牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
牛顿和微积分 大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒(Nicolas Fatio de Duillier)的联系十分密切，后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。1691年，丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。不过，在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候，丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。在1699年初，皇家学会(牛顿也是其中的一员)的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。
牛顿-莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。 若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a) 这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。 定积分式 如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数： 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： 2 Φ性质 1、定义函数，则 与格林公式和高斯公式的联系。 证明：让函数 获得增量，则对应的函数增量 显然， 而 （ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得） 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有 可见这也是导数的定义，所以最后得出 。
2、，F(x)是f(x)的原函数。 证明：我们已证得 ，故 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而 ，所以 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。相关人物 牛顿 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 莱布尼茨 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
牛 顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积 分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认 可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区 间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一 个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 ● 相关定理的证明 介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有 f(ε)=C 证明： 运用零点定理: 设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1
微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献 微积分（Calculus ）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 1.微积分产生 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 在十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 到十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的．时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步． 2.牛顿的“流数术” 牛顿于1661年入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利赂,开普勒,笛卡儿和沃利斯等人的著作.而笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路. 1665年8月,剑桥大学因瘟疫流行而关闭,牛顿离校返乡,随后在家乡躲避瘟疫的两年,竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月.制定微积分,发现万有引力和颜色理论,……,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年描绘的. 2.1流数术的初建 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的"圆法"发生兴趣并试图寻找更好的方法.就在此时,牛顿首创了小o 记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量. 1665年夏至1667年春,牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展.1665年11月发明"正流数术"(微分法),次年5月又建立了"反流数术"(积分法). 1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献. 《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下： （a ）设有两个或更多个物体A ，B ，C ，…在同一时刻内描画线段x ，y ，z ，…。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p ，q ，r ，…的关系。 （b ）已知表示线段x 和运动速度p 、q 之比q p 的关系方程式，求另一线段y 。
牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ●前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ●定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间?x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i=f(εi)?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限即： 1 ()lim() n b a n i i i f x dx f x ε →∞ = =? ∑ ? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞ =?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()() ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q ()()b b a a f x dx g x dx ≤??1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==?≤∑? Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤? ???()()b b a a f x dx g x dx ∴≤??
浅谈牛顿、莱布尼兹对微积分的贡献 姓名：马志霞学号：200971010129 班级：09级数学（1）班 摘要本文主要论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们创立微积分的比较。 关键词牛顿莱布尼兹微积分产生贡献比较 一、微积分的产生 微积分是微分学和积分学的总称。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。以下四种主要类型的问题： 第一类：变速运动求即时速度的问题。 第二类：求曲线的切线的问题。 第三类：求函数的最大值和最小值问题。 第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。这些科学问题需要解决是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，英国伟大的科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的初等数学问题运用微积分就会迎刃而解。微积分学不但极大的推动了数学的发展，而且也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。 二、莱布尼兹对微积分的贡献 莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他因在帕斯卡的有关论文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来“在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理”。 在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系。在1666年，莱布尼兹便在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。他引进了微分记号dx来表示两相邻x的值的差，并给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼兹在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。 1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，该文是莱布尼兹对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，并明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式。他还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形，这些表明莱布尼兹非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。《新方法》还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，说明了他的方法和符号，
一、牛顿对微积分的贡献 牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。 牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。 这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。 牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。 二、莱布尼茨顿微积分的贡献 莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。 1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程： 莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量，但不是零。
第二节牛顿的微积分 一、牛顿传略 1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woo l sthorpe)村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)．”我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的)是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过． 1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活． 他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》(De Ana l ysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)，又于1671年写成《流数法和无穷级数(De Me－thodis Serierum et F l uxionum，1736年发表)．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》(Phi l osophiae
莱布尼茨与微积分 今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有像十七世纪下半叶微积分的发明那样被瞧作人类精神的最高 胜利了,如果在某个地方我们瞧到人类精神的纯粹的与唯一的功绩,那就正就是在这里。”接下来我将从五个方面来介绍莱布尼茨的生平事迹。 一、人物简介 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年－1716年),德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴,被誉为十七世纪的亚里士多德。与牛顿先后独立发明了微积分。 二、人物生平 早期(致力于哲学): 1、生于公元1646年7月1日书香之家,父亲道德哲学教授,母亲出身于教授家庭。 2、 8岁时,莱布尼茨进入尼古拉学校,学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及《圣经》、路德教义等。 3、 1661年,15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律。
4、 1663年5月,她以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。 晚期(致力于自然科学): 1、 1667年2月,莱布尼茨发表了她的第一篇数学论文《论组合的艺术》 2、 1672年,莱布尼茨作为一名外交官出使巴黎,深受惠更斯的启发,决心钻研高等数学,并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作,开始微积分的创造性工作。 3、 1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小与切线的新方法,它也适用于分式与无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,就是最早的微积分文献。 4、 1686年发表她的第一部积分学论文《深奥的几何与不可分量及 无限的分析》,提出摆线方程 y=这篇论文中? 第一次出现在印刷板物上。 5、 1713年,莱布尼茨发表了《微积分的历史与起源》一文,总结了自己创立微积分学的思路,说明了自己成就的独立性。 6、公元1716年11月14日,由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后,莱布尼茨孤寂地离开了人世,终年70岁。
牛顿—莱布尼茨公式教案设计 学院：数学与统计学院 班级：2010级数学（2）班 姓名：李二亮
牛顿—莱布尼茨公式教案设计 一、【教材分析】 1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章. 2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方 法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来. 二、【教学目标】 1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、 概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣. 2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层 设疑，引导学生在不断思考中获取知识. 3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结 合的思想意识. 三、【教学重点】 熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式. 四、【教学难点】 1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限. 2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题. 五、【教学过程】 针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。教学过程的流程入下：
（一）复习旧知识，引入课题 复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关? 引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法. （二）创设情境，得到猜想 示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系. 设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程. 分析示例： 变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为： 其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到： 如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是： 如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想： ?2 1 )(T T dt t v )()(12T s T s -).()()(122 1 T s T s dt t v T T -=∴ ? ). ()(t v t s ='其中{}121,, ,,[,] n i i i T t t ????-==[] []211111 1 ()()()()()(),,n i i i n n i i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η?η?η?-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1 ()n i i i v t η?=∑ 1 ()n i i i v t ξ?=∑2 1 ()T T v t dt ? [] 1,i i i i t t ξ?-∈=1 ()n i i i v t ξ?=∑() ()s t v t '=2 1 21()()()T T v t dt s T s T =-?
第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式 定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布 尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}， 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=- 莱布尼茨 (一) 德国的莱布尼茨（G.W.Ieibnlz，公元1646～1716年），是一位当之无愧的“万能大师”。 数学和哲学，是莱布尼茨显示其杰出天才的诸多领域之一。他在法律、管理、历史、文学、逻辑等方面都作出过卓越贡献，因其在这些领域显赫的成就，人们永远纪念他。用“全才”这个词形容莱布尼茨，可以说并不夸张。 1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国莱比锡。他的祖父以上三代人均曾在萨克森政府供职；他的父亲是莱比锡大学的伦理学教授。莱布尼茨的少年时代是在官宦家庭以及浓厚的学术气氛中度过的。 莱布尼茨在6岁时失去父亲，但他父亲对历史的钟爱已经感染了他。虽然考进莱比锡学校，但他主要是靠在父亲的藏书室里阅读自学的。8岁时他开始学习拉丁文，12岁时学希腊文，从而广博地阅读了许多古典的历史、文学和哲学方面的书籍。 13岁时，莱布尼茨对中学的逻辑学课程特别感兴趣，不顾老师的劝阻，他试图改进亚里士多德的哲学范畴。 1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律专业。他跟上了标准的二年级人文学科的课程，其中包括哲学、修辞学、文学、历史、数学、拉丁文、希腊文和希伯莱文。1663年，17岁的莱布尼茨因其一篇出色的哲学论文《论个体原则方面的形而上学争论——关于“作为整体的有机体”的学说》，获得学士学位。 莱布尼茨需在更高一级的学院，如神学院、法律学院或医学院学习才能拿到博士学位。他选择了法学。但是，法律并没有占据他全部的时间，他还广泛地阅读哲学，学习数学。例如他曾利用暑期到耶拿听韦尔的数学讲座，接触了新毕达哥拉斯主义——认为数是宇宙的基本实在，以及一些别的“异端”思想。 1666年，20岁的莱布尼茨已经为取得法学博士学位做了充分的准备，但是莱比锡的教员们拒绝授予他学位。他们公开的借口是他太年轻，不够成熟，实际上是因为嫉妒而恼怒——当时莱布尼茨掌握的法律知识，远比他们那些人的知识加在一起还要多！ 于是，莱布尼茨转到纽伦堡郊外的阿尔特多夫大学，递交了他早已准备好的博士论文，并顺利通过答辩，被正式授予博士学位。阿尔特多夫大学还提供他一个教授的职位，他谢绝了。他说他另有志向——他要改变过学院式生活的初衷，而决定更多地投身到外面的世界中去。 1666年是牛顿创造奇迹的一年——发明了微积分和发现了万有引力；这一年也是莱布尼茨作出伟大创举的一年——在他自称为“中学生习作”的《论组合术》一书中，这个20岁的年轻人，试图创造一种普遍的方法，其间一切论证的正确性都能够归结为某种计算。同时，这也是一种世界通用的语言或文字，其间的符号甚至词语会导致推理，而除了那些事实以外的谬误，只能是计算中的错误。 形成和发明这种语言或数学符号是很困难的，但不借助任何字典看懂这种语言却是很容易的事情。这是莱布尼茨在20岁时所做的“万能符号”之梦——其时为17世纪60年代，而它的发扬光大则是两个世纪之后的事——19世纪40年代格拉斯曼的“符号逻辑”。 莱布尼茨的思想是超越时代的！ (二) 1667年，21岁的莱布尼茨在德国纽伦堡加入一个炼金术士团体任秘书。通过这个团体，他结识了政界人物博因堡男爵，男爵将他推荐给迈因茨选帝侯，担任其法律顾问的助手，后来，莱布尼茨很快被提拔到上诉法院陪审法官的职位，从而登上政治舞台。 莱布尼茨试图重新编纂法规，希望通过使用少数几个基本法律概念，定义所有的法律概念；从很少的一套自然、正义且不容置疑的原则中，演绎出所有的具体法规，从而把法规整理好。他想把自然法规结为一个体系，为此他发表了《法学教学新法》。 牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较 学生姓名：XXX 指导教师:XX 摘要：微积分学是人类近代史上最杰出的科学成果之一,它是几千年来人类智慧的结晶,微积分的创立,不仅解决了当时的一些重要的科学问题,而且由此产生了诸如微积分方程、无穷级数等一些重要的数学分支。牛顿和莱布尼兹为微积分学的奠基人,他们的巨大贡献早已载入数学史册，本文将依次介绍了牛顿——莱布尼兹公式的历史，并从三个方面谈了著名的牛顿——莱布尼兹公式的作用；用四种方法证明了牛顿——莱布尼兹公式，并对这几种证明方法进行较全面地比较，从中可以知道它们之间的异同和各自特点,以便在教学中适当地选用,博采众长,以取得更好的效果。最后对其应用范围进行了推广，以便让人们更深刻地了解牛顿——莱布尼兹公式并能在教学、实践中熟练应用。 关键词:牛顿——莱布尼兹作用证明比较推广 1.微积分的形成及作用 微积分的酝酿于17世纪上半叶到世纪末,18世纪微积分进一步发展,这种发展与广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域[1]。 微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善,凝结了无数数学家的心血和劳动,是无数数学家艰苦奋斗的集体成果,熟悉微积分的历史发展,了解人类这一巨大财富的积累过程和数学家们所经历的艰苦漫长的道路及奋斗精神,对于提高一个人的数学素养,提高自身的数学意识和思维能力,适用于指导实际工作,都具有很重要的意义。 1.1微积分的早期萌芽 积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,这要追溯到遥远的古希腊时代，这一时代有许多代表人物。 （1）.欧多克索斯的穷竭法 欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”，欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:两圆面积之比等于其半径平方之比;两球体积之比等于其半径 等等。将穷竭法发展成为一立方之比;圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的1 3 种严格的证明方法,但他没有明确的极限思想。 （2）.阿基米德的平衡法 阿基米德的数学工作是创造与论证的结合,在《处理力学问题的方法》这篇著作中,阿基米德论述了15个命题,集中阐明了发现求积公式的方法,这种方法被称为“平衡法”,他的平衡法与现代积分的基本思想实质是相同的，阿基米德利用平衡法解决了许多几何图形求面积、体积的问题,而平衡法本身是以极限为基础的,而当时不可能有极限理论,阿基米德意识到了他的平衡法在数学上缺乏严密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一个面积或体积后,必定要用穷竭法加以证明。 （3）.刘徽的割圆术和体积理论 刘徽在积分学方面的贡献主要在两个方面:割圆术和体积理论.割圆术是运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆;刘徽的面积与体积理论 第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式 定理：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布 尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}， 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ； ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=- 牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?()()()()()()()()0 ()()()lim 0F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x ''=='''∴=-=-=+?-'∴==1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?牛顿与莱布尼茨在数学界的贡献
牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较
数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
相关主题
文本预览