第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛 初一 第1试
2010年3月14日 上午8：30~10：00
一、选择题 (每小题4分，共40分) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答 案前的英文字母写在下面的表格内。 1. 设
a <0，在代数式| a |，-a ，a 2009，a 2010，| -a |，(
a a 2+a )，(a
a 2
-a )中负数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2. 在2009年8月，台风“莫拉克”给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难，台湾当局领导人马英 九在追悼“八八水灾”罹难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说到，大陆同胞购款金额约 50亿新台币，是台湾接到的最大一笔捐款，展现了两岸人民血浓于水的情感。50亿新台币折 合人民币约11亿多元。若设1.1=m ，则11亿这个数可表示成
(A) 9m (B) m 9 (C) m ?105 (D) m ?1010 3. If m =2，then
)]
(31[)4
1
(])1([|12|)1()(22243m m m m -?-+-?--
-÷---?-=
(A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 2
4. 如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形。 则A ，B ，C ，D 的面积的和等于
(A)
49m 2 (B) 25m 2 (C) 4
11
m 2 (D) 3m 2 5. 8个人用35天完成了某项工程的3
1
。此时，又增加6个人，那么要完成剩余的工程，还需要
的天数是
(A) 18 (B) 35 (C) 40 (D) 60 。
6. 若∠AOB 和∠BOC 互为邻补角，且∠AOB 比∠BOC 大18?，则∠AOB 的度数是
(A) 54? (B) 81? (C) 99? (D) 162? 。
7. 若以x 为未知数的方程x -2a +4=0的根是负数，则 (A) (a -1)(a -2)<0 (B) (a -1)(a -2)>0 (C) (a -3)(a -4)<0 (D) (a -3)(a -4)>0 。 8. 设a 1，a 2，a 3是三个连续的正整数，则
(A) a 13|(a 1a 2a 3+a 2) (B) a 23|(a 1a 2a 3+a 2)
(C) a 33|(a 1a 2a 3+a 2) (D) a 1a 2a 3|(a 1a 2a 3+a 2) 。(说明：a 可被b 整除，记作b |a 。)
9. 由一些相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其中正方 形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图
是
10. 已知a 和b 是有理数，若a +b =0，a 2+b 2≠0，则在a 和b 之间一定
(A) 存在负整数 (B) 存在正整数 (C) 存在负分数 (D) 不存在正分数。
二、A 组填空题 (每小题4分，共40分。) 11. 已知多项式2ax 4+5ax 3-13x 2-x 4+2021+2x +bx 3-bx 4-13x 3
是二次多项式， 则a 2+b 2= 。 12. 如图所示，直线AB 、CD 相交于点O 。若OM =ON =MN ，
M O
Q P
N A B C
D A B
C
D
m (A) (B) (C) (D) 左 1 1 2
2 3
那么∠APQ +∠CQP = 。
13. 在数轴上，点A 表示的数是3+x ，点B 表示的数是3-x ，且A 、B 两点的距离为8，则 | x |= 。
14. In right Fig.，if the length of the segment AB is 1，M is the midpoint of the segment AB ，and point C divides the segment MB into two parts such that MC ：CB =1：2，then the length of AC is 。
(英汉词典：length 长度；segment 线段；midpoint 中点；divides …into 分为，分成) 15. 若以x 为未知数的方程3x -2a =0与2x +3a -13=0的根相同，则a = 。
16. 甲乙两人沿同一条路骑自行车(匀速)从A 站到B 站，甲需要30分钟，乙需要40分钟，如 果乙比甲早出发5分钟去B 站，则甲出发后经 分钟可以追上乙。
17. 一个两位的质数，如果将它的十位数字与个位数字交换后，仍是一个两位的质数，这样的 质数可称为“特殊质数”。这样的“特殊质数”有 个。
18. 如图，在3?3的正方形网格中标出了∠1和∠2。则∠1+∠2= 。 19. 如果a ，b ，c 都是质数，且b +c =13，c 2-a 2=72，则a +b +c = 。 20. 设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7是自然数，且x 1 x 1+x 2=x 3，x 2+x 3=x 4，x 3+x 4=x 5，x 4+x 5=x 6，x 5+x 6=x 7，又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7=2010，那 么x 1+x 2+x 3的值最大是 。 三、B 组填空题 (每小题8分，共40分。) 21. 当| x -2 |+| x -3 |的值最小时，| x -2 |+| x -3 |-| x -1 |的值最大是 ，最小是 。 22. 边长为1cm 的8个小正方形拼成如图所示的长4cm 、宽2cm 的 长方形。将外围的格点从1号编到12号。最初，点A 、B 、C 分 别位于4、8、12号格点上，现以逆时针方向同时移动A 、B 、C 三点，每次各移动到下一个格点，绕了一周回到原先的位置，这 过程中，?ABC 有 次成为直角三角形；?ABC 的面积最大 是 cm 2。 23. 若两个数的最小公倍数为2010，这两个数的最大公约数是最小的质数， 则这两个数的和的最大值是 ，这两个数的差的最小值是 。 24. 右图中的正五角星有 条对称轴，图中与∠A 的2倍互补的角 有 个。 25. 整数x ，y 满足方程2xy +x +y =83，则x +y = 或 。 C M A B 1 2 J I G H A B C D E F A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛 答案．评分标准 初一 第1试 1. 答案 (1) 选择题 1. B ； 2. C ； 3. D ； 4. A ； 5. C ； 6. C ； 7. D ； 8. B ； 9. B ； 10. C ； (2) A 组填空题 11. 13； 12. 240； 13. 4； 14. 3 2 ； 15. 3； 16. 15； 17. 9； 18. 45； 19. 20； 20. 236； (3) B 组填空题 21. 0，-1； 22. 6，4； 23. 2012，104； 24. 5，10； 25. 83，-85； 2. 评分标准 (1) 第1~10题；答对得4分；答错或不答，得0分。 (2) 第11~20题；答对得4分；答错或不答，得0分。 (3) 第21~25题；答对得8分，每空4分；答错或不答，得0分。 解析： 一、 选择题 1、B 。贴近课本的一道题，95%的参赛学生可以在2分钟内做出来。 2、C 。考察科学计数法。 3、D 。代数式化简求值。原式 4、A ．把正方形B 、C 、D 切开可得，，B 的面积为 ，所 以A 、B 、C 、D 的和为 。 5、C ．典型的工程问题，小学方法即可，总工作量看做单位“1”。 6、C ．和差方法，方程均可以快速求出答案。 7、D ． ，即 ，所以 。试验可知答案。 8、B.考察平方差公式。，所以 9、B．自己画出左视图，然后找答案即可。 10、C．排除法即可。令，a，b间无非0整数，A、B即可排除。无论a，b何值，,必然一正一负。 二、A组填空。 11、多项式合并同类项可得 ，因为此为二次多项式。所以可得二元方程组 解得所以 12、，所以三角形OMN为正三角形，所以 ∠CQP 13、化简得 14、此题较简单，。 15、同解方程的一道题，可以看做是关于x，a的二元一次方程组 解得 16、把全程看做单位“1”。甲速为，乙速为，追及时间（分钟） 17、11，13，31，17，71，37，73，79，97共9个。 18、如图， 所以 。 19、由=72得， 中 至少有一个2，分析可知， ，则 ， ，，所求 20、此题方法很多，下面用不定方程的思想来解 利用整除性，必是10的奇数倍，又 可得如下解 三、B 组填空题 21、当的值最小时， ，又因为1不在2和3之间，所以 可令 则 O C B A 令则 所以，所求最大值为0，最小值为 22、每种情况都画出来共计6次成为直角三角形（注意，图形一样，但点的位置不同算不同的图形）。此时恰好面积最大为4cm2。 23、，因为两个数的最大公约数为是最小的指数2，所以可设一数为，一数为。可知 两数乘积一定，两数差越大，和越大。所求， 24、5条对称轴，与的2倍互为补角的角共10个（注意：五角星内部的有5个，每个对顶角也满足题意）。 25、，因为167是质数，所以 ，， 解得，，， 所以
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