专题6：二次根式
一、选择题
１．（上海4分）下列二次根式中，最简二次根式
． 【答案】B 。
【考点】最简二次根式。
【分析】都不是最简二次根式。故选B 。
2.（浙江杭州3分） 下列各式中，正确的是
A. 3)3(2-=-
B. 332-=-
C. 3)3(2
±=± D. 332±=
【答案】B 。
【考点】算术平方根。
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出
结果： A 、33)3(2=-=-，故本选项错误；B 、332-=-，故本选项正确；C 、39)3(2
==±，
故本选项错误；D 、332=，故本选项错误。故选B 。
3.（浙江省3分）已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 32
2-+的值为
A.9
B.±3
C.3
D. 5 【答案】C 。
【考点】代数式求值、
【分析】由21+=m ，21-=n 得 2 , 1m n mn +==-，则mn n m 32
2-+
3。故选C 。
4.（黑龙江大庆3分）对任意实数a ，下列等式一定成立的是
A a
B ＝－a
C a
D ＝|a | 【答案】D 。
【考点】二次根式的性质与化简。
A ．(－3)2
＝－3 B ．(3)2
＝3 C ．9＝±3 D ．3＋2＝ 5
【答案】B 。
【考点】二次根式的化简。
【分析】根据二次根式的化简逐一分析，得出结果：A ．(－3)2
＝9＝3，选项错误； B ．(3)2
＝3，选项正确； C ．9＝3，选项错误；D ．3＋2≠5，选项错误。故选B 。
6.（广西柳州3分）在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＞3 C ．x ≥2 D ．x ＜2
【答案】C 。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：202x x -≥?≥，故选C 。 7.（广西钦州3分）下列计算正确的是 A ．(－3)2
＝－3 B ．(3)2
＝3
C ．9＝±3
D ．3＋2＝ 5
【答案】B 。
【考点】二次根式的化简。
【分析】根据二次根式的化简逐一分析，得出结果：A ．(－3)2
＝9＝3，选项错误； B ．(3)2
＝3，选项正确； C ．9＝3，选项错误；D ．3＋2≠5，选项错误。故选B 。
8.（江苏南京2
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．
【答案】A 。
【考点】算术平方根。
【分析】根据算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，直接得出结果。故选A 。 9.（江苏常州、镇江2分）若2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围
A ．x ≥2 B．x ≤2 C．x ＞2 D ．x ＜2
【答案】A.
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使202x x -≥?≥，故选A 。
10.（江苏徐州2分）x 的取值范围是 A ．1x ≥ B ．.1x > C ．.1x < D ．1x ≤ 【答案】A 。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：101x x -≥?≥。故选C 。 11.（山东潍坊3分）下面计算正确的是.
A.3333=+
B.3327=÷
C.532=?
D.24±= 【答案】B 。
【考点】二次根式的混合运算。
【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可：A.3此选项错误；B. 393
27
327===
÷，故此选项正确；C.63232=?=? 故此选项错误；D. 24=故此选项错误。故选B 。 12.（山东济宁3分）下列各式计算正确的是
B.2+==【答案】C 。
【考点】二次根式的计算。
【分析】根据二次根式的计算法则，直接得出结果：A
加故错误；B ，∵2和
不能直接相加，故错误；C ，∵=，故正确；D ，
≠C 。 13.（山东泰安3分）下列运算正确的是
A 5=±
B 、1=
C 9
D 6= 【答案】D 。
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案：
A 5，∴故此选项错误；
B ．∵=，∴故此选项错误；
3，∴故此选项错误；D 6=。∴故此选项正确。故选D 。
14.（山东临沂3分）计算
A 、
B 、5、5
D 、
【答案】A 。
【考点】二次根式的加减法。
【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并：
6。故选A 。 15.（山东淄博3分）下列等式不成立的是
A ．66326=?
B 4=
C ．33
3
1=
D ．228=- 【答案】B 。
【考点】二次根式化简。
【分析】4≠，∴B 选项错误。故选B 。
16.（山东烟台4分）12a -，则
A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥1
2
【答案】B 。
【考点】二次根式的性质及其应用，解一元一次不等式。
【分析】根据二次根式的性质：当a ≥0＝a ；当a ＜0＝－a ．12a =-在实数范围内有成立，即要120a -≥，即a ≤
1
2
。故选B 。
17.（山东菏泽3分）实数a
A 、7
B 、﹣7
C 、2a ﹣15
D 、无法确定
【答案】A 。
【考点】二次根式的性质与化简，算术平方根，实数与数轴。
【分析】先从实数a 在数轴上的位置，得出a 的取值范围5＜a ＜10，然后确定（a ﹣4）和（a ﹣11）
的正负：a ﹣4＞0，a ﹣11＜0411=7a a -+-。故选A 。
18.（山东滨州3分）x 的取值范围是
A 、x ≥
1
2
B 、x ≤﹣
12 C 、x ≥﹣12
D 、x ≤
1
2
【答案】C 。
【考点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式。
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x 的取值范围即可：由
1
1202
x x ?+≥?≥-。故选C 。
19.（广东广州3分）当实数x y ＝4x ＋1中y 的取值范围是
A 、y ≥﹣7
B 、y ≥9 C、y ＞9
D 、y ≤9
【答案】B 。
【考点】函数值，二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式有意义被开方数为非负数的条件，得到x ﹣2≥0，即x ≥2。不等式两边乘以4，得4x ≥8，不等式两边再加上1，得4x +1≥9，即y ≥9。故选B 。 20. （湖北荆门3分）若等式1)23
(
0=-x
成立，则x 的取值范围是 A.12x ≠ B.0x ≥且12x ≠ C.0x ≥ D.>0x 且12x ≠
【答案】B 。
【考点】二次根式有意义的条件，0次幂的定义。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使
在实数范围内有意义，必须
003x
x ≥?≥；根据0次幂底数不为0的定义，20≠，即12x ≠。因此要使式1)23
(0=-x 成立， x 的取值范围是0x ≥且12x ≠。故选B 。 21.（湖北孝感3分）下列计算正确的是
【答案】A 。
【考点】二次根式的混合运算。
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则进行计算，然后判断各选项：A 、
故本选项正确；B 故本选项错误；C 故本选项错误；D 2，故本选项错误。故选A 。
22.（内蒙古包头3分）3的平方根是
A ．± 3
B ．9
C ． 3
D ．±9 【答案】A 。 【考点】平方根。
【分析】直接根据平方根的概念即可求解：∵（±3）2
=3，∴3的平方根是为±3。故选A 。 23.（内蒙古呼伦贝尔3分）4的平方根是
A. 2
B. 2±
C. 2-
D. 16 【答案】B 。 【考点】平方根。
【分析】根据平方根的定义，∵（±2）2
=4，∴4 的平方根是±2。故选B 。 24.（内蒙古乌兰察布3分） 4 的平方根是 A . 2 B . 16 C. ±2 D. ±16 【答案】C 。
【考点】平方根。
【分析】根据平方根的定义，∵（±2）2
=4，∴4 的平方根是±2。故选C 。 25.（四川资阳3分）下列计算中，正确的是
A. =
B. =3= 3=-
【答案】C 。
【考点】二次根式计算。
【分析】A. 和不好合并，∴ 选项错误；B.
选项错误；3=，选项正确；3，选项错误。故选C 。
26.（四川巴中3分）
0)x >中，最简二次根式有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A 。
【考点】最简二次根式。
【分析】
==0)x =>，∴它们都不是
A 。 27.（四川宜宾3分）根式x –3中x 的取值范围是
A.x≥ 3
B.x≤ 3
C. x < 3
D. x > 3 【答案】A 。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x –3在实数范围内有意义，必须
0x x ?A 。
28.（四川凉山4分）已知3y ，则2xy 的值为
A ．15-
B ．15
C ．152-
D ． 152
【答案】A 。
【考点】二次根式有意义的条件，代数式求值。
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，然后代入式子求出y 的值，最后求出2xy 的值：
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使3y 在实数范围内有
意义，必须2505520
2x x x -≥??=?-≥?。∴3y =-。∴()5223152xy =??-=-。故选A 。
29.（安徽省4分）设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 【答案】C 。
【考点】无理数的大小比较。
【分析】∵42﹤19﹤52，∴4﹤19﹤5，3﹤19－1﹤4，即3﹤a ﹤4。故选C 。 30.（贵州黔南4分）估计20的算术平方根的大小在
A 、2与3之间
B 、3与4之间
C 、4与5之间
D 、5与6之间
【答案】C 。
【考点】估算无理数的大小。
【分析】∵16＜20＜2545。故选C 。 二、填空题
1.（重庆綦江4分）x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1
2
x ≥
。 【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数的条件，列不等式求解：2x ﹣1≥0，解得12
x ≥。 2.（浙江台州5分）若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1x ≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
101x x -≥?≥。
3.（广西北海3分）计算：12－3＝ ▲ ．
【考点】二次根式化简。
【分析】根据二次根式化简的步骤，先将每个因式化为最简根式，再合并即可：
=
4.（广西崇左2分）x 的取值范围是 ▲ . 【答案】1x ≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：101x x -≥?≥。
5.（广西河池3分）＝ ▲ ．
【答案】1。 【考点】根式化简。
【分析】33321=-
==-=。
6.（广西梧州3分）当a ▲ _ 【答案】≥－2。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：202a a +≥?≥-。 7.（湖南张家界3分）我们可以利用计数器求一个正数a 的平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：
小明按键输入 显示结果为4，则他按键输入
显示结果应为 ▲ . 【答案】40。 【考点】数的开方。
【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，直接解答即可：
441040=?=。
8.（湖南衡阳3分）= ▲ ．
【答案】
【考点】二次根式的加减法。
【分析】= 9.（江苏南通3分）计算：8－2＝ ▲ ．
【考点】二次根式计算。
【分析】=
10.（江苏扬州3分）= ▲
【考点】二次根式计算。
【分析】运用二次根式运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可：
11.（江苏南京2分）计算1)(2= ▲ ．
【考点】二次根式计算, 平方差公式。
【分析】)1)(21)21-
12.（山东日照4分）已知x ，y (1y -＝0，那么x 2011
－y
2011
＝
▲ ． 【答案】－2。
【考点】二次根式有意义的条件，算术平方根的性质，有理数的乘方。
【分析】∵(1y --＝0(1y +-0。 又∵由被开方数为非负数的二次根式有意义的条件，得10y -≥，
∴根据算术平方根为非负数的的性质，要使两个非负数之和等于0，必须这两个数同时为0，即
10 , 10x y +=-=，即1 , 1x y =-=。
∴ x
2011
－y
2011
＝（－1）
2011
－1
2011
＝－2。
13.（山东聊城3分）化简：20－5＝ ▲ ．
【考点】二次根式计算。
【分析】20－5＝－5＝5。
14.（山东威海3分）计算÷的结果是 ▲ 。
【答案】3。
【考点】二次根式化简。
【分析】
(523-=。
15.（山东菏泽3分）x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】14
x ≥
。 【考点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式。
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，从而有14104
x x -≥?≥
。 16.（广东省4分）使2-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______▲______． 【答案】2x ≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：202x x -≥?≥。
17.（广东肇庆3分）= ____▲____．
【答案】。 【考点】二次根式化简。
【分析】
18. （湖北荆州4分）若等式1)23
(0=-x
成立，则x 的取值范围是 ▲ . 【答案】B 。
【考点】二次根式有意义的条件，0次幂的定义。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使
在实数范围内有意义，必须
003x
x ≥?≥；根据0次幂底数不为0的定义，20≠，即12x ≠。因此要使式1)23
(0=-x 成立， x 的取值范围是0x ≥且12x ≠。故选B 。
19.（湖北黄冈、鄂州3分）a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】a ≥﹣2且a ≠0。
【考点】二次根式和分式有意义的条件。
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的范围：
a +2≥0且a ≠0，解得：a ≥﹣2且a ≠0。
20.（内蒙古包头3分）化简二次根式：27― 1
2― 3 ―12＝ ▲ ．
【答案】－2。
【考点】二次根式的混合运算，平方差公式。 【分析】进行各项的化简，然后合并同类根式即可：
(22
--。
21.（四川内江6分）若
m =54322011m m m --的值是 ▲ _
【答案】0。
【考点】二次根式的化简求值。
【分析】化简二次根式得)2011
1
1
20121
m ==
-。
∴()
()2
2
543323322011220111201020120m m m m m m m m m ?
???--=--=--=-=????
?
?
。
22.（甘肃天水4分）= ▲ ．
【考点】二次根式的化简。
【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可：原式== 23.（新疆自治区、兵团5分）若二次根式3x －1有意义，则x 的取值范围是_ ▲ ． 【答案】1
x 3
≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使3x －1在实数范围内有意义，必须
1
3x 10x 3
-≥?≥。
23.（安徽芜湖5分）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b += ▲ 。
【答案】11 。
【考点】无理数的大小比较。
【分析】∵a 、b 为两个连续的整数，而52＜28＜62，∴56。
∴=5=6=11a b a b ∴+，。
。 24.（辽宁鞍山3分）实数8的平方根是 ▲ ．
【答案】± 【考点】平方根。
【分析】根据如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根的定义，因为(2
8±=，
所以实数8的平方根是± 25.（辽宁营口3分） 计算18－2
1
2
＝ ▲ .
【答案】 【考点】二次根式化简。
26.（贵州六盘水4分）一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数 ▲ 与 ▲ _之
间。 【答案】4，5。
【考点】估算无理数的大小。
【分析】∵正方形的面积是20。又∵16＜20＜25＜5。即它的边长在整数4与5之间。
27.（贵州遵义4分）计算：2
1
8?＝ ▲ ． 【答案】2。
【考点】二次根式的乘除法。
【分析】2===。
28.（云南昆明3分）当x ▲ 时，二次根式有意义． 【答案】5x ≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
505x x -≥?≥。
29.（云南昭通3分）使2-x 有意义的x 的取值范围是 ▲ 。 【答案】2x ≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使202x x -≥?≥。
30.（贵州黔东南4分）式子x
x 1
+有意义的x 的取值范围是 ▲ 。 【答案】1x ≥-且0x ≠。
【考点】二次根式和分式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使
x
x 1
+在实数范围内有
意义，必须101
00x+x x x ≥≥-?????
≠≠??
。 31.（贵州黔东南4分）若2>m ，化简=-2
)2(m ▲ 。
【答案】2m -。
【考点】二次根式的性质。
【分析】根据二次根式非负数的性质，由2>m 2m =-。
32.（福建南平3分）计算：64＝_ ▲ ． 【答案】8。
【考点】算术平方根。
【分析】根据算术平方根的概念进行解答即可：∵82
=64，∴ 64=8。
33.（福建龙岩3分）有意义，则实数x 的取值范围是 ▲ 。 【答案】3x ≥。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
303x x -≥?≥。
三、解答题
1.（上海10分）计算：(-3)0
-27+|1-2|+
2
31+．
【答案】解： (-3)0
-27+|1-2|+
2
31+ ＝1-33+2-1+3-2＝ -23。
【考点】零指数幂，绝对值，二次根式的混合运算。
【分析】首先去绝对值以及二次根式化简，再合并同类项即可。
2.（广东茂名1.5分）． 【答案】解：原式=4－2=2 【考点】二次根式的混合运算。
【分析】先化简二次根式，再进行计算即可。
3.（内蒙古呼和浩特5分）1
11
2-??
++ ???
【答案】解：原式=212223+-+
-=123+。
【考点】实数的运算，二次根式化简，绝对值，负整指数幂。
【分析】各项化为最简根式、去绝对值号、去括号，然后进行四则混合运算即可。
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2
22．2 二次根式的乘除 第2课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____． （1 ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
21.3 二次根式的加减 教学目标 1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算； 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题； 3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简． 教学重难点 【教学重点】 将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算. 【教学难点】 运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？ 二、合作探究 探究点一：同类二次根式 例1：已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，求a＋b的值． 解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可． 解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b 3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解 得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2. 方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解． 探究点二：二次根式的运算
【类型一】 二次根式的加减运算 例2：计算：12－13 －(2)2＋|2－3|. 解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式． 解：原式＝23－33－2＋2－3＝? ?? ??2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变． 【类型二】 二次根式的四则运算 例3：计算： (1)12223×9145÷35； (2)? ????312－213＋48÷23＋? ????132 ； (3)2－(3＋2)÷ 3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算． 解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝? ????63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13 ＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－ 3＋23＝2－1－233. 方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 【类型三】 二次根式的化简求值 例4：先化简，再求值：a 2－b 2a ÷? ????a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3. 解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出． 解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2 a ＝（a ＋ b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b .当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423 ＝233. 方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解． 【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用 例5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的 壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把 壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?
《二次根式》专题 第三讲：二次根式的加减 北京四中 郭伦 一、复习:最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是___________，因式是___________； (2)被开方数中不含能开得尽方的______________． 练习:下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.9 B.a 3 C.23a D. 3a 注：上节中化简二次根式，就是要求化成最简二次根式． 二、二次根式的加减 1、同类二次根式的概念： 化成_____________后，如果________相同，这样的二次根式就叫做同类二 次根式。 例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根 式． 2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算： （1）4832315311 312--+ （2） )5.0420010 1(08.027252+-+
（3） a a a a a a a 1082363273223-+- (4) 2++-+a b b a b a a b 三、二次根式的混合运算： 注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立； 2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算： （1）22)3223()3223(--+ （2）)753)(753(-++- （301 (π)++- （4） ?÷-4 8)832(3x x x x
（5） 101100103103）（）（-+． 四．有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们 说这两个代数式互为有理化因式．如：a 与a ，3＋6与3－6互 为有理化因式． 例4：试写出下列各式的有理化因式(写出最简单的一个即可)： (1)25与________； (2)y x 2-与________； (3)mn 与________； (4)32+与________； (5)223+与________； (6)3223-与________． 例5、计算：).23(6- ÷ 巩固练习: 1、下列各式中运算正确的是（ ） A.2510)5225(-=÷- B.529)52(2+=+ C.1)2131)( 23(=-- D.c a b a c b a +=+÷)( 2、已知,525,25,52-=-=-=c b a 则a 、b 、c 的大小顺序是 （ ） A.a 作者姓名赵闪学校土山中学 学科数学年级/班级八年级 教材版本鲁教版课时名称二次根式的j 上课时间 2 学生人数52 本课时的整体设计思路 本课时内容是二次根式加减法的计算，教学方法上以启发引导，讲练结合为主。本课的教学过程主要有以下三个环节：第一个环节类比整式中同类项的导入，用学生讨论交流和教师引导相结合的方式完成对二同类二次根式次根式的学习；第二个环节：第二个环节类比整式加减法的运算导入，用学生讨论交流和教师引导相结合的方式完成对二次根式加减法法则的探究；第三个环节：例题探究与巩固练习，通过设计有层次及逐步深入的练习，使学生理解掌握二次根式加减法多种题型的计算方法，并总结计算中应注意的问题； 教材分析 本节内容出自鲁教版八年级上册第三节第一课时，本节在研究最简二次根式和化简二次根式的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。本节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。通过二次根式的加减运算，用其解决一些实际问题，来提高我们数学解决实际问题的意识和能力。另外，通过本小节的学习为后面学生熟练进行二次根式的加减运算及加、减、乘、除混合运算做好铺垫。 学情分析 八年级学生通过前两年数学的学习，已经形成了良好的学习习惯，具有小组合作学习的经验，能通过观察、实验等数学活动，积极参与对数学问题的讨论，但一旦思维受阻，心情也会低落，这时急需老师的鼓励与指导；他们在学习本课之前已经学习了整式的加减、二次根式的定义、二次根式的性质及最简二次根式等相关知识；通过本节课的学习，学生将通过与整式加减的类比学习，掌握二次根式加减法运算法则，并最终领会二次根式加减法实质就是合并同类二次根式，合并方法与合并同类项类似。 学习目标一、知识与技能 1、了解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式； 2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算。 二、过程与方法 经历二次根式运算法则的形成过程，体会类比的数学思想方法 三、情感态度与价值观 1、在与同学交流讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的观点，并体验学习的 快乐，养成严谨认真的解题习惯； 2、通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的简单的形式美。 教学重难点及解决措施重点：通过化简二次根式，合并被开方数相同的二次根式。 难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用。 通过复习旧知识，使学生对于知识达到联结的目的，运用创设问题激发学生求知欲。使学生能全面参与学习，多动手动脑加强练习。达到每个学生在学习数学上有不同的发展。 教学过程 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a ②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。 专题：二次根式重难点综合题型 题型一：二次根式的性质 1．写出下列各式有意义时x 的取值范围. (1)12--x ; (2) ． 2．已知：,x y 为实数，且311+-+- ※课后练习 1．若53+的小数部分是a ，5-3的小数部分是b ，求a +b 的 值。 2．已知411+=-+-y x x ，则xy 的平方根为______． 3．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 5．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2； (2)x 3y ＋xy 3的值． 6．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 .09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长． 7 ．已知：11a a +=221 a a +的值。 8．化简： 9．已知：x,y,z 满足关系式： y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20122012223，试求x ，y ， z 的值。 10．求值： 2004 20031431321211++ ++++++Λ x x x x x 1399413+-a a b b a a a 2129122+-+) 23(623 24b a a b b a ab b -?-÷2 310253b a b a ÷- ? 数学专题 第六讲：二次根式 【基础知识回顾】 一、 二次根式 式子a （ ）叫做二次根式 提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 二、 二次根式的性质： ①（a ）2= （a ≥0） ③= （a ≥0 ,b ≥0） ④= (a ≥0, b ≥0) 提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和 可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小 三、最简二次根式： 最简二次根式必须同时满足条件： 1、被开方数的因数是 ，因式是整式 2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算： 1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同 2、二次根式的乘除： = （a ≥0 ,b ≥0） （a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算 提醒：1 、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 重点考点例析 考点一：二次根式有意义的条件 A ．x ≠3 B ．x ＜ 3 C ．x ＞3 D ．x ≥3 （a ≥o ） （a ＜o ） 思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 对应训练 A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠ 1 D．一切实数 考点二：二次根式的性质 A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 思路分析：现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a＜0，b＞0， 原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b．故选C． 点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练 解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， =|a+b|+a =-a-b+a =-b，故答案为：-b． 考点三：二次根式的混合运算 16.1二次根式 第2课时 教学目标 【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并 理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点 【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， 猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的 理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题. 探究 （1）填空： （2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.） 三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1）2；（2）（ 2 二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 2可以化简吗？ （学生回答） A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项？ （https://www.doczj.com/doc/0417422695.html,/view/313812.htm） 4、如何进行整式的加减运算？ https://www.doczj.com/doc/0417422695.html,/view/b2f6351252d380eb62946d99.html （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处？这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式？ B、判断是否同类二次根式时应注意什么？ （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习） 2、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：https://www.doczj.com/doc/0417422695.html,/Math/Ques/Detail/5ecac9ed-127c-453b-b76a-a0acb7b 79d5b C、如何进行二次根式的加减运算？ 6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3 24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2 初二数学专题练习《二次根式》 一．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A．B．C．D． 8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D． 二．填空题 9．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 11．计算：=．12．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=． 15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=． 16．已知：a＜0，化简=． 17．设，，，…，． 设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题 18．计算或化简：﹣（3+）； 19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣） 20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0． 21．计算：（+）×． 22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3． 23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：． 25．阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 26．已知：a=，b=．求代数式的值． 27．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以 黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式（第二课时）教 案新人教版 第二课时 教学内容 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）． 教学目标 a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． a≥0）是一个非负数，用具体 2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0叫什么？当a<0 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 做一做：根据算术平方根的意义填空： 2 =_______；）2 =_______；2 =______；2 =_______； 2=______；2=_______；）2 =_______． 是4是一个平方等于4的 ）2 =4． 同理可得：2=2，2=9，2 =3，2=1 3，）2=72，） 2 =0，所以 例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．（2）2 ）2 =a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32 ，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=5 6，（2）2=22 724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 2 ）2 （ 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4． 2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2=x+1 （2）∵a2≥02=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）． 六、布置作业 1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1、 的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．1 第三讲：二次根式的加减 二、二次根式的加减 1、同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式就叫做同类二次根式。 例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根式． 2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算： （1）483 2315311312--+ （2）)5.0420010 1(08.027252+-+ （3）a a a a a a a 1082 363273223-+- (4) 2 + + - + a b b a b a a b 三、二次根式的混合运算： 注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立； 2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算： （1） 2 2)3 2 2 3( )3 2 2 3(- - + （2） )7 5 3 )( 7 5 3 (- + + - （3 ） 2 1 2 (π) --++-+ （4） ? ÷ - 4 8 ) 8 3 2 (3 x x x x （5） 101 10010 3 10 3） （ ） （- +． 《二次根式》全章复习与巩固 一、化简 1、无条件的（所有字母取正数） ① 2、有附加条件的 a＜ ①0) ② 5(03)x x --＜＜ 3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ① 2+ ② - 4、 需要分类讨论的 ① - 二、因式分解（实数范围内） ① 4 a++ ② 2 x x +-- ③ 2 215 x+- 三、解方程（组） 一、知识概述 1、二次根式 一般地，我们把形如(a ≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是a≥ 0． 3、二次根式的性质1 (a ≥ 0) 是一个非负数． 4、二次根式的性质2 () 2=a(a ≥0) 5、二次根式的性质3 =a(a≥ 0) 6、二次根式的乘法法则 (a ≥0，b≥0) 即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 7、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b≥0) 即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积． 8、二次根式的除法法则 (a ≥ 0， b＞ 0) 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． 9、商的算术平方根的性质 (a ≥ 0， b＞ 0) 10、最简二次根式满足下列条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式． 11、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 12、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）． 二，二次根式的概念 1．下列运算错误的是（） A. (3) 23 B.326 C. 632 D.325 【答案】 D 【解析】 试题分析：本题主要考的就是二次根式的计算，本题中A、 B、 C 都是正确的， D、这两个不是同类二次根式，无法进行加减法计算. 考点：二次根式的计算. 2．把 -a 1 根号外的因式移到根号内的结果是( ) a 《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计 教学目标 1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正 确区分 a 2 a a 0 ，了解代数式的概念与特 a a 0 和a2 征. 2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点 教学重点 :二次根式基本性质的探究 教学难点 :二次根式基本性质的应用 教材与学情分析 教材分析 : 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法 . 而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的 加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础 . 同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步 学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力 . 学情分析 : 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质 . 利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力 . 二、教学过程 ( 一) 、新知引入： 1.指出下列式子中的二次根式： 5，- 3 3， x 2 1，a 2(a 2), a b(a b) 3，21，2 2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念） 二次根式：形如 a (a0) 的式子叫做二次根式. 其中 a 0 ，a 0. 【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念. ( 二) 、探究新知： 一、性质 1 的探究： 1.问题 1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 4 2 2 2 ______ ______ 1 2 ______ 0 2 3 ______ 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论： 2 a a(a0) 21.3二次根式的加减 一、学习目标 1、了解同类二次根式的定义。 2、能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点、难点 重点：二次根式加减法的运算。 难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程 （一）自主学习 自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组二次根式，哪些是同类二次根式： （1）2322与 （2）x 9x 4与 （3）205与 （4）1218与 从中你得到：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式 2、自学课本例1，例2后，仿例计算： （1（263 （3） 通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应化为 最简二次根式 ，再将其中的同类二次根式合并。 （三）合作交流 (1) )27131( 12-- (2) )512()2048(-++ (3) y y x y x x 1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x -- （四）展示交流：计算：（1）()()532532+- （2）()2 3223- （五）达标测评： 1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）． A ．12与27 C ．m 9m 18与 3、已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值为 。 4、计算： （1） （2） x x x x 1246932-+ （3）（4）232282xy x x +-(0,0)x y >> （5）(2ax -5bx )(2ax +5bx ) （6） ()26210- 二次根式培优 一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中 a 0- a 0 。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0 ，由此我们判断下列式子有 意义的条件： ____ ____ ____ 1 / x 1 (1 八 x 1 \1 x ; (2) 、 -- 2 ； 2 V x (3) <1—T J —2； (4) —-; (5) V3—r (x 竺 x 1 Vx 2 (1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a ⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------ ⑥ 计算：J ( 4研&妬5 )2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 教科书中给出： 一般地，根据算术平方根的意义可知：' a a(a 0) ，在此我们可将其拓展为: 2、也2的化简 a(a 0) a(a 0) ②化简求值 : 1 其中a= 5 ③已知, 3 ,化简 2m 4m 2 m 1 .m 2 6m 9 1 2 a m J 2m m2 1,求m的取值范围 ①若 ②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________ ③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值； ④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。 .二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0 ②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x 应满足( ). J2x 1 1 11 1 A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 3 2 2 2 2 例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ . (2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为() (A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . 例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为() A. 2 B. 0 C. —2 D.以上都不是 ⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①訂，②(a "Ja《二次根式的加减》
培优专题：二次根式
(完整版)专题：二次根式重难点综合题型
二次根式专题(含答案详解)
人教版八年级数学下教案 二次根式第二课时
二次根式加减法教学设计
二次根式加减运算(讲义及答案).
二次根式专题练习
黑龙江省虎林市九年级数学上册 二次根式(第二课时)教案 新人教版
二次根式的加减
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