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线性方程组理论的毕业论文

目录

1、线性方程组的发展前景及一般理论的研究 (1)

1.1线性方程组的三种表示 (1)

1.11一般形式的表示 (1)

1.12向量形式的表示 (1)

1.13矩阵形式的表示 (1)

1.2齐次线性方程组 (1)

1.21齐次线性方程组有非零解的条件 (1)

1.22 齐次线性方程组解的性质 (2)

1.23齐次线性方程组解的结构 (2)

1.3非齐次线性方程组 (2)

1.31非齐次线性方程组的有解判定 (2)

1.32非齐次线性方程组解的性质 (3)

1.33非齐次线性方程组解的结构 (3)

2、线性方程组理论的三个应用 (3)

2.1线性方程组一般形式的运用 (3)

2.2线性方程组向量形式的运用 (6)

2.3线性方程组矩阵形式的运用 (6)

线性方程组的应用

中文摘要:线性方程组的应用是现代数学运用中最为广泛的一种,为了更好的运用这种理论,必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件,并根据相应的实际问题,通过适当变换所知,学会选择最有效的方法来进行解题,通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题,感受数学的魅力.通过对线性方程组理论的充分认识和应用范围的广泛研究,我们从以下几个方面入手:

(1)认清当前线性方程组的发展前景以及介绍线性方程组的一般理论的研究(2)通过学习线性方程组的理论知识,掌握线性方程组的一般形式的运用,并从其几何应用、求解基础解系、解一般线性方程组以及方程组有无解的判定等几个方面来讲述如何巧妙地运用该理论解决学习、生活、工作中遇到的实际问题(3)巧妙地研究线性方程组的向量形式的运用,通过列举该理论在线性相关、线性相关以及向量组等价等方面的几个示例来充分认识该理论

(4)研究线性方程组的矩阵形式的简单、灵活运用,通过例题来证明向量组秩之间的某些关系,运用矩阵的形式来解决一些复杂的问题.

线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支,很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题,同时线性方程组在工程技术上、空间几何和国民经济的许多领域都有着广泛的应用, 因此为了能够更好地解决现实中的问题,我们做出了上述的总结,总之线性方程组的应用是一门最基本的和最重要的理论应用.

关键字:线性方程组;基础解系;通解和特解;增广矩阵;矩阵秩

The application of linear equations

YANG Qiang(Tutor:LI Kaican)

Department of Mathematics, Hubei Normal University , Huangshi, China, 435002 Abstract:The application of linear equations is the most widely used in the use of modern mathematics, in order to better use this theory, we must consciously linked the use of conditions of the various theories in the problem solving process, and according to the practical problems,appropriate transform knowledge, learn to choose the most effective approach to problem solving have to skillfully apply the theoretical knowledge to solve mathematical problems, to feel the charm of mathematics. fully understand the theory of linear equations and application range of extensive research,we start from the following aspects:

(1) understand the current prospects for the development of linear equations and to introduce the general theory of linear equations

(2) learn the knowledge of the theory of linear equations, to master the use of the general form of linear equations, and from its geometric applications, solving the Fundamental System of Solutions, solution of linear equations and equations to determine whether the solution several aspects on how to skillfully apply the theory to solve practical problems to learn, live, work encountered

(3) ingenious study of the use of linear equations in vector form, to cite a few examples of the theory of linear, linear dependence and vector group equivalent to fully understand the theory (4) the study of linear equations in matrix form is simple, flexible use of examples to prove the relationship between the vector group rank matrix form to solve some complex problems. The theory of linear equations has penetrated into many branches of the mathematical development of many practical problems to deal with the last is often attributed to the relatively easy to deal with the problem of linear equations, linear equations in engineering technology, space geometry and the National in many areas of the economy have a wide range of applications, so in order to be better able to solve real problems, we make the above summary, in short, the application of linear equations is one of the most basic and most important theoretical application.

1、线性方程组的发展前景及一般理论的研究

线性代数起源于研究线性方程组的过程中,科学家们试图找到一般的方法来求得它们的解。线性方程组的理论是线性代数的基础部分,这个理论包括三个方面:线性方程组的求解方法;线性方程组解的情况的判定;线性方程组的解的结构。线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之一.在高等代数的研究中我们一般常用矩阵、向量作为研究工具,进而系统地得到从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧式空间等五个方面的应用,说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具.

1.1线性方程组的三种表示

1.11一般形式的表示

11112211211222221122............n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=???

?+++=?

1.12向量形式的表示

1122...n n x x x αααβ+++=,其中()12,,...,T

i i i ni a a a α=(1,2,...)i n =,()12,,...,T

n b b b β=. 1.13矩阵形式的表示

AX β=,其中()12,,...,n A ααα=,()12,,...,T n X x x x = .

特别地,当0β=时,AX β=称为齐次线性方程组,而当0β≠时,AX β=称为非齐次线性方程组.

1.2齐次线性方程组

1.21齐次线性方程组有非零解的条件

( I ) 0AX =有非零解?A 的列向量组线性无关?()r A n <. (II )若方程的个数小于未知量的个数,则0AX =必有非零解. (III )当m n =时,即A 为方阵时,0AX =有非零解?0A =.

1.22 齐次线性方程组解的性质

(I )若12,ξξ均为0AX =的解向量,则12ξξ+也是0AX =的解向量. (II )若ξ是0AX =的解向量,则对任意的常数,k k ξ也是0AX =的解向量. (III ) n 维向量ξ是n 元齐次线性方程组0AX =的解

?ξ与A 的每一个行向量正交.

1.23齐次线性方程组解的结构

1111221121122222

1122............n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

?

?+++=? (1) 齐次线性方程(1)的一组解12,,...,t ξξξ称为(1)的一个基础解系,满足以下两条: (I )方程组(1)的任一个解都能表示成12,,...,t ξξξ的线性组合. (II )12,,...,t ξξξ线性无关.

设12,...s ξξξ是0AX =的一组线性无关的解向量,如果0AX =的任一解向量均可由12,...s ξξξ线性表出,则称12,...s ξξξ为0AX =的解空间的一个基,亦称是0AX =的一个基础解系.此时0AX =的解向量可表示为1122...n r n r X k k k ξξξ--=+++,其中

12,,...,n r k k k -为任意常数,r 表示系数矩阵的秩即()r A r =,此式称为0AX =的通解.

1.3非齐次线性方程组

1.31非齐次线性方程组的有解判定

AX β=有解?β可由A 的列向量组线性表出

?向量组12,,...,n ααα与12,,...,,n αααβ等价 ?()(,)r A r A β=. 更为准确的有:

AX β=有唯一解?()(,)r A r A n β==

AX β=有无穷解?()(,)r A r A n β=< AX β=无解?()(,)r A r A β<

1.32非齐次线性方程组解的性质

(I )若η是AX β=的一个解,ξ是其导出组0AX =的一个解, 则ηξ+是AX β= 的解.

(II )若12,ηη均是AX β=的解,则12ηη-是其导出组0AX =的解.

(III )设12,,...,t ηηη是AX β=的解,若1

1t

i i k ==∑,则1

t

i i i k η=∑也是AX β=的解.

1.33非齐次线性方程组解的结构

若得一个解为*η,则AX β=的任一解总可以表示为*X ξη=+,其中ξ为其导出组0AX =的解;又若0AX =的通解为1122...n r n r X k k k ξξξ--=+++,则AX β=的任一解总可以表示为:*1122...n r n r X k k k ξξξη--=++++,其中12,,...,n r k k k -为任意常数,故此式即是AX β=的通解, 12,...n r ξξξ-是导出组的一个基础解系.

2、线性方程组理论的三个应用 2.1线性方程组一般形式的运用

例1 设有平面上四个点(,)i i i p x y (1,2,3,4i =),矩阵,A B 如下:

112

2334

41111x y x y A x y x y ??

? ?= ?

???

221

11122

2222223333224444

1111x y x y x y x y B x y x y x

y x y ??

+ ?+ ?

= ?

+ ? ?+??

则这四点共圆的充分必要条件是矩阵A 与矩阵B 的秩相同, 即()()R A R B =.

证明:设平面上圆的一般方程为220x y ax by c ++++=, 其中,,a b c 为不全为零的常数, 考虑关于,,a b c 的方程组如下:

22111122

222222

3333224444

00

00x y ax by c x y ax by c x y ax by c x y ax by c ?++++=?++++=??++++=??++++=? (2) 则由齐次线性方程组解的理论知识可知: 四点(,)i i i P x y (1,2,3,4i =)共圆?关于

,,a b c 的线性方程组(2)有解(,,)a b c ?矩阵A 与矩阵B 的秩相同,即()()R A R B =.

例2 求下述齐次线性方程组的一个基础解系

123451234512345134536240

367110*********

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=??-+---=??-+-++=??-+++=?

解 把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:

3621412

05636171100187121310000051031900000---????

? ?

------ ? ?

→ ? ?

-- ? ?

-????

于是方程组的一般解为:

1245

345

25687x x x x x x x =--??

=+? 其中245,,x x x 是自由未知量. 令2451,0,0x x x ===得1(2,1,0,0,0)η= 2450,1,0x x x ===得2(5,0,8,1,0)η=- 2450,0,1x x x ===得3(6,0,7,0,1)η=- 这里123,,ηηη就是方程组的一个基础解系.

例3 解线性方程组:

???????-=++-+-=++-+-=---+-=++-+2

573431272327225354321543215

432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:

3522171112111

005782311270

115450

101211112110016660

016663

4

375

20

000000

0000-------??????

? ?

?

------- ? ? ?→ ? ? ?

-------- ? ?

?

--????

?? 从而得到此方程组的一般解为:

1452453

4557826666

x x x x x x x x x =+-??

=---??=+-? 其中45,x x 是自由未知量. 对于方程个数与未知量个数相等的非齐次线性方程组,如果它的系数行列式不为零,我们还可以用克莱姆法则求解.但是这种方法计算量很大,因此我们一般不用它,只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法来进行求解.

例4 非齐次线性方程组

123412341234123431225344431923

x x x x x x x x x x x x a x x x x --+=??--+=??-++=??--+=?

求当a 为何值时方程组有解?此时有多少解?

解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:

??

?

??

??

??---→??????? ??-------000003400

002110

01131132211193444352211311a a

显然,当34a ≠时,方程组无解;当34a =时,方程组无解,此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行,而未知量有4个,所以方程组有无穷多个解,易求出一般

解为 1243

447

2x x x x x =-+??=-+? 其中24,x x 是自由未知量.

2.2线性方程组向量形式的运用

例1 证明:如果向量组12,,...,r ααα线性无关,而12,,...,,r αααβ线性相关, 则向量β可以由12,,...,r ααα线性表述.

证 有题设,可以找得到一组不全为零的数121,,...,r k k k +使

11221...0r r r k k k k αααβ+++++=

显然10r k +≠,否则若10r k +=,而121,,...,r k k k +不全为零使上式成立, 这与向量组12,,...,r ααα线性无关的假设矛盾,所以10r k +≠ 这样11

r

i

i i r k k βα=+=-∑

,即命题得证.

例2 已知两个向量组有相同的秩,且其中一个可以被另一个线性表出, 证明:这两个向量组等价.

证: 设这两个向量组为(I )和(II )

且它们的极大线性无关组分别为12,,...,r ααα和12,,...,r βββ 并设12,,...,r βββ可由12,,...,r ααα线性表出,

由于12,,...,r βββ是线性无关的,由前面学过的知识得

i i ij i

a βα=∑ (1,2,...,i r =)

且0ij a ≠,从而上式可以解出i α(1,2,...,i r =)

即12,,...,r ααα也可以由12,,...,r βββ线性表示,从而他们等价.

再由它们分别同向量组(I )和(II )等价,所以(I )和(II )等价.

2.3线性方程组矩阵形式的运用

例 1 (1)求一个以(1,2,3,4)(1,1,1,1)T T k +为通解的线性方程组.

(2)设1101011A λλλ?? ?=- ? ???,11a β?? ?

= ? ???

,已知线性方程组AX β=有两个不同的解

(I )求λ和a 的值 (II )求线性方程组AX β=的通解.

解 (1)设所求的线性方程组为AX β=,依题意()4()1n r A r A -=-=,即()3r A =,所以可以设34123(),(,,)T ij A a b b b β?==.

因为(1,2,3,4)T 是导出组0AX =的一个基础解系,所以由已知的A 的3个行向量恰好可以取为齐次线性方程组12342340y y y y +++=的一个基础解系:

(2,1,0,0),(3,0,1,0),(4,0,0,1)T T T ---,于是所求方程组即为

121

132143234x x b x x b x x b

-+=??

-+=??-+=?

而由已知(1,1,1,1)T 该方程组的一个解,所以1231,2,3b b b =-=-=-, 故以下方程组即为所求

121314213243

x x x x x x -+=-??

-+=-??-+=-?

(2)(I )对增广矩阵(,)A β作一系列的初等行变换化为行阶梯形

2

1

1

11

1

0(,)0

1

010

1

0111

100

11a A B a λ

λβλλλλλ????

?

?

=-→-= ? ? ? ?--+?

???

依题意必有(,)()3r A r A β=<,则必有210,10a λλ-=-+=,于是1λ=或1-,而

1a λ=-.又知当1λ=时,(,)()r A r A β>,方程组无解,所以必有1,2a λ=-=-,

此时有(,)()23r A r A β==<.

(II )由(I )我们知,将1,2a λ=-=-带入矩阵B 中,便得与原方程组同解的方程组

1232

1

21x x x x +-=??

-=?

故易得通解为31

(1,0,1)(,,0)22

T T k +-(k 为任意常数)

例2 设B 为一r r ?的矩阵,C 为一r n ?的矩阵,且()r C r =.证明: 1) 如果0BC =,那么0B =. 2)如果BC C =,那么B E =.

证明: 1) 由于()r C r =,则C 中必有一r 级子式不为零,设12(,...,...,)0r n C C C C C =≠,这里12,...,...,r n C C C C 是C 的列向量,不失一般性,设10C ≠ 则由0BC =得12(,...,,...,)0r n BC BC BC BC = 我们知10BC =,则0B =. 2)由BC C =得()0B E C -= 利用第(1)问我们得到0B E -= 即B E =.

例3 设,A B 为n n ?的矩阵,证明:如果0AB =,那么()()r A r B n +≤. 令12(,,...,)n B B B B =

则1212(,,...,)(,,...,)0n n AB A B B B AB AB AB === 故有12...0n AB AB AB ====

即齐次线性方程组0AX =有n 组解12,,...,n B B B

设()r A r =,则12,,...,n B B B 可由n r -个线性无关的向量组线性表示, 则()r B n r ≤-

即()()()r A r B r n r n +≤+-=

例4 若已知A 为n n ?的矩阵,且2A A =,证明:()()r A r E A n +-= 证: 因为2A A =,故20A A -=,即()0A E A -=

由乘法秩之间的关系我们得到()()()r A r E A r A n +-≤= (1) 同时()E A E A =+-

再由加法秩之间的关系,我们得到()()()n r E r A r E A =≤+- (2) 由(1),(2)得()()r A r E A n +-= 则命题的证

例5若,A B 均为n n ?的矩阵,证明:()min[(),()]r AB r A r B ≤

证明:要证()min[(),()]r AB r A r B ≤,我们只要证()()r AB r A ≤,同时()()r AB r B ≤ 下面我们证()()r AB r B ≤.

令12(,,...,)m B B B B =,12,,...,m B B B 表示B 的行向量

12(,...,)n C AB C C C ==,12,...,n C C C 表示AB 的行向量. 由计算可知

i C 的第j 个分量和1122...i i im m a B a B a B +++的第j 个分量都等于1

m

ik kj k a b =∑

因而1122...i i i im m C a B a B a B =+++ (1,2,...,i n =) 即矩阵AB 的行向量12,...,n C C C 可经B 的行向量线性表示. 所以AB 的秩不能超过B 的秩,即()()r AB r B ≤

同样的,令12(,,...,)m A A A A =,这里12,,...,m A A A 表示A 的列向量,

12(,,...,)s D AB D D D ==,12,,...,s D D D 表示AB 的列向量. 有计算可知

1122...i i i mi m D b A b A b A =+++ (1,2,...,i s =)

这个式子表明,矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表示,因而前者的秩不能超过后者的秩,即()()

r AB r A

故综上所述()min[(),()]

≤.

r AB r A r B

【参考文献】

[1] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.

[2] 徐德余.高等代数(第二版)[M].成都.四川大学出版社.2005:175-178.

[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988.

[4] 张禾瑞, 郝鈵新.高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.

[5] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.

[6] 许绍元, 陈亮.线性代数. 2003, 53-56.

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[8] 张永怀. 线性代数.西安交通大学出版社,2012,71-91.

[9] 杨成.线性方程组理论的妙用[J].2000.1,45-47.

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