当前位置：文档之家› 高考数学一轮复习第十七单元随机变量及其分布学案理

高考数学一轮复习第十七单元随机变量及其分布学案理

第十七单元随机变量及其分布

教材复习课

“随机变量及其分布”相关基础知识一课过

1．条件概率 (1)定义

设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P AB

P A

为在事件A 发生的条件下，事件B

发生的条件概率．

(2)性质

①0≤P (B |A )≤1；

②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．事件的相互独立性 (1)定义

设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质

①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 3．独立重复试验

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．

[小题速通]

1．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1

3，遇到红灯时停留的时间都是2 min.则这位家长

送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为( )

A.13

B.227

C.427

D.527

解析：选C 设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇

到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝? ????1－13×? ????1－13×13＝4

2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，若两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )

A.624

625 B.96625 C.16625

D.4625

解析：选B 由题可得，一次摸球中获奖的概率为p ＝5＋1C 26＝2

5.所以4人中恰有3人获奖

的概率为C 34? ????253

×35＝96625

3．设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.

解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝1

2，第一位数字为

0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝

P AB

B ＝1

412

＝12. 答案：12

[清易错]

1．P (B |A )与P (A |B )易混淆为等同

前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率． 2．易混“相互独立”和“事件互斥”

两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．

1．在我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A ＝“取到的两个为同一种馅”，事件B ＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P (B |A )＝( )

A.34

B.14

C.110

D.310

解析：选A 由题意知，事件A 包含的基本事件有4个，事件B 在事件A 的基础上，所包含的基本事件有3个，则P (B |A )＝3

2．某知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．

由相互独立事件概率计算公式得，所求概率P ＝(0.2＋0.8)×0.2×0.82

＝0.128. 答案：0.128

1．均值

(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：

则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (3)①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．方差

(1)设离散型随机变量X 的分布列为：

则(x i －E (X ))2

描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度．而D (X )＝ i ＝1

(x i

－E (X ))2

p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称

D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差．

(2)D (aX ＋b )＝a 2

D (X )．

(3)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (4)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． [小题速通]

1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1

3，k ＝1,2,3，则E (3X ＋5)＝( )

A ．6

B ．9

C ．11

D ．14

解析：选C 由题意得P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝13，所以E (X )＝(1＋2＋3)×1

3＝2，

故E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝11.

2．现有8件产品，其中5件一等品，3件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X ，则X 的数学期望E (X )＝________.

解析：易知，任取一件产品，是一等品的概率p ＝58，是二等品的概率为1－p ＝3

，

因此，X 服从二项分布B ～X ? ??

??3，58，

所以X 的数学期望E (X )＝3×58＝15

答案：158

3.从装有6个白球和4个红球的口袋中任取一个球，用X 表示“取到的白球个数”，即则D (X )＝____________.

解析：由题可得P (X ＝1)＝35，P (X ＝0)＝25，即X 服从两点分布，所以D (X )＝35×25＝6

25.

答案：6

[清易错]

1．理解均值E (X )易失误，均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．

2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2

D (X )易错．

1．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E (η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )

2 3

4 P

m 14 n

112

A.3160

B.60

C.2760

D.18

解析：选A 因为E (η)＝10E (ξ)＋2，所以E (ξ)＝9

5，

故?????

m ＋2×14＋3n ＋4×112＝95，m ＋14＋n ＋1

12＝1，

解得m ＝31

2．已知ξ～B ? ??

??4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329B.89 C.439

D.599

解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×13×? ????1－13＝8

9，

∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝32

1．超几何分布

在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k

N －M

C n N

，k

＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *

，称随机变量X 服从超几何分布.

2．二项分布

在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )

n －k

(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记

作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．

3．正态分布 (1)正态曲线的特点

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1σ

2π；

④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682_7； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954_5； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997_3. [小题速通]

1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )

A ．C 1012? ????3810? ????582

B ．

C 912? ????3810? ????582

C ．C 911? ????5810? ??

??382

D ．C 911? ????3810? ??

??582

解析：选D 由题意得，取到红球的概率P ＝3

8，停止时共取了12次球，其中前11次取

到9次红球，2次白球，第12次取到的为红球，所以P (X ＝12)＝C 911

? ????389? ????582×38＝C 911? ????3810? ??

??582. 2．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N (100,52

)，且P (ξ<110)＝0.96，则

P (90<ξ<100)的值为( )

A ．0.49

B ．0.48

C ．0.47

D ．0.46

解析：选D 由题意可知，正态曲线的对称轴为x ＝100，因为P (ξ<110)＝0.96，所以

P (90<ξ<100)＝P (100<ξ<110)＝0.96－0.5＝0.46.

3．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )

A.125729

B.80243

C.665729

D.100243

解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－? ????1－13×? ????1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ? ??

??3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1

－C 0

3×? ????590×? ????493＝665729

4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．

解析：η的所有可能值为0,1,2.

P (η＝0)＝C 11C 1

1C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 1

1×2C 12C 12＝1

2，

P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝1

∴η的分布列为

答案：

一、选择题

1．设随机变量ξ～N (2,1)，若P (ξ>3)＝m ，则P (1<ξ<3)等于( ) A.1

2－2m B ．1－m C ．1－2m

D.12

－m 解析：选C 因为随机变量ξ～N (2,1)，所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x ＝2，因为P (ξ>3)＝m ，所以P (ξ<1)＝m ，因此P (1<ξ<3)＝1－2P (ξ>3)＝1－2m .

2．已知离散型随机变量X 的概率分布列为

则随机变量X A.23 B.43 C.53

D.76

解析：选C ∵a ＝1－? ????16＋13＋16＝1

，∴E (X )＝0×16＋1×13＋2×16＋3×13＝53.

3．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝k )＝c k k ＋

，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，

则P ? ????1

<ξ<52的值为( )

A.23

B.34

C.45

D.56

解析：选D 由题可得，c 1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝c ×45＝1，解得c ＝54.所以P ? ????1

2<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×? ????12＋16＝56

4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )

A.310

B.29

C.78

D.79

解析：选D 设事件A 为“第一次取到的是螺口灯泡”，事件B 为“第二次取到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，故所求概率为P (B |A )＝P AB

P A ＝730310

＝79

5．(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )

A.1

220 B.2755 C.27220

D.2125

解析：选C 由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 1

9C 312＝27

220.

6．下列各组的两个事件相互独立的是( )

①运动员甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”；

②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”；

③盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A 为“第一次取出白球”，取出的球放回盒中，事件B 为“第二次取出的是白球”；

④盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A 为“第一次取出

白球”，取出的球不放回盒中，事件B 为“第二次取出的是白球”．

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

解析：选B ①甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，是互斥事件；②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响，故二者是相互独立事件；③在有放回的取球中，事件A 与B 是否发生相互之间没有任何影响，故二者是相互独立事件；④在不放回的取球中，事件A 发生后，事件B 的概率发生了改变，故二者不是相互独立事件．

二、填空题

7．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m ，已知向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→

＝(2－

m ，－4)，设X ＝AB ―→·AC ―→

，则X 的数学期望E (X )＝________.

解析：∵AC ―→＝AB ―→＋BC ―→

＝(2，－3)， ∴X ＝AB ―→·AC ―→

＝2m －3，而m ＝1,2,3,4,5,6. 列出X 的分布列(如表所示)，

∴E (X )＝1

6(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.

答案：4

8．已知随机变量ξ的分布列为：

若E (ξ)＝1

，则x ＋y ＝________，D (ξ)＝________.

解析：由题意，得x ＋y ＝12.又E (ξ)＝－x ＋16＋2y ＝13，解得x ＝518， y ＝2

9，所以D (ξ)

＝?

????－1－132×518＋? ????0－132×13＋? ????1－132×16＋? ????2－132×29＝119.

答案：12119

9．设随机变量η服从正态分布N (1，σ2

)，若P (η <－1)＝0.2，则函数f (x )＝13

x 3＋

x 2＋η2x 没有极值点的概率是______．

解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋η2

，

因为函数f (x )＝13x 3＋x 2＋η2

x 没有极值点，

所以f ′(x )＝x 2

＋2x ＋η2

≥0恒成立，所以Δ＝4－4η2≤0，则η≤－1或η≥1，

因为P (η≤－1)＝0.2，且随机变量η服从正态分布N (1，σ2

)，所以P (η≤－1或η≥1)＝P (η≤－1)＋P (η≥1) ＝0.2＋0.5＝0.7. 答案：0.7 三、解答题

10．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，

T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

(1)求p ；

(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．

解：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4，

A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”，

B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”．

(1)A ＝A 1—A 2—A 3—

，A 1，A 2，A 3相互独立，

P (A )＝P (A 1—A 2—A 3—

)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3，

又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001，故(1－p )3

＝0.001，解得p ＝0.9.

(2)B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A 4—A 1—

A 2A 3)，

P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4—

A 1—

A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.

11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．

(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及数学期望E (η)．

解：(1)由事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，因为P (A )＝(1－0.4)3

＝0.216，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.

(2)由题意知，η的可能取值为200元，250元，300元，则P (η＝200)＝P (ξ＝1)＝0.4，

P (η＝250)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (η＝300)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，

所以η的分布列为

故数学期望E (η)元)．

12．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．

(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； (2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；

(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)

解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率P ＝15

50＝0.3.

(2)由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.

所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 2

2C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 1

2C 24＝2

3，

P (ξ＝2)＝C 22C 24＝1

所以ξ的分布列为

故ξ的数学期望E (ξ)＝0×6＋1×3＋2×6

＝1.

(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．高考研究课一

n 次独立重复试验与二项分布

[全国卷5年命题分析]

[典例] (1)从2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.1

4 C.25

D.12 (2)如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将

一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________. [解析] (1)法一：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个，即n (A )＝4，

事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n AB n A ＝1

法二：P (A )＝C 2

3＋C 2

2C 25＝410

，

P (AB )＝C 2

2C 25＝1

由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P AB

P A ＝110410＝14

(2)由题意可得，事件A 发生的概率

P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝

2π

. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×1

π×12＝

2π. 故P (B |A )＝P AB

P A ＝12π2π＝14

[答案] (1)B (2)1

条件概率的2种求法

(1)利用定义

分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P AB

P A

，这是求条件概率的通法．

(2)借助古典概型概率公式

先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数

n (AB )，得P (B |A )＝n AB

n A

. [方法技巧]

[即时演练]

1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )

A.1127

B.1124

C.827

D.924

解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝

42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49

， ∴P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝8

，

∴两次都取到红球的概率为

827

. 2．在如图所示的简单电路中，开关T 1，T 2开或关的概率都是1

2，且相互独立，设事件A ：

灯泡L 1亮；事件B ：灯泡L 2亮，则P (B |A )＝________.

解析：由题意，得P (A )＝1－12×12＝34，P (AB )＝? ????1－12×12＝1

4，则P (B |A )＝P AB P A ＝13.

答案：1

[典例] 甲、乙、丙三人同时到某用人单位应聘，他们能被聘用的概率分别为25，34，1

3，

且各自能否被聘用相互独立，求：

(1)三人都被聘用的概率； (2)有两人被聘用的概率；

(3)三人中有几人被聘用的事件最易发生．

[解] 设甲、乙、丙能被聘用的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝1

(1)设三人都被聘用的概率为P 1，由于事件A ，B ，C 相互独立，故P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝1

. (2)三人中有两人被聘用，可分为以下三种情况： ①甲未被聘用，乙、丙被聘用，概率为

P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＝35×34×13＝320

②乙未被聘用，甲、丙被聘用，概率为

P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝25×14×13＝130

③丙未被聘用，甲、乙被聘用，概率为

P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×23＝15

上述三个事件是两两互斥的，所以有两人被聘用的概率为P 2＝320＋130＋15＝23

(3)三人都未被聘用的概率为P 3＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝35×14×23＝1

10，

三人中有且只有一人被聘用的概率为P 4＝1－(P 1＋P 2＋P 3)＝1－110＋2360＋110＝5

12.

又512>2360>1

10，所以三人中只有一人被聘用的概率最大，即此事件最易发生． [方法技巧]

相互独立事件概率的求法

(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A 和事件B 相互独立时，才有P (AB )＝P (A )·P (B )．

(2)A ，B 中至少有一个发生：A ∪B .

①若A ，B 互斥：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立． ②若A ，B 相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P (A ∪B )＝P (AB )＋P (A B )＋P (A B )；

方法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝1－P (A )P (B )．

(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．

[即时演练]

(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14

(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.

P (X ＝0)＝?

????1－12×?

???

1－13×?

????1－14

＝14，

P (X ＝1)＝12×?

???

1－13×?

????1－14＋? ?

1－12×13×?

????

1－14＋?

????1－12×?

1－13

×14＝1124

，

P (X ＝2)＝?

????1－12×13×14＋12×? ????1－13×14＋12×13×? ????1－14＝14

，

P (X ＝3)＝12×13

×14

＝124

所以随机变量X 的分布列为

X 0 1 2 3

随机变量X 的数学期望E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝13

(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)

＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝11

. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为11

[典例] 图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列． [解] (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X 可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为

P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6·(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62·(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216，

所以X 的分布列为

[方法技巧]

某随机变量是否服从二项分布的特点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． [即时演练]

某气象站天气预报的准确率为80%，求(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

解：令X 表示5次预报中预报准确的次数，则X ～B ? ????5，45，故概率P (X ＝k )＝C k 5? ????45k ? ??

??1－455－k

(k ＝0,1,2,3,4,5)．

(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 2

5×? ????452×? ??

??1－453＝10×1625×

1125≈0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 0

×? ????450×? ??

??1－455－C 15×45×? ????1－454

＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.

(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 1

4×45×? ????1－453×

45≈0.02.

1．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A ．0.648

B ．0.432

C ．0.36

D ．0.312

解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 2

3×0.62

×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63

，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 2

3×0.62

×(1－0.6)＋0.63

＝0.648.

2．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A ．0.8

B ．0.75

C ．0.6

D ．0.45

解析：选A 根据条件概率公式P (B |A )＝

P AB P A ，可得所求概率为0.6

0.75

＝0.8.

3．(2014·全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．

解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，

B 表示事件：甲需使用设备，

C 表示事件：丁需使用设备，

D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．

(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ，

P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52

，i ＝0,1,2，

所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ) ＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C ) ＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.

(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为

P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )

＝P (B )P (A 0)P (C ) ＝(1－0.6)×0.52

×(1－0.4) ＝0.06，

P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )

＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )

＝0.6×0.52

×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52

×0.4＋(1－0.6)×2×0.52

×(1－0.4) ＝0.25，

P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )

＝0.52

×0.6×0.4＝0.06，

P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，

P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)

＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38，

数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06 ＝2.

4．(2013·全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1

2，且各件产品

是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．

解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)

＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364

. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且

P (X ＝400)＝1－416－116＝1116

， P (X ＝500)＝116

， P (X ＝800)＝14.

所以X 的分布列为

E (X )＝400×1116

＋500×116

＋800×4

＝506.25.

一、选择题

1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为1

5.则甲获第一名且丙

获第二名的概率为( )

A.1112

B.1

6 C.130

D.215

解析：选D 设“甲胜乙”、“甲胜丙”、“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩C )＝

P (A )P (B )·P (C )＝23×14×45＝215

2．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，则P (B |A )＝( )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析：选C 由题可得，所有的基本事件数是4个，事件A 包含2个基本事件，所以P (A )＝12，事件AB 包含1个基本事件，所以P (AB )＝14，所以P (B |A )＝P AB

P A ＝1

412

＝12

. 3．若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2

B ．2－4

C ．3·2

－10

D ．2－8

解析：选C 由题意知?

np ＝6，

np －p ＝3，

解得?

n ＝12，

p ＝0.5.所以P (ξ＝1)＝C 112(0.5)1

－0.5)11＝3×2

－10

4．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 表示“三次抽到的号码之和为6”，事件B 表示“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )

A.1

B.27

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束是否

2021届高考数学二轮总复习层级二专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列学案理含解析

第三讲随机变量及其分布列 1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(00；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1，且为f(p)唯一的极大值点，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1.

2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析

2018年高考理科全国三卷一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )

A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则三．解答题

17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过第一种生产方式第二种生产方式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点

高中数学随机变量及其分布列版块一离散型随机变量及其分布列1完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量及其分布列1.学生版 1．离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p ,)n L 列表表示： X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ， n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1) k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．知识内容

随机变量及其分布知识点汇总

随机变量及其分布知识点汇总知识点一离散型随机变量及其分布列（一）、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。注意：超几何分布的模型是不放回抽样

知识点二条件概率与事件的独立性（一）、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验 1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式： n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功

2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第9讲学案理解析版

第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第9讲 A 组基础关 1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ～N (5，σ2 )，若P (X ＞10－a )＝0.4，则P (X ＞ a )＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 A 解析因为随机变量X ～N (5，σ2 )，所以P (X ＞5)＝P (X ＜5)．因为P (X ＞10－a )＝0.4，所以P (X ＞a )＝1－P (X ＜a )＝1－0.4＝0.6.故选A. 2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B 解析由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2 D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B. 3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 p ＝1－16－13＝12 ， E (X )＝0×1 6＋2×12＋a ×13 ＝2?a ＝3， ∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2 ×13＝1. ∴D (2X －3)＝22 D (X )＝4. 4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100， σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( ) A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 答案 C 解析由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7，

2018年高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为（） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为（）

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为（） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为（） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则（） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+

随机变量及其分布考点总结

第二章随机变量及其分布复习一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

2021新高考数学二轮总复习专题六统计与概率6.4.2随机变量及其分布学案含解析.docx

6.4.2 随机变量及其分布必备知识精要梳理 1.超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 P (X=k )=C M k C N -M n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *. 2.二项分布一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为 p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0

江苏省2020年高考数学第20题优美解

2020年高考数学（江苏）第20题优美解试题 .已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2 2 1n n n n n b a b a a ++= +，*N n ∈，（1）设n n n a b b +=+11 ，*N n ∈，求证：数列2 n n b a ???? ?? ?? ? ?? ???? 是等差数列；（2）设n n n a b b ? = +21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．解法1：（1）∵n n n a b b + =+11，∴11222 1n n n n n n n n a a b b a ++= +?? + ??? 。 ∴ 2 111n n n n b b a a ++??=+ ??? ∴ ()2 2 2 221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++????????-=+-=∈ ? ? ? ????????? 。 ∴数列2 n n b a ?????? ?? ??????? 是以1 为公差的等差数列。（2）∵00n n a >b >，，∴ () ()2 2 222 n n n n n n a b a b 知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则2 12= 2a a 时，112n n a a q += 若01,a >q ，∴当1 1 log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。