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1.6微积分基本定理

那么有什么好办法呢?从前面的学习中可以发现,虽然被积函数非常简单,但直接用

定积分的定义计算的值却比较麻烦.而对于几乎不可能直接用定义计算.

()3f x =x ?130x dx ?211dx x

我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的

概念

——导数和定积分,先

回顾一下.

知识回顾

导数

是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念,由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背景,所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课.

定积分

的最本质思想:在每个局部小范围内“以直代曲”,“以不变代变”和逼近的思想,这也是应用定积分解决实际问题的思想方法.

新课导入

学习微积分,数学和思维水平都将进入一个新的阶段,能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说,不学或未学懂微积分,思维难以达到较高的水平,难以适应21世纪对高中学生素质的要求.

利用本节学习的微积分基本定理,我们就能轻松解决首页的问题.

1.6

微积分基本定理

微积分是研究各种科学的工具,在中学数学中是研究初等函数最有

效的工具.恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”.

学习微积分的意义

微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一,它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.”

微积分的建立,无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响,充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.

教学目标

知识与能力

了解微积分的概念和推导过程以及基本思想,并能利用微积分的定义解决实际问题.

过程与方法

通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义.

情感态度与价值观

微积分是大学阶段的数学必修,是高等数学的基础组成部分.高中阶段的导数是其基础.

教学重难点

重点

直观了解微积分定理的基本含义, 能利用定理计算简单的定积分.

难点

微积分基本定理的推导过程.

变速直线运动

如图,一个作变速直线运动的物

体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知,它在任意时刻t的速度.设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗?

()()

'

v t=y t

函数y=y(t)在t=b 处与t=a 处的函数值之差.

s=y(b)-y(a)

物体的位移s

还可利用定积分,有v(t)求位移,用分点将区间[a,b]等分成n 个小区间:???01i-1i a =t

每个小区间的长度均为当很小时,在上,v(t)的变化很小,可以认为物体近似地以速度作匀速运动,物体所作的位移

i i-1b -a Δt =t -t =n

Δt ????i-1i t ,t ()()()'i i i-1i-1'i-1Δs h =v t Δt =y t Δt b -a =y t n

从几何意义上看,设曲线y=y(t)上与对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切

线PD 的斜率等于,于是

i-1t ()'i-1y t ()i i

'

i-1Δs h =tan DPCg Δt

=y t Δt ≈∠

物体的总位移s ()()∑∑∑∑n n n

i i i-1i=1i=1i=1n

'

i-1i=1s =Δs h =v t Δt

=y t Δt ≈n 越大,即越小,区间[a,b]划

分就越细,

的近似程度就越好.

Δt ()∑n 'i-1i=1s y t Δt 和

()()()∑∑??n i-1n i=1n 'n i=1b b '

a a

b -a s =lim v t n

b -a =lim y t n

=v t dt =y dt →∞→∞由定积分的定义得:

结合s=y(b)-y(a)得:()()()()

??b a b

'a s =v t dt =y t dt =y b -y a

如果做变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t),那么v(t)= 在区间

[a,b]上的定积分就是物体的位移y(b)-y(a).

()'y t ()()()()

??b

a b

'

a s =v t dt =y t dt =y

b -y a

微积分基本定理

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且,那么

'

F=f(x)

()()()

?b a f x dx=F b-F a

这个结论叫做微积分基本定理(fundamental theoren of calculus),

又叫做牛顿—莱布尼兹公式(Newton-Leibniz Formula)

前提条件:

f(x)在[a,b]连续

(1)存在;

(2)f(x)存在原函数.

是它的原函数

?x

a f(t)dt ()?b

a f x dx

微积分基本定理(17)

1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a2,c =??02sinxdx =- cosx|02=1-cos2∈(1,2), ∴c

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

高中数学选修2-2公开课教案16微积分基本定理

1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有

()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13 例2.计算下列定积分:

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1

11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c

数学:1.6 微积分基本定理(教案)

- 1 - 1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-?

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a2,c =??0 2sinxdx =-cosx|02 =1-cos2∈(1,2), ∴c

§1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有

()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有

微积分基本定理 教案

微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差

1.6微积分基本定理

§1.6微积分基本定理 姓名 【学习目标】 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,熟练地用微积分积分定理计算微积分. 【学习重点】 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 【学习难点】 了解微积分基本定理的含义。 【学习过程】 一、温故知新 (1)定积分的概念: 。 (2)用定义计算 ① 1 30 x dx ? = ②2 11 dx x ? = ③2311 dx x ?= 以上计算既繁且难,②、③的计算几乎不可能完成! 二、新知探究 【探究】:如图1.6-1,一个作变速直线运动的物体的运 动规律是()s s t =。由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度是()()v t s t '=。设这个物体在时间段[a,b]内位移为 s , 你能分别用()v t ,()s t 表示s 吗? 图1.6-1 (1)用s(t)表示[a,b]内的位移则s= ; (2)还可利用 由v(t)表示[a,b]内的位移s ; (3)当 很小时,在[t i-1,t i ]上, 很小, 可以认为 物体所 做的位移=?i s

(4)由导数的几何意义可知物体在[t i-1,t i ]上所做的位移 =?i s (5)结合图1.6-2,物体的总位移=s 图1.6-2 显然,n 越大,即 越小,区间[]b a ,划分就越细, 与s 的近似程度就越好。 (6)对总位移s 取极限,=s (7)由定积分的定义, = (8)结合 (1)的结论,有=s (9)上述结论的含义是 :速度函数)(t v 在区间[a ,b ]上的定积分等于位移函数)(t s 在区间[a , b ]的右端点处的函数值s(b)与左端点处的函数值s (a)之差. 【微积分基本定理】: 一般地,若)(x f 是[]b a ,上的连续函数,且)()(x f x F =',那么 )()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 该式称之为微积分基本定理或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用, 【核心提示】: ①函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数 ②求连续函数定积分的一般方法:把求定积分的问题,转化成求原函数的问题。我们可以用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分. ③它揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法。 【深入思考】: (1)与函数)(x f 相对应)(x F 的唯一吗?如果不唯一,它们之间什么关系? 原函数的选择影响最后的计算结果吗? (2)计算定积分 ()b a f x dx ? 的关键是

高中数学16微积分基本定理教案

三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求 定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。

定积分与微积分基本定理1

第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x +1x d x 等于( ) A .e 2 -2 B .e -1 C .e 2 D .e +1 2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v =gt (g 为常数),则电视塔高为( ) A.1 2g B .g C.32 g D .2g 3.(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x -a )d x =∫π 40cos 2x d x ,则a 等于( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 4.(2016·淄博一模)如图所示,曲线y =x 2 -1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 -1|d x B.???? ??02(x 2 -1)d x C.??0 2(x 2 -1)d x D.??01(x 2 -1)d x +??1 2(1-x 2 )d x

5.(2016·天津蓟县期中)由直线y =x 和曲线y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C .1 D .2 6.(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2-x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C .π D .2π 7.(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 -2x |d x 等于( ) A .5 B .6 C .7 D .8 8.若函数f (x ),g (x )满足? ?1-1f (x )g (x )d x =0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组 正交函数.给出三组函数: ①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x +1,g (x )=x -1;③f (x )=x ,g (x )=x 2 . 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 二、填空题 9.(2016·江西高安二中段考)已知? ?a -a(sin x +3x 2 )d x =16,则正实数a 的值为________. 10.(2017·德州月考)如图,已知点A ? ?? ??0,14,点P (x 0,y 0)(x 0>0)在曲线y =x 2 上,若阴影 部分面积与△OAP 面积相等,则x 0=________. 11.设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10,已知F (x )=x 2 +1且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位:m ;力的单位:N). 12.(2016·洛阳统考)用min{a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数,设f (x )=min{x 2 ,x },那么由函数y =f (x )的图象、x 轴、直线x =1 2和直线x =4所围成的封闭图形的面积为 ________.

微积分基本定理

微积分基本定理(教案)(总4 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除

微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积 分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-??

数学:1.6微积分基本定理

数学:1.6微积分基本定理(教案)

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一、教学目标知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体匸会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观 点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的 含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t) ( v(t) o), 则物体在时间间隔[「,丁2]内经过的路程可用速度函数表示为T2 v(t)dt ° T 1 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t )在[T,,T2]上的增量S(TJ S(T2)来表达, 即 T2 〒v(t)dt = S(TJ S(T2) 而S (t) v(t)。 对于一般函数f(x),设F (x) f(x),是否也有

b f(x)dx F (b) F(a) a 若上式成立,我们就找到了用f (x)的原函数(即满足F (x) f (x))的数值差F(b) F(a)来计算f (x)在[a,b]上的定积分的方法。 注:1:定理如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f (x)的任意一个原函数,则 b f (x)dx F(b) F(a) a x 证明:因为(x)= f(t)dt与F(X)都是f(x)的原函数,故 a F (x) - (x) =C ( a x b) 其中C为某一常数。 a 令x a 得F(a)- (a)=C,且(a)= f(t)dt=O a 即有C=F(a),故F(x)= (x)+ F(a) x (x) = F(x)- F(a)= a f(t)dt b 令x b,有f (x)dx F(b) F(a) a 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用F (x) i a表示F (b) F⑻,即

2.微积分基本定理

§2. 微积分基本定理 ※ 学习目标 1.理解掌握微积分基本定理; 2.能根据微积分基本定理解较为简单的积分题目. 积分的概念 复习2: 求函数积分的基本方法、步骤 二、研读课本 微积分基本定理: 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F / (x),则有 ? b a dx x f )(=F(b )-F(a) 定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式,通常称F(x)是f(x)的一个原函数. 在计算定积分时,常常用记号F(x) b a 来表示F(b ) -F(a),于是牛顿—莱布尼兹公式也可以写作: ? b a dx x f )(= F(x) b a =F(b )-F(a) 常用关于积分的结论: 1、速度的积分等于路程; 2、加速度的积分等于速度; 3、力的积分等于功; 4、曲线的积分等于面积(这里要注意面积并非完全意义上的面积------x 轴上的面积为正,x 轴下的面积为负); 5、面积的积分等于体积 课本例一、计算下列定积分: (1)? 1 02xdx (2)?1 2dx x (3) ? π20 cos xdx (4) ? 2 1 dx e x 新知总结 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷,在求定积分时只需找到导函数的一个原函数,就可以利用牛顿-莱布 尼兹公式求出这个函数的积分,这是求定积分的一种非常重要的方法. 积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数. 课本例二 求定积分 ? 1 dx x 课本例三 求定积分 ? π cos xdx ,并解释其意义 三 典型例题 例3、 求下列函数的导函数,并利用所求结果求 ?1 2xdx (1)x 2 (2)x 2+5 (3)x 2-π (4)x 2 -a (其中a 是一个常数) 解:∵(x 2)/=2x ; (x 2+5)/=2x ; (x 2 -π)/ =2x ; (x 2 -a )/ =2x . ∴ ?1 2xdx = x 2 10 =(12 )-(02 )=1 ?1 2xdx =(x 2 +5) 10 =(12 +5)-(02 +5)=1 ?1 2xdx = (x 2 -π)10 =(12 -π)-(02 -π)=1 ?1 2xdx =(x 2 -a ) 10 =(12-a )-(02 -a )=1 小结:由上可知,题中4个不同函数得到函数都是2x ,而计算定积分 ?1 2xdx 时,选择不同的原函数, 结果却都一样.观察不难发现,这些原函数之间只是差了一个常数,而常数的导数为零,故导函数相同;积分时“-”的前后算式中都有这个常数,故常数并不影响定积分的结果. 故,为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时,选择常数是0的原函数. 例4 、将一根弹性系数为0.5N/m 的弹簧自80cm 压缩至60cm .求这一过程中弹簧弹力所做的功. 解:由胡克定理知F=kx=0.5x ,而功W=Fx ,由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度x 的积分,80cm=0.8m ,60cm=0.6m .

最新214定积分与微积分的基本定理-副本

214定积分与微积分的基本定理-副本

第十四节定积分与微积分基本定理 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背 景,了解定积分的基本思 想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解.如2012年江西T11等. 3.考查曲边梯形面积的求解.如2012年湖北T3, 山东T15,上海T13等. 4.与几何概型相结合考查.如2012年福建T6等. [归纳·知识整合] 1.定积分 (1)定积分的相关概念 在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x =b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x.

[探究] 1.若积分变量为t ,则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a [f (x )-g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么? 提示:由直线x =a ,x =b 和曲线y =f (x ),y =g (x )所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理 如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么∫b a f (x )d x =F (b )-F (a ), 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式. 为了方便,常把F (b )-F (a )F (x )|b a ,即 ∫b a f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ). [自测·牛刀小试] 1.∫421x d x 等于( ) A .2ln 2 B .-2ln 2 C .-ln 2 D .ln 2 解析:选D ∫421x d x =ln x |42=ln 4-ln 2=ln 2. 2.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )=t 2-t +2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) A.176 B.14 3 C.136 D.116 解析:选A S =∫21(t 2 -t +2)d t = ???? ??13t 3-12t 2+2t 21=176. 3.(教材习题改编)直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________. 解析:∫20x 2 d x =13x 3 |20=83. 答案:83 4.(教材改编题)∫101-x 2 d x =________.

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