第四节：直线与圆锥曲线的位置关系
一、基本知识概要：
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x 或y 的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。 3.①当直线的斜率存在时，弦长公式： 212
1x x k l -+=
=w 或当k 存在且不为零时
212
11y y k
l -+
=，（其中（11,y x ），（22,y x ）是交点坐标）。
②抛物线px y 22=的焦点弦长公式|AB|=α
2
21sin
2p p x x =
++，其中α为过焦点的直
线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题：
【例1】直线y=x+3与曲线
14
||9
2
=-
x x y
（ ）
A 。没有交点
B 。只有一个交点
C 。有两个交点
D 。有三个交点 〖解〗：当x>0时，双曲线
14
9
2
2
=-
x
y
的渐近线为：x y 2
3±
=，而直线y=x+3的斜率
为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆14
9
2
2
=+
x
y
的顶点，
k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D [思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围。 解
：
将
l
的方程
与椭圆方
程联立，消去
y
，得
09t a n 72tan 236)tan 91(2
2
2
2
=-+?++αααx x
α
αααα2
2
2
2
122
tan 916tan 6)
tan 91(tan 1tan 1++=
+?
?
+=
-+=
∴x x AB
由3
3tan 3
3,3
1tan ,22≤≤-
∴≤
≥αα得AB ，
α∴ 的取值范围是??
?
?????????πππ,656,0
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l 的方程由αtan 给出，所以可以认定2
πα≠，否则涉及弦长计算时，还要讨论2
π
α=时的情况。
【例3】已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点
（1） 求证：OB OA ⊥
（2） 当OAB ?的面积等于10时，求k 的值。
（1） 证明：图见教材P127页，由方程组?
??+=-=)1(2x k y x y 消去x 后，整理得
02
=-+k y ky 。设),(),,(2211y x B y x A ，由韦达定理得121-=y y B A , 在
抛物线x y -=2上，212
221222121,,x x y y x y x y ?=?-=-=∴ OB OA y y x x y y x y x y k k OB OA ⊥∴-=?=
??=?=
?,112
12
1212
21
1
（2） 解：设直线与x 轴交于N ，又显然∴≠,0k 令），
（－，即则01N 1,0-==x y
21212
12
12
1y y ON y ON y ON S S S OBN OAN OAB -=
+
=
+=???
4)1(214)(12
12
212
21+=
-+?
?=
∴?k
y y y y S OAB 6
1,412
110,102
±=+=
∴=
?k k
S OAB 解得
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
【例4】在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k 的取值范围。 〖解〗设B 、C 关于直线y=kx+3对称，直线BC 方程为x=-ky+m 代入y 2=4x 得： y 2+4ky-4m=0， 设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则 y 0=（y 1+y 2）/2=-2k 。x 0=2k 2
+m ，
∵点M （x 0，y 0）在直线上。∴-2k （2k 2
+m ）+3，∴m=-k
k k 3
223
++又BC 与抛物线交于
不同两点，∴⊿=16k 2
+16m>0把m 代入化简得
03
23
<++k
k k 即
0)
3)(1(2
<+-+k
k k
k ，
解得-1 [思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。 【例5】已知椭圆的一个焦点F 1（0，-22），对应的准线方程为y=-4 29，且离心率e 满足：2/3，e ，4/3成等比数列。 （1） 求椭圆方程； （2） 是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x=-2 1平 分。若存在，求l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 〖解〗依题意e= 3 22 （1）∵ c a 2 -c= 4 29-22= 4 2，又e= 3 22∴a =3，c=22，b=1，又F 1（0，-22）， 对应的准线方程为y=- 4 29。∴椭圆中心在原点，所求方程为： 9 2 2 y x + =1 （2）假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被x=-2 1平分，∴直线l 的斜率存在。 设直线l ：m kx y +=由 m kx y += 9 2 2 y x + =1消去y ，整理得 92)9(2 22 -+++m kmx x k =0 ∵直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ∴⊿=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9)>0 即m 2-k 2 -9<0 ① 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2） ∴ 2 19 2 2 2 1- =+-=+k km x x ，∴k k m 29 2 += ② 把②代入①可解得：33-<>k k 或 ∴直线l 倾斜角?? ? ????? ??∈32,22,3ππππα [思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。 三、课堂小结： 1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项 的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。 2、 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提， 否则不宜用此法。 3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式 212 1x x k l -+= =[] 2122124)()1(x x x x k -+?+或当k 存在且不为零时 212 11y y k l -+ =，（其中（11,y x ），（22,y x ）是交点坐标。 再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。 四、作业布置：教材P127闯关训练。 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 2021年高考数学圆锥曲线的定义、方程与性质 (1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等． (2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大． 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 [例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2 ＝1 B.x 23＋y 2 2＝1 C.x 24＋y 2 3 ＝1 D.x 25＋y 2 4 ＝1 (2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆 x 23p ＋y 2 p ＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 (3)(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0 1．椭圆x 25＋y 2 4＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长 最大时，△FMN 的面积是( ) A. 55 B.655 C.855 D.455 2．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴 的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→ |＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 2 5＝1 B.x 28－y 2 12＝1 C.x 28－y 2 4＝1 D.x 24－y 2 6 ＝1 3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________． 考点二 圆锥曲线的性质 [例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3 6 的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.2 3 B.12 C.13 D.14 (2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2， 过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→， F 1B ―→·F 2B ―→ ＝0，则C 的离心率为________． (3)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝________． 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 规范练(五) 圆锥曲线 1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B → ＝－16，求证：直线AB 恒过定点． (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . O A →·O B → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． 2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． (1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又 a 2＝ b 2＋ c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2 2＝1. (2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0. 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一 致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 2014年高考文科数学圆锥曲线试题汇编 一、选择题 1.（2014全国大纲卷）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为 3 ，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 2.（2014全国新课标2）设F 为抛物线2 :+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30?的直线交 C 于A ,B 两点，则 AB = （A ） 3 （B ）6 （C ）12 （D ）3.（2014全国新课标1）已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 4.（2013全国大纲卷）已知 ()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 （A ）22 12x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154 x y += 5.（2013全国新课标1）已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）1 4 y x =± （B ）13 y x =± （C ）12 y x =± （D ）y x =± 6.（2013全国新课标2）设椭圆C ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )． A ．6 B ．13 C ．1 2 D ．3 7.（2012全国大纲卷）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方 程为 A ． 2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．22 1124 x y += 8.（2012全国新课标卷）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线 x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45 9.（2014广东卷）若实数k 满足05k <<，则曲线 221165x y k -=-与曲线22 1165 x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 10.（2014重庆卷）设21F F ，分别为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点， 双曲 线上存在一点P 使得,3|)||(|2 2 21ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C.4 D.17 11.（2014浙江卷）已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ） A.2- B. 4- C. 6- D.8- 12.（2014天津卷）已知双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ： 210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为( 2,2 1 -) 高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 1基础知识： 1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 3基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点 ⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题． ⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位 本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题． 本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右． ⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活． ⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题． ⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点． ⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势． ⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答 高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答） 1．已知椭圆2 2 :416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率; （2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆 221 2 x y += 的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为 22 1164 x y +=, 所以2 2 2 2 2 16,4,12从而a b c a b ===-=, 因此4,a c ==故椭圆C 的离心率2 c e a = =............4分 (II)由22 1, 416 y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,122 1 214M y y y k +==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k =-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2 221 2 2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===- --+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21 8 k =, 所以4k =±,....................12分 故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分 又圆221 2x y += 的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分 2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为 离心率e = F 的直线l 交 圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于 21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一 定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1=+PF PF （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）? { cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为 参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什 么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点21,F F 的距离的和为 常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆 即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时， 轨迹是椭圆， 当2a ＝2c 时， 轨迹是一条线段21F F 当2a ﹤2c 时， 轨迹不存在 平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝 对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹 叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时， 轨迹是双曲线 当2a ＝2c 时， 轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时， 轨迹不存在 标准方 程 焦点在x 轴上时： 122 22=+b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=+b x a y 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐 标轴上 焦点在x 轴上时：122 22=-b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=-b x a y 常 数 c b a ,,的关 系 222b c a +=， 0>>b a ， a 最大， b c b c b c ><=,, 222b a c +=， 0>>a c c 最大， 可以b a b a b a ><=,, 渐近线 焦点在x 轴上时： 0x y a b ±= 焦点在y 轴上时：0y x a b ±= 抛物线： 图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22 >=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x （1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-， 椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心， 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -， ),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴， 21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10< 理数 圆锥曲线 １. (2０１4大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F２,点A在C上.若|F１A|＝2|F2A|, 则ｃｏs∠ＡＦ2F1＝( ） A. B. C. D. [答案］１．A [解析］ 1.由题意得解得|Ｆ2Ａ|=2a，|F1A|＝４a, 又由已知可得=2,所以ｃ=２a，即|F1F2|＝4a， ∴coｓ∠AＦ２F1===.故选Ａ. 2.(201４大纲全国，6,5分）已知椭圆C：+=１(ａ＞b>0)的左、右焦点为Ｆ1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于Ａ、Ｂ两点.若△AＦ１B的周长为４,则C的方程为( ） A.+=1 B.+y２＝１ C.+=１Ｄ.＋＝1 [答案］２.Ａ ［解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则ａ=,又＝＝,∴c＝1,∴b2=２,∴C的方程为＋=1,选Ａ. ３. （2０14重庆,8,5分）设Ｆ1、F2分别为双曲线-＝1(a＞0,b>０)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PＦ1|+|PF2|＝3ｂ,｜PF1|·|PＦ２｜=ab，则该双曲线的离心率为( ) Ａ. B.Ｃ.Ｄ．３ [答案] 3.B [解析] 3.设|PF1|=m,｜PF2｜=n,依题意不妨设ｍ＞ｎ＞0, 于是 ∴ｍ·n=··?m＝3n. ∴a＝n，b＝n?c=n,∴ｅ＝，选Ｂ. 4. (20１4广东,4,5分)若实数k满足0＜k<9,则曲线-=1与曲线-=1的（) A.焦距相等Ｂ.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 ［答案] 4.A [解析] 4.∵0＜k＜9,∴9-k＞０,25-k>０. ∴－＝1与-=1均表示双曲线, 又25+(9-k）=3４－k=(25-k）+９, ∴它们的焦距相等,故选A． 5．(２０14福建,９,5分）设P,Q分别为圆x2+(ｙ－6)2=2和椭圆+ｙ2=１上的点,则Ｐ,Ｑ两点间的最大距离是() A.5B．+ C.7＋D．6 [答案］ 5.D [解析] 5．设Q(cos θ,ｓin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 则|MQ｜= 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =34 ， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 文科圆锥曲线 一、选择题 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =34 ， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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