2020年四川省雅安市初中毕业、升学考试数学试卷
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．实数2020的相反数是（）
A．2020 B．C．﹣2020 D．﹣
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
3．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视
图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列式子运算正确的是（）
A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2?x3＝x5D．x4+x＝x4
5．下列四个选项中不是命题的是（）
A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
6．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．分式＝0，则x的值是（）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
8．在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：
投中次数 5 7 8 9 10
人数 2 3 3 1 1
则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）
A．3.9，7 B．6.4，7.5 C．7.4，8 D．7.4，7.5
9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长
为（）
A．8 B．12 C．6D．12
10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
11．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB
的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）
A．62°B．31°C．28°D．56°
12．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所
示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿
BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程．
13．如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．
14．如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为．
15．从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．
16．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．
17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；
（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
答案与解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．实数2020的相反数是（）
A．2020 B．C．﹣2020 D．﹣
【知识考点】相反数．
【思路分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解题过程】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【知识考点】在数轴上表示不等式的解集．
【思路分析】根据不等式的解集即可在数轴上表示出来．
【解题过程】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项．
故选：A．
【总结归纳】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
3．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【知识考点】由三视图判断几何体．
【思路分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图最上面一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案．
【解题过程】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，
故选：B．
【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．
4．下列式子运算正确的是（）
A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2?x3＝x5D．x4+x＝x4
【知识考点】整式的加减；同底数幂的乘法．
【思路分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【解题过程】解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；
B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；
C、x2?x3＝x5，正确；
D、x4+x，无法合并，故此选项错误．
故选：C．
【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘法以及整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．下列四个选项中不是命题的是（）
A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
【知识考点】命题与定理．
【思路分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【解题过程】解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．
故选：B．
【总结归纳】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．6．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【知识考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【思路分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
【解题过程】解：∵+|b﹣2a|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，
解得：a＝2，b＝4，
故a+2b＝10．
故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
7．分式＝0，则x的值是（）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【知识考点】分式的值为零的条件．
【思路分析】直接利用分式为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【解题过程】解：∵分式＝0，
∴x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【总结归纳】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．8．在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：投中次数 5 7 8 9 10
人数 2 3 3 1 1 则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）
A．3.9，7 B．6.4，7.5 C．7.4，8 D．7.4，7.5
【知识考点】加权平均数；中位数．
【思路分析】直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得．
【解题过程】解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，
中位数为＝7.5，
故选：D．
【总结归纳】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义．
9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（）
A．8 B．12 C．6D．12
【知识考点】锐角三角函数的定义．
【思路分析】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．【解题过程】解：法一、在Rt△ACB中，
∵sinB＝＝＝0.5，
∴AB＝12．
∴BC＝＝＝6．
故选：C．
法二、在Rt△ACB中，
∵sinB＝0.5，
∴∠B＝30°．
∵tanB＝＝＝，
∴BC＝6．
故选：C．
【总结归纳】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
【知识考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【思路分析】根据关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，知△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0且k≠0，解之可得．
【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
【总结归纳】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）
A．62°B．31°C．28°D．56°
【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．
【思路分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，则利用互余计算出∠POC＝62°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠A的度数．
【解题过程】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．
【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
12．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）
A．B．C．D．
【知识考点】动点问题的函数图象．
【思路分析】分点A在D点的左侧、点A在DG上、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【解题过程】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，
当点A在D点的左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，
则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；
当点A在DG上时，
同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；
点C在EF的中点右侧时，
同理可得：S＝S△BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）
＝（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．
故选：A．
【总结归纳】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程．
13．如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．
【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝50°，再根据邻补角互
补求出∠2即可．
【解题过程】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，
故答案为：130°．
【总结归纳】本题考查了平行线的性质和邻补角，能根据平行线的性质求出∠3的度数是解此题的关键．
14．如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为．【知识考点】正数和负数．
【思路分析】直接利用正负数的意义分析得出答案．
【解题过程】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，
那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．
故答案为：﹣2℃．
【总结归纳】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键．
15．从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．【知识考点】二次函数的性质；概率公式．
【思路分析】使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【解题过程】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c 的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：．
【总结归纳】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
16．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．
【知识考点】换元法解一元二次方程．
【思路分析】设x2+y2＝z，则原方程转化为关于z的一元二次方程．解一元二次方程即可．【解题过程】解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，
（z﹣6）（z+1）＝0，
解得z1＝6，z2＝﹣1，
∵x2+y2不小于0，
∴x2+y2＝6，
故答案为6．
【总结归纳】本题主要考查了换元法解一元二次方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．
【知识考点】勾股定理．
【思路分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解题过程】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【总结归纳】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；
（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
【知识考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．
【思路分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解题过程】解：（1）原式＝1+1×
＝1+
＝；
（2）原式＝（﹣）÷
＝?
＝，
∵x≠±1，
∴取x＝0，
则原式＝﹣1．
【总结归纳】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的规定及分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；概率公式．
【思路分析】（1）用成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有人数除以抽查人数的百分比可得被调查的总人数，再根据各分数段人数之和等于总人数可得m的值；
（2）用成绩为优秀的人数除以被调查的总人数即可得；
（3）用总人数乘以样本中数学成绩为优秀的人数所占比例即可得．
【解题过程】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），
则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；
（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；
（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．
【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据80～90分的学生人数及其所占百分比求出总人数、概率公式及样本估计总体思想的运用．
20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
【知识考点】一元一次不等式组的应用．
【思路分析】设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，根据“如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．
【解题过程】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，
依题意，得：，
解得：44＜x＜45，
又∵x为正整数，
∴x＝45，3x+86＝221．
答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．
【总结归纳】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【知识考点】相似形综合题．
【思路分析】（1）先判断出CG＝FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．
【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝∠DCG＝45°，
∵∠G＝90°，
∴∠GCF＝∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE?FG＝×2×8＝8；
（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x?（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当x＝5时，S△ECF最大＝．
【总结归纳】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．
【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．
（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．
（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．
【解题过程】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，
∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝10，
∴点C坐标是（﹣2，10），
∵B（0，6），A（3，0），
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+6．
∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），
∴m＝﹣20，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
（2）由解得或，
∴E的坐标为（5，﹣4）．
（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．
【总结归纳】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【知识考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定
理；圆内接四边形的性质．
【思路分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S ，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB △ACD
≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD?AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
【总结归纳】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），推出DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，利用二次函数的性质求解即可．（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．
【解题过程】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c
则有，
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝?DG?OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．
（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．
【总结归纳】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．