平行轴定理
转动惯量与转动轴的位置有关。
绕着一个固定轴转动的物体的动能是
2z I 2
1K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K +=
一个刚体上的两个平行轴。Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。相对于任意一个轴物体都处于运动状态。
考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。
质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ：
因此 ωd v cm =
222cm Md 2
1Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。
绕通过质心的固定轴转动的动能为：
2cm int I 2
1K ω=
所以 222cm Md 2
1I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得：
2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。
例：木棒
细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为：
2cm ML 12
1I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？
3
ML I )2
L (M 12ML I 2
L
d 2
22=+== 垂直轴定理
一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。
表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。 考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。
设与之相对应的转动惯量分别为
z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为
22y x R +=
∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ
∫=dV y I 2x ρ
∫=dV x I 2y ρ
所以 ，这便是垂直轴定理。
y x z I I I +=例：
1） 圆盘
?处于xy 平面上的一个圆盘，其转动惯量为
2z MR 2
1I = 由对称性可知，y x I I =
因此由垂直轴定理即可得到：
x z 2I I =4
MR 2I I I 2
z y x === 2） 正方形平板
?正方形的变长为a
通过对称性可知，
y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：2z x Ma 6
1I 2I =
= 例：
当圆柱体转动时，绳子开始释放，物体m 向下落。
一根轻绳绕在质量为M ，半径为R 的实心圆柱体上，一个质量为m 的物体系在绳子的一端，然后从距离地面高度为h 的地方由静止释放。假定整个过程中所有摩擦都不存在，那么，求当物体m 刚刚落地时，圆柱体的运动速率和角速度。
解答：
在初始状态，系统没有动能，但是具有重力势能。到最终状态两个物体M 和m 都具有动能，而这时候物体m 的势能消失。
mgh 0U K E 111+=+=
0I 2
1mv 21U K E 22222++=
+=ω 根据几何关系，ωR v =
且实心圆柱的转动惯量为 2MR 21I = 根据机械能守恒定律：
21E E =2222v 2M m (21)R v )(MR 21(21mv 2
1mgh +=+= )2m /M 1/(2gh v +=
一个物体的角动量
?对于一个物体，如果有外力作用时，它的鲜动量并不守恒：
dt
P d = （牛顿第二定律） ?对于某些特殊种类的力作用在物体上的情况，物体的角动量是守恒的。这些力被称作中心力。
^r f F =
一个质量为m 动量为P 的物体的角动量是一个矢量，它的方向垂直于r 与P 所确定的平面，而且其大小取决于参考系的选择。
考虑一个质量为m 的物体，其位置矢量为r ，运动速度为。
物体相对于原点O 的瞬时角动量被定义为它的瞬时位置矢量与瞬时线动量的叉乘： φrpsin =×=
在国际单位制中，角动量的单位是千克米/秒 2
?首先运动矢量的叉乘；
?角动量L 的大小和方向依赖于坐标系的选择；
?角动量L 的方向垂直于位置矢量r 与动量矢量P 所确定的平面，并且满足右手定则的判定； ?如果位置矢量与动量的方向平行时，角动量0≡。
从几何上来看：
≡⊥r 原点和动量所在直线之间的垂直距离；
≡⊥p 动量在位置矢量方向上的分量；
×=
⊥⊥==rP P r L z
1） 沿直线运动的物体
原点与运动方向之间的垂直距离为θrsin
?假设作用在物体上的外力为零，所以它的运动速度为常数；
?角动量的方向是恒定的；
?角动量的大小是恒定的
rPsin θ= 如果和处于平面上，那么角动量的方向是沿着z 轴方向的。
xy 如果一个物体从原点到某点的位置矢量看上去在绕着这个点转动的话，那么物体绕着原点的角动量不等于零。
如果物体的位置矢量只有大小在增加或者减少，而方向保持不变的话，那么物体是在沿着通过原点的直线运动，因此该物体绕着原点的角动量等于零。
“对于角动量来说，坐标系的选择是很重要的。在计算角动量之前，必须要先定义原点的位置。”
2） 匀速圆周运动中的物体
作匀速圆周运动的物体。它的角动量方向垂直于运动所在平面。
?在绳的末端系着一个球；
?地球和其他行星绕太阳的运动；
?选择圆周的中心作为坐标系的原点。
P r L ×=，其中P 不等于常数。
I )mr (mrv rP 2ωω====
由于r 与P 总是保持垂直的，因此角动量的大小是不变的。它的方向是垂直于圆周运动的平面的，而且保持不变——也就是说，角动量的大小和方向都是恒定的。
在这个例子中有外力作用在物体上，
r
mv F r mv a 2
c 2t ==与 作用力的方向是向着圆周运动的中心（原点）处。如果我们选择了其他的坐标系的话，那么角动量将不再保持为一个常数。
圆锥摆的角动量
?假定圆锥摆以角速度ω作圆周运动；
a) 选择点A 作为原点：
rP L A =×=
R 为圆周运动的半径，
ωmr mv P ==
mr L 2A ω= 角动量A L 的大小和方向都保持不变。
b) 选择位于圆锥顶部的B 点作为原点：
|||r ||r ||L |B =×=
ωMrL MvL |L |B ==
L |'|=是绳子的长度；
:L B 角动量的大小不是恒定的，它依赖于点B 的位置；同样，它的方向也不是恒定的。
?对于固定的点B ，角动量的大小是恒定的。
?每转过一圈，角动量的方向矢量都将扫过一个圆周；
?角动量在z 轴方向上的分量是守恒的。
?角动量的水平分量以角速度ω作圆周运动；
?这些都是动力学结论！！
角动量与力
“当作用在物体上的力是中心力的时候，物体的角动量守恒。中心力即力的方向指向或者背离圆周的中心点处。”
?一个球拴在一根绳子上；
?太阳作用在行星上的万有引力。
如果某个物理量是守恒的，那么应该怎么样去证明这个结论呢？将该物理量对时间求微分。如果时间微分为零，那么这个物理量便不随时间发生改变，即它是守恒量。
dt d r )v m (v dt
d r P dt d )P r (dt d dt d ×+×=×+×=×=
所以 dt
d ×= 如果
0dt d =，即可以得到 0F r ≡× ?力F 的方向一定与位置矢量r 的方向平行；也就是说，力F 是指向或者背离原点方向的（注意：力是中心力！）
如果力是中心力（自然界中的很多力都是中心力），那么
0dt
d = 或者是 常数= 这就是角动量守恒定律。
如果力F 不是中心力，那么角动量就不是守恒的。
dt
d ×= 物理量×叫做力矩：
=×
所以 ?=dt
d 在刚体动力学中，力矩和角动量都必须是相对于相同的惯性坐标系的原点所求得的。 物体角动量的变化率等于作用在它上面的力矩。 角动量L 与中心力
×=
dt
P d = （牛顿第二定律）
t mrv =
如果力F 是中心力，那么将随时间改变，而不随时间变化。
c v t v 所以角动量对于中心力是守恒的。
例：彗星轨道
近日点：与太阳距离最小的点；
远日点：与太阳距离最大的点。 在近日点和远日点处位置矢量r 与速度矢量是互相垂直的。
彗星绕太阳（中心）运动的角动量的大小是：
111v mr L = （近日点）
222v m L = （远日点）
×= （方向垂直纸面向外）
如果作用力是中心力（引力是很好的中心力）
121222112
1v r r v v mr v mr L L ???
?????===
哈雷彗星：近日点处：
s /m 1046.5v ,m 1075.8r 41101×=×= 远日点处： m 105.26r 12
1×=因此远日点速度 241210
21008.91046.510
26.51075.8v ×=××××=米/秒 例：旋转平台
圆盘状平台无摩擦地绕着一个垂直固定轴转动。一个学生慢慢地从圆盘边缘向中心运动。当学生在边缘处时，他的初角速度为ω。圆盘的半径R=2.0米，圆盘质量为M=100千克，学生质量m=60千克，初角速度为2秒。
1?a)当学生距离圆盘中心0.5米时，他的角速度ω是多少？
初始状态时的转动惯量是平台与处于平台边缘的学生的转动惯量之和：
22i mR MR 2
1I += 当学生处于r 没有外力矩作用在绕着固定轴旋转的系统上（平台+学生），因此由于角动量是守恒的，所以角速度必须不断地增加。 f i L L = f f i i I I ωω= f 22i 22)mr MR 2 1()mR MR 21(ωω+=+ i 2222f )mR MR 2 1() mR MR 21(ωω++= 1.4)215 200240200(f =++=ω弧度/秒 b)求系统的初动能与末动能 8802)440(21I 2 1K 22i i i ===ω焦 18001.4)215(2 1I 21K 22f f f ===ω焦 动能增加了！当学生向圆盘中心走动时，他将对圆盘做功——因此系统的动能增加了。系统 的内力做了功。 学生在旋转中，因此他所处的不是一个惯性参考系。同时他将感觉到一个随r变化的向外的“离心力”的作用。因此为了平衡自身他将产生一个中心力并且做功——从而生成能量。 平行轴定理 转动惯量与转动轴的位置有关。 绕着一个固定轴转动的物体的动能是 2z I 2 1K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K += 一个刚体上的两个平行轴。Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。相对于任意一个轴物体都处于运动状态。 考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。 质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ： 因此 ωd v cm = 222cm Md 2 1Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。 绕通过质心的固定轴转动的动能为： 2cm int I 2 1K ω= 所以 222cm Md 2 1I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得： 2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。 例：木棒 细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为： 2cm ML 12 1I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？ 3 ML I )2 L (M 12ML I 2 L d 2 22=+== 垂直轴定理 一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。 表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。 考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。 设与之相对应的转动惯量分别为 z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为 22y x R += ∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ ∫=dV y I 2x ρ ∫=dV x I 2y ρ 设计用两种方案验证平行轴定理 [实验目的] 1、学会用三线摆测量圆柱体的转动惯量； 2、学会用两种方案验证平行轴定理。 [实验仪器] 自行决定。 [实验原理] 同一物体绕不同转轴其转动惯量不同。 平行轴定理： 对二平行转轴来说，物体绕任意转轴的转动惯量值I ，等于绕通过质心的平行转轴的 转动惯量值0I ，加上该物体的质量m 和二轴间距离d 平方的积，即20md I I +=。 验证方案一： 将两个形状相同、质量均为圆柱m 的圆柱体，对称地放在下盘上，距离圆盘中心为d ， 则两圆柱体绕圆盘中心轴的的转动惯量为： 下盘圆柱下盘圆柱）（I T H gRr m m I -+=2242π （1） 理论上按平行轴定理所得的公式为： 222 21d m D m I 圆柱圆柱圆柱理论）（+= （2） 验证方案二： 1、将完全相同的两圆柱体，对称地放在下盘中心两侧，测量其周期。 2、保持此二圆柱体对下盘中心对称，逐次把它们之间距离增加1cm ,2cm ,3cm ……直到移到下盘边缘为止，测量相应的周期。 根据平行轴定理，两圆柱体绕中心轴的转动惯量为)(22md I +自，自I 是每一圆柱体 绕自身中心轴的转动惯量。根据讲义中的公式，可得： )]2(2[2(40222 I I d m Rrg m m H T +++=自身圆柱圆柱下盘）π （3） 可见，2T 和2d 成正比。 3、用测得的各d 值所对应的T 值，作22d T -图，应为一条直线。从图上求出截距 和斜率，将二者比值和用m I I 220 +自身算出的值进行比较，可作出结论。 [实验内容] 一、 用方案一验证平行轴定理。 切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解 南江石 2018年4月7日星期六 圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。 圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。 圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。 弦是割线的部分线段。 公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。 公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。 几何原理 几何原理 共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线 4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点 3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点 共割线上任意一点到圆的 4个切线的长度相等，4切点共圆 共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆 圆幂定理 是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。 圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。 点对圆的幂 P 点对圆O 的幂定义为 2 2 R OP F B 性质 点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 PB PT PT PA = PB PA PT ?=2 222Am Pm PT -= 割线定理（切割线定理的推论） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222Cn Pn Am Pm -=- 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222A Pn Cn Pm m -=- 垂径定理（相交弦定理推论） 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 PB PC PC PA = PB PA PC ?=2 222OP R PC -= P 点在圆外，切割线定理、割线定理 2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=?=?= P 点在圆内，相交弦定理、垂径定理 222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=?=? 222OP R PB PA PC -=?= 【例题求解】 【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ． 415 D ．5 16 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例3】如图，△ABC接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值． (北京市海淀区中考题) 思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的程． 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE (省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几各种类型的问题 转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究 摘要: 采用三线摆, 双线摆, 扭摆, 测量不同刚性物体的转动惯量, 并进一步验证平行轴定理, 同时应用扭摆的特性测量切边模量。 关键字: 转动惯量; 平行轴定理; 切变模量 转动惯量是刚体转动惯性的量度, 它与刚体的质量分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否, 转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体, 测量其尺寸和质量, 即可经过理论公式计算获得; 对于不规则、 质量分布不均匀的物体则要经过实验测定。 一． 实验原理 （一） 双线摆 本实验中, 认为双线摆是纯转动的理想模型。这样, 双线摆摆锤的运动可分解为: 水平面上的转动以及竖直方向上的振动。 设均匀细杆质量、 长为l 、 绕经过质心竖直轴转动的惯量为; 两相同圆柱体 的质量之和为2m 1,之间距离为2c; 双绳之间 距离为d, 绳长L 。 由右图 几何关系分析, 当很小时, , 得 81 )2cos -L(1=h 2θθL = ( 1) 图2几何分析 图１双线摆结 由上式可得系统的势能为 2 001 8p E m gh m gL θ== ( 2) 杆的转动动能为2 0)(21dt d I E k θ = ( 3) 由能量守恒得 22 000011() 28d I m gL m gh dt θθ+= ( 4) 用( 4) 关于时间求导, 并除以, 得 2020 04m gL d dt I θθ+= ( 5) 解上面的简谐振动方程, 得杆的转动惯量: 2020 016T gL m I π= ( 6) 测量物体的转动惯量: 202()16x m m gL I T π+= (7) 待测物体的转动惯量为: 22200000222()()161616x x x m m gL m m gL m gL I T I T T πππ++=-=- (8) （二） 三线摆和扭摆 ① 三线摆 左图是三线摆示意图。上、 下圆盘均处于水平, 悬挂在 第三章三角形公式定理 第三章三角形 1 三角形的有关概念和性质 1.1三角形的内角和 在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180 在原来图形上添画的线叫做辅助线 依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形. 在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边. 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 1.2三角形的有关线段 三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 2 全等三角形 2.1全等三角形的证明 边边边有三边对应相等的两个三角形全等 边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 2.2直角三角形全等的判定 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 3 等腰三角形 3.1等腰三角形及其性质 三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角 定理等腰三角形的底角相等 推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 定理有两个角相等的三角形是等腰三角形 定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等 等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60 等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 转动惯量与刚体定轴转动定律 先阐明几个概念： 刚体：简单的说，即形变可以忽略的物体。作为理想的物理模型，刚体的特征是有质量、大小和形状，而在处理时我们往往不考虑其形变（但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况）。 力矩：和力类似，并不好直接定义，可以简单的认为是力乘以力臂或者M F r =?（关于叉乘，请自行百度）。 转动惯量：度量转动时惯性的量。详见后文。 下面是准备工作： 定理：无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 证： ①考虑两个质点的系统： 如图， 由牛顿第三定律， 120F F +=， 且1221()F F r r - 而，合力矩=1221121()0F r F r F r r ?+?=?-= 成立。 ②假设，含k 个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 ③对于含（k+1）个质点的无外力系统， 分为两组，一组含k 个质点，另一组则为第（k+1）个质点。 含k 个质点的一组，其内力的合力矩为 而该组任一质点与第（k+1）个质点的相互作用合力矩也为 0 故含（k+1）个质点的无外力系统其内力的合力矩为 0 因而，无外力系统内各质点相互作用的合力矩为 0 推论：对系统施加M 的外力矩，有i M M =∑ （i M 为系统内第i 个质点所受力矩。） 证： 将施加外力的质点纳入系统，由上， 则有，0i M M -+=∑ 故，i M M =∑ 刚体定轴转动定律：M I β= （M 为合外力矩，β为角加速度，I 为转动惯量（见下）。） ①考虑只有一个质点， 由牛顿第二定律： ()r F ma m a a θ==+ （其中，,r a r a r θ⊥） 则 2 ()()[()()]r F r m a a ma m r r m r r r r mr θθββββ ?=+==??=-= 『1』 ②考虑多个质点时， 对于系统中第i 个质点， 数学怎样证明平行定理 平行定理是数学的规律，那该怎么证明呢?那是有什么的证明规律吗?下面就是学习啦给大家的怎样证明平行内容，希望大家喜欢。 设有两两垂直的转轴x、y、z，则由定义得：Jx=m(y^2+z^2)，Jy=m(x^2+z^2)，Jz=m(x^2+y^2)，所以 Jx+Jy+Jz=2m(x^2+y^2+z^2)=2mr^2，此为垂直轴定理。在沿z轴向一边平移d得到x'、y'、z轴，则r'^2=r^2+d^2，所以 Jx'+Jy'+Jz=2mr'^2=2m(r^2+d^2)，与上式相减得 (Jx'-Jx)+(Jy'-Jy)=2md^2，因为x、y轴平移方式相同，所以应有Jx'-Jx=Jy'-Jy，所以Jx'-Jx=Jy'-Jy=md^2，即为平行轴定理。 定理和判定都可以求的根据定理来就是:两组对边分别平行根 据判定来:a一组对边平行且相等b对角线互相平分c对角相等d两组对边分别相等 2 1,两组对边分别平行2，两组对边分别相等3，一组对边平行且相等4，对角线互相平分 一，两组对边分别平行二，两组对边分别相等三，一组对边平行且相等四，对角线互相平分五，对角相等! 沿着一条对角线折叠，就可以得到这条对角线平分另一条对角线，再沿着一条对角线折叠，就可以得到另条对角线平分这一条对角线。这只是演示，不叫证明。因为两条对角线将平行四边形分割成两 对全等的三角形任取其中一对因为两三角形全等的所以可得两三角形三条对应边分别相等(之前的都要用内错角来 1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形 2.假设圆里面的是平行四边形 3.因为对边平行，所以4个角相等 4.平行四边四个角之和等于360， 5.360除以4等于90 6.所以圆内平行四边形为矩形.. 3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边 第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 2018.10.16 多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。 一、质心运动定理 设系统由n 个质点组成，各质点的质量分别为n m m m ???21、，位矢分别是n r r r ???21、，则此质点系质心的位置矢量C r 为 n n n C m m m r m r m r m r +???+++???++= 212211 因此，质心的加速度 n n n C m m m a m a m a m a +???+++???++=212211 设第i 个质点所受的外力为i F ，第j 个质点对第i 个质点所受的作用力为)(i j f ji ≠，则对每个质点应用牛顿第二定律有 11131211a m f f f F n =+???+++ 22232122a m f f f F n =+???+++ ?????? 将n 个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有ij ji f f -=，得 n n n a m a m a m F F F +???++=+???++221121 令F 21=+???++n F F F ，称为质点系所受到的合外力，m m m m n =+???++21，称为质点系的总质量，则 C ma =F 这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。 二、质心运动守恒定理 如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。 三、刚体的转动定律 刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。图为一绕固定轴转动的刚体，P 为刚体上某一质点，其质量为i m ，到转轴的距离为i r ，受到刚体外的外力为i F ，内力为i f ，则对P 点有 i i i i a m f F =+ i a 为质点P 运动的加速度，由于质点P 绕固定轴做圆周运动，其切线加速度it a 满足 βθ?i i it i i i i i r m a m f F ==+sin sin β为刚体转动的角加速度，上式每一项都乘以i r 得 βθ?2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+ i i i r F ?sin 是外力i F 对转轴的力矩，i i i r f θsin 是内力i f 对转轴的力矩。 对组成刚体的每个质点都可以写出以上形式的方程，将这些方程累加可得 βθ?∑∑∑=+2 sin sin i i i i i i i i r m r f r F 由于内力是成对出现的，且每对内力都是等值、反向、共线的，故有 0sin =∑i i i r f θ 而∑i i i r F ?sin 是刚体所受各外力对转轴的力矩的矢量和，即合外力矩， 用M 表示，2 i i r m ∑是由刚体本身的质量分布情况所决定，称为刚体对此转轴的转动惯量，用I 表示，则上式可简写为 β I M = 初中数学几何基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 全国中学生物理竞赛公式 全国中学生物理竞赛 力学 公式 一、运动学 1.椭圆的曲率半径 22 12,b a a b ρρ== 2.牵连加速度 '2'()''a a r v r a a v βωωωωβ=+?+?+??其中为绝对加速度为相对加速度 为转动系的角速度,为转动系的角加速度 为物体相对于转动系的速度 3.等距螺旋线运动的加速度 22 v v a R ρ ==⊥ 二、牛顿运动定律 1.科里奥利力 2'F ma m v ω=-=-?科里奥利 三、动量 1.密舍尔斯基方程（变质量物体的动力学方程） ()dv dm m F u v dt dt =+-（其中v 为主体的速度，u 为即将成为主体的一部分的物体的速度） 四、能量 1.重力势能 GMm W r =- （一定有负号，而在电势能中，如果为同种电荷之间的相互作用的电势能，则应该为正号，但在万有引力的势能中不存在这个问题，一定是负号！！！！） 2.柯尼希定理 21 ''2 k k c k kc E E M v E E =+=+（E k ’为其在质心系中的动能） 3.约化质量 12 12 m m m m μ= + 4.资用能（即可以用于碰撞产生其他能量的动能（质心的动能不能损失（由动量守恒决定））） 资用能常用于阈能的计算 221212 1122kr m m E u u m m μ= =+（u 为两个物体的相对速度） 5.完全弹性碰撞与恢复系数 （1）公式 12122 11221211 212 ()2()2m m u m u v m m m m u m u v m m -+=+-+= + （2）恢复系数来表示完全弹性碰撞 112211222112 m v m v m u m u u u v v +=+-=-（用这个方程解比用机械能守恒简单得多） 五、角动量 1.定义 L p r mv r =?=?u r u r r r r 2.角动量定理 dL M I dt β= =（I 为转动惯量） 3.转动惯量 2i i i I m r =∑ 4.常见物体的转动惯量 （1）匀质球体225 I mr = （2）匀质圆盘（圆柱）2 12I mr = （3）匀质细棒绕端点213I mr = （4）匀质细棒绕中点21 12I mr = （5）匀质球壳2 23 I mr = （6）薄板关于中心垂直轴221 ()12 I m a b =+ 5.平行轴定理 2D C I I md =+（I c 为相对质心且与需要求的轴平行的轴） 6.垂直轴定理 （1）2 2 x y z i i i I I I m r ++=∑ （2）推论：一个平面分布的质点组，取z 轴垂直于此平面，x ，y 轴取在平面内，则三根轴的转动惯量之间有关系 z x y I I I =+（由此可以推出长方形薄板关于中心垂直轴的转动惯量221 ()12 I m a b = +) 7.天体运动的能量 2GMm E a =- （a 为椭圆轨道的半长轴，当然，抛物线轨道的能量为0，双曲线轨道的能量大于0） 8.开普勒第三定律：22 34T a GM π= 证明垂直的众多方法技巧 垂直是几何的知识，那垂直该怎么证明呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网给大家整理的怎么证明垂直内容，希望大家喜欢。 证明垂直的方法 1、 利用勾股定理的逆定理证明 勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。 2、 利用“三线合一”证明 要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。 3、 利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 4、 圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 5、 利用菱形的对角线互相垂直证明 菱形的对角线互相垂直。 6、 利用全等三角形证明 主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直. wps演示启用垂直标尺的方法 一、在电脑桌面的wps文字程序图标上双击鼠标左键，将其打开运行。如图所示; 二、在打开的wps表格窗口中，点击左上角的“wps演示”命令选项。如图所示; 三、在弹出的“wps演示”命令选项对话框中，选择并点击“选项”命令选项。如图所示; 四、点击“选项”命令选项后，这个时候会弹出工作簿的“选项”对话框。如图所示; 五、在“选项”对话框中，选择左侧窗格的“视图”选项并点击它。如图所示; 六、在“视图”选项的右侧窗格中，找到“显示”组中的“垂直标尺”选项，并将其勾选，然后再点击“确定”按钮即可。如图所示; 用垂直造句 1)实际证明，贮冷设备中蒸发端以螺旋沿垂直上下延伸结构造型结冰效果最好。 2)阐述哈锅超超临界锅炉的设计特点，对蒸汽参数垂直水冷壁设计过热器与再热器的布置和高热强钢启动系统等作了分析与讨论。 3)还可以设置组合框下拉部分的垂直大小。 4)利用JGYW2型双单摆振动示波装置对两个相互垂直方向的同频率欠阻尼振动的合成进行了实验研究和理论分析，得到了欠阻尼振动合成的部分图形和表达式。 力学复习 质点力学 刚体力学 模型： 质点 刚体 运动方程 )(t r r = )(t θθ= ?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x 轨迹方程：消去运动方程中的参数t 速度：k v j v i v v dt r d v z y x ++===τ? 角速度：dt d θω= dt ds v v v v dt dz v dt dy v dt dx v z y x z y x = ++==== 2 22,, 加速度：k a j a i a n a a dt v d a z y x n ++=+== ??ττ 角加速度：22dt d dt d θωα== 2 222222 ,,,n z y x n z z y y x x a a a a a a r r v a r dt dv a dt dv a dt dv a dt dv a += ++======== ττωα 匀加速直线运动 as v v at t v s at v v 2212 02200=-+ =+= 匀角加速转动 ) (221 02022000θθαωωαωθθαωω-=-+=-+=t t t 质点的惯性——质量m 刚体的惯性——转动惯量量J dm r J ?= 2 平行轴定理 2md J J c += 垂直轴定理 y x z J J J += 几个常用的J 改变质点运动的原因：F 改变刚体转动的原因：F r M ?= 牛顿第二定律 a m dt p d F == 转动定理 αJ dt dL M == 质点动量 v m p = 角动量 ωJ L = 质点系统动量 c i i v m P )(∑= 动量定理 122 1 p p dt F p d dt F t t -==? 角动量定理 122 1 L L Mdt t t -=? 动量守恒条件：所受合外力<<内力 角动量守恒条件：所受合外力矩<<内力矩 功：??=?=21 r d F A r d F dA 功：?==2 1 θθ Md A Md dA 功率：v F N ?= 功率：ω ?=M N 动能定理：看课合力E E A -== 动能定理：看课合力矩E E A -== 动能： 221mv E k = 动能： 22 1 ωJ E k = 保守力的功 21p p p E E E A -=?-= 重力势能：mgh E p = 重力势能：c p mgh E = 弹性势能：22 1kx E p = 万有引力势能：r m m G E p 2 1-= 机械能守恒条件：只有保守内力做功 碰撞：动量守恒 碰撞：角动量守恒 碰撞定理：0 20112n n n n v v v v e --= （0≤e ≤1） 由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径) 与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例 5.1-1 可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系( 详见 6.4 节) 。 本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。 在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点P k 相对 于点O与C 的矢径分别为与。由图5-2 可见，这些矢径有如下关系 图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5) 由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5') 其中为质心C 矢径在基上的坐标阵，为P k 的矢径在基上的坐标阵。将式(5.1-5') 代入(5.1-2c) ，有 (5.1-6) 考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24) ，有 在连体基 的坐标式为 ，， 因此式 (5.1-6) 右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于 J Cz ，即 式(5.1-9) 与 (5.1-10) 描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对 过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。 利用同样的方法可得到刚体关于 O 惯性积与关于 C 惯性积间的关系式 (5.1-11a) (5.1-11b) (5.1-11c) (5.1-7) Cz 轴的转动惯量 同理可得 (5.1-8) 为 Oz 轴与 Cz 轴的垂直距离，记为 h z 。这样式 (5.1-6) 变为 (5.1-9) (5.1-10) 右边第二项中的 垂直弦的直径（垂径定理） 一、复习与思考： 1．如下图，弦AB对应的弧为为；此图是不是轴对称图形？ 如果是，求你画出它的一条对称轴. 二、新课学习 垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． 几何语言：∵________________， ∴________________；________________ ；________________. 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________；________________；________________. 练习： 2．如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，则下列结论：①EA＝EB②EO＝ED③DA DB =④CA CB =.一定成立的有 3．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是（）A．OE＝2B．EC＝2 C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB 第2题第3题第4题第5题 4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，AB＝8，OE＝3，则⊙O半径为及ED的长为． 5．如图，⊙O半径为5，OC＝3，OC⊥AB，求AC的长为及AB的长为． 6．如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，AB＝6，ED＝ 1，求⊙O半径． 7．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，拱高CD =9米，求圆的半径． 小结：“垂径三角形五线段，知二求三” 8．如图， AB 是⊙O 的弦，点C ，D 是直线AB 上的点，且OC ＝OD .求证AC ＝BD . 9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙ P 的半径为 ，则点P 的坐标为 ． 10．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 与CD 的中点.试猜想：△OBD 是什么特殊三角形？四边形 OCBD 是什么特殊四边形？并证明你的猜想. 高中物理机械能守恒定律知识点总结（一） 一、功 1．公式和单位：，其中是F和l的夹角．功的单位是焦耳，符号是J. 2．功是标量，但有正负．由，可以看出： (1)当0°≤<90°时，0<≤1，则力对物体做正功，即外界给物体输送能量，力是动力； (2)当＝90°时，＝0，W＝0，则力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换． (3)当90°<≤180°时，－1≤<0，则力对物体做负功，即物体向外界输送能量，力是阻力．3、判断一个力是否做功的几种方法 (1)根据力和位移的方向的夹角判断，此法常用于恒力功的判断，由于恒力功W＝Flcosα，当α＝90°，即力和作用点位移方向垂直时，力做的功为零． (2)根据力和瞬时速度方向的夹角判断，此法常用于判断质点做曲线运动时变力的功．当力的方向和瞬时速度方向垂直时，作用点在力的方向上位移是零，力做的功为零． (3)根据质点或系统能量是否变化，彼此是否有能量的转移或转化进行判断．若有能量的变化，或系统内各质点间彼此有能量的转移或转化，则必定有力做功． 4、各种力做功的特点 (1)重力做功的特点：只跟初末位置的高度差有关，而跟运动的路径无关． (2)弹力做功的特点：对接触面间的弹力，由于弹力的方向与运动方向垂直，弹力对物体不做功；对弹簧的弹力做的功，高中阶段没有给出相关的公式，对它的求解要借助其他途径如动能定理、机械能守恒、功能关系等． (3)摩擦力做功的特点：摩擦力做功跟物体运动的路径有关，它可以做负功，也可以做正功，做正功时起动力作用．如用传送带把货物由低处运送到高处，摩擦力就充当动力．摩擦力 的大小不变、方向变化(摩擦力的方向始终和速度方向相反)时，摩擦力做功可以用摩擦力乘以路程来计算，即W＝F·l. (1)W总＝F合lcosα，α是F合与位移l的夹角； (2)W总＝W1＋W2＋W3＋?为各个分力功的代数和； (3)根据动能定理由物体动能变化量求解：W总＝ΔEk. 5、变力做功的求解方法 (1)用动能定理或功能关系求解． (2)将变力的功转化为恒力的功． ①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等； ②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值＝2F1＋F2，再由W＝lcosα计算，如弹簧弹力做功； ③作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的?°面积?±即为变力所做的功； ④当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车牵引力做的功． 二、功率 1．计算式 (1)P＝tW，P为时间t内的平均功率． (2)P＝Fvcosα 5．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．一般在机械的铭牌上标明． 6．实际功率：机械实际工作时输出的功率．要小于等于额定功率． 方恒定功率启动恒定加速度启动 相交弦定理、弦切角定理、切割线定理定理图形已知结论证法 相交弦定理 ⊙O中，AB、CD 为弦，交于P PA·PB＝PC·PD 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB 相交弦定理的推论 ⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P PC2＝PA·PB 用相交弦定理 弦切角定理 直线AB切⊙O于 P，PC、PD为弦 弦切角等于其所夹的 弧所对的圆周角。 ∠BPD=∠DCP ∠APC=∠PDC 切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O 于T，割线PB交 ⊙O于A PT2＝PA·PB 连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB、PD为⊙O的 两条割线，交⊙O 于A、C PA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 一、选择题 1.下列图形一定有内切圆的是（） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 2.如图：⊙O的弦AB、CD相交于P，PC=8，PD=9 （1）若PA=4，则PB= ，AB= 。 （2）若PA=PB，则CD= 。 （3）若PA：PB=2：3，则PA= ，PB= 。 （4）若AB=18(PA 复习课圆中垂直弦问题自主学习单 课题圆中垂直弦问题 一、学习要求：（1）复习与圆有关的一些性质。 （2）掌握一类教特殊而有规律的几何图形及变式，培养解决问题的能力。 二、学习重点：圆中有关性质及解决几何证明问题的思考方法。 三、学习难点：如何从已知条件中寻找解决问题的方法。 四、学习时间：一课时五、学习过程： 问题提出： 已知：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E ,BD=6， AC=8，求圆的半径。 探究一： 如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，探究∠AOC 与∠BOD的大小关系 探究二： 如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，讨论AC、CB、 BD、DA、半径R之间的大小关系。 探究三： 如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，AB=a，CD=b，求四边形ACBD的面积。 探究四： 如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，过E作AC 的垂线交AC于T，交DB于S，讨论SE、SD、SB三条线段的 大小关系。 （反之，结论成立吗？） 探究五： 如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，讨论OG与CB的大小关系。 应用： 一、解决“问题提出”中的问题； 二、、已知：△ABC内接于⊙O ，高AD 、BE交与点G , AD的延长线交⊙O与点F ,求证：DG = DF. 三、如图，⊙O中，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，O F⊥BC，AD=BC, 求证：四边形OFEG为菱形。 拓展探究六： 基本条件：ΔABC 内接于⊙O ，AD为BC边上的高，AE为⊙O的 直径，基本结论：AB?AC =AE?AD（AB?AC =h ?2R） 课后练习： 如图所示，ABC ?为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD AB ⊥于D，设AD a =，BD=b． （1）分别用,a b表示线段OC，CD； （2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b 的式子表示）． ●归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出 2 a b + 的大小关系是：____________________． ●实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．平行轴及垂直轴定理
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切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
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