. D.π 11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）= A.-50 B.0 C.2 D.50 12.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶 点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为 A.. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。 14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。
2018年全国普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的 长度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围 是( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）（2018?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）（2018?新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A．2B．2 C．3 D．2 8．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?=（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞） 10．（5分）（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）
2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．} {}{|1|2x x x x <-> D ．} {}{|1|2x x x x ≤-≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ． 31 44 AB AC - B ． 13 44 AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．()23i i +=（ ） A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B =（ ） A ．{}3 B ．{}5 C ．{}3,5 D ．{}1,2,3,4,5,7 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ） 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> ） A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =（ ） A ． B C D ．
8．为计算111 11 1234 99100 S =-+-+ + - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值为（ ） A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ） A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?，则 C 的离心 率为（ ） A ．1 B ．2C D 1 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =， 则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ） A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-?? -+??-?≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________． 15．已知51tan 45πα? ?-= ?? ?，则tan α=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30?，若SAB △的面积为 8，则该圆锥的体积为__________．
2018年高考真题理科数学 (全国III卷)一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合A={x∣x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（） A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2} 2.（1+i）（2-i）=（） A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 3.中国古建筑借助棒卯将木构件连接起来，构件的 凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右 边的小长方体是棒头。若如图摆放的木构件与某一 带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是（）
4.若，则( ) A. B. C. D. 5.的展开式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6.直线x+y+2=0分别与x轴，y交于A，.两点，点P在圆（x-2）2+y 2=2上，则?ABP面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C. D. 7.函数y=-+x2+2的图像大致为 A . B. C. D. 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（X=4）
10.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形 且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( ) A.12 B.18 C.24 D.54 11.设F1、F2是双曲线的左、右焦点，O是坐标 原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13、已知向a=（1，2），b=（2，-2），c=（1，），若c//（2a+b），则λ=__________ 14.曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为-2，则 函数在 16，已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2018年高考全国卷3理科数学试题及参考答案 1.已知集合A={x∣x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B= A{0} B{1} C{1，2} D{0，1，2} 2.（1+i）（2-i）= A-3-i B-3+i C3-i D3+i 3.中国古建筑借助棒卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A.A B.B C.C D. D 4.若，则
A B C D 5.的展开式中的系数为 A.10 B.20 C.40 D.80 6.直线x+y+2=0分别与x轴，y交于A，.两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则?ABP面积的取值范围是 A[2，6] B[4，8] C D 7.函数y=-+x2+2的图像大致为 A. B C. D
A.A B.B C.C D.D 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（X=4）
理科数学试题 第1页（共9页） 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C ．{|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
理科数学试题 第2页（共9页） 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uu u r B ．1344AB AC -uu u r uu u r C ．3144AB AC +uu u r uu u r D ．1344 AB AC +uu u r uu u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ． B ． C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国I 卷 （全卷共10页） (适用地区：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建、山东) 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 设 i i i z 211++-= ，则=||z A. 0 B. 12 C. 1 D. √2 2. 已知集合},02|{2 >--=x x x A 则=A C R A. }21|{<<-x x B. }21|{≤≤-x x C. }2|{}1|{>-
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