反比例的意义
教学内容：青岛版小学数学六年级下册45--47页第三单元信息窗3 第1课时
教学目标：
1.在具体情境中，认识成反比例关系的量，理解反比例的意义，并能解决一些简单的实际问题。
2.在观察、探究、交流等活动中形成良好的思维习惯和应用所学知识解决实际问题的方法。渗透函数思想。
3.能找出生活中成反比例关系的量的实例，感受反比例关系在生活中的应用。
教学重、难点：
教学重点：理解反比例的意义，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是反比例。
教学难点：正确判断两种量是否成反比例。
教学过程：
一、拟定导学提纲，自主预习
1.创情导入。
谈话导入：前几节课我们参观了啤酒的生产情况，并学习了两个量之间成正比例的关系的知识，今天我们继续在啤酒厂参观，看看今天我们能学到哪些新知识？（课件出示图片）
师：通过观察，你们了解到哪些数学信息？你们能提出什么数学问题？
学生观察情境图并根据图中的信息提出问题。
教师根据学生的提问，有选择的进行板书，如：每天的生产吨数与需要生产的天数这两种量有什么关系呢？（学生提出的其他合理问题先放进问题口袋，下节课再解决）
【设计意图】通过创设学习教学的生动场景，让学生更容易理解和接受直观、具体的感性材料，调动起学生自主探索解决问题的热情，为学生理解、总结概念奠定基础。
2.出示学习目标：
1.理解反比例的意义，掌握成反比例的量的变化规律。
2.会判断两种相关联的量是否成反比例关系。
3.自学指导：
请同学们认真看课本45-46页自主练习上面的内容，重点看蓝色部分的内容。仔细观察表格看看有什么发现，思考：①计算并比较两种量中相对应的两个数的乘积，有什么规律？这个积表示什么？②什么叫做成反比例的量和反比例关系？③怎样判断两种量是不是成反比例关系？④正比例和反比例之间的异同点是什么？
（5分钟后比谁能汇报好以上的知识点）
二、自主学习，小组探究。
多媒体展示问题：每天的生产吨数与需要生产的天数这两种量有什么关系呢？
学生自主学习并在小组内交流。
【温馨提示】：（1）啤酒厂一共要生产多少吨啤酒？（2）生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？（3）每天生产的吨数在变化，需要生产的天数也随着变化，在这个过程中，哪个量没有发生变化？（4）你能用关系式的方式表示“生产的天数”和“每天生产的吨数”这两种量间的关系吗？（5）这种变化规律和正比例有什么相同和不同的地方？
三、汇报交流，评价质疑。
教师发现交流的时机已经成熟，便引导交流：哪一组愿意把你们的研究成果与大家分享？
1.利用图表，探索变化
观察图表，交流：生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？
引导学生从动态的角度观察图表中数据的变化：每天生产的吨数扩大，需要的天数就缩小，……
鼓励学生用自己的语言去描述“生产的天数随着每天生产的吨数的变化而变化”这一过程，避免格式化的模板。
在充分的表述、交流基础上，得出结论：“生产的天数”与“每天生产的吨数”间的变化规律相反。
质疑：这和成正比例关系的两个量间的变化规律有什么不同？
2.通过计算，探索定值
学生观察表格中的数据并进行计算：（多媒体展示）
引导学生通过计算发现：每天生产的吨数和需要生产的天数的积（总吨数）是一定的。
每天生产的吨数×需要生产的天数＝总吨数（一定）。
3.借助对比，形成概念
引导学生回顾正比例的意义，并将上面所得到的信息与之做对比，通过观察发现其相同和不同的地方。（多媒体课件出示）
学生讨论交流后，师生共同小结：
像这样，每天生产的吨数变化，需要生产的天数也随着变化，总吨数不变，也就是每天生产的吨数与需要生产的天数乘积一定。我们就说，每天生产的吨数和需要生产的天数是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。（课件出示）
4.想一想，生活中还有哪两种量成反比例关系？
【温馨提示】：（1）在哪种生活情境中存在两种相关联的量。（2）在我们以前的学习生活，遇到过哪些乘积不变的情境。（3）自我尝试验证自己的实例是否成反比例关系。
四、抽象概括，总结提升。
在具体情境中，类比正比例的意义，我们发现在这些情境中都具备了三个特征：①有两个相关联的量②这两个量的变化规律相反③这两个量的乘积相同。像这样的两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变，变化时两种量中相对应的两个数的积一定。这样两种相关联的量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
根据反比例的意义，类比正比例的判断方法，我们发现判断两个相关联的量是否成反比例，首先要抓住它的本质，探索其变化规律；同时也要抓住其要点，判断其乘积是否一定。
五、巩固应用，拓展提高。
1．教材46页自主练习第3题。
判断下面各题中的两种量是不是成反比例，说说你的理由。
（1）煤的总量一定，每天的烧煤量与烧煤的天数。
（2）长方形的面积一定，它的长与宽。
（3）学校计划植500棵树，已植的棵数与未植的棵数。
（4）飞机从北京飞往上海，飞行的速度与需要的时间。
（5）圆的周长一定，圆周率和圆的直径。
【温馨提示】：（1）在第（2）小题中，在长方形面积公式的基础上理解长与宽的关系，也可借助列表的方式利用特殊值来完成。（2）在第（3）小题中，重在考查成反比例的两个量的乘积一定。（3）在第（5）小题中，当圆的周长一定时，圆周率和圆的直径是不是相关联的两个量？
2.教材46页自主练习第4题。
印刷厂用6000张纸装订练习本。先填写下表，再思考每本的页数与装订的本数有什么关系。
【温馨提示】：（1）在本题中哪些量是变化的？哪些量是不变的？（2）这两种相关联的的量是如何变化的？（3）可以用怎样的关系式来表示这两种变量间的关系？
学生独立完成，指名学生口答，说明理由。
3．（投影展示）：小华看一本书，已看的页数和剩下的页数如下表，把下表补充完整。想一想已看页数和剩下页数能不能成反比例？为什么？
【温馨提示】：（1）在本题中哪些量是变化的？哪些量是不变的？（2）这两种相关联的的量是如何变化的？（3）可以用怎样的关系式来表示这两种变量间的关系？（4）比一比，它和第1题有什么不同？
【设计意图】通过正反两个例子，让学生认识当和一定时，这两种相关联的量既不成正比例也不成反比例，进一步丰富与完善学生对反比例意义的认识。
4.教材46页自主练习第2题。
已知x和y成反比例关系，请填写下表。
【温馨提示】：（1）x和y表示什么类型的量？（2）抓住反比例的关键，得出乘积一定即xy=8×4=32
课堂小结：
这节课学习的是什么内容?反比例关系的意义是什么?判断两种量是不是成反比例，关键是什么?
学生自我整理，汇报。教师根据学生回答，进一步强调：
板书设计：
使用说明：
1.教学反思：这节课的亮点之处：
（1）用好情境，贴近生活。反比例的知识对于小学生来说比较抽象，具有一定的难度。因此，在教学中尽量的去除一些抽象的、机械的专有名词和一些模式化的固定的格式，而大量的借助生活情境，是情境在体会、感受、理解反比例的意义。比如：利用情境导入新课；学生尝试列举生活中的反比例实例；练习设计中与生活息息相关的题目等。
（2）运用对比，强化认识。首先，在教学中利用类比思想，借助正比例的研究思想和特点，过渡到对反比例的探究，使得探究活动的有路可循，清晰明了。其次，教学中利用正面例子和反面例子相互对比，加深学生对反比例的意义和判断方法的理解。
2.使用意见：教学中，教师不要急于引导学生认识到“乘积一定”，一定要让学生有充分的时间探索并描述两个变量之间的关系，即谁随谁的变化而变化，是如何变化的，变化的过程中什么不变。
3.需破解的问题：对于函数思想的渗透放在本课还是下一课时呢？
台儿庄区马兰屯镇板桥小学李明英
反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3） ，则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)22 m x - 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限 内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为 ； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k ≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k ≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y=k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 x k y 22--=k 1y 2y 2 1 3y 1y 2y 3y k x x k y =
《比例的意义和基本性质》教学设计 教学内容教材第40～41页比例的意义和基本性质及相关练习。 教材分析 《比例的意义和基本性质》是人教版数学第十二册的内容。比例的知识是在学习了比的知识和除法、分数、方程知识等的基础上教学的，而本节课内容是这个单元的第一节课，主要属于概念教学，是为以后解比例，讲解正、反比例做准备的，是本单元的基础与核心，必须让学生深刻理解，牢固掌握，学生学好这部分知识，不仅可以初步接触函数的思想，而且可以用来解决日常生活中一些具体的问题。 学情分析 比例的意义和基本性质是在学生掌握了比的基本性质的基础上进行教学的。学习本节教材，不仅要使学生记住概念的描述，更重要的是理解概念，而理解概念，关键是要理解知识的本质和要素，“比列”的本质是一个等式，描述的是两个比值相等的比之间的关系，教学中要多给学生提供有效的材料，让学生判断、思考并表达思维过程，促进理解，为后续学习作好铺垫，还要进一步发展学生的空间观念和抽象思维能力，为进一步学习打下基础。 教学目标 1．知识与技能：理解和掌握比例的意义和基本性质，认识比例的各部分名称。 2．数学思考和问题解决：培养学生观察、分析、推理的能力，指导并发展学生的有序思维。 3．情感、态度与价值观：培养学生自主参与的意识和主动探究的精神。 教学重点理解比例的意义和基本性质。 教学难点用比例的意义或性质判断两个比成不成比例。 教学过程 一、创设情景，引入新课。 出示三幅场景图。 （1）图上描述的是什么情景？这几幅图都与什么有关？
（2）这三面国旗有什么相同和不同的地方？（形状相同，大小不同） （3）你们有见过这样的国旗吗？或者这样的？我们的国旗，不论大小，之所以形状相同，是因为它们都是按照一定的比例来制作的，从今天开始，我们将要学习有关比例的知识。板书课题 （设计意图：改变直接复习比的意义导入新课的方法，从生活实际切入，用直观图形形象地呈现比，在此基础上自然流畅地引出比例意义，既复习了旧知，3 / 5 又使比与比例联系更加紧密，更重要的是促进学生更好地理解比列的特征和量与量之间的变化关系，加深学生对比列知识内涵的理解，学生学习兴趣盎然，再就是为以后学习图形的放大与缩小做好铺垫。） 二、自主探究，明确意义 1、提问：你们知道每一幅图中国旗的长和宽分别是多少吗？ 2、谈话：在制作国旗的过程中存在着有趣的比。请同学们拿出第一张自主学习卡，算一算这三幅国旗的长、宽之比，求出比值，并同桌互相说一说你有什么发现？ 3、学生汇报。 4、我们以操场上和教室里的国旗为例，2.4:1.6= ，60:40= ，这两个比的比值相等，中间可以用等号连接起来，写成2.4:1.6=60:40，因为比还可以写成分数形式，所以还可以写成=。像这样表示两个比相等的式子叫做比例。（板书） 5、在上图的三面国旗的尺寸中，还有哪些比可以组成比例？ 6、深入探讨：（1）比例有几个比组成？（2）是不是任意两个比都能组成比例？（3）判断两个比能不能组成比例，关键要看什么？ （设计意图：请大家根据图片的数据，写一写，算一算，看看你能从中找到哪些比例？根据前面的教学，学生比较容易找到国旗长与宽的比，两两可以组成比例。但要找到国旗宽与长的比，两两组成比例；每两面国旗的长之比与它们的宽之比组成比例就需要教师适时引导，鼓励学生打开思路，从不同角度去寻找，不同的学生会写出不相同的算式，这里充分发挥交流的作用，在思想的碰撞中加深对比例意义的认识。） 三、学习比例的基本性质 1、学习比例各部分的名称。
第三章 函数 第12课时 反比例函数及其应用 江苏近5年中考真题精选(2013～2017) 命题点1 反比例函数图象上的点(淮安2考) 1. (2017淮安11题3分)若反比例函数y ＝－ x 6 的图象经过点A (m ，3)，则m 的值是__________. 2. (2016淮安15题3分)若点A (－2，3)，B (m ，－6)都在反比例函数y ＝k x (k ≠0)的 图象上，则m 的值是________． 命题点2 反比例函数解析式的确定(盐城1考，淮安3考) 3. (2015淮安13题3分)若点P (－1，2)在反比例函数y ＝k x 的图象上，则k ＝________． 命题点3 反比例函数综合题(盐城3考，淮安1考，宿迁必考) 考向一 反比例函数与一次函数结合 第4题图 4. (2015南京16题2分)如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图象在第一象 限内分别交于点A 、B ，且A 点为OB 的中点．若函数y 1＝ x 1 ，则y 2与x 的函数表达式是________． 5. (2013宿迁18题3分)在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝1 3 x ＋2与反比例函
数y ＝ x 5 (x >0)的图象交点的横坐标为x 0.若k
反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据． 一、反比例函数的概念 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k =，或表示为 k y x =，其中k 是不等于0的常数． 2、解析式形如 k y x =（k是常数，0 k≠）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数． 3、反比例函数 k y x =的定义域是不等于零的一切实数． 反比例函数 知识结构 模块一：反比例函数的概念 知识精讲 内容分析
【例1】 下列变化过程中的两个变量成反比例的是（ ） A ．圆的面积和半径 B ．矩形的面积一定，它的长与宽 C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间 D ．人的身高及体重 【难度】★ 【答案】B 【解析】矩形面积=长×宽，即S ab =，S 为定值，可知它的长与宽成反比例，B 正确；注 意区分C 选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间． 【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积是否为定值即可． 【例2】 （1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________; （2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当1 3 x =时，y =_________. 【难度】★ 【答案】（1）2 y x =- ；（2）9-． 【解析】（1）设函数解析式为k y x =，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2y x =-； （2）设函数解析式为2k y x = ，即有() 2 142k =--，得：1k =-，函数解析式为21 y x =-， 则当1 3x =时，2 1913y =-=-?? ??? ． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解． 例题解析
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（第3课时） 目标设计：1、能够求反比例函数与一次函数的解析式及其交点坐标； 2、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点：根据已知条件求函数解析式。 探究准备：作图工具、小黑板等。 探究过程： 一、复习导入： 1、一次函数y kx b =+ （0k ≠）与x 轴、y 轴交点： x 轴：（,0b k -） y 轴：（0,b ） 反比例函数与x 轴、y 轴无交点。 2、当0k >时，一次函数图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；反比例函数图象分两支在一、三象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 当0k <时，类似。 二、新知探究： 题例： 1、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数的图象交于M 、N 两点。 ⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围。 分析： ⑴∵点N （-1，-4）在反比例函数k y x =的图象上 ∴41 k -= - 即 4k = ∴反比例函数的解析式为4y x =。 又∵点M （2，M ）也在双曲线上 ∴4 22 m == ∴点M 的坐标为（2，2）。 又∵点M （2，2），点N （-1，-4）均在y ax b =+的图象上 N
∴224a b a b +=?? -+=-? 解得 2 2a b =??=-? ∴一次函数的解析式为22y x =-。 ⑵由图象可知，当02x <<或1x <-时，反比例函数值大于一次函数的值。 解析如下： ∵422y y x x =>=- ∴422x x >- 即21x x >- ① 分两种情况讨论： ①当0x >时，①式可化为220x x --< 即()()210x x -+< ∴2010x x ->?? +? 即21x x >??<-? 或2 1x x -? ∴02x << ②当0x <时，①式可化为220x x --> 即()()210x x -+> ∴2010x x ->?? +>?或2010x x -??>-? 或2 1x x
第15讲反比例函数 课标要求 (1)结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． (2)能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y ＝ k x (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况．(3)能用反比例函数解决简单实际问题. 考情分析 该内容主要是以选择题、填空题、解答题的形式来考查，分值为3～12分．主要考查的内容为：(1)求解析式；(2)图象和性质；(3)反比例函数的应用；(4)k值的几何意义；(5)与反比例函数有关的综合题．这几个知识点几乎每年各地市都考，预测这几个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对这几个知识点的训练，力争做到题型熟练，方法掌握. 一、定义 若两个变量x，y之间可以表示成y＝________(k是常数，且k≠0)，则称y 是x的反比例函数． 二、图象 反比例函数y＝k x(k≠0)的图象是________，它有两个分支，这两个分支分别 位于第________象限或第________象限．它们是一个中心对称图形，其对称中心是________． 注意：反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
三、性质 1．当k>0时，x，y同号，图象分布在第________象限，在每个象限内，y 随x的增大而________． 2．当k<0时，x，y异号，图象分布在第________象限，在每个象限内y随x的增大而________． 四、反比例函数的应用 基本方法是建立反比例函数关系，然后运用反比例函数的性质解答． 注意：对于实际问题中的反比例函数，由于自变量x>0，其图象只有位于 第一(或第四)象限的一支曲 线. , 反比例函数的图象和性质 (2020·桂林，第17小题，3分) 反比例函数y＝k x(x<0)的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论： ①k>0 ； ②当x<0 时，y随x的增大而增大；
5.2反比例函数(3) 教材分析： 本节课学习用待定系数法来求反比例函数的解析式和根据反比例函数的性质求矩形的面积．确定反比例函数解析式也是解决实际问题的基础，让学生进一步立即ｋ的意义． 学生分析： 用待定系数法求函数解析式学生在学习一次函数时有所了解，所以本节课可以对比求一次函数解析式的方法学习，让学生明白由于反比例函数只有一个待定系数ｋ，所以只需知道图象上一个点的坐标就可以求出ｋ. 教学目标： 知识与技能：1、能运用一次函数与反比例函数的图象和性质解决有关问题． 2、一步提高学生的分析能力归纳能力与数形结合能力． 过程与方法：经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题. 情感态度和价值观：激发学生积极参与交流，并积极发表意见，个性化的表达自己的见解．教学重难点： 重点：用待定系数法确定反比例函数解析式. 难点：用反比例函数知识求矩形面积. 课前准备 教具准备教师准备PPT课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 解析式： k y x （k是常数，k≠0） 图象：双曲线 性质：1. 当k>0时, 图象的两个分支分别在第一、三象限内．在每个象限内，y随x的增大 而减小； 2. 当k<0时, 图象的两个分支分别在第二、四象限内．在每个象限内，y随x的增大而增大. 【设计意图】： 通过对反比例函数解析式、图象、性质的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本 节课的学习起到引入作用. 自学指导： 阅读课本第20－22页，例3，例4完成以下内容： 1、怎样利用反比例函数的知识求矩形的面积 2、怎样利用反比例函数的知识求三角形的面积
合作探究一: 矩形的面积 任取一点向两坐标轴作垂线得到的矩形面积是一个定值，为｜k |. 合作探究二: 三角形的面积 三角形的面积是定值 【设计意图】： 以上结论先由学生独立思考，再由小组合作，在交流中通过思维的碰撞，使思路变得清晰. 当堂检测： 1．反比例函数y =k /x 的图象经过点(-2,-1),那么k 的值为_________. 2．如果点(a ,-2a )在函数y =k /x 的图象上,那么k ______0.(填“>”或“<”) 3．已知反比例函数 ，当____时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当______时，其图象在每个象限内随的增大而减小. 4．若ab < 0，则函数y =ax 与y =b /x 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） 5．如图,面积为2的△ABC ,一边长为x ,这边上的高为y ,则y 与x 的变化规律用图象表示大致为( ) 6．如图,点P 是x 轴上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线于点Q ,连结OQ , 当点P 沿x 轴正半方向运动时,Rt △QOP 面积( ). A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．保持不变 D ．无法确定 7．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A （-4，-2）和B （a ，4）． （1）求反比例函数的解析式和点B 的坐标； （2）根据图象回答，当x 在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 8．如图所示,一个反比例函数的图象在第二象限内,点A 是图象上的任意一点,AM ⊥x 轴于M ,O 是原点,若S △AOM =3,求该反比例函数的解析式,并写出自变量的取值范围. 2 k 3m 2y x -=
人教版数学六年级上册《比的意义》教学设计 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册P48－P49内容。 教学目标： 1．在具体的情境中理解比的意义，学会比的读法、写法，掌握比的各部分名称及求比值的方法。 2．经历探索比与分数、除法之间关系的过程，体会数学知识之间的内在联系，把握比的意义的本质。 3．在自主学习中，积累数学活动经验，培养学生分析、概括的能力，感受数学学习的乐趣。 教学重点：理解比的意义以及比与分数、除法之间的关系。 教学难点：理解比与分数、除法之间的关系，明确比与比值的区别。 教学准备：课件，学具。 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 1．课件出示：2003年10月15日，我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。 教师提问：这就是杨利伟展示的两面旗，它们的长都是15 cm，宽都是10 cm。比较它们长和宽的关系，你能提出怎样的数学问题？ 预设情况： （1）长比宽多多少厘米？15-10； （2）宽比长少多少厘米？15-10； （3）长是宽的多少倍？15÷10；
（4）宽是长的几分之几？10÷15。 2．揭题：今天我们将进一步研究这种倍数关系，它除了用除法表示外，还可以用一种新的数学方法──“比”来表示。（板书课题：比的意义） 【设计意图】利用“神舟”五号升空这一现实素材自然地引出“比”，一方面激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系；另一方面可适时对学生进行爱国主义教育。 二、探究新知，理解比的意义 （一）同类量的比 师：刚才我们用“15÷10”表示长是宽的多少倍，可以说成长和宽的比是15比10，记作15:10。那么，10÷15表示宽是长的几分之几，怎样用比表示它们的关系呢？（可以说成宽和长的比是10比15，记作10:15。） 师：想一想15比10和10比15一样吗？它们有什么不同？（引导学生理解比的前项、后项所表示的意义不同。） （二）不同类量的比 课件出示：“神舟”五号进入运行轨道后，在距地350 km的高空作圆周运动，平均90 分钟绕地球一周，大约运行42252 km。那么飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米？ 1．读题理解题意，说说知道了哪些信息？ 2．独立解答，说清解题思路。（速度可以用“路程÷时间”表示。） 3．尝试用比表示路程和时间的关系。（路程和时间的比是42252比90，记作42252:90。） （三）比较分析 1．观察比较。 师：观察这三个比，说说它们有什么联系与区别？（引导学生发现这三个比都表示相除的关系，但前两个比中两个量都表示长度，相比的两个量是同类量；第三个比中的两个量，一个表示路程，一个表示时间，是不同类量，不同类量的比可以表示一个新的量。）
九年级数学讲学稿系列(北师大版 ) 听来的容易忘记，看到的会记得住，做过的才能掌握！1 中考复习第13课时反比例函数及其应用 考点一、反比例函数的概念 1.下列函数关系中，不是反比例函数的有________________________. A. xy=-5 B.x 35-y = C.13--=x y D.12+=x y E.x a =y 考点二、反比例函数的图像与性质 2.在反比例函数x k 21y -= 中，y 的值随x 值得增大而增大，则k 的取值范围是____________. 3.如图，已知关于x 的函数y =k(x ?1)和y =k x (k ≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是( ) A. B. C. D. 4.反比例函数y =k 2+1 x 图象上有三个点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，其中x 1
反比例函数全章导学案
学习课题：17．1．1反比例函数的意义 预习案： 学法指导：用10到15分钟阅读课本内容，完成下列问题，将预习中不能解决的问题和疑惑记下来 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一 般形式是怎样的？ 2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 3在思考（1）中，当路程一定时，速度和时间成什么关系？在思考（2）中，当矩形草坪面积一定 时，矩形草坪的长与宽成什么关系？在思考 （3）中，当北京市的总面积一定时，人均占 有的土地面积与全市总人口成什么关系？4、什么是反比例函数？哪个是比例系数？比例系数有什么特点？ 探究案：问题1、在思考（1）（2）（3）中得到的关系式与一次函数、正比例函数的关系式一样吗？ 2、这些关系式有什么特征？ 3、你能归纳出反比例函数的概念吗？ 4、反比例函数的自变量x的取值范围是怎样的？函数值y的取值范围是什么？
1、P40-1、 2、3（在书上完成） 2、y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值： x -2 -1 21- 21 1 3 y 32 2 -1 （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表。 四、反思归纳 1、本节课学习的内容： 2、数学思想方法归纳： 当堂检测 1、下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？ （1）x y 32=， （2）x y 3 2=，（3） 01=+xy ，（4）0=xy ，（5）y x 32= 2、函数2 1+-=x y 中的自变量x 的取值范围是 三、提升能力： 1、若函数12)1(-+=m x m y 是反比例函数，则m=
反比例函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握反比例函数的意义 2.了解k 的符号不同，反比例函数与图像对应的性质 1.定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成 __________。 2.反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数___________. ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3.反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过______，断开的两个分支，延伸部分逐渐_______坐标轴，但是永远______________相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是______________）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为______。 4．反比例函数性质如下表：
第4单元比 第1课时比的意义 【教学内容】 教材48、49页及练习十一的1-3题 【教学目标】 知识与技能： 1．理解并掌握比的意义，会正确读写比。 2．记住比各部分的名称，并会正确求比值。 3．理解并灵活掌握比与分数、除法之间的联系与区别。过程与方法： 培养比较、分析和抽象概括能力。 情感、态度与价值观 培养学生合作交流表达等能力。 【教学重难点】 重点：比的意义 难点：比和除法、分数的关系。 【导学过程】： 【自主预习】 1．分数和除法有什么联系？ 2．除数能否为零？分数的分母能否为零？ 3、自学教材43、44页的内容并回答问题。 （1）什么是比？比是什么？什么叫比？谁和谁比？ （2）长是宽的几倍，宽是长的几分之几？ 15÷10求的是什么？是这面旗的什么和什么比较？ 长是多少？宽是多少？
长和宽比也就是几和几比？ 【新知探究】 小组讨论交流,说说自己的想法: 1、用除法可以来表示两个量之间的关系，我们也可以用“比”来表示。也就是说一个量是另一个量的几倍或几分之几也可以说成两个量的比。 2、一辆汽车2小时行90千米 这里已知哪两个数量？可以求出哪个数量？怎样求？ 说明：90÷2＝45（千米）用除法求出了这辆车的速度，它表示路程和时间之间的关系。我们还可以用（）来表示路程和时间之间的关系，把它说成路程和时间的比是（）比（）。 90÷2表示什么？还可以怎么说？ 3、讨论①除法中的运算符号是“除号”，表示比的符号是什么呢？写作什么？ ②5比3写作什么？各部分的名知称是什么？ ③试写3比5、90比2，并说出比的前项、后项。 ④比的前项和后项之间有什么关系？（相除的关系） ⑤什么是比值？如何求？比值可以是什么数？ 4、我们在写比时，要注意谁和谁比，谁是比的前项，谁是比的后项，次序不能颠倒。 2、求比值的方法是：用（）除以（）所得的商是（），它可以是（），也可以是（），还可以是（）。 3、观察，你能发现比、除法、分数三者之间的联系吗？
18.4．3反比例函数（3课时） （设计人:刘颖----2013.3.21） 【课程目标】 【教学过程】 能力知识思维框架 探究 灵活运用 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
10ˊ间的联系， 体会数形结 合及转化的 思想方法 从反比例函数 x k y=（k≠0）的图象 上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线 段，与x轴、y轴所围成的矩形面积 k xy S= = ， 例3．如图，过反比例函数 x y 1 =（x＞0）的图 象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别 是S 1 、S 2 ，比较它们的大小，可得（） （A）S 1 ＞S 2 （B）S 1 ＝S 2 （C）S 1 ＜S 2 （D）大小关系不能确定 ＝；当x＜－2时；y的取值范围 是；当x＞－2时；y的取值范围是 3．已知反比例函数y a x a =-- ()226，当 x>0时，y随x的增大而增大，求函数 关系式 4已知反比例函数y= 3m x - 的两点 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),当x 1 <0
第20课时《反比例函数在中考中的常见题型》 ◆知识讲解：1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）． 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质（1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第 一，三象限内?在每一象限内，y随x的增大而减小．（2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y随x的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，?也就是求其图 像上一点横坐标与纵坐标之积，?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二 次方程的两根，运用两根之积求k的值．（4）若双曲线y=k x 图像上一点（a，b）满 足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2， 又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2 x - ．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y?轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． ◆经典例题：例1（2006，上海市）如图，在直角坐标 系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标 的3倍，反比例函数y=12 x 的图像经过点A， （1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，?求这个一次函数的解析式． 例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m 与反比例函数y=m x 的图像在第一象限内的交点，且 S△AOB=3．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，?请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x?轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论． ◆强化训练：一、填空题1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 4 x 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，?则2x1y2－7x2y1的值等于_______． 图1 图2 图3 2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－ 20 3 ，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A 点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______． 3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______． 4．若y= 21 31 a a a x-- + 中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______． 5．反比例函数y= k x 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．
湘教版九上数学第3课时反比例函数的图象与性质 的综合应用 【知识与技能】 1.会求反比例函数的表达式； 2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 1.会用待定系数法求反比例函数的表达式； 2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 一、情境导入，初步认识 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？ 4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？ 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知
1.思考：已知反比例函数k y x = 的图象经过点P （2,4） （1）求k 的值，并写出该函数的表达式； （2）判断点A （-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？ 分析： (1)题中已知图象经过点P （2，4），即表明把P 点坐标代入解析式成立，这样能求出k ，解析式也就确定了. (2)要判断A 、B 是否在这条函数图象上，就是把A 、B 的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在. (3)根据k 的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x 的值的变化情况. 【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式. 2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x ，2 k y x =，其中，k 1，k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式. 因此，()2 143,43 k k =?-=- 解得，124 123 k k =- =- 所以，正比例函数解析式为43y x =-，反比例函数解析式为12 y x =-. 函数图象如下图.
六年级数学下册比的意义教案北京版 1、理解并掌握比的意义，会正确读写比； 2、记住比各部分的名称，并会正确求比值； 3、理解并灵活掌握比与分数、除法之间的联系与区别； 4、培养学生的比较、分析和抽象概括能力。教学重点：理解比的意义教学方法：目标教学法教学过程： 一、复习提问 1、分数和除法有什么联系？ 2、除数能否为零？分数的分母能否为零？ 二、旧知引题 1、出示一面国旗图案，启发谈话。请同学们看，这是一面国旗的图案，在今年的悉尼奥运会上中国健儿奋力拼搏，勇于动脑，让五星国旗在悉尼的上空一次又一次的升起，我希望同学们要学习健儿的精神，课堂上要勤于动脑，敢于发表自己的意见，同学们能不能做到。假如我告诉你这个图案长是5分米，宽是3分米，根据这两个条件可以提出什么问题（可提的问题很多，教师有选择地板书。①长是宽的几倍？②宽是长的几分之几？） 2、揭示课题长是宽的几倍或者宽是长的几分之几是我们用以前学过的除法对这面旗的长和宽进行比较的，今天我们再学习一种新的对两个数量进行比较的方法。这就是比（板书课题） 三、教学新课
（一）完成第一个学习目标(理解比的意义) 1、引导学生说出第一个学习目标教师指着课题提问：同学们要学习“比”，你想要学习什么呢？（学生有可能说：什么是比？比是什么？什么叫比？谁和谁比？）无论学生怎么说，教师都要加以肯定，然后从学生所说当中提炼出第一个学习目标：理解比的意义。 (板书) 2、比的意义的初步感知（1）师：刚才我们列式可以求出长是宽的几倍，宽是长的几分之几（指着黑板）追问：53求的是什么？是这面旗的什么和什么比较？长是多少？宽是多少？长和宽比也就是几和几比？师：53我们又可以说成长和宽的比是5比3。谁愿意再来说一遍（让两至三生学着说）（同样方法教学35）师小结：我们用除法可以来表示两个量之间的关系，我们也可以用“比”来表示。也就是说一个量是另一个量的几倍或几分之几也可以说成两个量的比。（2）教学例子2出示：一辆汽车2小时行90千米提问：这里已知哪两个数量？可以求出哪个数量？怎样求？（板书算式和结果）说明：902＝45（千米）用除法求出了这辆车的速度，它表示路程和时间之间的关系。我们还可以用比来表示路程和时间之间的关系，把它说成路程和时间的比是90比2。（板书）追问：902表示什么？还可以怎么说？ 3、概括比的意义启发学生观察板书，相互讨论。学生活动组织：①仔细阅读黑板板书。
第13讲反比例函数 一、 中考知识关键词 考点１．反比例函数的定义：一般地，函数，叫做反比例函数. 考点２．反比例函数的图像及性质：反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称；当k>0时，反比例函数的图像在一、三象限，在函数图像的每一支上，y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数的图像在二、四象限，在函数图像的每一支上，y随x的增大而增大． 【易错警示】由于反比例函数的图像的不连续性，所以在描述反比例函数的图像的增减性时，一定要先说在“每个象限内”． 考点３ 反比例函数图像上的任何一点的纵横坐标的乘积为定值k；过反比例函数图像上任意一点分别向x轴和y轴做垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于定值∣k∣. 二、典型例题 类型一反比例函数的定义 例1 若函数反比例函数，则的值等于（） A． B 1 C D 解析：根据反比例函数的定义，，则，又因为，所以，故。 例2（2007海南）反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的关系式为 . 解析： 类型二反比例函数图像的性质 例3（2007贵州）已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是（） A． B． C． D． 解析：因为正比例函数过坐标原点，而反比例函数图像的两个分支关于原点对称，所以，另一个交点坐标为，故选A 例4（2007江苏）已知点P在函数 （x＞0）的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为__________. 解析：因为反比例函数可变形为，设P点坐标为（x,y），所以，又因为点P在第一象限，则.所以矩形OAPB的面积为,故填2. 类型三反比例函数的应用
2019版中考数学复习 第15课时 一次函数和反比例函数的综合应用 【课前展练】 1．（随州）如图，直线l 与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A ，B 两点，交x 轴于点C ，若AB ：BC=（m ﹣1）：1（m ＞1），则△OAB 的面积（用m 表示）为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（黔东南州）设函数y=x ﹣3与的图象的两个交点的横坐标为a ，b ，则 = _________ ． 3．（连云港）如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等 式k 1x ＜ +b 的解集是 _________ ． 4如图，双曲线 y=2x （x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得AB′C，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 ． 5. 已知直线y=kx （k 〈0）与双曲线x y 3 -=于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则3x 1y 2-8x 2y 1的值为【 】 A ．﹣5 B ．﹣15 C ．5 D ．15 【典型例题】 【例1】（孝感xx ）如图，点P 是双曲线1 k y x = （10k x <<，0）上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线()221k y x k k x =<<于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积1S = （用含1k 、2k 的式子表示）； （2）图2中，设P 点坐标为()43-，． ①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分） ②记 22PEF DEF S S S S =-△△，是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5 分）