解一元二次方程（3）
公式法解一元二次方程推导
ax 2+bx+c=0 x 2+x
a b +a c =0
x 2+x
a b =-a
c
2
+x a b +2
2??
?
??a b =-a c +2
2??? ??a b
(x+a
b 2)2 =2
244a ac b - x=
a
b a a
c b 2242--±
x =
根的判别式(b 2-4ac)
240b ac ->?方程有两个不相等的实数根.
240b ac -=?方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 240b ac -
x 的一元二次方程222(1)10x k x k -++-=有实数根，则k 的取值范围是______.
思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有240b ac -≥.
解：21,2(1),1a b k c k ==-+=-
[]2
2
2
42(1)41(1)88b ac k k k ∴-=-+-??-=+
因为方程有实数根，240b ac ∴-≥ 即：880k +≥ 1k ∴≥-
220x x -+=的根的情况是( ).
A 、只有一个实数根.
B 、有两个相等的实数根.
C 、有两个不相等的实数根.
D 、没有实数根
m 为何值时，方程x 2－（2m+2）x+m 2+5=0（20分）
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根
公式法解一元二次方程
例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤： 解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：
20ax bx c ++=(0a ≠)
2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.
224(7)42(3)73b ac ∴-=--??-=>0 ③、求出24b ac -的值.
(7)7224
x --±±∴=
=? ④、若240b ac -≥，则把,,a b c 及24b ac -的值
代入
771244
x x +-∴=
= 求根公式，求出1x 和2x ，若240b ac -<，则方程无解。
1．3x 2+5x －2=0 2．3x 2－2x －1=0 3．8（2－x ）=x 2
（1）2x 2-7x+3＝0 （2） x 2-7x-1＝0
(3) 2x 2-9x+8＝0 (4) 9x 2+6x+1＝0
根与系数的关系-韦达定理
如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：
a
c
x x a b
x x =
?-
=+2121
12,x x 一元二次方程25140x x --=的两根，则12x x +=____，12x x ?=____.
解：根据韦达定理得：
12125145,1411
b c x x x x a a --+=-
=-=?===-
(利用根与系数的关系求值)若方程2310x x --=的两根为12,x x ，则12
11
x x +的值为-_____.
解：根据韦达定理得：1212313,111
b c x x x x a a --+=-
=-=?===- 121212113
31
x x x x x x +∴
+===--
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-
121212
11
x x x x x x ++= 22121212()()4x x x x x x -=+- 12||x x -=
例利用根与系数的关系构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
xy=6
解：显然，x ，y 是方程z 2
-5z+6＝0 ① 的两根
由方程①解得 z 1=2,z 2=3
∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3
x 2=3,y 2=2
练习若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则
12
11x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．
12
D ．
92
练习若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
常考题型及其相应的知识点：
(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：
例1：关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______.
例2：一元二次方程 230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为_______.
例3.1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2
22
1x x + （2）21x x - （3）22
22
133x x x -+
一、填空题
1.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________求得方程的解.
2.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是________，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.
二、选择题
1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是
、2=24312122?-± 、2=2
4312122?-±-
、2=24
312122?+± 、2=3
2434)12()12(2???---±--
2.方程x2+3x=14的解是
=
265
3±
=
265
3±
-
=
223
3±
=
223
3±
-
3.下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有
①1+5②1－5③1 ④－5
个个个个
4.方程x2+(2
3+)x+6=0的解是
=1,x2=6=－1,x2=－6 =2,x2=3 =－2,x2=－3三、用公式法解下列各方程
+2x－1=0 +13y+6=0 +6x+9=7
（1）2x2-7x+3＝0 （2） x2-7x-1＝0 (3) 2x2-9x+8＝0 (4) 9x2+6x+1＝0
四、拓展延伸：
1、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
2、求方程2
10x x 的两根之和以及两根之积
拓展应用:关于x 的一元二次方程2
40x x m 2,则m ;
方程的另一根是
课外练习
1、用公式法解方程:
(1)2
31
0x x (2)2
2430x x
(2)816
x x (4)2
x x
576
x x
(5)2
32
x (6)22510
2、三角形两边的边分别是8和6，第3边的长是一元二次方程216600
x x的一个实数根，则该三角形的面积是多少
3、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用 一 教材分析 本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 重点:运用韦达定理解决方程中的问题 难点:如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方 程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析 例 已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法 解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数 用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单 总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的 （1）平方和；（2）倒数和 方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值 。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示 。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 解 ： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
?韦达定理公式介绍及典型例题 ?韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 ?这里讲一元二次方程两根之间的关系。 ?一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a ?【定理内容】 一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则 ?X1+X２＝ -b/ａ ?X1Ｘ2＝c/a 1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２ ?用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中, 若b-4aｃ0则方程没有实数根 若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根 ?若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 【定理拓展】 ?(1)若两根互为相反数，则b=0 （2)若两根互为倒数，则a=c ?(３)若一根为0,则c=0 (4）若一根为１,则ａ+b+c=0 ?(5)若一根为-1,则a-b+c＝0 ?(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根
【例题】 已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题） 解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得?x1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q. 于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8, ?即ｘ1x2-x1－x２＋1=199. ?运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199. 注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数， ?解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0．
韦达定理公式： 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程AiX^i=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设mathx_1/math，mathx_2/math是一元二次方程mathax^2+bx+c=0/math的两个解，且不妨令mathx_1 ge x_2/math。根据求根公式，有
mathx_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}/math，mathx_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}/math 所以 mathx_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac/math， mathx_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac/math
解一元二次方程（3） 公式法解一元二次方程推导 ax 2+bx+c=0 x 2+x a b +a c =0 x 2+x a b =-a c 2 +x a b +2 2?? ? ??a b =-a c +2 2??? ??a b (x+a b 2)2 =2 244a ac b - x= a b a a c b 2242--± x = 根的判别式(b 2-4ac) 240b ac ->?方程有两个不相等的实数根. 240b ac -=?方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 240b ac -
解：21,2(1),1a b k c k ==-+=- []2 2 2 42(1)41(1)88b ac k k k ∴-=-+-??-=+ 因为方程有实数根，240b ac ∴-≥ 即：880k +≥ 1k ∴≥- 220x x -+=的根的情况是( ). A 、只有一个实数根. B 、有两个相等的实数根. C 、有两个不相等的实数根. D 、没有实数根 m 为何值时，方程x 2－（2m+2）x+m 2+5=0（20分） （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根 公式法解一元二次方程 例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤： 解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式： 20ax bx c ++=(0a ≠) 2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值. 224(7)42(3)73b ac ∴-=--??-=>0 ③、求出24b ac -的值. (7)7224 x --±±∴= =? ④、若240b ac -≥，则把,,a b c 及24b ac -的值 代入
韦达定理的应用 一、典型例题 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x1，则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和. 解：∵又 ∴代入得，∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为.
例4：解方程组 解：设∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且 ∴∴ ∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数 解：①∵∴m>7
②∵ ∴不存在这样的情况。 ③ ∴m<7 ④ ∴m=7 ⑤ ∴m=15.但使 ∴不存在这种情况 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于 2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q= 3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（） A．±8 B.8 C.－8 D.±4 4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？ 5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值围。
韦达定理推广的证明
证明： 当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程 ax^2+bx+c=0(a≠ 0) 有两个实根 ,设为 x1,x2. 由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取 x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a, 则： x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a] =[(-b)^2-]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a. 综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a. 烽火 TA000DA 2014-11-04 若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根 若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用 的。一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2?,Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n) ? ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端 可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得 韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与 系数之间有这种关系，因此，人们把这个关 系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代
数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。 (3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法 ) 在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个 根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须 射影定理图 掌握的 . 韦达定理推广的证明 设 x1 ，x2 ，??， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。
韦达定理(常见经典题型)
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案
①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实
韦达定理经典例题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使2 3)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求 证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则. 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了 q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么 例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程 x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；
解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2 -3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那 么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少 4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形 的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程 y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。 6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程 x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未 知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法22240404b ac b ac b ac ?-??-???-??＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题??? 步骤实际问题的答案
运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨 范盛金 在数学史上，解三次代数方程是较有名的问题。十六世纪意大利学者卡尔丹（Cardano）提出了三次方程X3＋pX＋q=0的求根公式，在这个公式中，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。 下面运用复数域中的高次方程韦达定理证明卡尔丹公式，高中学生很容易掌握这种方法。 卡尔丹公式的证明：
这就是伟大的卡尔丹公式...没明白 还有啊ax3+bx2+cx+d=0 怎么能转化成x3+px+q=0 呢？？好像要除以一个y=什么什么+什么什么/3 ...天啊. 类别：杂| 添加到搜藏| 浏览(3273) | 评论 (8)
上一篇：我的《国家地理》下一篇：三次方程新解法——盛金公式解题...最近读者： 登录 后， 您就 出现 在这 里。 a_a111111下一个 24号 清灵 2010 魅丶依 然 371173145wbwyq菸庭新空x 网友评论： 1网友:芝 生 2007年10月07日星期日07:39 | 回复 注意：ω不要放在根号里面。 2网友:芝 生 2007年10月07日星期日07:53 | 回复 运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三 次方程(1) X3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出(1)的求根公式如 下：(2) X3＋q=0 → X3＋(3√q)3=0 → (X＋3√q)(X2－3√q＋3√q2)=0，解之， 得(3) X1=3√(－q)；X2=3√(－q)(－1＋√3i)/2；X3=3√(－q)(－1－√3i)/2，令 ω=(－1＋3√3i)/2；则ω2=(－1－3√3i)/2，故(2)可写成(4) X1=3√Y； X2=3√Yω；X3=3√Yω2，其中Y=－q。(3)就是p=0时(1)的求根公式。为 了研究方便起见，当p≠0时，根据(3)的情形，则可假设(1)的根具有形式 X1=3√Y1＋3√Y2；X2=3√Y1ω＋3√Y2ω2；X3=3√Y1ω2＋3√Y2ω。显然，(4) 的表达式把较复杂的的问题变成了较简单的问题来解决。现只要求出(4)中 Y1与Y2的p、q表达式，则(1)的公式即得到证明。根椐韦达定理，有(5) 0=－(X1＋X2＋X3)；p=X1X2＋X1X3＋X2X3；q=－X1(X2X3)，为了简化 运算过程，注意ω＋ω2=－1，ω3=1。由(4)、(5)有(6)p=－3(3√(Y1Y2))； q=－(Y1＋Y2) → Y1＋Y2=－q；Y1Y2=－(p/3)3，由(6)得方程Y2＋qY－ (p/3)3=0，解之，得Y1，2=－(q/2)±((q/2)2＋√(p/3)3)。综上情况，就是一 元三次方程X3＋pX＋q=0 3网友:芝 生 2007年10月07日星期日07:58 | 回复 注意：3√Y1中的3是根指数。 4网友:芝 生 2007年10月07日星期日08:03 | 回复 运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨范盛金卡尔丹公式的证明：一元三 次方程(1) X＾3＋pX＋q=0 (p、q∈R) 当P=0时，易推导出（1）的求根公 式如下：X＾3＋q=0，→ X＾3＋(q＾(1/3))＾3=0，→ (X＋q＾(1/3))(X＾2 －q＾(1/3)＋q＾(2/3))=0，解之，得(2) X1= (－q)＾(1/3)；X2= (－q)＾ (1/3)(－1＋3＾(1/2)*i)/2；X3=(－q)＾(1/3)(－1－3＾(1/2)*i)/2，令ω==(－1 ＋3＾(1/2)*i)/2；则ω＾2=(－1－3＾(1/2)*i)/2，故(2)可写成(3) X1=Y＾
高考重点数学公式：韦达定理_知识点总结 韦达定理公式： 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1，X2…，Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，∏是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有 x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以 x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac， x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法22240404b ac b ac b ac ?-??-???-??＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题???步骤 实际问题的答案
一元二次方程的解法及韦达定理 编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法： 例题1： 用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0 【总结】 以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？
【一元二次方程的解法总结】 1、直接法：对于形如—x 2=a 的方程，我们可以用直接法。方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。 注意点：①二次项的系数为1，且a ≥0 ②如果a 为根式，注意化简。 例1：解方程：5x 2=1 例2：解方程：x 2= 4- 例3：解方程：4x 2+12x+9=12 2、配方法： 对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。 步骤：①把二次项的系数化为1. 两边同时除以a ，可以得到： X 2+ b a x+ c a =0 ②配方： （x+ 2b a ）2+c- 2()2b a =0 ③移项： （x+ 2b a ）2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。 X=-2b a
注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 例： 解方程：x 2+x=1 3、公式法： 对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。 根据配方法，我们可以得到方程的解为： X=-2b a 进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为： x 1x 2 注意点： ① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 ② 解题步骤要规范。 例: 解方程：x 2+5x+2=0
韦达定理公式介绍及典 型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
韦达定理公式介绍及典型例题 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 这里讲一元二次方程两根之间的关系。 一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a， X1X2=c/a 【定理内容】 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则 X1+X2= -b/a X1X2=c/a 1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2 用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中， 若b-4ac0 则方程没有实数根 若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 【定理拓展】 (1)若两根互为相反数，则b=0 (2)若两根互为倒数，则a=c (3)若一根为0，则c=0 (4)若一根为1，则a+b+c=0 (5)若一根为-1，则a-b+c=0 (6)若a、c异号，方程一定有两个实数根 【例题】 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得 x1+x2=-p，x1x2=q. 于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198， 即x1x2-x1-x2+1=199. 运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199. 注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数， 解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.
初中数学之韦达定理 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根 12,x x ，那么1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差 （1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x 2. 如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 3. 若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 4. 已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212 x x += 5. 若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 6. 已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x += ； （2）2 111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = 7.已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。 8.关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 9.已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 10.已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2 111x x +=（ ） (A )－31 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 11. 若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或2 12.若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －2 5 13.分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ） （A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y
第八讲根与系数的关系及其应用 如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么 反过来，如果x 1，x 2 满足x 1 +x2=p，x1x2=q，则x1，x2是 一元二次方程x 2 -px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具． 1．已知一个根，求另一个根 利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根． 例1 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．解先求出a，b． 由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达 又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999． 所以a-b=1-(-1999)=2000． 例2 设a是给定的非零实数，解方程 解由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等
价于 2．求根的代数式的值 在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧． 例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求： (3)α3＋β3；(4)α3-β3． 解由韦达定理知 α+β=3，αβ=1． (3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2) =(α+β)[(α+β)2-3αβ] =3(9-3)=18； (4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) =(α-β)[(α+β)2-αβ] 例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 解因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以 4α2-2α-3＝0， 即 4α2=2α＋3． 4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．例5 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，
超级韦达定理 一、韦达定理： 若)0(0 2≠=++A C Bx Ax ，则：A C x x A B x x =?-=+2121,. 二、超级韦达定理：（直线方程一般式） 1.直线与椭圆 （1）椭圆焦点在x 轴 联立?????>>=+≠=++)0(,1)0(,02 222b a b y a x A C By Ax ，得： 0)(2)(22222222222=-+++b a B a C x ACa x b B a A 或0)(2)(22222222222=-+++b a A b C y BCb y b B a A 22222212b B a A ACa x x +-=+，22222222221b B a A b a B a C x x +-=?或22222212b B a A BCb y y +-=+，2 2222 222221b B a A b a A b C y y +-=? （2）椭圆焦点在y 轴 联立?????>>=+≠=++)0(,1)0(,02 222b a a y b x A C By Ax ，得： 0)(2)(22222222222=-+++b a B b C x ACb x a B b A 或0)(2)(22222222222=-+++b a A a C y BCa y a B b A 22222212a B b A ACb x x +-=+，22222222221a B b A b a B b C x x +-=?或22222212a B b A BCa y y +-=+，22222 222221a B b A b a A a C y y +-=? 2.直线与双曲线 （1）双曲线焦点在x 轴 联立?????>>=-≠=++)00(,1)0(,02 222b a b y a x A C By Ax ，，得： 02)(22222222222=----b a B a C x ACa x a A b B 或0)(2)(22222222222=-++-b a A b C y BCb y a A b B 22222212a A b B ACa x x -=+，22222222221a A b B b a B a C x x ---=?或22222212a A b B BCb y y --=+，2 2222 222221a A b B b a A b C y y --=? （2）双曲线焦点在y 轴 联立?????>>=-≠=++)0,0(,1)0(,02 222b a b x a y A C By Ax ，得：
高考重点数学公式：韦达定理韦达定理公式： 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1，X2…，Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) ∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，∏是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种 关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有 x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac， 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛
韦达定理公式 韦达定理公式： 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程AiX^i=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设math x_1/math ，math x_2/math 是一元二次方程math ax^2+bx+c=0/math 的两个解，且不妨令math x_1 \ge x_2/math 。根据求根公式，有 math x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}/math ，math x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}/math 所以
math x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac/math ， math x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac/math
1椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系 ［知识点］ 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 注意： ②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 3. 椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解： 参数。 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。 4. 补充 5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离 ②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。
（2）相切 ①弦长公式： 【典型例题】 例1. |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。 分析：
这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。 解： 例2. 时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。 解：法一 法二 小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。 2韦达定理: 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1*X2=c/a