第二章有理数及其运算
学习目标：学习认识有理数，负数。掌握绝对值，相反数，倒数的运算；掌握有理数的加减，乘除，以及混合运算，乘方的混合运算；计算器的简单运用；
重难点：加减法的混合运算，乘除的混合运算，乘方
一、中考要求：
1．理解有理数及其运算的意义，并能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值
3．经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算．
4．能运用有理数及其运算解决简单的实际问题．
知识结构
二、中考卷研究
(一)中考对知识点的考查：
2004-2010年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:
(二)中考热点：
本章多考查有理数有关的概念、性质、法则等，另外还有一类新情景的探索性、开放性、创造性问题也是本章的热点的考题．
三、中考命题趋势及复习对策
本章内容是中考命题的重要内容之一，是初中数学的基础知识，在中考中占有一定的比例，它通常以填空、选择、计算的形式出现，这部分试题难度不大，主要是考查了学生对概念的理解及基础知识的运用能力，以后的试题在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识的分析能力，解决简单实际问题的能力．
针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，注重对概念的理解，锻炼计算能力．
考点1：有理数的意义，有理数的大小比较、相反数、绝对值
一、考点讲解：
1．整数与分数统称为有理数．
有理数
2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
3．如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是0．
4．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．5．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
6．乘积为1的两个有理数互为倒数．
7．有理数分类应注意：（1）则是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．
8．两个数a、b在互为相反数，则a+b=0．
9．绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为士5，易丢掉－5．
二、经典考题剖析：
【考题1－1】|－22|的值是（）
A．－2 B.2 C．4 D．－4
解C 点拨：由于－22=－4，而|－4|=4．故选C．
【考题1－2】在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）：□○□=－6；□○□=－6．
= －6
点拨：此题考查有理数运算，答案不唯一，只要符合题目要求即可．
【考题1－3】自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷断”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉人“陷井”的这个固定不变的数R=_________
解：13 点拨：可任意举一个自然数去试验，如15，(1+5）×3+1=19，（1+9）×3+1=31，(3+1）×3+1=13
(1+3）×3+1=13，……．
【考题1－4】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场
所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．： 解：（1）如图1－2－1所示：
（2）300－（－200）=500（m ）；或|－200－300 |=500（m ）；或 300+|200|=500（m ）． 答：青少宫与商场之间的距离是 500m 。 三、针对性训练：(30 分钟)
1．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数．（考察相反数的概念） 2．若3a 的倒数与2a-9
3 互为相反数，则a 等于（ ）（考察相反数的概念）
3．已知有理数x 、y 满足1+2y-4+z-6=0x ，求xyz 的值．（考察绝对值的性质）
4．如图1―2―2是一个正方体盒子的展开图，请把-10，8，10，
－2，－8，2分别填入六个 小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．（综合运用一二章知识）
5．在数轴上a 、b 、c 、d 对应的点如图1―2―3所示，化简|a －b|+|c －b|+|c －c| +|d －b|.（考察数轴上的点的大小何正负关系）
6．把下面各数填入表示它所在的数集里．（考察有理数的分类） －3，7，－2
5 ，0，2003，－1．41，0．608，－5 ％
正有理数集｛…｝；
负有理数集｛…｝；
整数集｛…｝；
有理数集｛…｝；
7．已知a与b互为倒数，c和d互为相反数，且|x|=6，求式子2
3ab-(c+d)+x的值．（考察倒数相反数概念）
8．比较－15
16与－
29
32的大小．（借助绝对值比较两数的大小）
考点2：乘方的意义、有理数的运算
一、考点讲解：
1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
4．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．
5．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
6．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．
7．有理数的运算律：
加法交换律：a+b=b+a(a b
、为任意有理数)
加法结合律：(a+ b）+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
8．有理数加法运算技巧：
（1）几个带分数相加，把它们的整数部分与分数
（或小数）部分分别结合起来相加
（2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加； （3）几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加； （4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加；
（5）几个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相加． 9．学习乘方注意事项： （1）注意乘方的含义；
（2）注意分清底数，如：－a n 的底数是 a ，而不是－a ；
（3）注意书写格式，在书写底数为负数或分数时，一定要加括号，如3
4 的平方面
应写成(34 )2而不能写成2
34
，－5的平方应是（－5）2而不是－52；
（4）注意运算顺序，运算时先算乘方，如 3 ×52=3 ×25=75；
（5）注意积与幂的区别：如2×2×2=8，23= 8，前者的8是积（乘法的结果），后
者的8是幂（乘方的结果) 二、经典考题剖析：
【考题2－1】今年我市二月份某一天的最低气温为－5o C ， 最高气温为13 o C ，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ） A ．－18o C B ．18o C C ．13o C D ．5o C 解：B 点拨：13－（－5）－13＋5=18（℃）．
【考题2－2】生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养 级的能量，大约只有10％的能量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→ H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，（H n
表示第n 个营养级，n=l ，2，…，6），要使H 6获得10千焦的能量，需要H 1提供的能量约为（ ）千焦
A ．104
B ．105
C 106
D 107
解:C 点拨：因只有10％的能量从上一营养级流到下一营养级，所以要使H 6获得10千焦的能量，则H 1需 100千焦，以此类推，H 1需提供106千焦． 【考题2－3】计算：6－1=______ 解： 1
6 点拨：需用1
(a 0,p )p p
a a -=
≠其中为正整数 三、针对性训练：(45 分钟) (答案：212 )
1521
1-++-4632
134
2-3+3-6.8+5
577
3a b c d abcd=9,a+b+c+d 、计算：、计算：、已知、、、是四个互相不相等的整数，且求的值。
4、2
22
33411110.5+(-)--2-4-(-1)()(-)2232-?÷计算：
5、我们平常用的数是十进制的数 如2639=2 ×103＋6 ×102＋3 ×102＋9×10，表示十进制的数要用
十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码：0，1．如二进制中：101＝1×22＋0 ×21+ 1×20等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数23．请问二进制中的1101等于十进制中的哪个数？_________________
7．已知|x|=3，|y|=2，且xy≠0，则x+y的值等于___ 8．计算12－|－18|+(－7)+(－15)．
其中错误的个数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【回顾1】计算1－|－2| 结果正
确的是（）
A．3 B．1 C．－1 D．－3 【回顾2】计算（－3）3的结果是（）
A．9 B．－9 C．27 D．－27 【回顾3】－2005的绝对值是（）
A．－2005 B．－
1
2005C、
1
2005D．2005
【回顾4】有理数3的相反数是（）
A．－3 B、3 C．－1
3D、
1
3
【回顾5】计算－32的结果是（）
A．－9 B．9 C．－6 D．6
【回顾6】今年2月份某市一天的最高气温为11o C，最低气温为－6o C，那么这一天的最高气温比最低气温高（）
A．－17℃B．17℃C．5℃D．11℃
【回顾7】在等式3 ×□－2×□＝15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立．则第一个方格内的数是________________．
【回顾8】计算：（－2）0+4× （－1
2 ） 一、基础经典题( 30分)
（一）选择题（每题2分，共12分） 【备考1】下列说法不正确的是（ ）
A ．没有最大的有理数
B ．没有最小的有理数
C ．有最大的负数
D ．有绝对值最小的有理数
【备考2】－2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ） A10 B ．20． C ．－30 D ．18
【备考3】一个数的倒数的相反数是11
5 ,则这个数是（） A 、65 B 、5
6 C 、65 D 、－5
6
【备考4】如果ab< 0，a+b>0，那么这两个有理数为（） A ．绝对值相等的数
B ．符号不同的数，其中正数的绝对值较大
C ．符号不同的数，其中负数的绝对值较大
D ．以上都不正确
【备考5】若|a|=7，|b|=5,a+ b ＞0，那么a －b 的值是（） A ．2或 12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．－2或 12
【备考6】一个正整数a 与其倒数1
a ，相反数－a ，相比较，正确的是（ ） A 、－a ＜1a ≤a B 、－a ＜1
a ＜a C 、－a ＜1a ＜a D 、－a ＜1
a ＜a （二）填空题（每题2分，共8分）
【备考7】数轴上点A 到原点的距离是5，则A 表示 的数是_____________
【备考8】比较大小：－56 ____－6
7 【备考9】若－|a|=－1
2 ，那么a=_______．
【备考10】若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________． 【备考11】（－3）×13 ÷(－13 )×
3
【备考12】3333220031
12[()()](3)(1)22
---++--- 二、学科内综合题（每题10分，共20分）
【备考13】已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒
数心不能作除数，求
200220012000
12()2()a b c d y x
+-++的值．
【备考14】在某次数学小测验中，某小班8个人的平
均分为85分，其中6位同学平均分为84分，另两人中一个人比另一个人高6分，求这两位同学各多少分？ 三、渗透新课标理念题(10分)
【备考15】体育课上，全班男同学进行百米测验，达
标成绩为15秒，下面是第1小组8名男生的成绩记录，其中“+”号表示成绩大于15秒． －0．8 +10 －1．2 －0．7 +0．6 －0．4 －0．l
（1）这个小组男生的达标率为多少？平均成绩为多少秒？ （2）以15秒为0点，用数轴来表示第1小组男生
的成绩．
四、实际应用题(10分）
【备考16】某粮站在一个星期内共收五次麦子，每次
收购数分别是6吨、3．5吨、4吨、4吨和2．5吨，同时在这一周内又分别调往广州15吨、上海10吨、南京12吨，该粮站这一周是存粮，还是从库存中取出粮食？是多少？
五、渗透新课标理念题（每题10分，共30分）
【备考17】（新解法题）已知11
+-=，求代数
a b
32
(a+b-1)+2(a+b-1)-a-b的值．
【备考18】（探索题）你能很快算出19952吗？
【备考19】（阅读理解题）
（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A上两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A、B两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|；②如图1－2－6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b－(－a)=|a－b|；③如图1－2－7所示，点A、B在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－b|
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|
（1）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之
间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么
x为_________．
③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.
七年级数学单元检测题1
第二章有理数及其运算
一、精心选一选：(每小题3分，共30分)
1、A为数轴上表示-1的点，将点A在数轴上向右平移3个单位长度到点B，则点B所表示的实数为（）
A．3 B．2 C．-4 D．2或-4
2、如果|a|=-a，那么a一定是（）
A ．正数
B ．负数
C ．非正数
D ．非负数 3、一个数是10，另一个数比10的相反数小2，则这两个数的和为（ ）
A ．18
B ．-2
C ．-18
D ．2 4、下列各式的值等于5的是 ( )
(A) |－9|＋|＋4|； (B) |(－9)＋(＋4)|； (C) |(＋9)―(―4)|； (D) |－9|＋|－4|．
5、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，
再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第( )次后可拉出64根细面条． (A) 5； (B) 6； (C) 7； (D) 8．
6、用计算器计算230
）
（
A ） （
B ）
（C ） （D ）
7、四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（ ）
(A)
(C) (D)
8、两个负数的和一定是（ ） （A ）负数； （B ）非正数； （C ）非负数； （D ）正数． 9、下列各对数中，数值相等的是（ ）
（A ）－32与－23；（B ）(－3)2与－32；（C ）－23与(－2)3；（D ）(－3×2)3与－3×23．
10、式子（21－103+52）×4×25=（21－103+52
）×100=50－30+40中用的运算律是（ ）
（A ）乘法交换律及乘法结合律； （B ）乘法交换律及分配律； （C ）加法结合律及分配律； （D ）乘法结合律及分配律．
二、耐心填一填：（每题3分，共24分)
11、5
2
的绝对值是 ，相反数是 ，倒数是 ．
2 3 0 ＝ 3 2 × 0 ＝ 2 y x
0 3 3 2 y x 0 ＝ -2 -1 0 1 2
12、有理数1.7，－17，0，7
25-，－0.001，－29
，2003和－1中，负数有 个，
其中负整数有 个，负分数有 个．、
13、数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是 ．
14、比较大小：(1)－2 2；(2)－1.5 0；(3)43- 5
4
-（填“＞” 或“＜” ）
15、股民李金上星期六买进某公司的股票，每股27元，下表为本周内该股票的涨跌情况
星期三收盘时．每股是 元；本周内最高价是每股 元；最低价是每股 元．
16、将下面的四张扑克牌凑成24，结果是 ＝24．
17、李明与王伟在玩一种计算的游戏，计算的规则是
bc ad d
b
c a -=，李明轮到计算1
253，根据规则
1
253=3×1－2×5＝3－10=－7，现在轮到王伟计算
5
362，请你帮
忙算一算，得 ．
18、你能根据右图得出计算规律吗？
1＋3＋5＋7＋9＋11＝( )2 请你猜想：1＋3＋5＋…＋2009＝( )2 三、用心画一画：
19、在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小．
3，－1.5，2
1
3-，0，2.5，－4．
比较大小： ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
四、细心算一算： 计算下列各题
20、(1) (– 143) － (＋631)－2.25＋3
10 (2)）
（）（23
235-÷-+--
21、(1) －374÷（－132）×（－432） (2) ）（）（）（2412
11
433221911927-?--+-÷-
22、列式计算：求绝对值大于1而不大于5的所有负整数．．．的和．
五、决心博一博：
23、一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶。某一天早晨从A 地出发，晚上到达B 地。
约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）
-18.3, -9.5, +7.1, -14, -6.2, +13, -6.8, -8.5 （1）问B 地在A 地何处，相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？
七年级数学单元检测题2
第二章 有理数及其运算
班级：_________ 姓名：______________ 学号：_________ 成绩：________ 一、填空题：（每小题3分，共30分）
1. 计算：)2()3(---=___________；223)2(--=_____________.
2. 已知a >0，b <0，则a 、b a -、b a +的大小顺序是_________________________.
3. 大于10-而小于100的整数有_________个，其中最小的整数是__________，绝对
值最小的是___________.
4. a 为最小的正整数，b 为a 的相反数的倒数，c 为相反数等于它本身的数，则
)(5b a ++4c =_________.
5. 如果22)4(-=a ，则a =_____________.
6. 52-
的倒数与3
10
-的相反数的差是___________. 7. 数轴上表示与表示2-的点距离为3个单位的点表示的数为_____________. 8. 已知021=-+-a ，则b a 5100-=____________.
9. 举出一对相反意义的量，并用正负数表示______________________________. 10. 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20032003b a +=_________. 二、选择题：（每小题3分，共30分）
11. 在3-，5-，)4(--， 0 中，负数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12. 下列式子中，正确的是（ ）
A. 223)4(->-
B. 2
1
4.0-<-
C. 7
654-<-
D. 9
8
89->-
13. 若0<
A.
b
a 1
1> B. 1 1>b a D. 1 a 14. 一个有理数的相反数与自身的绝对值的和（ ） A. 可能是负数 B. 必为正数 C. 必为非负数 D. 必为0 15. 下列计算正确的是（ ） A. 276)32(3-=- B. 94 )32(2=-- C. 27 8)32(3=- D. 125 27 )53(3-=- 16. 如果一个数的绝对值等于它的平方，那么这个数是（ ） A. 1 B. 0 C. 1，1- D. 1-，0，1 17. 下列语句：①一个数的平方是正数，那么这个数一定是正数 ②求n 个因数的积 的运算叫乘方 ③两个数的积为1，则这两个数互为倒数 ④所有的有理数都有倒数. 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 18. 若a 与b 2 互为相反数，那么a 的倒数可以写成（ ） A. b 2 B. b 2- C. 2 b D. 2 b - 19. 如图，已知在数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的有理数都是整数，若A 对应的有理 数为a ，B 对应的有理数为b ，且72=-a b ，则数轴的原点是（ ） A. A 点 B. B 点 C. C 点 D. D 点 20. a 为有理数，则下列等式成立的是（ ） A. 02>a B. 02<-a C. 0)(>--a D. 012>+a 三、解答题：（满分60分） 21. 计算：（每小题5分，共25分） （1）)3(28)4(---+--- （2）)25.0()4 3 ()32(42-÷-+-? （3）)8.0()10()1.0(223-+-??- （4）3)3 2 (223--÷ （5）])3()2[(1232-+-?- 22. （6分）已知点A 在数轴上对应的有理数是a ，将点A 向左移动4个单位，再向右 移动一个单位与点B 重合，点B 对应的有理数是25-，求a . 23. （10分）已知4 =a ，3 =b ，求b a -的值.
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