吉林农业科学 2002,27(5):14-17 Journal of Jilin Agricultural Sciences
文章编号:1003-8701(2002)05-0014-04
吉林省西部盐碱地水稻综合农艺
数学模型及优化方案的研究3
赵国臣1,李亚峰2,郭唏明1,周 舰1
(11吉林省农科院水稻所,吉林公主岭136100;21通化市农业推广总站)
摘 要:根据“最佳模拟配合法”原理,利用吉优1号在盐碱地高产栽培技术体系中几个关键性农艺因素,采用五元二次回归正交旋转组合设计法,进行多因素、多水平的试验研究,建立了600 kg/667m2以上的综合农艺数学模型及优化方案,为西部盐碱地大面积水稻高产优质栽培技术提供了理论依据。
关键词:吉优1号;数学模型;优化方案;盐碱地
中图分类号:S287文献标识码:A
为探讨吉林省西部盐碱地水稻高产栽培技术措施,把措施进行数量化和质量化,在我省西部白城市洮北区进行了数学模式化栽培研究,并以此数学模型和优化栽培模式为依据,提出各因素的效应和各因素的内在联系,从而达到模拟各生产因素和预测盐碱地的水稻产量,为寻求最佳农艺措施提供可靠的科学依据,达到充分发挥西部盐碱地水稻高产潜力的目的。
1 设计与方法
试验材料选用耐盐碱吉优1号水稻新品种,试验地点设在吉林省白城市洮北区,试验地属中度以上盐碱地,有机质含量为112%,全氮量为0109%,全磷量为0106%,全钾量为3%, pH值为817,盐分含量为013%,肥力较低,井水灌溉。
试验选用亩产量为目标函数,在影响盐碱地水稻高产栽培可控因素中,选择了秧田的播
表1 各因素的设计水平
水 平 r=2
因 素水平间距
-2-1012 X1秧田播种量(kg/667m2) 1 2 3 4 5 6
X2秧龄(d)52530354045
X3密度(万丛/667m2)015210215310315410
X4本田纯氮量(kg/667m2)505101520
X5本田纯钾量(kg/667m2)40481216
注:氮肥的施用水平是以底、基、穗、粒为4∶3∶2∶1,磷肥一次性作底肥施入,硫酸钾按基、穗各50%施入。
收稿日期:2002-05-21
作者简介:赵国臣(1963-),男,吉林省农科院水稻所研究员,硕士,主要从事绿优米及高产栽培技术研究。
3吉林省作物学会第七届理事会推荐优秀论文。
播种量、秧龄、密度、氮素和钾肥施用量五个因素为可控变量,采用二次回归正交旋转组合设计法,对变量进行线性编码代换。试验各因素及水平如表1。
试验设计36个小区,其中五因素二水平试验,二分之一实施小区16个,五维空间坐标轴上与中心距离为r =2的试验小区10个,五个自变因素的零水平小区10个,零水平小区以间比法插入,其余全部采用随机区组排列,具体见表2。
表2 各小区的产量及编码
区号
组 合 方 案
X 1
X 2X 3X 4X 5产量
(kg/667m 2)区号
组 合 方 案
X 1
X 2X 3X 4X 5产量
(kg/667m 2)1
11111684182111-1-164814311-11-161719411-
1-115661151-111-16551561-11-116231971-1-111605128-1-
1-
1-1-1607119-1111-
16711610-111-116031211-11-1116531312-11-
1-1-15571413-1-11116721814-1-11-1-15611815-1-1-11-
15841616-1-
1-
1-115681817200005621318
-
2
63110
190200063419200-2000602112100200695162200-2005901623000206801824000-2054218250000270019260000-26101627000006531928000006461229000006251930000006651831000006661532000006621533000006391234000006621935000006401036
68712
2 结果与分析
211 目标函数的建立
各性状与处理因子之间采用多元回归分析,期望回归方程为:Y=b 0+65
i =1b i X i +
65i =1j =1
b ij X i X j +65
i =1
b i b ii X i 2
通过计算多元回归数学模型:
Y =65518-0108X 1+7186X 2+23182X 3+2815X 4+1016X 5-415X 1X 2+4144X 1X 3-10183X 1X 4-10173X 1X 5+4106X 2X 3+6100X 2X 4-0131X 2X 5+5136X 3X 4+1131X 3X 5+6120X 4X 5-14183X 12-9137X 22-3122X 32-11105X 42-0106X 52
为检验模型的准确度,提高选优的可靠性,对上述方程及回归系数进行方差分析和显著性测验(表3)。212 选择优异组合
从方程中得知,产量与五个因素之间呈二次曲线关系,表明并非提高任一因素都可获得增产,而必须是几个因素共同作用的结果。通过计算机,在约束的条件下(22≤X i ≤2,步长为1),要用频率分布统计法,组成55=3125个方案,优选出667m 2产600kg 以上的组合方案1226个,占3912%,根据各因素的计算机取值分布,选择可行的高产农艺方案(表4)。 从表4中分析得出X 1～5的五个因素实际农艺措施取值幅度,即每667m 2秧田播种量为3185～3198kg ,秧龄为36～3617d ,667m 2栽丛数为3132万～3138万丛,667m 2本田施入纯
氮量为13154～14111kg ,纯钾量为8179～9141kg 时,预测产量可达600kg/667m 2以上。
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15期 赵国臣等:吉林省西部盐碱地水稻综合农艺数学模型及优化方案的研究
表3 回归方差分析结果
变异来源 方 差模 型F值 显著性(%)一次项效应X10117-0108 010003
X214821087186217420105
X313613161231822511860101
X419551104281543611700101
X5269616510160419890101
二次项效应X127039180-141831310240101 X222810106-9137511990101
X32331198-312201614
X423907128-11105712290101
X520111-010*******
交互效应X1X2324100-415001599
X1X3315105414401583
X1X41874189-10183314960105
X1X51840141-10173314050101
X2X3264106410601489
X2X4576100610011066
X2X51154-0131010028
X3X4460110513601851
X3X527156113101051
X4X56151046120111380110失 拟5303144
误 差8107193 2184
剩 余2804149F(6,9) a=0105=3137 a=0101=5180
回 归57731143 51340101
总 计65839136F(20,15) a=0105 2133 a=0101 3136
表4 产量在600kg/667m2以上各项农艺措施的频次分布情况
水平代码
X1X2X3X4X5
频次%频次%频次%频次%频次% -218715131058166151040131811418
-128723142532016155121615212142051617
033427123142516263211533026192441919
127922183042418358291238331122872314
213911132502014389311735729113092512加权平均值-01080128017001760128
标 准 差01040104010301030104
95%置信域-0115～-0102012～01350163～01770170～01820120～0135
农艺实际措施取值限度3185～319836～36173132～313813154～141118179～9141
3 效应分析
311 主因素效应
从表3的一次项中可以看出,五项技术措施以对产量影响大小顺序为施氮量(X4)>密度(X3)>施钾量(X5)>秧龄(X2)>秧田播种量。从二次项效应看出,五项措施因素对产量的顺序为施钾量(X5)>密度(X3)>秧龄(X2)>施氮量(X4)>秧田播种量,用“降维法”把四个自变量固定在零水平上,计算出另一变量与产量的回归方程如下:
Y1=655180-0108X1-14183X12
Y2=655180+7186X2-9137X22
Y3=655180+23182X3-3122X32
Y4=655180+28154X4-11105X42
61吉林农业科学 27卷
Y 5=655180+10160X 5-0106X 52
把上述方程绘成图1可以看出,五个因素与产量均呈二次曲线关系,其中氮素和密度在-2～1水平范围内,随施氮量、丛数的增加而增多,播种量、钾肥、秧龄在-2～0水平范围随之增加而增产。312 多因素的互作效应
通过表3可以看出,在五个因素的交互作用中,只有X 1X 4、X 1X 5、X 4X 5对产量的作用
达显著水平,其偏回归方程为
:
图1 主因素与产量关系 Y 1,4=655180-0108X 1+28154X 4-14183X 12-11105X 42
Y 1,5=655180-0108X 1+10160X 5-14183X 12-0106X 52Y 4,5=655180-28154X 1+10160X 5-11105X 42-0106X 52
说明在五个因素中播种量通过氮肥、钾肥的多少对产量起作用,而氮肥、钾肥互作对产量起的作用更大。
4 农艺优化方案
预期产600kg/667m 2的农艺优化方案是:秧田播种量为3185～3198kg/667m 2,秧龄为36～37d ,密度为3132万～3138万丛/667m 2,本田施纯氮量为13154～14111kg/667m 2,施纯
钾量为8179～9141kg/667m 2,有效穗为2915万/667m 2,每穗实粒数为85粒,千粒重26g 。但在实际操作过程中,还要根据当地的生态条件和农民种稻水平,因地制宜地加以利用。
参考文献:
[1]茆诗松.回归分析及其设计试验[M].上海:华东师范大学出版社,1981.[2]戚昌瀚.水稻高产模式[M].南昌:江西科技出版社,1986.
[3]许德海.亚优2号单季亩产650kg 以上综合农艺数学模型及优化方案的研究[C]1中国水稻所论文集,1991.[4]李学湛,赵国臣.盐碱地水稻高产栽培技术研究报告[J ],吉林农业科学,1993,4.
Study on Comprehensive Agriculture Mathematics Model
and Optimalization Plan of Rice Production in We stem Part of Jilin Province Salinized Soil
ZH AO G uo-chen ,LI Y a-feng ,G UO X i-ming ,et al.
(Academy o f Agricultural Sciences o f Jilin Province ,Gongzhuling 136100,China )
Abstract :According to the optimal simulate cooperation method ,using several key agriculture fac 2tor of N o ,1Jiy ou and high yield planting technology system in salinized s oil ,meanwhile utilizing 5ele 2ment 2times regression orthog onal combination design method ,introduce multi-factor and multi-level test and study ,establish a com prehensive agriculture mathematics m odel and optimalization plan which can produce rice 600kg/667m 21This m odel give a method foundation on prom oting rice high yield planting in saliniazed s oil 1
K ey words :N o ,1Jiy ou ;Mathematics m odel ;Optimalization plan ;Alkaline s oil
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15期 赵国臣等:吉林省西部盐碱地水稻综合农艺数学模型及优化方案的研究
第1章 优化设计 Chapter 1 Optimization Design 1-1 优化设计 1-1-1 最优化 (optimize, optimization ) 所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。(Optimization deals with how to do things in the best possible manner) 结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 (Arithmetic ) 要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic ) 数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。(Optimization theory plus computer program) 1-1-3 优化设计 下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。 例1-1 设计一个体积为5cm 3的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗 材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。 分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。 传统设计方法: 首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3 5m 的设计要求，则有以下多种设计方案: 如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。 最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。 机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图
. . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
关于电梯系统优化问题 的数学模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
关于电梯系统优化问题的数学模型 摘要 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。在当今社会，工作生活节奏愈发加快，因而电梯系统的运行效率对人们的生活的影响不可忽视。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，一般都使用单井道单轿厢或者单井道双轿厢两种模式的电梯，本文就结合这两种模式，根据实际情况将问题分为两种情况考虑，重点讨论了将电梯运行效率最大化的方法，建立了相关模型，并给出了相应的优化参数。 本文将电梯系统的优化分为高峰期和非高峰期两种时期进行讨论。高峰期时通过对问题的分析，发现可以设置电梯区间以尽可能减少目标层较高的乘客占用目标层较低的乘客的电梯资源，根据这一思想，我们将其简化为排队问题来考虑，并据此建立了排队模型，通过实地统计数据以及C语言的编程，能够较好地解出模型，得到在高峰期时将一部分电梯区间的顶层设为第14层左右的优化方案。非高峰期时通过对这一时期特点的分析，以每台电梯在无乘梯需求时自动停留的楼层为着眼点，采用枚举的方法编程求解，得到在非高峰期将电梯均匀分布在楼层中的优化方案。最后，我们对模型参数进行了灵敏度的分析，发现虽然模型对数据的依赖性较强，但最优方案不随参数的波动而变化，所以这个结果还是可信的。 本文提出的方案直观易行，且几乎不需额外的经济投入，可行性很强，具有较好的参考价值。 一问题重述 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，主要使用单轿厢和双轿厢两种电梯运行系统。单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。 现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。我们的任务是： 1．建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率； 2．分别在运行的高峰期与非高峰期，对双轿箱的电梯系统与单轿箱的电梯系统的运行效率等进行对比分析,评价两种方案的优劣性，估计双轿厢系统运行效率的提高率。 二基本假设 1．电梯载客量为13人，且不超载。13人载客量是国内最常见的一种电梯规格，并且为了乘梯安全，电梯不应超载。 2．电梯在每层停留的时间相等。在假设1成立的前提下，电梯乘客可以迅速有序地离开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。
一. 管理科学的定义 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科. (1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤. （1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所 要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。 （2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。建模过程是一项创造性的 工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。 （3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。要在计算机上运行数学程序对模型进行求 解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。有时要自己编写程序。 （4） 测试模型并在必要时修正。在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能 准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。 （5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。对模型求解并分析后，将相应的最优方案提 交给管理者，由管理者做出决策。管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。 （6） 帮助实施管理决策。建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督 决策方案的实施。 新问题, 新模型, 新算法, 新应用. 三.优化问题的数学模型 1212max(min)(,, ,) (,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m =≤?? =? 由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划 （1） max 0 0 Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数 其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ?????，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。 当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。
§3.6 优化问题与规划模型 与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力 1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为 110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型 I : 设决策变量：种植蔬菜 x 1亩, 棉花 x 2 亩, 水稻 x 3 亩， 求目标函数 f=110x 1+75x 2 +60x 3 在约束条件x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法 : 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解
在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件
1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9
最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为
2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策
变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成：
C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于 n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)
（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行 )。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2. xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)
第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题
第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)( 电梯系统优化问题的数学 模型 Prepared on 22 November 2020 关于电梯系统优化问题的数学模型 摘要 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。在当今社会，工作生活节奏愈发加快，因而电梯系统的运行效率对人们的生活的影响不可忽视。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，一般都使用单井道单轿厢或者单井道双轿厢两种模式的电梯，本文就结合这两种模式，根据实际情况将问题分为两种情况考虑，重点讨论了将电梯运行效率最大化的方法，建立了相关模型，并给出了相应的优化参数。 本文将电梯系统的优化分为高峰期和非高峰期两种时期进行讨论。高峰期时通过对问题的分析，发现可以设置电梯区间以尽可能减少目标层较高的乘客占用目标层较低的乘客的电梯资源，根据这一思想，我们将其简化为排队问题来考虑，并据此建立了排队模型，通过实地统计数据以及C语言的编程，能够较好地解出模型，得到在高峰期时将一部分电梯区间的顶层设为第14层左右的优化方案。非高峰期时通过对这一时期特点的分析，以每台电梯在无乘梯需求时自动停留的楼层为着眼点，采用枚举的方法编程求解，得到在非高峰期将电梯均匀分布在楼层中的优化方案。最后，我们对模型参数进行了灵敏度的分析，发现虽然模型对数据的依赖性较强，但最优方案不随参数的波动而变化，所以这个结果还是可信的。 本文提出的方案直观易行，且几乎不需额外的经济投入，可行性很强，具有较好的参考价值。 一问题重述 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，主要使用单轿厢和双轿厢两种电梯运行系统。单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。 现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。我们的任务是： 1．建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率； 几个优化问题的数学建模 一、一个开放式基金投资问题 6、模型的评价 模型的主要优点是采用较为成熟的数学理论建立模型，利用数学软件计算，可信度比较高，便于推广。主要缺点是建立的模型是确定的而不是更符合实际情况的随机型模型。 二、结合人员分配的生产规划问题 1、问题 某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条生产线（L1到L5）上的生产进行规划。产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。在规划期内这五条生产线各自可以进行生产的时间长度各不相同。L1到L5的最大可用生产时间分别为4500小时，5000小时，4500小时，1500小时和2500小时。表1列出了在每条生产线上生产每种产品一个单位所需要的时间。 （1）、假设生产是流水线作业，产品P1到P4各应生产多少才能使总利润最大？ （2）、如果在生产过程中允许在生产线之间进行人员转移（从而使工时也相应转移），如表2所示，则最大利润是多少？应转移多少个工时，如何转移？ （3）、如果生产不是流水线作业，模型应如何修改？ 表1 单位生产时间 表2 可以进行的人员转移 2、假设 （1）每条生产线可生产各种产品； （2）每个生产人员的工作效率相同，且熟练各条生产线的操作，可在各条生产线之间转移。 3、建模 3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条生产线才能生产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在生产线L j 上的单位生产时间为d ij 。生产线L j 的可用总工时数为c j ,则可得模型1： max 41 i =∑r i x i s.t. 41 i =∑ d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5 x i ≥0，i=1，2，3，4 数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案 1：吴深深学号：201420181013 2：许家幸学号：201420180422 3：王鑫学号：201420181220 专业软件工程 班级1421801Z 指导教师朱琳 2016 年 6 月9 日 摘要 本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。 根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。 此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。 关键字：最优投资线性规划Lingo求解 一、问题重述 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等 级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。 二、模型假设 假设: 1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资； 2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资； 3.假设各种投资的方案是确定的； 4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资； 5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的； 6.假设各种证券是一直存在的。 三、符号约定 符号含义 X i取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）i 第一章最优化问题的数学模型 数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行最优化设计的基础。根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模型是最优化设计成败的关键。这是因为最优化问题的计算求解完全是针对数学模型进行的。也就是说，最优化计算所得最优解实际上只是数学模型的解，至于是否是实际问题的解，则完全取决于数学模型与实际问题符合的程度。 工程设计问题通常是相当复杂的，欲建立便于求解的数学模型，必须对实际问题加以适当的抽象和简化。不同的简化方法得到不同的数学模型和计算结果，而且一个完善的数学模型，往往需要在计算求解过程中进行反复地修改和补充才能最后得到。由此可见，建立数学模型是一项重要而复杂的工作：一方面希望建立—个尽可能完善的数学模型，以求精确地表达实际问题，得到满意的设计结果；另一方面又要力求建立的数学模型尽可能简单，以方便计算求解。要想正确地协调这两方面的要求，就必须对实际问题及其相关设计理论和设计知识有深人的理解，并且善于将一个复杂的设计问题分解为多个子问题，抓住主要矛盾逐个加以解决。 本章通过几个简单的最优化设计简例，说明数学模型的一般形式、结构及其有关的基本概念。 1．1 设计简例 下面是3个最优化设计简例，可以看作几个复杂工程设计问题的子问题，虽然比较简单，但却具有一定的代表性。 例1—1 用一块边长3m的正方形薄板，在四角各裁去一个大小相同的方块，做成一 第3页个无盖的箱子，试确定如何裁剪可以使做成的箱子具有最大的容积。 解：设裁去的4个小方块的边长为x，则做成的箱子的容积为 f(x)＝x(3—2x)^2 于是，上述问题可描述为 求变量 x 使函数 f(x)＝x(3—2x)^2 极大化 这样就把该设计问题转化成为一个求函数f(x)最大值的数学问题。其中，I是待定的求解参数，称为设计变量；函数f(x)代表设计目标，称为目标函数。由于目标函数是设计变量的三次函数，并且不存在任何限制条件，故称此类问题为非线性无约束最优化问题。 根据一元函数的极值条件，令f′(x)＝0，解得x＝0．5，f(x)＝2．0，记作x*=0．5，f(x)=2．0，称为原设计问题的最优解。 例1—2 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、用电量和可以获得的利润，以及每天能够提供的材料、工时、用电量见表1—1，试确定该厂两种产品每天的生产计划，以使得每天获得的利润最大。 第1章 优化设计 1 1-1 优化设计 1-1-1 最优化 (, ) 所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。( ) 结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。( ) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 () 要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分( )。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。( , , , ) 数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。( ) 1-1-3 优化设计 下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。 例1-1 设计一个体积为53 的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。 分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。 传统设计方法: 首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3 5m 的设计要求，则有以下多种设计方案: 如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。 最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。 机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图等环节。传统分析通常是在调查分析的基础上，参照同类产品，通过估算、验算、类比或试 关于电梯系统优化问题的 数学模型 Jenny was compiled in January 2021 关于电梯系统优化问题的数学模型 摘要 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。在当今社会，工作生活节奏愈发加快，因而电梯系统的运行效率对人们的生活的影响不可忽视。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，一般都使用单井道单轿厢或者单井道双轿厢两种模式的电梯，本文就结合这两种模式，根据实际情况将问题分为两种情况考虑，重点讨论了将电梯运行效率最大化的方法，建立了相关模型，并给出了相应的优化参数。 本文将电梯系统的优化分为高峰期和非高峰期两种时期进行讨论。高峰期时通过对问题的分析，发现可以设置电梯区间以尽可能减少目标层较高的乘客占用目标层较低的乘客的电梯资源，根据这一思想，我们将其简化为排队问题来考虑，并据此建立了排队模型，通过实地统计数据以及C语言的编程，能够较好地解出模型，得到在高峰期时将一部分电梯区间的顶层设为第14层左右的优化方案。非高峰期时通过对这一时期特点的分析，以每台电梯在无乘梯需求时自动停留的楼层为着眼点，采用枚举的方法编程求解，得到在非高峰期将电梯均匀分布在楼层中的优化方案。最后，我们对模型参数进行了灵敏度的分析，发现虽然模型对数据的依赖性较强，但最优方案不随参数的波动而变化，所以这个结果还是可信的。 本文提出的方案直观易行，且几乎不需额外的经济投入，可行性很强，具有较好的参考价值。 一问题重述 在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，主要使用单轿厢和双轿厢两种电梯运行系统。单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。 现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。我们的任务是： 1．建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率； 2．分别在运行的高峰期与非高峰期，对双轿箱的电梯系统与单轿箱的电梯系统的运行效率等进行对比分析,评价两种方案的优劣性，估计双轿厢系统运行效率的提高率。 二基本假设 1．电梯载客量为13人，且不超载。13人载客量是国内最常见的一种电梯规格，并且为了乘梯安全，电梯不应超载。 2．电梯在每层停留的时间相等。在假设1成立的前提下，电梯乘客可以迅速有序地离开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。 3．乘客的到达形成泊松流。 4．商务楼工作人员均匀分布在地上2层到28层的每一层，即电梯乘客在每一层下电梯的概率相等。 承诺书 我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教练组 日期： 11 年 8 月 12 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 统一编号： 评阅编号： 多因素条件下作物施肥效果分析 摘要 本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。 首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。 其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为44.95t/ha，23.04t/ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K 肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。 再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为102500元/公顷，52023元/公顷。 再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于25为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。电梯系统优化问题的数学模型
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