第二单元方程(组)与不等式(组)
第8课时分式方程及其应用
湖南3年中考（2014～2016）
命题点1 解分式方程
1. （2016邵阳6题3分）分式方程34
1
x x
=
+
的解是（）
A. x=-1
B. x=1
C. x=2
D. x=3
2. （2015常德7题3分）分式方程
23
1
22
x
x x
+=
--
的解为（）
A. 1
B. 2
C.1
3
D. 0
3. （2015怀化13题4分）方程21
1
x x
-=
+
的解是x=_________.
4. （2014岳阳18题6分）解分式方程：
53
2
x x
=
-
.
命题点2 分式方程的实际应用
5. （2015岳阳7题3分）岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是
（）
A. 200350
3
x x
=
-
B.
200350
3
x x
=
+
C.
200350
3
x x
=
+
D.
200350
3
x x
=
-
6. （2015郴州21题8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元，已知桂花树比樱花树的单价高50％，求樱花树的单价及棵数.
7. （2016岳阳20题8分）列方程或方程组解应用题：
我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学
校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍.服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用3.6小时.求学生步行的平均速度是多少千米/小时.
8.（2014张家界22题8分）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴500元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20％，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
9. （2014永州22题8分）某枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果，现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成，请问：
（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？
（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队.甲队每摘果一天，需支付给甲队1000元工资，乙队每摘果一天，需支付给乙队1600元工资，你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
10. （2016娄底23题9分）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校.乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的12，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
11. （2016常德21题7分）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950
元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
答案
1. D 【解析】方程两边同乘以x(x＋1)，得3(x＋1)＝4x，去括号，得3x＋3＝4x，移项、合并同类项，得x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的解．
2. A 【解析】方程两边同乘以x－2，得2－3x＝x－2，解得x＝1，经检验，x＝1是原分
式方程的解．
3. －2 【解析】方程两边同乘以x (1＋x )，得2(1＋x )－x ＝0，解得x ＝－2，经检验，x ＝－2是原分式方程的解．
4. 解：方程两边同乘以x (x －2)得， 5x
＝
3(x
－
2)，.......................................................................................................(2分) 去括号，得5x ＝3x －6， 移项、合并同类项，得2x ＝－6， 解
得
x ＝－
3，.....................................................................................................(5分) 经
检
验
，
x ＝－3是原分式方程的
解．.............................................................(6分) 5. B 【解析】∵每个笔记本的价格是x 元，∴每个笔袋的价格为(x ＋3)元，用200元购买的笔记本数量为200x ，用350元购买的笔袋数量为3503x +，由两者相等，列方程得200
x
＝
350
3
x +. 6. 解：设樱花树的单价为x 元，则桂花树的单价为1.5x 元，依题意得
700030003000
301.5x x
-+=＝
30，.......................................................................(3分) 解
得
x ＝
200，...................................................................................................(4分)
经检验，x ＝200是原分式方程的解，且符合题
意，....................................(6分) 则购买樱花树的数量为(7000－3000)÷200＝20(棵)． 答：樱花树的单价为
200
元，购买了
20
棵樱花
树．...................................(8分)
7. 解：设学生步行的平均速度是x 千米/小时，则服务人员骑自行车的平均速度是 2.5x 千
米
/
小
时
，
根
据
题
意
得
24243.62.5
x x -=，..........................................(4分) 解
得
x ＝
4，.........................................................................................................(6分) 经检验，x ＝4是原分式方程的根，且符合题意． 答
：
学
生
步
行
的
平
均
速
度
是
4
千
米
/
小
时．....................................................(8分) 8. 解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元，根据题意得
110000110000
(120%)500
x x ?+=-，解得x ＝
3000..................................................(6分) 经检验，x ＝3000是原方程的解，且符合题意． 答
：
该
款
空
调
补
贴
前
的
售
价
为
每
台
3000
元．................................................(8分)
9. 解：(1)设单独由乙队摘果，需要x 天才能完成，根据题意得1
12()16x
+=， 解得x ＝3，
经检验，x ＝3是原分式方程的解，且符合题意， 答
：
单
独
由
乙
队
完
成
需
要
3
天
才
能
完
成；.....................................................(4分) (2)方案1：总工资为6×1000＝6000(元)； 方案2：总工资为2×1000＋2×1600＝5200(元)； 方案3：总工资为3×1600＝4800(元)，
因为4800<5200<6000，所以方案3总工资最低，最低总工资为4800元．..(8分) 10. 解：(1)设乙骑自行车的速度为2x 米/分钟，则甲步行的速度为x 米/分钟，公交车的速度为4x 米/分钟，由题意列方程得
60030006003000
242x x x
-++=， ..............................................................................................................................(3分) 解
得
x ＝
150，.....................................................................................................(4分)
经检验，x ＝150是原分式方程的根，且符合题意， ∴2x ＝2×150＝300. 答
：
乙
骑
自
行
车
的
速
度
为
300
米
/
分
钟；.........................................................(6分) (2)当甲到达学校时，乙还要2分钟才能到达学校， ∴此时乙同学离学校还有300×2＝600(米)．
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有6
00
米．.....................................(9分)
11. 解：(1)设第一次购进这种衬衫x 件，则第二次购进这种衬衫
1
2
x 件，根据题意得45002100
1012
x x =+， 解得x ＝30，
经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意，
课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 2020年中考数学总复习：方程与不等式 一、单选题 1．（2019·辽宁省中考真题）不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（2019·辽宁省中考真题）若关于x 的一元二次方程2304kx x -- =有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k = B ．1 3k ≥- C ．13k ≥-且0k ≠ D ．13 k >- 3．（2019·辽宁省中考真题）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．360480140x x =- B ． 360480140x x =- C ．360480140x x += D ．360480140x x -= 4．（2018·辽宁省中考真题）一元二次方程2x 2-x+1=0的根的情况是 （ （ A ．两个不相等的实数根 B ．两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断 5．（2019·辽宁省中考真题）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．60(125%)6060x x ?+-= B ．6060(125%)60x x ?+-= C ．606060(125%)x x -=+ D ．606060(125%)x x -=+ 6．（2016·辽宁省中考真题）下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( ) A ．2x 2（6x（1（0 B ．3x 2（x（5（0 C ．x 2（x（0 D ．x 2（4x（4（0 7．（2015·辽宁省中考真题）已知k 、b 是一元二次方程(21)(31)0x x +-=的两个根，且k ＞b ，则函数y kx b =+的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．（2019·辽宁省中考真题）不等式组2x 12x 40->??+≥? 的解集，在数轴上表示正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 考点跟踪训练10 不等式(组)的应用 一、选择题 1．小颖准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买多少支笔？ ( ) A ．1支 B ．2支 C ．3支 D ．4支 答案 D 解析 (21－2×4)÷3＝13÷3＝413 ，选D. 2．(2011·茂名)若函数y ＝m ＋2x 的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( ) A ．m >－2 B ．m <－2 C ．m >2 D ．m <2 答案 B 解析 双曲线在其象限内y 随x 的增大而增大．可知m ＋2<0，m <－2. 3．(2010·南州)关于x 、y 的方程组? ???? x －y ＝m ＋3，2x ＋y ＝5m 的解满足 x >y >0 ，则m 的取值范围是( ) A. m >2 B. m >－3 C ．－3 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 初中数学方程与不等式之分式方程知识点 一、选择题 1．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（） A．180180 3 2 x x -= + B． 180180 3 2 x x -= + C．180180 3 2 x x -= - D． 180180 3 2 x x -= - 【答案】D 【解析】 【分析】 先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】 解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：180180 3 2 x x -= - . 故选：D. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数. 2．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是() A． 4 1 16 x x x += +- B． 4 16 x x x = -+ C． 4 1 16 x x x += -- D． 4 1 16 x x x += -+ 【答案】D 【解析】【分析】 首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的 1 1 x- ，而乙每天完成总工程 的 1 6 x+ ，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】 ∵工程期限为x天， ∴甲每天完成总工程的 11x -，乙每天完成总工程的16 x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116 x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键. 3．关于x 的方程 m 3+=1x 11x --解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠ C ．m<2m 3≠且 D ．m>2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】 方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴210x m x =-??-≠? 解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】 此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 4．解分式方程11 222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3" C ．x="4" D ．无解 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ． 考点：解分式方程． 【中考攻略】专题6：不等式（组）应用探讨 初中数学中一元一次不等式（组）的应用是一项重要内容，也是中考中与列方程（组）解应用题二选一（或同题）的必考内容。一元一次不等式（组）的应用基本步骤为： ①审（审题）； ②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等和不等关系）； ③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列不等式（组））； ⑥解（解不等式（组））； ⑦选（选取适合题意的值）； ⑧答（回答题问）。 一元一次不等式（组）的应用包括（1）根据题中关键字（图）列不等式问题；（2）分配问题；（3）生产能力问题；（4）方案选择与设计问题；（5）分段问题；（6）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、根据题中关键字（图）列不等式问题：这类题一定要抓住题目中的关键文字，比如：大、 小、大于、小于、至多、至少、不大于、不小于等，根据这些关键字直接列出不等式。这类问题包括行程问题、工程问题、浓度问题、销售问题、几何问题等。 典型例题： 例1. （2012湖北恩施3分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【】A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 【答案】B。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式： [0.9a（1+x）b－ab]÷ab·100%≥20%，解得x≥1 3 。 ∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%。 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x （易错题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案 一、选择题 1．已知关于x 的分式方程 213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m >- D ．3m ≥- 【答案】A 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】 213 x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得 23x m x -=-， 移项及合并同类项，得 3x m =-， Q 分式方程213 x m x -=-的解是非正数，30x -≠， 30(3)30m m -≤?∴?--≠? ， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】 此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值 2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ） A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025 x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键. 3．方程 24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 去分母得：2x=（x ﹣2）2+4， 分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4， 经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．若 x=3 是分式方程 2102a x x --=- 的根，则 a 的值是 A ．5 B ．-5 C ．3 D ．-3 【答案】A 【解析】 把x=3代入原分式方程得， 210332 a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A. 5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ?-= B ． 800800402.25x x -= C ． 800800401.25x x -= D ．800800401.25x x -= 【答案】C 方程与不等式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知关于的方程的解满足方程，则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2．已知两数之和是10，比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3．下列关于的方程中，有实数根的是( ) A． B． C． D． 4.分式方程的解为( ) A． B． C． D． 5.关于的不等式的解集如图，那么的值是（） A．－4 B．－2 C．0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 7. 在＝－4，－1，0，3中,满足不等式组的值是（） A．－4和0 B．－4和－1 C．0和3 D．－1和0 8. ，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知关于的一元一次方程的解是＝2，则的值为． 10．小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元，已知篮球按标价打八折，那么篮球的标价是元． 11. 已知是二元一次方程组的解，则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是，则的值为 . 13．若，是方程的两实数根，那么的值为 . 14．若关于的分式方程有增根，则的值是 . 15．已知直线经过点（1，﹣1），那么关于的不等式的解集是 . 16．小红在解方程组的过程中，错把看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分，需要有必要的推理与解题过程）. 17．（本题4分）解方程 18.（本题4分）解方程组： 19．（本题6分，每小题3分）解方程： ⑴. ⑵. 20．（本题6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来. 方程与不等式之分式方程解析 一、选择题 1．方程1235 x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x = C ．3x =- D ．1x = 【答案】D 【解析】 【分析】 方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】 方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1， 经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根. 2．方程 10020x +＝60 20x -的解为（ ） A ．x ＝10 B ．x ＝﹣10 C ．x ＝5 D ．x ＝﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ），解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根． 【详解】 解：方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ）， 得100（20﹣x ）＝60（20+x ）， 整理，得8x ＝40， 解得，x ＝5， 经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5； 故选：C ． 【点睛】 本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键． 3．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量 增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．30007200 4030 x x -=+ B ．72003000 4030x x -=+ C ． 72003000 4030x x -=+ D ． 30007200 4030x x -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得： 72003000 4030x x -=+ 故选：C 【点睛】 本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量． 4．方程221 11 x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝ 12 B ．x ＝ 15 C ．x ＝ 14 D ．x ＝ 14 【答案】B 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1， 解得：x ＝ 15 ， 经检验x ＝1 5 是分式方程的解， 故选B ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 2017年中考数学专题练习6《不等式（组）》 【知识归纳】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 ，且不等式的两边都是 ，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >??? 的解集是 ，即“大大小小取不了”. 6．列不等式（组）解应用题的一般步骤： ①审： ；②找： ；③设： ；④列： ；⑤解： ；⑥答： . 【基础检测】 1.（2016·内蒙古包头）不等式﹣ ≤1的解集是（ ） A ．x≤4 B ．x≥4 C ．x≤﹣1 D ．x≥﹣1 2.（2016·云南昆明）不等式组 的解集为（ ） 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 《不等式组与分式方程代数》综合训练 一．选择题（共17小题） 1．若关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（） A．12 B．14 C．21 D．33 2．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程＝﹣1有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（） A．2 B．3 C．5 D．6 3．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 4．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 5．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 6．若数a使得关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分 式方程﹣＝2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 8．要使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝2的解为非正数的所有整数a的和是（） A．10 B．9 C．8 D．5 9．若数k使关于x的不等式组只有4个整数解，且使关于y的分式方程+1＝的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（） A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣6 10．如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于x的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 11．若关于x的不等式组，有且只有三个整数解，且关于x的分式方程﹣＝﹣1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．15 12．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2＝有正数解，则满足条件的整数k的和为（） A．5 B．6 C．7 D．8 13．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程＝3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0 初中数学 不等式与不等式组 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009年北京市）不等式325x +≥的解集是 . 2.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3．（2009年吉林省）不等式23x x >-的解集为． 4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．(2009年云南省)不等式组40320x x ->??+>? 的解集 是 . 6.（2009年包头）不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩 的方差得22 S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9.(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 1-．（2009年甘肃白银）不等式组103x x +>??>-? ，的解集是 ． 11.（2009年宁波市）不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12.(2009年义乌)不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13、（2009江西）不等式组23732 x x +>??->-?， 的解集是 ． 14（2009年湘西自治州）3.如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15.（2009年烟台市）如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?的解是 ． 17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．（2009年孝感）关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ▲ ． 19．（2009年厦门市）已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=，则a b +=____________． 20．(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 一次方程及方程组专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、方程 2x －3＝1 的解是＿＿＿＿。 ２、已知 2x －y ＝1，用含 x 的代数式表示 y ＝＿＿＿＿。 ３、“某数与 6 的和的一半等于 12”，设某数为 x ，则可列方程＿＿＿＿＿＿。 ４、方程 2x ＋y ＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿＿＿。 ５、若 x ＝1 y ＝2 是方程 3ax －2y ＝2 的解，则 a ＝＿＿＿＿。 ６、当 x ＝＿＿＿＿时，代数式 3x ＋2 与 6－5x 的值相等。 ７、试写出一个解为 x ＝－1 ８、方程组 x ＋y ＝3 2x －3y ＝－4 的解是＿＿＿＿＿＿。 ９、3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要＿＿＿＿场比赛，则 5 名同学一共需要＿＿＿＿比赛。 10、如图，是一个正方形算法图，□里缺的数是＿＿＿＿，并总结出规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 11长为 12cm ，那么小矩形的周长为＿＿＿＿cm 。 12、一轮船从重庆到上海要 5 昼夜，而从上海到重庆要 7 昼夜，那么一个竹排从重庆顺流漂到上海要＿＿＿昼夜。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A 、x ＝y ＋1 B 、1x ＝1 C 、x 2 ＝x －1 D 、x ＝1 ２、已知 3－x ＋2y ＝0，则 2x －4y －3 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、1 D 、0 ３、用“加减法”将方程组 2x －3y ＝9 2x ＋4y ＝－1 中的 x 消去后得到的方程是（ ） A 、y ＝8 B 、7y ＝10 C 、－7y ＝8 D 、－7y ＝10 ４、某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔 25 元，若按定价的九折出售将赚20 元，则这种商品的定价为（ ） A 、280 元 B 、300 元 C 、320 元 D 、200 元 ５、小辉只带了 2 元和 5 元两种面额的人民币，他买了一件物品只需付 27 元，如果不麻烦售货员找零钱，他有几种不同的付款方法（ ） A 、一种 B 、两种 C 、三种 D 、四种 ６、为了防沙治沙，政府决定投入资金，鼓励农民植树种草，经测算，植树 1 亩需资金 200 元，种草 1 亩需资金 100 元，某组农民计划在一年内完成 2400 亩绿化任务，在实施中由于实际情况所限，植树完成 了计划的 90%，但种草超额完成了计划的 20%，恰好完成了计划的绿化任务，那么计划植树、种草各多少亩？若设该组农民计划植树 x 亩，种草 y 亩， 方程与不等式之分式方程全集汇编及解析 一、选择题 1．已知关于x 的分式方程22124 x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8 C ．-8或-4 D ．0或-8或-4 【答案】D 【解析】 【分析】 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】 解：分式方程去分母得：（x?2）2?mx ＝（x ＋2）（x?2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝?4时整式方程无解； 当x ＝?2时原方程分母为0，此时m ＝?8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容． 2．若数a 使关于x 的分式方程 2311a x x x --=--有正数解，且使关于y 的不等式组211 42 y a y y a ->-?? ?+??…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】 解方程 2 311a x x x --=--，得： 12 a x +=， ∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1， 又1x ≠， ∴ 1 2 a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1， ∵关于y 的不等式组21142 y a y y a ->-?? ?+??…有解， ∴a-1 不等式与不等式组 命题趋势】 1．解不等式（组）并在数轴上表示解集．试题难度一般不大，选择题、填空题和解答题中都会出现．2．联系生活实际，用不等式（组）解决实际问题，常与函数、方程结合考查． 【满分技巧】 一、不等式的性质 不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c． 二、一元一次不等式及其解法 （1）已知一元一次不等式（组）的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式（组）的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定． （2）根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 三、一元一次不等式组及其解法 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 四、一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”“最多”“不超过”“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 不等式与不等式组 一、选择题 1.若a＜b，则下列各不等式中一定成立的是（） A. a﹣1＜b﹣1 B. ﹣a＜﹣b C. D. ac＜bc 2.不等式2x﹣8＜0的正整数解有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.不等式组的解集是（） A. x<－3 B. x<－2 C. －32020年中考数学总复习：方程与不等式
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