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反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则

定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)

)(00y x f ?'=

'。证明：0

0000)()(1

lim

)()(lim )()(lim

000

y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1

)()(lim 100

00y y y y y y y ???'=--=

→

所以 )

)(00y x f ?'='。

注1：00

y y x x →?

→，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调；

2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'=

'或)(1

dx dx dy =，其中dy

dx dx dy ,

均为整体记号，各代表不同的意义；

3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例1】

求x y arcsin =的导数，

解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2

,2[,sin π

π-

∈=y y x 的反函数，由定理1

得：

2211

sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x

y y y x -=

-=='='。

注1：同理可证：2

)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+=

'--

='；

2：2

tan arctan arccos arcsin π

=+=+x arcc x x x 。

【例2】

求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

解：利用指数函数的导数，自己做。

三、初等函数的求导公式

1、常数和基本初等函数的求导公式：

（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ?=' （8）x x x cot csc )(csc ?-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x x e e =')( （11）a x x a ln 1)(log =

' （12）x

x 1

)(ln =' （13）2

11)(arcsin x

x -=' （14）2

11)(arccos x

x --

（15）211)(arctan x x +=

' （16）2

)cot (x

x arc +-=' （17）chx shx =')( （18）shx chx =')( （19）x

ch thx 2

1)(=

' （20）11))1(ln()(2

2+=

'++='x x x arcshx

（21）1

1))1(ln()(22-=

'-+='x x x arcchx

（22）2

)11ln 21()(x

x x arcthx -='-+='

四、复合函数的求导法则

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：

1.是否可导？

2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ?=在0x x =点可导，且)(u f y =在

)(00x u u ?== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ?=为内函

数，所复合的复合函数))((x f y ?=在0x x =点可导，且

)()(000

x u f dx

x x ?''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ??''='=

证明： 000000)

()()()(lim ))(())((lim

x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --?--=--→→???? =0

000)

()(lim )()(lim

x x x x u u u f u f x x u u --?--→→??=)()(00x u f ?'?' 所以)()(,]))(([00x u f x f ??''=?'。

注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：

)())(())

((x x f dx

x df ???'?'=，或)())((]))(([x x f x f ???'?'=' 或dx du

du dy dx dy ?

=。 2：))((x f ?'与]))((['x f ?不同，前者是对变量)(x u ?=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。

3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '?'?'='等。

【例3】

求x

y 1

arctan =的导数。

解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x u 1

=复合而成，

211)(arctan u u +=

'，2

)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x x

x y +-=-?+='='?。【例4】

求μx y =（μ为常数）的导数。

解：x e x y ln μμ==是u e y =，x v v u ln ,=?=μ复合而成的。

所以11

1)(ln )()()(-?=??=?

?='?'?'='='μμμμμμμμx x x

x e x v e x y u 。这就验证了前面§2、1的[例4]。

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。

【例5】21x y -=，求y '。解：2222

1)1(1121])1[()1(x

x x x x y --

='-?-?='-='-='。

【例6】x e y sin 1-=，求y '。

解： x

x e x e

y x

sin 1)sin 1(21)sin 1()(sin 1sin 1sin 1-'-??='-?='='--- x

x x

x e sin 1sin 1sin 1cos 21sin 1cos 2

1----

=--?

=。

【例7】))1cos(2arcsin(2-=x y ，求y '。解：))1cos(2()]1cos(2[11

))1cos(2(arcsin(22

22'---=

'-='x x x y

)1()]1sin([2)

1(cos 4112222'-?--?--x x x

1(cos 41)1sin(42)

1(cos 41)1sin(22

2----=?----x x x x x x 。

【例8】))2

tan ln(ln(ln x

y =，求y '。

解：)2

tan (ln 2

tan

ln 1)2tan ln(ln 1))2tan (ln(ln )2tan ln(ln 1'?='?='x

x x x x y

)2(2

cos 12tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 1)2

(tan 2tan 1

2tan ln 1)2tan ln(ln 12

'????='??

=x x x x x x x x x

tan

ln ln 1

2tan ln 1

sin 12tan

ln ln 1

2tan ln 1

2tan 1

2cos 1

12x

x x

x x x x ?

?=?

??=。

【例9】])()[(2

)(21)2('-'='-='-='---x x x x x x e e e e e e x h s ][2

1)]1([21x

x x

x e e e e --+=--=

，即chx x h s ='。同理，shx x h c ='。

【例10】)1ln(2x x y ++=，求y '。解：)1(11])1[ln(22

'++?++=

'++='x x x x x x y

)1(11

211[1122

'+++

++=

x x x x

)(11

)12211(11222

'=+=++

++=arshx x

x x x x 。同理： )(1

1)1(ln(2

2'=-='-+

archx x x x 。

小结：

1 、函数的四则运算的求导法则：设)(),(x v v x u u ==，则

(i)v u v u '±'='±)( (ii)u c cu '=')(

(iii)v u v u uv '+'=')( (iv)2

)(v

v u v u v u '

-'=' )0(≠v

2、复合函数的求导法则：

设))(()(),(x f y x u u f y ??=?==的导数为： dx

du dy dx dy ?

= 或

)())((]))(([x x f x f ???'?'=' 或

x d du

u df dx x df x u )

()

())(()(????

反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+；解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

反函数的导数

反函数的导数首先证明反函数的求导公式：定理：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)y （?在点y 0的某邻域内连续，严格单调且()0' 0≠y ?，则()x f 在点()()00y x x ?=可导，且()() 00'1 'y x f ?= 证：设()()00y y y x ??-?+=?，()()00x f x x f y -?+=?因为?在0y 的某邻域内连续且严格单调，故1-=?f 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=?y 时0=?x ，并且当且仅当 →?y 时 0→?x ，由()0'0≠y ?，可得 ()()00000'1 lim 1lim lim 'y y x x y x y x f y y x ?= ??=??=??=→?→?→?。例6 证明：（i ）(a a a x x ln )'(=其中） 1.0(≠>a a 特别地()x x e e =' . (ii) )arcsin ' (x = x 2 -11； ()x arccos '=— x 2 -11 (iii) () x arctan ' = x 2 11 +；() x arc cot ' =— x 2 11 + 证（i ）由于R x y a x ∈= .为对数函数，y x a log = .),0(+∞∈y 的反函数，故由公式（6）得到 ()a x '=) (log ' 1 y a = e y a log = a a x ln . （ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是) 2.2(,sin π π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到 ()x arcsin ' = () y sin ' 1 = y cos 1 = y sin 2 -11= )1,1(.-112 -∈x x 同理可证:()x arccos ' =—)1,1(.-11 2 -∈x x

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。（8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

反函数求导法则

反函数求导法则刘云（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班甘肃天水 741000）摘要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。关键词：反函数；基本初等函数；求导引言除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明：因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。因此

[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，其中),,3,2,1(n i c i =为常数。（2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式１. 基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

反函数的求导法则辨析

昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此： y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)， =1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。

同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

反函数的导数复合函数的求导法则

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间} ,)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'= ' (1) 证明：?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1 因直接函数)(y x ?=在 I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数 )(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y ) (11lim lim 00y y x x y y x ?'= ??=??→?→? 即： )(1)(y x f ?'= ' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 121 131 22x x arctgx x a x a x '= -'= +'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在 ) 2,2(π π-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上，有 y x cos 1 )arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，2 21sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy = ，)2,2(π π-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 1 2>= 'y x 故 22211 11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (= ='= ' 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=- -'=- +'= 1 11 11 22 二、复合函数的求导法则

高中数学复合函数的求导法则教案

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

复合函数求导公式,复合函数综合应用

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2 ,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间： §5简单复合函数的求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】 1.复合函数对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】求下列函数的导数（1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。【巩固提高】 1、求下列函数的导数

（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限（1）求点0P 的坐标（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。【课堂小结】

复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3简单的复合函数求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究复合函数的导数求解法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。例2：求下列函数的导数（1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西汉中 723000）指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数 []()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算定理1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且：

学法心得

在前一阶段的学习中，我主要是从法律的历史渊源以及总体框架入手，了解了中国的法律体系的相关知识，下面我对我这一阶段学习的情况做一个总结，重点说说自己学法的一些心得体会，不当之处请各位领导和同事批评指正。首先第一点，简单说一下我国法律发展的历史。我国的法律历史源远流长，最早的一部法律可以追溯到夏朝，距今已有四千多年的历史，由于处于奴隶社会，所以当时的法律神权色彩极为强烈，到后来的封建社会，重刑、严刑思想占了法律体系的主导地位，法律逐步走向残酷，例如我们都知道的中国历史上最严酷的死刑－凌迟，就出现在这一时期的宋朝，到清末变法，标志着中国近代法律的开始，这一阶段的法律主要体现了废除旧法，提倡男女平等的思想。而在我们所处的当代，我们所说的法律，用通俗的话讲就是为了维护正常的社会秩序，保障正常的人身权利、自由，保护公民、法人或者其他组织的合法权益而制定的一种约束性的、规范性的、惩戒性的条文。由此可见，法律与我们的日常生活是息息相关的。第二点，简单介绍一下我国现行的法律情况。改革开放以来，随着我国与世界交往的日益频繁，加上我国自主择业以及流动人口的激增，矛盾的发生与日俱增，不可避免的出现了各种因矛盾而导致的纠纷、损害和诉讼，要合理的、合程序的、合乎规范的来解决各种各样的的问题，就必须依靠法律手段来实现。为解决社会中出现的一系列问题，也为了更好地维护社会稳定，自九届全国人大以来，全国人大及其常委会共制定了近60件法律和有关法律问题的决定，其中构成有中国特色社会主义法律体系的7个法律部门中基本的、主要的法律大多已制定出来。这7个法律部门是：宪法及宪法相关法、民法商法、行政法、经济法、社会法、刑法、诉讼与非诉讼程序法。可以说我国现行法律体系主要就是有这七种部门的法律构成，但是在谈到对我国法律体系所应包含的具体内容时，社会上却存在分歧，主要有以下两种观点：一种观点认为，我国的法律体系应该只包括宪法和法律，不包括其它规范性文件，也就是说法律体系只应当是由法律规范所构成的体系。另一种观点认为：我国的法律体系不仅包括宪法和法律、行政法规，还包括地方性法规、民族自治地方的自治条例和单行条例等规范性文件。我国的立法法对这个问题作了合理的解释：他的主要意思就是说，法律的制定是为了创设权利义务规范，而行政法规的制定则是为实现法律所创设的规范服务。由此可以看出，我国的法律体系，只能是由法律规范所构成，一般意义上的行政法规、地方性法规、自治条例和单行条例等规范，不能看作是国家法律体系的组成部分。第三点说说我的心得体会。通过近期的学习，我收获很多，能够对我国法律制度建设的现状有一个客观清醒的认识。体会主要有以下几点，第一：我觉得对法律知识的学习贵在坚持，我们应该注意时时刻刻学习法律，不要等要用法律的时候才意识到自己法律知识不足，出现那种书到用时方恨少的尴尬局面。第二：我们学法的目的是为了懂法，而懂法的目的就是为了学会用法。这就需要我们领会法的实质，理解法的内涵精髓。我觉得在学习法律的时候，完全可以联系自身实际，结合自身体会，加以通读、领会和贯穿。虽然有些法律条文不需要一字不落的背下来，但是个中脉络要领会清楚。同时还需要我们日常生活中多听多看、多观察、多积累。

常用的基本求导法则与导数公式

常用的基本求导法则与导数公式１. 基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

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