1984年全国初中数学联赛试题及详解
一、选择题
1. 若a a ->-，则
(A)0a > (B)0a < (C)1a <- (D)10a -<< (E)以上结论都不对
答( )
解：选（A ）当0a ≤时，a a -=-；若0a >，则0a ->，0a -<，因此a a
->-成立.故选(A).
2. 以线段1613106a b c d ====，，，为边，且使//a c 作四边形，这样的四边形
(A)能作一个 (B)能作二个 (C)能作三个 (D)能作无数多个 (E)不能作
答( )
解：选（E ）.假设能作出，如图1所示，在△ABC 中，
三边之长分别为6，6，13，此时两边之和小于
第三边，故不能作.故选(E).
3. 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是346S S S ，，，则
(A) 346S S S >> (B)643S S S >> (C) 634S S S >>
(D) 364S S S >> (E) 463S S S >>
答( )
解：选（B ）设相同的周长为12l （0l >），则它们的面积分别是
023144sin 602S l l =???=，()22439S l l ==，22662)S l ==（
∴643S S S >> ,故选（B ）
启发：在周长一定的条件下，边数越大，面积越大，
圆的面积越大. (圆是边数最大的多边形)
4. 如图，直线和直线上一点的坐标(,)x y 满足关系式
(A)0x y += (B)1x +
= (C)21x y -= (D)0x y -=
(E)0x y -= 答( )
解：选（D ）由已给图像可得x y =或x y =-，即x y = ∴0x y -=，故选（D ）.
5. 方程2
198451331548910x x ++=
(A)没有实数根 (B)有整数根
(C)有正数根 (D)两根的倒数和小于1-
(E)以上结论都不对
答( )
解：选（E ）由判别式△＞0，否定（A ）；由△不是完全平方数及求根公式否定（B ）；
由各项系数都是正数否定（C ）；由12121211198451313154891
x x x x x x +-+==>-，否定（D ）. 6. ABC ?的三条外角平分线相交成一个LMN ?，则LMN ?
(A)一定是直角三角形 (B)一定是钝角三角形
(C)一定是锐角三角形 (D)不一定是锐角三角形
(E)一定不是锐角三角形
答( )
解：选（C ）,如图2，,,L M N 是△ABC 外角平分线的交点，则
()1+2LAB B C ∠=
∠∠，()1+2
LBA A C ∠=∠∠ ∴()()11++++22
LAB LBA B C A C ∠∠=∠∠∠∠ ()0011++290+9022A B C C =∠∠∠=∠> 故∠L ＜90°，即为锐角.同理∠M ，∠N 也为锐角,亦即△LMN 为锐角三角形. ,故选（C ）.
7. 已知方程22210x kx k +-+=的两个实数根的平方和为294
，则k 的值为 (A)3 (B 11- (C)3或11- (D)11 (E)以上结论都不对
答( ) 解：选（A ）由于原方程有两实根12,x x ，则2=42(12)0k k ?-?-> ① 由两根平方和为
294，则2212294x x += ② 由①，有21680k k +->,
解得8k <--
8k >-+ ③ 由②，有2
2
22
1212121229()22224k k x x x x x x -??+=+-=--?= ??? 即为 28330k k +-= , 解得3k =或11k =-,但11k =-不符合③的范围，故3k =,于是选(A).
8. 一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的74
倍，则这样的两位数有
(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)无数多个 (E)0个
答( )
解：选（C ），设原两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，则7
10)104
a b b a +=+（ 即2b a = ，∵19
,19a b ≤≤≤≤ ∴1,2,3,4a =，则2,4,6,8b =，故符合条件的数是12，24，36，48共四个.故选（C ）.
9. 半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12，则这两圆公共弦长为
(A) (B)656
(C) (D)10 (E)以上结论都不对 答( ) 解法1：选（D ）,设大圆半径（两圆交点到圆心）与连心线的夹角的α，显然00090α<<，
于是22213125125cos ,sin ,212131313
αα+-===??从而公共弦长为5213sin =213=1013
α????,故选（D ）. 解法2: 选（D ）如图所示,1212125,13OO O A O A ===，,则
AB 为公共弦, 2221212+OO O A O A =,02190O O A ∠=,即21O O
AB ⊥, 故1210AB O A ==,故选（D ）.
10. 下列哪一个数一定不是某个正整数的平方(其中n 为正整数)
(A)2333n n -+ (B)2444n n ++ (C)2
555n n --
(D)2777n n -+ (E)2111111n n +-
答( )
解：选（B ）∵223333(1)n n n n -+=-+,∴若令2+1=3n n -,这样当2n =时，2333n n -+是3的平方; 同理当3n =时,2555n n --是5的平方;当3n =时, 2777n n -+是7的平方;当3n =时, 2111111n n +-是11的平方.由此可否定（A ）、（C ）、
（D ）、（E ），故应选（B ）.
二、试推导出一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式.
解法1: ∵20(0)ax bx c a ++=≠
∴二次项系数化为1（方程两边都除以a ）得20.b c x x a a +
+= 移项得2b c x x a a
+=-, 配方(两边都加上一次项系数一半的平方)得
22222()().224().22b b c b x x a a a a
b b a
c x a a +
+=-+-+=即 当240b ac -≥
时，得22b x a a
+=±
222b b x a a a
-=-±=. 解法2：方程两边都乘以4a 得，2244+40a x abx ac +=
移项得22444a x abx ac +=-
配方(两边都加上2b )得2222
444a x abx b b ac ++=-
即()222+4ax b b ac =- 当2
40b ac -≥
时，得2ax b +=
x =. 三、已知：6lg lg A p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=.求证：34A <<
证明：∵ 29q p -=，∴,p q 为一奇一偶 ，又 ∵,p q 为质数，∴2,31p q ==
因此66lg2lg31lg(231)lg1984A =+=?=
∵大于1000的四位数的常用对数的首数为3，尾数是小于1的正小数.
∴lg1984的首数为3，尾数是小于1的正小数.故得3＜A ＜4.
(注:这里用到了整数的奇偶分析法:只有一奇一偶的两个整数的和差才是奇数,另外关于对数内容已移到高中学习)
四、已知：如图，AB BC CA AD ===，AH CD ⊥于H ，CP BC ⊥交AH 于P ， 求证：ABC ?
的面积：S AP BD = .
证法1 : 如图(1)，过A 作AE BC ⊥于E ，则E 是BC 的中点,又H 是CD 的中点，连接EH ，则有EH BD ∥,∴HEC DBC ∠=∠ ∵ ,AH CD AE BC ⊥⊥,∴,,,A H C E 四点共圆.
∴HAC HEC DBC ∠=∠=∠ 又030EAC EHC BDC ∠=∠=∠=
000906030PCA ∠=-=,∴PCA BDC ∠=∠,
又PAC HAC DBC ∠=∠=∠,从而ACP BDC ??∽ ∴BD
AC BC AP =得AP BD BC AC ?=?
∴ 01sin 602ABC S BC AC AP BD ?=??=?. 证法2 如图(2)，设BD 与AH 交于Q ，则由,AC AD AH CD =⊥
得ACQ ADQ ∠=∠, ∵AB AD =, ∴ADQ ABQ ∠=∠，
∴ABQ ACQ ∠=∠,因此,,,A B C D 四点共圆
∴060AQB ACB ∠=∠=,060DQH ∠=，
又 ∵090QHD ∠=，
∴000906030BDC ∠=-=,000906030ACP ∠=-= ∴ACP BDC ∠=∠ ①
又 ∵0090,90APC PCH BCD PCH ∠=+∠∠=+∠
∴APC BCD ∠=∠ ②
由①、②得APC BCD ??∽ ∴BD
AC BC AP = ,即2BC AC BC AP BD =?=?
∵ 24ABC S BC ?= , ∴4
ABC S AP BD ?=?. 五、在锐角ABC 中，1AC =，AB c =，ABC 的外接圆半径长1R ≤，求证：
cos cos A c A A <≤.
证明：如图，由余弦定理，得
2222+2cos 12cos BC AC AB AB AC A c c A =-??=+-
又由正弦定理，得2224sin BC R A =
于是222
12cos 4sin c c A R A +-=
∵1R ≤, 又R 是正数，∴21R ≤, 从而2222
12cos 4sin 4sin c c A R A A +-=≤
即22(2cos )+(14sin )0c A c A --≤ 解得 cos cos A A c A A ≤≤ 过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC ?是锐角三角形，则D 在AB 上，从而
cos cos AB c AD AC A A =>=?= , ∴cos cos A c A A <≤.
六、有两种重量(设分别为p 与q ，且p q >)的球五个，涂红、白、黑三种颜色.其中两个红球重量不同，两个白球重量也不同，一个黑球不知它的重量是p 还是q .由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无砝码的天平(只能比较轻重，不能称出具体重量)称两次，将5
个球的轻重都区分出来.试叙述你的称球办法，并说明理由.
(提示：用天平称球比较重量的结果，可用等号或不等号表示.) 解：分别用1x 和2x 表示两个红球重量，1y 和2y 表示两个白球重量，z 表示黑球重量.
将1+x z 与21+x y 通过天平进行比较（第一次称），结果可分三种情况： 情况1: 121+x z x y =+ 因为12x x ≠ 所以1z y ≠ 解法1: 将z 与1y 用天平进行比较（第二次称）： 当1z y >，得1212,,,,z p y q y p x q x p =====； 当1z y <，得1212,,,,z q y p y q x p x q =====
解法2: 也可以将z 与1x 进行比较：
1z x =（不可能）
当1z x >，得1212,,,,z p x q x p y q y p =====； 当1z x <，得1212,,,,z q x p x q y p y q =====
情况2:121x z x y +>+
此时必有12x x > ,即12,x p x q ==（否则有121x z p q x y +≤+≤+） 并且1z y ≥（否则有121x z p q x y +=+=+）
现将z 与2y 进行比较（第二次称）：
当2z y >，得12,,z p y p y q ===；
当2z y <，只能21,,z q y p y q ===；
当2z y =，从1z y ≥，只能12,,z p y q y p ===
解法3：也可以将12x x +与1y z +进行比较（第二次称）： 当12x x +1y z >+，得12,,y q z q y p ===；
当12x x +1y z =+，得12,,y q z p y p ===；
当12x x +1y z <+，得12,,y p z p y q ===
情况3: 121x z x y +<+，此时必有12x x <，即12,x q x p ==，并且1z y ≤ 将z 与2y 比较（第二次称）：
当2z y >，得12,,z p y p y q ===；
当2z y =，得12,,z q y p y q ===；
当2z y <，只能12,,z q y q y p ===.