6．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是__1
2__.
[解析] 由题意得|AB |＝
－a －
2
＋a －1－a ＋2
＝2a 2
－2a ＋25＝
a －
12
2
＋492，所以当a ＝12
时，|AB |取得最小值．
C 级 能力拔高
1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、
B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.
[解析] 解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2
上，
∴?????
x 0－3y 0＋10＝0
－2x 0＋
－y 0－8＝0
??????
x 0＝－4
y 0＝2
，
∴k AP ＝1－20＋4＝－1
4
，
故所求直线l 的方程为：y ＝－1
4x ＋1，
即x ＋4y －4＝0.
解法二：设所求直线l 方程为：
y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N .
解方程组???
??
y ＝kx ＋1
x －3y ＋10＝0，得N (
73k －1，10k －1
3k －1
)． 解方程组?
??
??
y ＝kx ＋1
2x ＋y －8＝0，得M (
7k ＋2，8k ＋2k ＋2
)． ∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0，解得∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.
2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.
[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ， 所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ， 所以k AC ·k DM ＝－1， 即
3－00－5·3－0
5－x
＝－1. 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2，
即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意． 由两点间距离公式得|DM |＝
5－3.22＋3－02
＝3345
.
《直线的交点坐标与距离公式》一课一练
3.3 直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是 （A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则 （A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为 （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 （A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是 （A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ）2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则 （A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是 （A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 （A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是 （A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 . 11、若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是 13，则2c a +的值为 . 12、直线y =2x +1关于直线y +2=0对称的直线方程是 . 13、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 . 14、11．给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y –2=k (x +1)；②
知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础
直线的交点坐标与距离公式 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组11122200 A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解， 此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三：两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四：点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
两条直线的交点坐标
一、内容及解析 1、内容：本节我们通过直线的方程，用代数方法解决与直线有关的问题，如求两条直线的交点坐标。 2、解析：教科书给出两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的方程以后，设置了一个表格，要求学生填充表格，目的之一在于体验坐标法的思想。两条直线交点位置的确定体现另外坐标法的思想。 二、目标及解析 1、目标： （1）掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点. (2) 当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. (3) 学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力. 2、解析： 本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 三、数学问题诊断分析 在问题“在这个集合中，如何确定经过点（-2，2）的直线？”的问题中，学生会发现只要把坐标（-2，2）代入方程0)22(243=+++-+y x y x λ确定λ，反过来，把λ的值代入0)22(243=+++-+y x y x λ就可以了。 四、教学支持条件 本节内容联系生活，应用广泛，可以采取多样化的学生感兴趣的例子帮助学生分析掌握，若有条件可以利用多媒体教学。 五、教学过程设计 （一）教学基本流程
直线的交点坐标与距离公式一课一练
直线的交点坐标与距离公式一课一练 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是 （A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则 （A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为 （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 （A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是 （A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ） 2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则 （A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是 （A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 （A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点 且与x –y +2=0垂直的直线方程是 （A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 .
人教A版高中数学必修二3.3.1两条直线的交点坐标word教案
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 §3.3.1 两条直线的交点坐标 一、教材分析 本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）直线和直线的交点. （2）二元一次方程组的解. 2．过程和方法 （1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法. （2）掌握数形结合的学习法. （3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程. 3．情态和价值 （1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系. （2）能够用辩证的观点看问题. 三、教学重点与难点 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)： (ⅰ)???=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)?????+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)?? ???+==-2131,062x y y x .
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式 【考纲下载】 1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点
|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12 1．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？ 提示：两条直线相交?方程组有唯一解；两条直线平行?方程组无解；两条直线重合?方程组有无穷多解． 2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．
1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 2．两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( ) A.? ????25，95 B.? ?? ??－25，95 C.? ????25，－95 D.? ????－2 5 ，－95 3．(2014·烟台模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( ) A.85 B.3 2 C ．4 D ．8 4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________． 5．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________.
[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是____________． (2)(2014·锦州模拟)当0直线的交点坐标和距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出 现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个
交点时，两条直线重合． 2．距离 点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距 离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2
两条直线的交点坐标 优秀教案
两条直线的交点坐标教学设计 一、内容分析 1．知识简介 本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下： ⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合． ⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础． ⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据 根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系． 难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系． 重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解． 4．本节教材的地位与作用 求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用． 二、教学方法 5．学生现状的分析及对策． 学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导． 教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识． 6．教学目标的确定及依据
高一数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是 ( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.? ????43，13 D.? ?? ??13，43 答案 C 解析 由方程组?? ? x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0， 得????? x ＝43，y ＝1 3. 即直线x ＋2y －2＝0与直线 2x ＋y －3＝0的交点坐标是? ???? 43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于 ( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A 解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5. 3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是 ( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 答案 A 解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________． 答案 a ≠2
解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠3 6，∴a ≠2. 5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 答案 2 5 解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y 2＝－1， ∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5. 1．方程组??? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0 A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直 线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝ 0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法． 3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
两条直线的交点坐标
两条直线的交点 一、温故互查 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围： 二、设问导读（带着上述问题完成下列问题：） 1、在同一坐标系中两直线的位置关系有几种？ 2、直线上的一点与对应二元一次方程的解有何关系？ 3、那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 已知两直线 l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。l 1与l 2 几何元素及关系 代数表示 点A A （a ，b ） 直线l l ：Ax+By+C=0 点A 在直线l 上 直线l 1与l 2的交点A 4、如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？ 例题1：求下列两直线交点坐标：l 1 ：3x+4y-2=0；l 2：2x+y +2=0 . 5、两直线的位置关系与其对应方程所组成的方程组的解有何关系？ 例题2： 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。（可先画出图形） （1） l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0 （2） l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0 （3） l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0 6、两直线的位置关系与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 7、课后思考：当λ 变化时，方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？ 三、当堂检测： 1、求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。 2、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程。（可以用两种方法求解） 3、已知三条直线21 ,234,325x y kx y x ky -=+=-=，是否存在实数k 是的三条直线交于一点？若存在求出k 值，若不存在说明理由。 4、求证：不论m 为何值，直线(1)(21)5m x m y m -+-=+都过某一定点，并求出此定点坐标。 四、拓展延伸： 1、若直线l ：y = kx – 3与直线2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是： A ．[30,60) B ．(30,90) C ．(60,90) D ．[30,90] 【解析】直线l 1：2x + 3y – 6 = 0过A (3，0)，B (0，2)而l 过定点C (0,3)- 由图象可知.0AC k k k >?? >? 即可 所以l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B. 直线的方程 特殊点 局限性 1.点斜式 2.斜截式 3.截距式 4.两点式 5.一般式
优秀教案两条直线的交点坐标
3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两条直线的交点坐标 教材分析 本节内容是数学必修2第三章直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式的第一课时．本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课通过利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系． 教学目标 重点:能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标． 难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程． 知识点：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程． 能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想． 教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神， 自主探究点：二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现，过两条直线的交点的直线系方程问题． 考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，． 易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参． 拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题． 教具准备课件、几何画板、三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课
高中数学-两直线的交点坐标教案
3.3.1两直线的交点坐标教案 教学目标 知识与技能：1.直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 过程和方法：1. 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。 2．掌握数形结合的学习法。 3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断。 情态和价值：1. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2．能够用辩证的观点看问题。 教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。 教学方法：启发引导式 在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。 教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学 教学过程： 一、情境设置，导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 二、讲授新课 1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系 已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。 课堂设问：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ （1）若二元一次方程组有唯一解，l 1与l 2相交。 （2）若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行。 （3）若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合。 课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
高中数学-直线的交点坐标与距离公式教案
第一课时 3.3-1两直线的交点坐标教案 一、教学目标 （一）知能目标：1。直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 （二）情感目标：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2．能够用辩证的观点看问题。 二、教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。 三、教学过程： （一）课题导入 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ （二）探研新知 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。 几何元素及关系代数表示 点A A（a，b） 直线L L：Ax+By+C=0 点A在直线上 直线L1与 L2的交点A 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ （1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。 （2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。 （3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。 课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 1． 例题讲解，规范表示，解决问题 例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。3。1。 6 4 2 -2 -4 -55 y x 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。 同类练习：书本114页第1，2题。
直线的交点坐标与距离公式练习题
第八章第三节直线的交点坐标与距离公式 课下练兵场 、选择题 1.两条平行线11： 3x + 4y + C 1 = 0, 12： 6x + 8y + C 2= 0 之间的距离是 （ A. d = * 5 .以上皆非 C 2 解析：I 2： 3X + 4y + - = 0,/ 答案：B k 2k 1 k —1v 0, L>0,所以交点在第二象限. 答案：B 3. （2009 ?哈尔滨模拟）若k , — 1, b 三个数成等差数列，则直线 解析：因为k ,— 1, b 三个数成等差数列，所以 k + b =— 2,即b =— k — 2,于是直线 方程化为y = kx — k — 2,即卩y + 2 = k （x — 1），故直线必过定点（1 , — 2）. 答案：A A. (1 , — 2) B . (1,2) .(—1,2) .(—1, — 2) C 2 l C 1—□ d= ------ 2.当 0v k v 2时, 直线 11: kx — y = k — 1与直线12： ky — x = 2k 的交点在 A.第一象限 .第二象限 C.第三象限 .第四象限 解析：解方程组 kx — y = k — 1, ky — x 得两直线的交点坐标为 k 2k — 1 , k — 1 ，因为0 1 v k v 2，所以 y = kx + b 必经过定点（ ）
4.直线y= 2x + 10, y= x+ 1, y= ax — 2交于一点，则a的值为
解析：直线 y = 2x + 10与y = x + 1的交点坐标为(—9, - 8)，代入y = ax —2，得一8 2 =a ? ( — 9) — 2, a =3. 答案：C 5. 点P (m- n ,— m 到直线m + y = 1的距离等于 X y 解析：因为直线m + n =1可化为n x + m y - mn= 0, 则由点到直线的距离公式，得 ,1( m — n )n + ( — n ) m — mn d = 答案: l i ： y = k (x — 4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又 由于直线1 1： y = k (x — 4)与直线12关于点(2,1)对称，???直线12恒过定点(0,2). 答案：B 二、填空题 解析：由题意得，6=V 丰V ，? a = — 4，c 12, c 则 6x + ay + c = 0 可化为 3x — 2y + 2 = 0, c 由两平行线间的距离，得血N 解得c = 2或-6，所以宁=± 1. 答案：±1 &直线3x — 4y — 27= 0上到点R2,1)距离最近的点的坐标是 解析：数形结合所求点即为过 P 点垂直于已知直线的交点, 答案：(5 , — 3) 9?与直线x — y — 2= 0平行，且它们的距离为 2^/2的直线方程是寸 m + n 2 6. (2009 -海淀模拟 )若直线l i ： y = k (x — 4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线|2恒过定 A. (0,4) B .(0,2) C .(—2,4) .(4 , — 2) 解析：由于直线 7.若两平行直线 3x — 2y — 1 = 0,6x + ay + c = 0之间的距离为 垃，则也的值为 a 13 可得 P' (5 , — 3).
知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础
直线的交点坐标与距离公式 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一、直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组111222 00A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111 222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三、两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四、点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =. 要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
直线的交点坐标与距离公式(习题)
直线的交点坐标与距离公式（习题） 1.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（） A．1 2 B． 1 2 -C．2 D．-2 2.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直 线方程为（） A．3x+4y+17=0 B．4x-3y-6=0 C．3x+4y-17=0 D．4x-3y+18=0 3.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|=（） A B． 17 5 C． 13 5 D． 11 5 4.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离为4，则k的值为（） A．1 B．-3 C． 5 1 3 或D． 17 3 3 -或 5.已知点P的纵坐标为2，Q(2，-3)，M(1，1)，且|PQ|=|PM|，则点P的坐标 为________． 6.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为 _________________________．
7. 两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为______． 8. （1）与直线7x +24y =5平行，且与其距离等于3的直线方程为 _______________________________． （2）已知两条平行线l 1：2x +3y -6=0与l 2：4x +6y -3=0 平行线的方程为_________________________． 9. 已知点A (1，3) ，B (3，1)，C (-1，0)，求△ABC 的面积． 10. 设a ，b ，c ，d ∈R ．求证：对于任意p ，q ∈R ， 11. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为 2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x -2y -5=0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．
高中数学人教版必修两条直线的交点坐标教案(系列四)
3.31两直线的交点坐标 三维目标 知识与技能：1。直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。 2．掌握数形结合的学习法。 3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过 定点的直线系方程。 情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之 间的内的联系。 2．能够用辩证的观点看问题。 教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。 教学方法：启发引导式 在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。 教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学 教学过程： 一．情境设置，导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的 位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 二．讲授新课 1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系 已知两直线L1：A1xB1y C1=0,L2：A2xB2yC2=0 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ （1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。 （2）若二元一次方程组无解，则L 1与L2平行。 （3）若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。 课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 2．例题讲解，规范表示，解决问题
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式 一、目标认知 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 二、知识要点梳理 知识点一：直线的交点： 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所 得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 要点诠释： 此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线 的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离. 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即 为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 要点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一 般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直 线中x，y的系数要保持一致. 三、规律方法指导 应用解析思想解决问题的基本步骤： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.
