第三课时利用导数证明不等式专题
1.(2015高考福建卷)已知函数f(x)=ln x-.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)证明:当x>1时,f(x) (3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1). (1)解:f′(x)=-x+1=,x∈(0,+∞), 由f′(x)>0,得 解得0 故f(x)的单调递增区间是(0,). (2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞), 则F′(x)=. 当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当x>1时,F(x) (3)解:由(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意. 当k>1时,对于x>1,有f(x) 则f(x) 从而不存在x0>1满足题意. 当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), 则G′(x)=-x+1-k=, 由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0, 解得x1=<0, x2=>1. 当x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增,从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1), 综上,k的取值范围是(-∞,1). 2.(2015皖南八校联考)已知函数f(x)=xln x+mx(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2. (1)求实数m的值; (2)设g(x)=,讨论g(x)的单调性; (3)已知m,n∈N*且m>n>1,证明>. (1)解:因为f(x)=xln x+mx, 所以f′(x)=1+ln x+m. 由题意f′(1)= 1+ln 1+m=2,得m=1. (2)解:g(x)==(x>0,x≠1), 所以g′(x)=. 设h(x)=x-1-ln x,h′(x)=1-. 当x>1时,h′(x)=1->0,h(x)是增函数, h(x)>h(1)=0, 所以g′(x)=>0, 故g(x)在(1,+∞)上为增函数; 当0 h(x)>h(1)=0, 所以g′(x)=>0, 故g(x)在(0,1)上为增函数; 所以g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上都是单调递增的. (3)证明:由已知可知要证>, 即证->ln n-ln m, 即证ln m>ln n, 即证>, 即证g(m)>g(n), 又m>n>1(m,n∈N*),由(2)知g(m)>g(n)成立, 所以>. 3.(2016东北三省四市教研联合体模拟)已知函数f(x)=aln x-ax-3 (a≠0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)求证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+…+ln (n2+1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N*)(n!=1×2×3×…×n). (1)解:f′(x)=(x>0), 当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]. (2)证明:令a=-1,此时f(x)=-ln x+x-3, 所以f(1)=- 2. 由(1)知f(x)= -ln x+x-3在(1,+∞)上单调递增, 所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1), 即-ln x+x-1>0, 所以ln x 因为n≥2,n∈N*, 则有ln (+1)<<=-, 要证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+…+ln (n2+1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N*), 只需证ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1)<1(n≥2,n∈N*), ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1) <(1-)+(-)+…+(-)=1-<1, 所以原不等式成立. 4.(2015山西省四校第三次联考)函数f(x)=,若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 e2x-y+e=0垂直(其中e为自然对数的 底数). (1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围; (2)求证:当x>1时,>. (1)解:因为f′(x)=, 由已知f′(e)=-, 所以-=-.得a=1. 所以f(x)=. f′(x)=-(x>0). 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数. 所以x=1是函数f(x)的极大值点. 又f(x)在(m,m+1)上存在极值, 所以m<1 故实数m的取值范围是(0,1). (2)证明:>, 即为>, 令g(x)=, 则g′(x)= = 再令?(x)=x-ln x, 则?′(x)=1-=. 因为x>1, 所以?′(x)>0, 所以?(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以?(x)>?(1)=1>0, 所以g′(x)>0, 所以g(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以x>1时,g(x)>g(1)=2. 故>. 令h(x)=. 则h′(x)=2 = 因为x>1,所以1-e x<0, 所以h′(x)<0. 即h(x)在(1,+∞)上是减函数. 所以x>1时,h(x) 所以>h(x), 即>. 高考中数学导数的解法 1、导数的背景： （1）切线的斜率；（2）瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?， 导函数也简称为导数。 提醒：导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如（1）*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 解：?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b （2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?； （2）h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→ 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 3.2.1几个常用函数的导数教案 教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2. 利用公式解决简单的问题。 教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。 教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。 教学过程： 一 复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二 新课 例1．推导下列函数的导数 （1） ()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===???， '00()lim lim 00x x y f x x ?→?→?===? 1. 求()f x x =的导数。 解： ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===???， '00()lim lim 11x x y f x x ?→?→?===?。 '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则' 1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。 思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数2()y f x x ==的导数。 解： 22 ()()()2y f x x f x x x x x x x x x ?+?-+?-===+????， ''00 ()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ?→?→?===+?=?。 '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。 3. 求函数1()y f x x ==的导数。 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -?+?--+?+?====-???+??+??， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x ?→?→?===-=-?+?? 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ '(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。 三 例题 1. 试求函数()y f x = 解： ()()y f x x f x x x ?+?-==??= ''0()lim lim x x y y f x x ?→?→?====? 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线 的切线方程。 解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y x == 江苏省2015年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a x b ax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ． 2、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。 3、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ 4、（南京市2014届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对 任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2 a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ 6、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ 7、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11 -x e 的解是 ． 8、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且 ()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ . 9、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）函数12ln y x x =+的单调减区间为__________ 10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在1x =处的切线方程为 ▲ . 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得0 解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有0 2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。 基础巩固强化 一、选择题 1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2 C ．0 D ．以上都不是 [答案] C [解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0. 2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－cos x C ．y ＝cos x D ．y ＝－sin x [答案] C [解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C. 3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 4．若y ＝cos 2π 3，则y ′＝( ) A ．－3 2 B ．－12 C ．0 D.12 [答案] C [解析] 常数函数的导数为0. 5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12 [答案] D [解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1 2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B [解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题 7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1 [解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1. 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________． 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==??? 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极 ，求证： ） 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2013届高考数学（理）一轮复习——导数及其应用 一、选择题 1、若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋2 2、设函数x x x f 6)(2-=，则)(x f 在0=x 处的切线斜率为（ ） （A ）0 （B ）-1 （C ）3 （D ）-6 3 ．（2012陕西理）设函数()x f x xe =,则 （ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点 D ．1x =-为()f x 的极小值点 4．（2012厦门市高三上学期期末质检）函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区是（ ） A.(－∞,0) B. (0,＋∞) C. (－∞,－3)和(1,＋∞) D. (－3,1) 5 ．（2012新课标理）已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 6 ．（2012浙江理）设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a A.32- B.2- C.2-或3 2- D. 不存在 8 ． 6．函数1()f x x x =+的单调递减区间是（ ） A.(1,1)- B.(1,0) -(0,1) C.(1,0)-,(0,1) D.(,1)-∞-,(1,)+∞ 9、已知函数(),()f x g x ''分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数()()()h x f x g x =-，则（ ） A ．(1)(0)(1)h h h <<- B ．(1)(1)(0)h h h <-< C ．(0)(1)(1)h h h <-< D ．(0)(1)(1)h h h <<- 10．曲线y ＝13x 3＋x 在点? ????1，43处的切线与坐标轴围成的三 角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23 11、定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数 (),)1g x x x ==-3()ln(1),()1h x x x x ?=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系 为（ ） A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．γαβ>> D ．βγα>> 12．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12 ，b ＝log 32， 则下列关系正确的是( ) A ．f (a )>f (b ) B ．f (a ) 北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：导数及其应用 I 卷 一、选择题 1．曲线y ＝－x 3＋3x 2 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x 【答案】A 2．函数f (x )＝x 3＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 3． 曲线y=x+ln x 在点（2 e ,2 e +2)处的切线在y 轴上的截距为（ ） A ．1 B ．-1 C ． 2 e D ．- 2 e 【答案】A 4．曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( ) A ． 34 π B ． 2 π C ． 4 π D ． 6 π 答案：A 5．若 2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000 --→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ． 2 1 【答案】A 6． 已知 ()(3)2,32,f f ￠==-则323() lim 3 x x f x x ?--的值为 ( ） A ． －4 B ． 0 C ． 8 D ． 不存在 【答案】C 7． 设曲线1 1 x y x += -在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ） A ．2 B ． 2- C ． 12- D ． 1 2 【答案】B 8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．????1，3 2 C ．[1,2) D ．??? ?3 2，2 【答案】B 9．设函数，其中，则导数的取值范围 是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.2.1几个常用函数导数 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程： 【合作探究】 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数？ 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试：求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数 定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 【典型例题】 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== c 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim 11x x y y ?→?→?'=== 函数 2019年高中数学单元测试卷 导数及其应用 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．22 (1cos )x dx π π-+?等于（ ） A ．π B . 2 C . π-2 D . π+2(2009福建理) 2．若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为（ ） A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2011江西理4） 3．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2 1x e x x ++ (211) 1 24x x <-+ (C)21cos 12x x -… (D)21 ln(1)8 x x x +-… 4．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()() 00S t S =，则导函数()' y S t =的图像大致为 二、填空题 5．已知3 2 ()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________ 6．已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a 3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实 数a 的取值范围是 ▲ ．(0，－3＋21 2) 7． 若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .[1,5) 8．曲线2 y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为________ 9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ． 10．已知32()33f x x bx cx =++有两个极值点12,x x ，且[][]121,0,1,2x x ∈-∈，则(1)f 的取值范围 ． 11．已知函数ln ()x f x x = ，则()f x 的最大值为 12．函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 . 13．若函数()()02 3 >-=a ax x x f 在区间?? ? ??+∞,320上是单调递增函数，则使方程()1000=x f 有整数解的实数a 的个数是 。 三、解答题 14． 已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； (2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围． .高考数学导数解法知识分享
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