2013安徽省省赛题解
2013.05.30
2013安徽省省赛裁判出题组
安徽省2013年“京胜杯”大学生程序设计
竞赛
Ａ．单词反转
Time limit 1s
ＰｒｏｂｌｅｍＤｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ
给你一些英文句子，请将这些句子中的每个英语单词反转，然后再将其输出．这里听说的英语单词仅由大小写英文字母组成．
Ｉｎｐｕｔ
多个英文句子，每句占一行，且每句不超过８０个字符．
Ｏｕｔｐｕｔ
按题目要求输出
ＳａｍｐｌｅＩｎｐｕｔ
Ｈｅｌｌｏｗｏｒｌｄ！
Ｈａｐｐｙｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ｈａｐｐｙｌｉｆｅ！
ＳａｍｐｌｅＯｕｔｐｕｔ
ｏｌｌｅＨｄｌｒｏｗ！
ｙｐｐａＨｇｎｉｍｍａｒｇｏｒｐ，ｙｐｐａｈｅｆｉｌ！
Ｂ．等差数列
ｔｉｍｅｌｉｍｉｔ１ｓ
ＰｒｏｂｌｅｍＤｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ
有一个长度为Ｎ（１＜＝Ｎ＜＝１０００００）的整数序列ｓ［］，在这个序列上定义了两种操作：
ＡｄｄＬＲＡＤ：对于每一个ｉ（Ｌ＜＝ｉ＜＝Ｒ），Ｓ［ｉ］＋＝Ａ＋（ｉ－Ｌ）＊Ｄ，也就是在子序列Ｓ［Ｌ，Ｒ］加上首项Ａ，公差为Ｄ的等差数列：
ＱｕｅｒｙＬＲ：询问［Ｌ，Ｒ］区间内最长的等差数列的长度，亦即寻找最大的ｌｅｎ，使Ｓ［ｉ］，Ｓ［ｉ＋１］，．．．，Ｓ［ｉ＋ｌｅｎ－１］（Ｌ＜＝ｉ＜＝Ｒ，Ｌ＜＝ｉ＋ｌｅｎ－１＜＝Ｒ）构成等差数列。
Ｉｎｐｕｔ
多组测试数据。
每组测试数据的第一行为两个正整数Ｎ（１＜＝Ｎ＜＝１０００００）和Ｍ（１＜＝Ｍ＜＝１００００），分别代表序列的长度和操作个数，接下来有Ｍ行，每行代表一个操作，操作具体含义见题目描述。其中，０＜＝Ｌ＜＝Ｒ＜Ｎ，０＜＝Ａ＜＝１０００００，０＜＝Ｄ＜＝１０．
Ｏｕｔｐｕｔ
对于每组测试数据，首先输出组号。然后对于每次询问，输出所求结果。详见样例输出。ＳａｍｐｌｅＩｎｐｕｔ
５３
Ａｄｄ１４１１
Ｑｕｅｒｙ０４
Ｑｕｅｒｙ２３
１０４
Ａｄｄ０９１１
Ａｄｄ４９１１
Ｑｕｅｒｙ０９
Ｑｕｅｒｙ５５
ＳａｍｐｌｅＯｕｔｐｕｔ
Ｃａｓｅ＃１：
５
２
Ｃａｓｅ＃２：
７
１
Ｃ．进程调度
ｔｉｍｅＬｉｍｉｔ１ｓ
ＰｒｏｂｌｅＤｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ
操作系统的一个重要功能是进行进程调度，其进程调度的算法有多种，其中最简单的调度算法是先进先出服务（ＦＣＦＳ）算法，该算法的思想是：先进入就绪队列的先执行，后进入的后执行，同一时刻进入就绪队列的执行时间少的先执行。我们认为某一进程一旦开始执行，就一直占用处理机，直到执行结束。而一旦处理机被其它进程占用，就绪队列中的进程就必须等待。当某一进程执行结束后，队列中排在最前面的进程就会立即执行。一个进程从进入就绪队列到执行完毕所用的时间为其周转时间，即周转时间＝等待时间＋执行时间。现在给你若干进程到达就绪队列的时间以及每个队列的执行时间，请编程计算这些进程的平均周转时间。
Ｉｎｐｕｔ
多组测试数据。
每组测试数据的第一行为一个正整数Ｎ（Ｎ＜＝１０００），表示要处理的进程数目。
接下来有Ｎ行，每行有两个正整数Ａｉ（Ａｉ＜＝１０００）和Ｅｉ（Ｅｉ＜＝１０００），分别表示一个进程到达就绪队列的时刻和执行该进程所需的时间。
Ｏｕｔｐｕｔ
对于每组测试数据，输出平均周转时间，结果保留４位小数。ＳａｍｐｌｅＩｎｐｕｔ
４
１１
３３
２２
４４
ＳａｍｐｌｅＯｕｔｐｕｔ
３.５００
Ｈｉｎｔ
进程１等待时间为０，执行时间为１，其周转时间为０＋１＝１进程３等待时间为０，执行时间为２，其周转时间为０＋２＝２进程２等待时间为１，执行时间为３，其周转时间为１＋３＝４进程４等待时间为３，执行时间为４，其周转时间为３＋４＝７故平均周转时间为（１＋２＋４＋７）／４＝３．５００
Ｄ．进击的巨人
题目描述：
艾伦作为第１０４期训练兵团卒业生于的ＮＯ．５，其它他还有一个特殊能力（主角光环）在艾伦怀有强烈意志时进行自我伤害，就能变身为最大１５米级的巨人，现在巨人已经突破了赛罗之墙，如果不用巨大的石头堵上这堵墙的缺口的话，人类的领地就会进一步缩小，我们用一个二维坐标（Ｘ０，Ｙ０）表示巨人化的艾伦的初始位置，然后用（ｘ１，ｙ１）以及Ｒ表示石块的以及（我们假设这个石块是圆形的），然后用２个点（ｘ２，ｙ２），（ｘ３，ｙ３）表示罗塞之墙的缺口（一条线段），现在当务之急就是要把石块尽快搬到缺口处才行。也就是要求所走的路径是从初始点到石块再到缺口处的距离之和最小。缺口肯定在石块外输入：
多组数据输入，每组数据先是２个实数（ｘ０，ｙ０），然后再是ｘ１，ｙ１，Ｒ，接着再是ｘ２，ｙ２，ｘ３，ｙ３.
输出：
对于每组数据，输出最短的路径的长度（结果保留２位小数）
样例输入：
１１
００１
１０２０
１１
００１
１－１１－２
样例输出：
１.００
２.００
Ｅ．巨人的进击
题目描述：
悠长的历史之中，人类层一度因被巨人捕食而崩溃。面临着生存危机而残存下来的人类建造了三重巨大防护墙，这在１００年内防止了巨人的入侵。不过，作为“和平”的代价，人类也失去了到墙壁外面去的“自由”。正在人们安逸了１００年之际，一个前所未有的超大型巨人出现了！那一天，人类终于回想起了，曾经一度被我们所支配的恐怖，还有被囚禁于鸟笼中那份屈辱，五年前，艾伦－耶格尔目睹母亲遭巨人吞食后，立誓要消灭所有的巨人。而现在超大型巨人又再次出现在艾伦的面前，并破坏了罗塞之墙，现在必须要尽快堵上这个缺口，现在我们已知缺口是一个凸多边形，（不要在意这些细节），我们必须要尽可能的把缺口堵上，那么得用多大的石块（石块假设是圆形的）。
输入：
多组测试数据，每组给出一个ｎ表示凸多边形的定点个数，然后再给出这些凸多边形的顶点的位置（ｘｉ，ｙｉ）。（逆时针给出）
输出：
对于每组数据，给出最大的石块的半径（结束保留２位小数）
样例输入：
４
００
１０
１１
０１
样例输出：
０.５０
Ｆ．闪光的指压师
题目描述：
桐奈是未来道具研究所的研究员No.005，有重度的手机依存症，她沉默寡言到了与别人的交流全部都要通过手机短信的地步（就算对方在眼前），她打字的速度是连眼睛都跟不上的杰出的特技。她对手机的操作可谓是了如指掌（不是现在的智能机。。），我们已知手机的每个按键有不同的含义：
按键1：，。！按键2：a b c 按键3：d e f
按键4：g h I 按键5：j k l 按键6：m n o
按键7：p q r s 按键8：t u v 按键9：w x y z
按键0：空格按键#：数字和拼音切换
按键ok：（仅对一个按键下有多个字符含义时才会用到，按键0用到因为它在拼音模式下只有空格这个含义而在数字含义下仅代表0，按键#用不到，以及数字输入法下的0到9键）最初是拼音输入法，
我们知道这个手机每次只能输入单个字符，如果要输入数字9997，就要按下按键#，然后我们按下按键9三次和按键7一次，如果要输入cd，先按下按键2三次，然后按下ok键，接着按下按键3一次，再按下按键ok即可，也可以先按下按键2三次，然后再按下按键3（因为按下其他按键就表示你已经确定了要输入按键2下的第几个字符了，这里表示按键2下的第三个字符），这样就输入了c，最后按下按键ok就输入了d，很明显后者需要的操作要少一些，现在桐奈要发送一系列的信息，她想要尽可能快的输入这些信息（就是操作尽可能少），那么该怎么办呢？还要注意在切换输入法的时候，例如a1，只需按下按键2一次，然后按下#键一次（因为切换了输入法，故接下来的按键内容与上次肯定不同，所以判定你已经确定了按键2下的第几个字符了），然后按下按键1即可；也可以按下按键2一次，然后按下ok键，然后再按下按键#一次，接着按下按键1即可，不过后者操作要多一次。
输入：
多组测试数据，每组输入只有一行字符，字符仅包含，。！a到z 0到9以及空格。
输出：
每一行输出相应的按键。
样例输入：
21412 fs f32 23jkljsf j32
样例输出：
#21412#033377770333#32#0#23#5ok55ok555ok5777733305#32
G．Alice&Marisa
Problem Description
Alice和Marisa是一对好CP。Alice和Marisa都要向同一个商人Reimu购买节操。Reimu 手中有N份节操，她会将它们一份份地卖给他们，Alice和Marisa通过竞价的方式来决定节操的归属。具体的过程如下：Reimu首先指定其中一个人开始报价，之后两人轮流报价，要求是一定要比对方报的价格更高。任何时候，如果一个人不愿出价或者出不起价时，可以宣布弃权，则对手以最后一次报的价格将节操买下。当然，如果两个人都没钱，Reimu是不会卖节操的。首先报价至少为1，并且只能报整数的价钱。
Alice和Marisa特别爱攀比，因此她们都希望能比对方买到更多的节操。Alice和Marisa各自带了CA和CM的钱用于竞拍节操。此外，Marisa和Reimu有很不错的私人关系，因此Reimu总会让Marisa先报价。现在请问，在Alice和Marisa都用最优策略的情况下，谁能买到更多的节操？假设双方都知道对方手中的现金数量，以及Reimu将要拍卖的节操数量N。
Input
本题有多组数据。每组数据为一行三个用空格隔开的整数N，CM，CA，表示节操的数量，以及双方带的现金。0<=N<=100000,0 Output 对于每组测试数据，输出一行X，X的取值为{-1,0，1}，-1表示Alice买到的节操会比Marisa 多，0表示两个人能买到一样多，1表示Marisa能买到更多的节操。 Sample Input 4 3 5 7 4 7 Sample Output 1 H．排列的前后 Problem Description 学霸向你讨教了全排列之后又自己仔细研究了一番信心满满又去面试另一家公司，这次面试官得知了上次全排列的经历后，决定再次测试下不过这次的测试有点好玩，考官表示只能手算，要计算出给定的排列之后或者之前若干位置的排列是什么。 Input 本题有多组输入数据。每组数据两行，每一行一个字符串s（1<=s的长度<=26）第二行一个整数n（|n|<=2^90。s是给定的前若干的大写字母组成的一排列。 Output 输出一行表示相对s位置为n的排列，若不存在这样的排列则输出“Are you kidding me . ”这个字符串。 Sample BACD 2 BACD BACD -2 BACD 9999 Sample Output BCAD BACD ADBC Are you kidding me. I.散步 Problem Description @每天吃完晚饭后都会从家出发到雾之湖及其周围去散步下，最终到达魔方森林的入口，并尽可能尝试不同的路径。雾之湖及其周围可以抽象为一个矩形，划分为n*m块区域，@家为（1,1），散步时@在某个区域会逗留一段时间，然后移动到东西南北相邻的其中一个格子（移动时间忽略不计），经过若干次移动最终到达魔法森林（n，m）。因为是散步，所以起点和终点@都会逗留一段时间。@表示虽然是闲逛，但是也不能太浪费时间，还是得去终点（n，m）的，所以至少存在一条从B到终点的时间比从A到终点的所有路径所花费的时间更少时才可以从A到B。现在@想知道自己一共有多少种路径可以选择，因为@的至少只有@，她自己肯定没法算出来啦。你能帮帮@吗？？ Input 本题有多组数据。每组数据第一行为n，m（2<=n，m<=50）接下来为n行m列的矩阵，表示在每个区域@逗留的时间t（0<=t<=1000）. Output 每组数据输出一行，表示路径总数（保证小于2^63）. Sample Input 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sample Output 1 6 Problem Description 猜数游戏在XXX国非常流行 游戏过程大概是这样的…… 一个裁判，三个路人，路人足够聪明\\你可以认为路人是petr，acrush，tourist之类的生物……每次裁判会选出三个正整数，其中某两个相加等于第三个 然后分别把这数写在三个路人的脸上\\--||| 不要在意这下细节 也就是说，每个路人都知道另外两个路人的数字但不知道自己脸上的数是什么 游戏开始，裁判每一轮都会问他们三个能否猜出自己脸上是什么，为了体现游戏的公正性，路人们必须同时给出回答。 直到有一个路人猜出自己的数时游戏停止 那么，如果告诉你这三个数a，b，c，为了证明你比路人厉害，你能预测出游戏会在第几轮停止吗？ Input 每行三个正整数a，b，c，（1<=a，b，c<=200）\\保证其中一个是另外两个的和 以0 0 0结束 Output 输出一个数，表示游戏在第几轮结束\\从1开始计数 Sample Input 1 1 2 1 2 3 3 2 1 0 0 0 Sample Output 1 2 2 Problem Description 还是和IQ test一模一样的猜数游戏 路人们玩了几把后觉得200以下的数不能体现出他们强大的计算能力随后一致认同把数字范围扩大到10^18之内 …… …… 现在，你还能帮助裁判预测游戏会在第几轮结束吗？？ Input 每行三个正整数a，b，c(1<=a，b，c<=10^18) 以0 0 0结束 Output 输出一个数，表示游戏在第几轮结束\\从1开始计数 Sample Input 1 1 2 1 2 3 3 2 1 0 0 0 Sample Output 1 2 2 L．The end of the world Problem Description 世界在流动 简单的说，你可以把世界想象成许多空间的集合（n个）和连接这些空间的双向通道（n-1条），并且任意两个空间都能相互连通，于是得到一个简化版的世界。 在这个世界中，存在许多虚拟生命，任何一个虚拟生命可以进入通道到达另一个空间它们从来不走回头路，所以世界的流动必将停止。 为了使模型更加简单，假设每个空间中都有一只虚拟生命。由于世界的对称性，它们选择任何一条通道的概率都是均等的（走过的除外）。作为一个优秀的程序员，请计算世界终结时每个空间中虚拟生命数量的期望。最后，这些期望中一定有个最大的，找到它，并且输出。 Input 第一行有一个数n（3<=n<=100000），表示空间的数量（空间编号从1到n） 接下来有n-1行，每行有两个整数a，b（1<=a，b<=n），表示空间a和空间b之间存在一条通道。 以n=0结束 Output 输出一个数，表示世界终结时所有空间的期望值中最大的那一个（保留三位小数） Sample Input 3 1 2 1 3 4 1 2 1 3 2 4 Sample Output 1.500 2.000 目录 A.单词反转 (16) B.等差数列 (18) C.进程调度 (23) D.进击的巨人 (25) E.巨人的进击 (27) F.闪光的指压师 (31) G.Alice&Marisa (34) H.排列的前后 (36) I.散步 (47) J.IQ test?和K.IQ test 2 (50) L.the end of the world (52) 题目地址：https://www.doczj.com/doc/0b4808536.html,/view/e97bfd5ac850ad02de8041ee.html A.单词反转 Solution: 简单的字符串处理，只要将一句话中的单词反转输出，其余字符原样输出即可。 Code： #include #include #include using namespace std; bool isChar(char ch) { return ( (ch >= 'A' && ch <= 'Z') || (ch >= 'a' && ch <= 'z') ); } int main() { string s = ""; string word = ""; char ch; int cnt = 0; while (true) { getline(cin, s); if (s.size() == 0) { break; } word = ""; int i, j, k; for (i = 0; i < s.size(); ) { if (isChar(s[i])) { word = ""; word += s[i]; for (j = i + 1; j < s.size(); ++j) { if (isChar(s[j])) { word += s[j]; } else { break; } } for (k = word.size() - 1; k >= 0; --k) { cout< } if (j >= s.size()) { break; } else { cout< } i = j + 1; } else { cout< i++; } } cout< } return 0; } B.等差数列 Solution: 首先所说明一下，这题原定的时限是1s，比赛时为了降低难度将时限改为了10s。比赛时用O(n^2)的算法是可以过的。 要想在ls的时限下过这道题，就要用线段树。 考虑以下数列a： 1 2 3 4 6 8 10 12 我们将数列a的相邻两项相减得到数列b: _ 1 1 1 2 2 2 2 观察发现，要想求数列a的区间[L, R]上的最长等差数列的长度，只要求数列b的区间[L+1,R]上的最长连续相同数值的长度再加1。 现在将a[1,4]加上一个首项为A=2，公差为D=1的等差数列后，a为： 1 4 6 8 11 8 10 12 而这时的b为： _ 3 2 2 3 -3 2 2 相当于将b[1]加上A=2，将b[2,4]加上D=1，将b[5]加上-(A+(R-1)*D)=-5。 Code: #include #include #include using namespace std; const int maxn = 100010; struct Node { int l, r, rt; int llen, rlen; // 区间左（右）端点开始的连续数列长度 int mlen; // 区间最长连续数列的长度 long long lvalue, rvalue; // 区间左（右）端点数列的值 int len() { return r - l + 1; } }seg[maxn<<2]; void build(int l, int r, int rt) { seg[rt].l = l; seg[rt].r = r; seg[rt].llen = seg[rt].rlen = seg[rt].mlen = seg[rt].len(); seg[rt].lvalue = seg[rt].rvalue = 0; if (l == r) { return ; } int mid = (l + r) >> 1; build(l, mid, rt << 1); build(mid + 1, r, (rt << 1) | 1); } void pushDown(int rt) { if (seg[rt].mlen == seg[rt].len()) { int lch = rt << 1; int rch = (rt << 1) | 1; seg[lch].llen = seg[lch].rlen = seg[lch].mlen = seg[lch].len(); seg[lch].lvalue = seg[rt].lvalue; seg[rch].llen = seg[rch].rlen = seg[rch].mlen = seg[rch].len(); seg[rch].rvalue = seg[rt].rvalue; } } void pushUp(int rt) { int lch = rt << 1; int rch = (rt << 1) | 1; seg[rt].lvalue = seg[lch].lvalue; seg[rt].rvalue = seg[rch].rvalue; seg[rt].llen = seg[lch].llen; seg[rt].rlen = seg[rch].rlen; seg[rt].mlen = max(seg[lch].mlen, seg[rch].mlen); if (seg[lch].len() == seg[lch].llen && seg[rch].lvalue == seg[lch].rvalue) { seg[rt].llen += seg[rch].llen; } if (seg[rch].len() == seg[rch].rlen && seg[lch].rvalue == seg[rch].lvalue) { seg[rt].rlen += seg[lch].rlen; } 数学与统计学院 第三届计算机程序设计竞赛题 竞赛需知： 1、答案必须写在答题纸上。 2、程序采用C/JAVA/VB/VFP语言实现均可。 3、考虑到各种因素，程序的键盘输入和结果输出可以用伪代码或者自然语言表示。但是必 须说明输入变量和输出变量。 4、题目最好能用完整、正确的语言程序来解决问题，如确实无法编写完整语言程序的，可 以写出程序主要框架和流程，必要时可以用伪代码或者自然语言描述算法（程序）。 一、玫瑰花数（20分） 如果一个四位数等于它的每一位数的4次方之和，则称为玫瑰花数。例如： + + 1634+ =， 4^4 4^3 4^6 4^1 编程输出所有的玫瑰花数。 #include int i,j,k; int n; scanf("%d",&n); for(i=0;i 1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大 全国周培源大学生力学竞赛范围（参考） 理论力学 一、静力学部分 1. 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。 2. 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。能熟练地计算力偶矩及其投影。 3. 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。掌握重心的概念及其位置计算的方法。 4. 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。 5. 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。 6. 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。 二、运动学部分 1. 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。 2. 掌握刚体平移和绕定轴转动的概念及其运动特征、绕定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。能熟练求解绕定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。 3. 掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。 4. 掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。 三、动力学部分 1. 掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求解方法。 2. 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。 3. 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。 4. 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定律，并会综合应用。 5. 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问题的求解方法。 6. 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。掌握质 关于举办浙江省第五届大学生力学竞赛 选拔赛通知 为了培养大学生的创新思维和实践动手能力，激发大学生学习力学与相关专业知识的热情，活跃校园学术氛围，培养团队协作精神，促进浙江省高校大学生相互交流与学习，将于2016年 11 月25日-26日在宁波大学举行浙江省第五届大学生力学竞赛。为选拔优秀学生参赛，学校将举办浙江省第五届大学生力学竞赛选拔赛。现将选拔赛具体事项通知如下：一、组织机构 主办单位：教务处 承办单位：机械工程学院 二、参赛对象 杭州电子科技大学在读本科生均可报名参加。 三、报名方式及截止日期 1、填写报名表，在2016年7月15日前发送到，详见附件1。 2、根据附件2：浙江省第五届力学竞赛的通知中理论方案设计要求，撰写理论设计方案，于2016年9月20日前发送到 联系人：王老师，联系电话： 四、竞赛方式和时间安排 举行时间：2016年10月10日 本次选拔赛包括理论方案设计、实物制作、飞行试验和答辩等环节，具体比赛内容见附件。 校内选拔赛选出三队选手，经过集训代表学校参加浙江省第五届大学生力学竞赛。 五、项设置和评奖原则 （1）评奖原则 公平、公正、公开 （2）奖项设置 本次竞赛设置一等奖三名、二等奖五名，三等奖若干名。 附件1：第五届省大学生力学竞赛校选拔赛报名表 附件2：关于举行浙江省第五届大学生力学竞赛的通知 关于举行浙江省第五届“宁工检测杯”大学生力学竞赛的通知 各有关高校： 浙江省大学生力学竞赛是以培养大学生的创新思维和实践动手能力，激发大学生学习力学与相 关专业知识的热情，活跃校园学术氛围，培养团队协作精神，促进浙江省高校大学生相互交流 与学习为目的省级竞赛。经研究决定2016年举行浙江省第五届大学生力学竞赛。现将竞赛具体 事项通知如下： 一、组织机构 主办单位：浙江省教育厅 承办单位：宁波工程学院 赞助单位：宁波科捷建筑工程技术服务中心 竞赛委员会：有关高校的教授、专家组成，主要负责竞赛的总体组织、指导、命题和评奖等工作。具体名单如下： 主任：杜建科宁波大学教授 副主任：黄志龙浙江大学教授 赵卓宁波工程学院教授 全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考） 理论力学 一、基本部分 (一) 静力学 (1) 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。 (2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。能熟练地计算力偶矩及其投影。 (3) 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。掌握重心的概念及其位置计算的方法。 (4) 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。 (5) 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。 (6) 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。 (二)运动学 (1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。 (2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。 (3) 掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。 (4) 掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。 (三)动力学 (1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求解方法。 (2) 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。 (3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。 (4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。 (5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问题的求解方法。 (6) 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系 第五届四川省孙训方大学生力学竞赛试题 参考解答 一、解：1、平衡时斜面倾角θ 的最大值 本题存在两种可能的平衡临界状态，一是整体处于沿斜面下滑的状态，二是整体绕轴A 翻转。 若要不下滑，只需满足 99.347.0tan 1=≤-θ 若要不翻转，取整体为研究对象， 由∑=0)(F M A 得 0)]3 31(sin [cos 23N ≥+-=θθP P F A 解得 37.323 33 tan 1 =+≤-θ 故平衡时斜面倾角的最大值为 37.32=θ 2、平衡时圆盘O 1与O 2之间铰链C 沿圆盘公切线方向的约束力与倾角θ 的关系 取整体为研究对象 由 ∑=0x F 得 θsin 3S S P F F B A =+ 再分别取圆盘O 1、O 2和 O 3为对象 分别由 0)( , 0)(t t S 1=--=∑D C A O F F F r F M 0)( , 0)(t t S 2=+'-=∑E C B O F F F r F M 0)( , 0)(t t 3='-'=∑D E O F F r F M 联立解之得 θsin 2 3 t P F C = n B C F ' F n E F 't E 'n D A N B x y B x y 二 解：1、相对轨迹 由刚体平面运动理论知a C 和a D 的方向如图所示。如果盘上与动点M 重合点为加速度瞬心，则a C 与直线CM 和a D 与直线DM 的夹角应相等，均为θ ，且 2 tan ωαθ= 又 D C a a ⊥， 故 DM CM ⊥。 由此说明无论角速度ω和角加速度α取何值，加速度瞬心必位于以CD = r 为直径的圆周上，即动点M 的相对轨迹是以CD = r 为直径的圆弧，相对轨迹方程为 4 )2(2 22 r r y x =-+ 相对运动方程 因为 αr a C = （纯滚动），在t 时刻 t αω=，又轮C 上与动点M 重合点的加速度为零，所以 4 24 424 21t r t r a CM C αααα ω α+= += += 而 4 22 4 2 24 24 2 1os , 11sin t t c t ααω αωθαω ααθ+= += +=+= 故相对运动方程为 4 24221sin , 1cos t r CM y t t r CM x αθααθ+=?=+=?= 2、相对速度的大小 对前面所得相对运动方程求导得 2 423 224242) 1(4d d , )1()1(2d d t t r t y v t t t r t x v y x ααααα+-==+-== 相对速度的大小 124 22 2t t r v v v y x αα+= += 大学生力学竞赛模拟题 ------江苏技术师范学院 一、连日大雨，河水猛涨，一渡船被河水冲到河中央，摆渡人眼疾手快，立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游冲去。这时，摆渡人看到一木桩，并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈，就拉住了冲向下游的渡船。 （1） 本问题与力学中的什么内容有关系 （2） 利用木桩拉住渡船，则摆渡人少使多少力？ （3） 如果水对渡船的推力为20kN ，而摆渡人的最大拉力为500N ，木桩与缆绳之间的摩擦系数 3.0=f ，则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈？若缆绳横截面面积为3002mm ， 木桩直径为20cm ，木桩至渡船的缆绳长10m ，弹性模量E=100GPa ，忽略木桩至手拉端绳的变形，试计算缆绳的总伸长量。 题1图 一、解：（1）、关键词：摩擦，轴向拉伸 （2）、设手拉端的拉力为人F ，船的拉力为船F ，缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用，如图（1-a ）所示。任取一微段（图（1-b ）），由微段的平衡条件 （1-a ） （1-b ） 0=∑r F 02 s i n 2s i n )(=-+-θ θd F d dF F dF r （1） 0=∑θF ()02 c o s 2c o s =--+r f d F d F d dF F θ θ （2） 对于微小角度θd ，可令 2 2sin θθd d ≈，12cos ≈θd ，并略去高阶微量2θd dF ?，即得 fF d dF =θ （3） 分离变量，积分得 θ f Ae F = （4） 其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定，有 0=θ， 船F F =； 船F A = 所以，绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为 θf e F F 船= （5） 所以 θf e F F =船 人，其中θ为缆绳绕过木桩的角度。 （3）、将N F 500=人，kN F 20=船，f = 0.3代入式（5），得θ3.031020500e ?= 解得 3.12≈θ rad 所以至少将缆绳绕两圈。 当πθ4=，考虑微段（图（1-b ））的伸长 ()θθθ d e EA R F EA Rd F d f 船绕== ? （6） 则环绕部分的缆绳伸长量 )1(440 -==?=?? ?ππθθf f e EAf R F d e EA R F d 船船绕绕 （7） 代入已知数据计算的，mm 43.9=?绕 木桩至船段的缆绳伸长量 mm EA l F 7.610 3001010010 200006 92=????= =?-船 （8） 总变形量 mm 13.162=?+?=?绕 山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 湖南省第四届大学生力学竞赛材料力学试题 （竞赛时间：180分钟） 请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分。 一、轴向拉力为P 的箱型薄壁截面杆，已知材料的弹性模量E 和泊松比 ν，则在A-A 截面上的C 、D 两点间的距离改变量 CD ? ＝ 。（5分） 二、一矩形截面b h ?的等直杆，承受轴向拉力F 作用，若在杆受力前，其表面画有直角 ABC ∠，且BC 边与杆轴线的夹角为030α=， 杆材料的弹性模量为E ，泊松比为ν，则杆受力后， （1）线段BC 的变形AB ?= ；（3分） （2）直角ABC ∠的改变量为ABC γ∠= ；（3分） （3）角α的改变量为α?= 。（4分） 密 封 线 三、图示杆（不考虑自重）下端与固定端约束距离为?。在中点受到静 力F 作用，在线弹性范围内，力的作用点的最终位移为δ。那么，在以下三种情况下，计算杆所储存的应变能V ε。（结果请用c 、δ和?表示，其中c=EA/l ，EA 为杆的拉压刚度）。 （1）?=0时，V ε = ；（4分） （2）?≠0且δ?时，V ε = 。（5分） 四、已知四分之一的圆截面对形心c z 轴的惯性矩 () 256 24 -=πd I zc ，则截面对形心c y 轴的惯性矩yc I ＝ 。（5分） 五、图示三根圆钢具有相同的长度l 与直径d ，材料的 弹性模量与切变模量为E 与G ，一端固定于刚性固定平面N 1之上，呈等边三角形，各边长为a ，另一端固联于与N 1平行的刚性平面N 2上，如在平面内作用一力偶M k ，则 （1）当直径d 较大而长度l 较小时，略去弯曲效应的影响，平面N 2的转角 θ = ；（5分） （2）当直径d< 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 1、，准考证号 考生姓名 考生所在学校 3．图示吊架ABC 中，已知l AB =2l AC ，杆 AB 的自重P =200N ，B 端挂重W =300N ，则铰A 的支反力F A 的倾角θ= 。 】 4．图a 和图b 为横截面面积A 相同、材料E 相同之受拉杆，则图a 所示的杆C 截面之位移 a C ?= ，该杆BC 段之线 应变a BC ε= ；图b 所示的杆C 截面之位移 b C ?= ，该杆 BC 段之线应变b BC ε= 。 5．下列结构中， 、 、 、 是超静定结构。 】 ~ W B l AC 图a 图b F F F （a ） （b ） （c ） ) （e ） （f ） ! 6．图示结构受F1=F2=F的二力作用，请在图中画出（或标注）内力为零的杆件，并计算杆①的内力F N 1。 — 7．图a所示简支梁AB之弯矩图（图中只画出弯矩的大小，符号可自行规定）如图b所示，试画出梁的剪力图和受力图。 ) a a a 图a 图b 12kN·m @ 第Ⅱ部分（共6题，每题7分） * ~ ^ 》 【 2．图中阴影线所示形状之均质钢板，尺寸如图示。在A、B处用长度相同之圆截面钢杆吊住，若要求钢板AB边保持水平，试求两圆杆直径之 比。 , 【 { 】 3．由五根横截面面积、弹性模量均相同的杆件制成的ABCD正方形桁架如图所示，已知约束点A、B不受主动力作用，且桁架A支座的 约束反力F Ax=F Ay= -F，B支座的约束反力F By=0，试求该桁架所受主动力的作用点、作用方向和大小，以及各杆内力和各节点的位移。 { 、 封线 第一届四川省大学生力学竞赛理论力学试题学校名称姓名 1．（6分）二根弯杆AB、BC质量不计，在A、B、 C处用光滑铰链连接，其上分别作用大小为M、 转向相反的力偶，几何尺寸如图所示，则A处的 约束力大小为，作用线与水平 面的夹角为。 2．（8分）各杆自重不计，尺寸及几何关系如图 所示。杆AC的A端和B处分别靠在粗糙的墙 上和杆BD的端部，D为光滑固定铰支座，C 处作用一铅垂力F 。若要系统平衡，则A处和 B处的摩擦系数最小值应分别为 和。 3．（12分）如图所示，三根等长且质量不计的杆 相互用光滑铰链连接成一构架，铰接点C、D、E 分别为杆DH、BE、AC的中点，杆BE水平，A、 B处分别是固定铰支座和可动铰支座约束。如在 杆DH上端点H处作用一铅垂力F，则铰C、D、 E处的约束力的大小分别为 、、 。 4．（6分）一空间力的大小为F ，作用线 过边长为l 的正方体的顶点C 和D ，方向 如图示，则该力对过正方体顶点O 和G 的轴ζ 的矩为 。 5．（6分）已知平面运动刚体上两点A 和 B 的加速度大小分别为A a 和B a ，方向如 图所示，则刚体上位于AB 连线中点C 的加 速度大小为 。 6．（12分）已知机构中长为r 的曲柄OA 在 图示瞬时以匀角速度ω 绕轴 O 转动；连杆 AB 长为2 r ，套筒C 可在连杆AB 上滑动， 从而带动杆CD 上下运动，如在图示瞬时， AC = CB ，OA 铅垂且垂直于OB ，则该瞬时 杆CD 的速度大小为 ，加 速度大小为 。 7．（12分）半径为r 的轮O 在水平地面上 作纯滚动。一杆AB 斜靠在它上面，杆与轮之间 无相对滑动，杆端A 不脱离地面。已知杆端A 的速度v 0 为常数，则当杆与地面夹角θ = 60o 时， 杆AB 的角速度大小为 ；轮O 的角速度大小为 ；杆AB 的角加 速度大小为 ；轮O 的角加速度 大小为 。 湖南省第十届大学生力学竞赛试题 （竞赛时间：180分钟） 请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分。只算16题的总分。 理论力学部分 一、（4分，长沙理工大学供题）一个匀质对称的酒杯支架放在水平面上，其正视图和俯视图如图所示，支架上有六个挂杯点（杯的重心位置）A 、B 、C 、D 、E 、F 等分半径为R 的圆。已知每个酒杯重量为P ，支架的总重量为6P 。要求在任何挂或取杯情况时支架不倾倒，则设计支架底座圆盘的半径r 应满足 r ≥___________(4分)。 题一图 题二图 密 封 线 二、（8分，湖南大学供题）如图所示，均质轮O 置于水平面上，杆HC 垂直轮轴O 搁置于轮和平面上，杆与水平面倾角为60°， 轮与杆及水平面之间的接触点A 、B 和 C 处均有摩擦，使得杆与轮保持静止。现将不计大小的物块D 轻置于杆HC 上的A 点，并由静止沿杆无摩擦加速下滑。设轮、杆与物块D 质量均为m ，杆的重心位于AC 中点E ，AC 长为l ，试分析下述问题: （1）轮与杆保持静止的条件之一是其两者之间的静摩擦因数最小应为 （3分）； （2）设A 与C 处的摩擦足够大，则维持B 处不滑动的最小静摩擦因数值等于 （5分）。 三、（5分，湖南农业大学供题）一半径为r 的半圆柱放在另一半径为R 固定于水平面的半圆柱上，如图所示。静止时上面一个半圆柱的重心C 与接触点A 的距离为d ，并假定任意接触处不会发生相对滑动。试求该系统在图示位置稳定平衡时d 的最大值为 （5分）。 题三图 题四图 四、（10分，国防科技大学供题）图示平面机构中 杆OA 以等角速度 0作定轴转动，半径为r 的滚轮在杆OA 上作纯滚动，O 1B 杆绕O 1轴转动并与轮心B 铰接，在图示瞬时O 、B 在同一水平线上，且 O 1B 长为2r ，处于在铅垂位置，则此瞬时 （1）滚轮的角速度大小为 （3分）； （2）滚轮的角加速度大小为 （7分）。 五、（10分，吉首大学）在图示系统中，已知匀质圆轮A 的质量为m ，半径为r ，物块B 质量为 2 m ，斜面与水平面倾角为 30，定滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。试求解如下问题： （1）若斜面粗糙，圆轮纯滚时轮心加速度大小为 （4分）； （2）若斜面光滑，圆轮轮心加速度大小为 （6分）。 r 2 附件 安徽省大学生力学竞赛（本科组）范围（试行） 理论力学 一、基本部分 1. 静力学 (1) 掌握工程对象中力、力矩、力偶等基本概念及其性质。能熟练地计算力的投影、力对点的矩、力对轴的矩以及力偶矩及其投影。 (2) 掌握刚体和约束的概念以及各种常见约束力的性质。能熟练地画出单个刚体及刚体系的受力图。 (3) 掌握各种类型力系的简化方法和简化结果，包括平行力系中心的概念及其位置计算的方法，掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。 (4) 掌握各种类型力系的平衡条件。能熟练地利用平衡方程求解单个刚体和刚体系的平衡问题。了解结构的静定和超静定概念。 (5) 掌握滑动摩擦、摩擦力和摩擦角的概念。能熟练地求解考虑滑动摩擦时简单刚体系的平衡问题。 2. 运动学 (1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解与点的速度和加速度有关的问题。 (2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征，掌握定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度的矢量表示法。能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度有关的问题。 (3) 掌握运动合成与分解的基本概念和方法。掌握点作复合运动时的速度合成定理与加速度合成定理及其应用。 (4) 掌握刚体平面运动的概念及其特征，掌握速度瞬心的概念及其确定方法。能熟练地求解与平面运动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度有关的问题。 3. 动力学 (1) 掌握建立质点运动微分方程的方法以及质点动力学基本问题的求解方法。 (2) 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念，会判定简单情况下刚体的惯性主轴。 (3) 能熟练地计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练地计算冲量、冲量矩、力的功和势能。 (4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定律，并能熟练地综合应用。 (5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。会应用刚体平面运动微分方程求解有关简单问题。 (6) 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握刚体平移、具有质量对称面的刚体作定轴转动和平面运动时惯性力系的简化方法及简化结果计算。掌握质点系达朗贝尔原理(动静法) ，并会综合应用。了解定轴转动刚体动约束力的概念及其消除条件。 湖南省第六届大学生力学竞赛试题——理论力学 （竞赛时间：180分钟） 请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分。 一、综合题（16分） 1．长度为l ，重P 为1kN 的匀质板搁在倾角为600的V 型水渠上，如图所示。板与斜面间的摩擦角为15o 。试求可以通过该桥人的最大体重Q= （4分）。 题图 题图 2．连杆滑块机构中，OA =2l,AB =l,杆OA 在图示平面内绕O 轴以匀角速度0ω转动。试求当角0=?时，AB 杆的角速度为 （4分）。 3．一匀质圆盘半径为R ，质量为m ，放在光滑的水平平面上。初始时以匀角速度 ω绕 盘边缘一点A 转动。当转动到图示位置时，突然释放A 点，固定盘边缘上的B 点，再释放 B 点。试求此后圆盘运动的角速度为=ω （4分）。 4．图示机构，曲柄OA 可绕O 轴定轴转动，AB 杆穿过套筒C ，OC 连线水平，其中 OA =r ，AB =4r ，OA 曲柄作用大小为M 的顺时针力偶，初始时刻曲柄OA 处于铅垂位置，C 为AB 中点，在AB 杆的B 端施加一力P 可使系统在该位置平衡，为了使力P 最小，可以改变其方向，若不计各处摩擦，试求平衡时力P 的最小值为 密 封 线 ω （4分）。 题图 题图 二、正方体边长为a ，力12, F F 大小均为F ，该力系对轴CA '之矩为 （4分）；该力系简化可能得到的最小主矩为 （ 6分）。 题3图 题二图 题三图 三、（4分+4分+7分=15分）图示均质轮轴重量为G ，半径为R ，轮轴上鼓轮半径为r ，在鼓轮上缠绕轻质绳经过定滑轮系以重物，各处摩擦因数均为f ，θ角已知，试求平衡时重物的最大重量0G 。 C A C ' A A 湖南省第六届大学生力学竞赛试题——材料力学 （竞赛时间：180分钟） 请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分。 一、刚性横梁AB 由四根长为i l (1,2,3,4)i =的钢丝悬挂，每根钢丝的拉伸刚度均为EA ，第i 根钢丝距A 端的距离为i a ，在未受力时横梁AB 处于水平位置，今在AB 上作用载荷P 。则： （1）结构的静不定度为 （2分）； （2）用各杆轴力N i (1,2,3,4)i =表示的变形协调条件为 （4分）； （3）今欲使刚性横梁仍保持水平，则P 力距A 端的距离x = （4分）。 题一图 题二图 二、左端固定的圆截面轴由两种材料组成，并且内、外两轴紧密接合，截面尺寸及材料性质见下表。 密 封 线 今在轴表面沿与母线成45°方向焊上一直径为1mm 的细铜丝ab （把铜丝拉直，在两端焊牢，且无初始应力），铜的弹性模量为E 0=8×104MPa 。在轴的右端加上力偶矩m 0=1.2kN·m 。则： （1）内轴扭矩T (x ) = （3分）； （2）外轴扭矩T (x ) = （3分）； （3）细铜丝横截面上的应力σ= （6分）； 三、如图所示一根足够长的钢筋，放置在两刚性平台上，在CD 中点K 处作用载荷F 。钢筋单位长度的重量为q ，抗弯刚度为EI 。则 （1）C 、D 处刚好脱离桌面时，F = ；（4分） （2）当F =2qa 时，K 点的位移为 。（3分） （3）当F =0时，K 截面的弯矩与a 的关系为 ；（5分） 题三图 题四图 四、图示梁杆系统，梁CD 与杆AB 间存在一微小间隙δ，M - M 为与杆AB 连接的不变形刚体。一重量为P 的环状物体从高度/3h a =处自由下落冲击刚体M - M 。设冲击过程发生在线弹性范围内，且不计梁和杆的质量，也不考虑杆的压缩稳定性。已知梁的弯曲刚度为EI ，杆的拉压刚度为EA ，且2EI a EA =。试求： （1）当δ=0，即AB 的B 端可看作铰接于C 点时，梁C 截面处的最大动位移 d1?= （4分）； （2）当0≠δ，且杆B 端与梁C 端刚好接触时，环状物体重量P 0= （3分）； （3）当0≠δ时，且P >P 0，梁C 截面处的最大动位移d1?= （6分）。 M C B 3 A D M a 2a/3 h δ 2017年安徽省大学生力学竞赛单科组试题解答及评分标准 第一题（35分） 图示结构由杆AB 、BD 、EC 、CG 和EH 组成，不计各杆的重量，尺寸如图所示。各杆之间用圆柱形光滑铰链连接，其中A 处为固定端，D 和E 处为活动铰链支座。已知2321qa M M M ===， qa F =，试求： 1.支座D 和E 处的支座反力； 2.支座A 处的支座反力； 3.销钉E 对杆EC 的作用力。解：(1)(本小题14分) 以BD 杆为研究对象，受力图如图1.1所示(+1分) 由平衡条件得： 22 0 D Bx By F F qa F F ====,(+3分) 再以ECG 为研究对象，受力图如图1.2所示 (+2分)0x F =∑得：0 Cx F =(+2分)2320C E M Fa M M F a =+-+=∑得：2E F qa =-(+3分)0y Cy E F F F F =+-=∑得： 3Cy F qa =(+3分) (2)(本小题11分)以AB 杆为对象，受力图如图1.3所示 (2+分)0x F =∑得：0 Ax F =(+2分) 0y Ay Cy F F F qa =--=∑得：4Ay F qa =(+3分) 1150.A A Cy M M M F a qa a =+--?=∑得：2 35A M qa =.(+4分) (3)(本小题10分) 以EH 杆为研究对象，受力图如图1.4所示(+2分) 220G ECy E M F a F a F a =?+?+?=∑得：15.ECy F qa =(+3分) B D 2F D F By F Bx F 图1.1 H 2 M E F G C Cy F Cx F E F 3 M 图1.2 q M F F H E F G ECy F ECx F E F GCy F GCx F 图1.4 a 力学竞赛试题及答案 一、 四叶玫瑰线 解：（1）对于四叶玫瑰曲线θρ2cos a =，在直角坐标系中可写成（图3-1） ? ? ?==θρθ ρsin cos y x 将θρ2cos a =代入上式， 得 ? ??==θθθθsin 2cos cos 2cos a y a x （1） 利用三角函数的积化和差公式 )]cos()[cos(21 cos cos βαβαβα-++= )]sin()[sin(2 1 sin cos βαβαβα-++= 可得 ??? ????-=+=)sin 3(sin 2 )cos 3(cos 2 θθθθa y a x （2） 图3-1 图3-2 （2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮1O 在固定内齿轮O 内作纯滚动，其中内齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r ，画笔所在E 点离小齿轮圆心1O 的距离为e 。随系杆1OO 的转动，其E 点的轨迹为 ?? ?--=+-=?θ? θsin sin )( cos cos )( e r R y e r R x E E 利用小齿轮的纯滚动条件)(θ?θ+=r R ，有θ?r r R -= ，代入上式可得 ??? ??? ? ---=-+-=)sin(sin )( )cos(cos )( ?θ?θr r R e r R y r r R e r R x E E 作变换，令β?3=，上式可改写为 ??? ??? ? ---=-+-=) 3sin(3sin )( )3cos(3cos )( ?β?βr r R e r R y r r R e r R x E E （3） 对照式（2）和式（3）中的系数，有 2a e = ， 2a r R =-， 13=-r r R 联解之，得 a R 2=， a r 23= ， 2 a e = （4） 做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出θρ2cos a =的四叶玫瑰曲线。 二． 手指转笔 在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小； （3）给出笔与手指间的摩擦因数μ随AC 长度x 变化应满足的条件。 手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为R 的圆柱，笔为一回转半径为ρ的细直杆（对质心C 转动惯量为2ρm ）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C 距离为ρ的A 处与手指相切，初角速度为o ω，设R πρ>，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日 一填空题（5×6分=30分） 1.程微分方 0)(y 3 ' '' ''=-y 的通解是_______ 解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到12 2 1- c x p -=-，即 () x c y p -±= =1'21 ，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）. 2.设D:412 2 ≤+≤y x ，则积分()( )dxdy e y x I x D 4 y 2 22-+-??+=的值是_______ 解：)52(2 2sin e 434 1 4 20 2 1 2 2 4 2 -= ==? ? ?--e du ue e rdr e r d I u r π π θθπ（对称性和极坐标）. ()ds s f x t ?=0 3.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若 ()t f y = ， 则 ______2 2=dx y d 解：()dt t f dx =，() dt t f dy ' =，所以()() t f t f dx 'dy = ，则得 ()()()()()() t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32 ''''22-=???? ??= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵() A f 的行列式的值为_______ 解： ()()()()n f f f A f λ λλ 2 1 = 5.极限[])!sin(lim e n n n π∞ →的值为________C语言程序设计竞赛题及其答案
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