高三数学冲刺复习教案
第1讲高考数学选择题的解题策略
一、知识整合
1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.
2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接法解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
二、方法技巧
1、直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（）
（A）{x|2kπ－3
4
π
＜x＜2kπ＋
π
4
，k∈Z} （B）{x|2kπ＋
π
4
＜x＜2kπ＋
5
4
π
，k∈Z}
（C）{x|kπ－π
4
＜x＜kπ＋
π
4
，k∈Z } （D）{x|kπ＋
π
4
＜x＜kπ＋
3
4
π
，k∈Z}
例2．设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于（）
（A）0.5 （B）－0.5 （C） 1.5 （D）－1.5 例3．七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（）（A）1440 （B）3600 （C）4320 （D）4800
2、特例法：
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例4．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（44,0),1x 2,tan x θ<<若则的取值范围是（ ）
（A ）)1,31
( （B ）)32,31( （C ）)21
,52( （D ）)3
2
,52( 例5．如果n 是正偶数，则C n 0
＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n ＝（ ）
（A ） 2n （B ） 2n -1 （C ） 2n -2 （D ） (n －1)2n -1
例6．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260
例7．若1>>b a ，P =b a lg lg ?，Q =()b a lg lg 21+，R =??
? ??+2lg b a ，则（ ） （A ）R
（C ）Q
3、筛选法:
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.
例8．已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
（A ）(0，1) （B ）(1，2) （C ）(0，2) （D ） [2，+∞)
例9．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段PQ 中点的轨迹方程是（ ）
（A ） y 2＝2x －1 （B ） y 2＝2x －2
（C ） y 2＝－2x ＋1 （D ） y 2＝－2x ＋2
4、代入法：
将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.
例10．函数y =sin(
π3
－2x )＋sin2x 的最小正周期是（ ）
（A ）π2
（B ） π （C ） 2π （D ） 4π 例11．函数y ＝sin （2x ＋
25π）的图象的一条对称轴的方程是（ ） （A ）x ＝－2π （B ）x ＝－4π （C ）x ＝8
π （D ）x ＝45π 5、图解法：
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上也叫数形结合法.
例12．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）
（A ）)45,()2,4(
πππ
π （B ）),4
(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ 例13．在圆x 2＋y 2＝4上与直线4x ＋3y －12=0距离最小的点的坐标是（ ） （A ）（85，65） （B ）(85，－65) （C ）(－85，65) （D ）(－85，－65) 例14．设函数?????-=-2112)(x
x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ）
（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）
（C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+）
例15．函数y =|x 2—1|+1的图象与函数y =2 x 的图象交点的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
6、割补法
“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度.
例16．一个四面体的所有棱长都为2，
四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（A ）3π （B ）4π （C ）3π3 （D ）6π
7、极限法:
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程
.
例17．对任意θ∈（0，2
π）都有（ ） （A ）sin(sin θ)＜cos θ＜cos(cos θ) （B ） sin(sin θ)＞cos θ＞cos(cos θ)
（C ）sin(cos θ)＜cos(sin θ)＜cos θ （D ） sin(cos θ)＜cos θ＜cos(sin θ)
例18．不等式组??
???+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）
（A ）（0，2） （B ）（0，2.5） （C ）（0，6） （D ）（0，3）
例19．在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）
（A ）（
n n 2-π，π） （B ）（n
n 1-π，π） （C ）（0，2π） （D ）（n n 2-π，n n 1-π） 8、估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.
例20．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为
3的正方形，EF ∥AB ，EF 2
3=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面 体的体积为（ ）
（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 例21．已知过球面上A 、B 、C
则球面面积是（ ）
（A ）916π （B ）38π （C ）4π （D ）9
64π 三、总结提炼
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”，“手段”都是无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确．．和快速．．
. 总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.
第2讲 高考填空题的常用方法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
例2已知函数2
1)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。 例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若a 、b 、c 成等差数列，则=++C
A C A cos cos 1cos cos 。 例5 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段
PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+q
p 11 。 例6 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<
例8 求值=+)2
1arctan 3sin(π 。 例9 已知实数x 、y 满足3)3(22=+-y x ，则1
-x y 的最大值是 。 四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例10 不等式2
3+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= 。 例11 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 。
例12 函数x x y -+-=3214单调递减区间为 。
五、练习
1 已知函数()1+=x x f ，则()._______
31=-f 2． 集合???????
???∈-<≤-=N x x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______ 3． 若函数()[]b a x x a x y ,,322∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b
4． 果函数()2
2
1x x x f +=，那么
()()()()._____4143132121=??? ??++??? ??++??? ??++f f f f f f f
5． 已知点P ()ααcos ,tan 在第三象限，则角α的终边在第____象限.
6． 不等式()120lg cos 2≥x （()π,0∈x ）的解集为__________.
7． 如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-
=x 对称，那么._____=a 8． 设复数???
??<<+=24cos sin 21πθπθθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转4
3π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()??s i n c o s 2i r z +=，则.____tan =?
9．设非零复数y x ,满足 022=++y xy x ，则代数式 20052005???? ??++???? ?
?+y x y y x x 的值是
____________.
10． 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么
._____lim =∞→n
n n S na 11．列{}n a 中，()?????-=是偶数），（是奇数，n n a n n n 5
251 n n a a a S 2212+???++=, 则 .________2lim =∞→n n S
12．以下四个命题：
①()；〉3122≥+n n n
②()；1226422≥++=+???+++n n n n
③凸n 边形内角和为()()()；31≥-=n n n f π
④凸n 边形对角线的条数是()()
().422≥-=n n n n f
其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .
14． ()
()7221-+x x 的展开式中3x 的系数是.__________ 15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
16． 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
17． 如右图，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）
18 直线1
-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是___________.
19 椭圆125
92
2=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是_____________________.
20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()2002
2≤≤=y x y ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________.
怎样解数学综合题
○1 ○2 ○3 ○4 A B D
C E F A 1 B 1 C 1
D 1
当前各校都已经结束了第一轮数学复习工作而进入第二轮复习。第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，综合运用知识为辅，第二轮复习以专题性复习为主，这一阶段所涉及的数学问题多半是综合性问题，提高解数学综合性问题的能力是提高高考数学成绩的根本保证。解好综合题对于那些想考一流大学，并对数学成绩期望值较高的同学来说，是一道生命线，往往成也萧何败也萧何；对于那些定位在二流大学的学生而言，这里可是放手一搏的好地方。
一、综合题在高考试卷中的位置与作用
数学综合性试题常常是高考试卷中把关题和压轴题。在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是高考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。
二、解综合性问题的三字诀“三性”：综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。(2)准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性。(3)隐含性：注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。
“三化”：(1)问题具体化(包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。
“三转”：(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3)数形转换能力。解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。
“三思”：(1)思路：由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。(2)思想：高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。(3)思辩：即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。
“三联”：(1)联系相关知识，(2)连接相似问题，(2)联想类似方法。
三、反思平时做完综合练习后，要注重反思这一环节，注意方法的优化。要把解题的过程抽象形成思维模块，注意方法的迁移和问题的拓展。
第4讲函数与方程的思想方法
一、知识整合
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求
反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
(3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。
(4) 函数f(x)＝n b ax )(+（n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、例题解析
Ⅰ．运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。
例1 已知155=-a
c b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤
2 已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（ ）
（A ）(),0b ∈-∞ (B)
b (C) (1,2)b ∈ (D)b 3 求使不等式)lg(xy ≤a lg a 的取值范围。 Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题：
例2 已知t
t f 2log )(=，t ∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。
例3 为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A 处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动），然后又在观测站B 处
的观测半径为5km 。
(1)
据表中信息：①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度；②试写出a 、b 近似地满足的关系式并 画出鲸的运动路线草图；
（2）若鲸继续以（1）－②运动的路线运动，试预测，该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站B 的观测范围？并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。（注：41≈6.40；精确到1分钟）
练习4．已知关于x 的方程x a x cos sin 2+－2a = 0
Ⅲ：运用函数与方程的思想解决数列问题 例4设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S （1）求公差d 的取值范围；
（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
三、强化练习
1．8(x 展开式中5x 的系数为____________. 2．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为
14的等差数列,则m n -=( )
A 1 B
34 C 12 D 38
3.设双曲线的焦点x 在轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率e =（ ） A 5 B C D 54 4．已知锐角三角形ABC 中，31sin(),sin()55
A B A B +=
-=。 Ⅰ.求证tan 2tan A B =；
Ⅱ.设3AB =，求AB 边上的高。
海岸 西东
图1
5．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
14
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29。 Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。
6．设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,4π??????
，则点Ｐ到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ） 1.0,2A ?????? 1.0,2B a ?????? .0,2b C a ?????? 1.0,2b D a ?-?????
7.设双曲线C ：2
221(0)x y a a
-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B 。 Ⅰ.求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
Ⅱ.设直线l 与y 轴的交点为P ，且512
PA PB = ，求a 的值。
第5讲 数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=21422
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 例2. 解不等式x x +>2
例3. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |(
) A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2个或3个
例4. 如果实数、满足，则的最大值为x y x y y x ()()-+=2322
A B C D (1)
23
33
2
3
例5. 已知，满足，求的最大值与最小值x y x y y x 22
1625
13+=-
例6. 若集合，，集合，M x y x y N x y y x b ===???<
?==+()cos sin (){()|}330θθθπ 且≠，则的取值范围为。M N b ?
例7. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为M x y F N 22
12516
12+= MF 1的中点，O 表示原点，则|ON|=（ ）
A B C D (3)
2248
例8. 已知复数满足，求的模的最大值、最小值的范围。z z i z ||--=
222
例9. 求函数的值域。y x x =
+-sin cos 22
例10. 求函数的最值。u t t =
++-246
三、总结提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
【模拟试题】
一、选择题：
1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()1，+∞
B. ()-11，
C. (][)-∞-+∞，，11
D. ()()-∞-+∞，，11 3. 设命题甲：03< A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 4. 适合||z -=11且arg z = π4的复数z 的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 5. 若不等式 x a x a +≥>()0的解集为{|}||x m x n m n a ≤≤-=，且，2则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知复数z i z z z 121232=-=+，，则||||的最大值为（ ） A. 102- B. 5 C. 210+ D. 222+ 7. 若x ∈()12，时，不等式()log x x a -<12恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2] 8. 定义在R 上的函数y f x =-∞()()在，2上为增函数，且函数y f x =+()2的图象的对称轴为x =0，则（ ） A. f f ()()-<13 B. f f ()()03> C. f f ()()-=-13 D. f f ()()23< 二、填空题： 9. 若复数z 满足||z =2，则||z i +-1的最大值为___________。 10. 若f x x bx c ()=++2对任意实数t ，都有f t f t ()()22+=-，则f f ()()13、-、f ()4由小到大依次为___________。 11. 若关于x 的方程x x m 245-+=||有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为___________。 12. 函数y x x x x =-++-+2222613的最小值为___________。 13. 若直线y x m =-与曲线y x =-12有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是___________。 三、解答题： 14. 若方程lg()lg()[]-+-=-x x m x 2 3303在，上有唯一解， 求m 的取值范围。 15. 若不等式412x x a x ->-()的解集为A ，且A x x ?<<{|}02，求a 的取值范围。 16. 设a a >01且≠，试求下述方程有解时k 的取值范围。 l o g()l o g ()a a x ak x a -=-222 第6讲 分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -= C. x y x y +-=-=70250或 D. x y y x ++=-=70250或 例2．?ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos = =12513 例3.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。 例4.解关于的不等式：x log ()a x 111-> 例5.解不等式542--≥x x x 例6.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<() 例7.已知等比数列的前n 项之和为n S ，前n+1项之和为1n S +，公比q>0，令 T S S n T n n n n =→∞+1 ，求lim 。 例8.设，问方程表示什么曲线？k R k x k y k k ∈-+-=--()()()()848422 例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？ 三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例： （1）“方程20ax bx c ++=有实数解”转化为240b ac ?=-≥“”时忽略了了个别情 形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0； （2）等比数列{}1 1n a q -的前n 项和公式1(1)1n n a q S q -=-中有个别情形：1q =时，公式不再成立，而是S n =na 1。 (3) 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别情形：当直线与x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。 (4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1x y a a +=，，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 若a a p a a q a a p q a a >≠=++=++011132，且，，，则、log ()log ()的大小关系为（ ） A. p q = B. p q < C. p q >