4||2ε
?M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
?
??
???>???=??
?
???????>?=??????????>?2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ?????????????????>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U
22||||4||}|{|2ε
<+????
??>?+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，
则??
???
??????????????>???????+
≤≤??????≤=22)(000/h a X Y X h y a X
P y Y X P y F n n n n n n Y X n n U
22220/0ε+??????
+
????????>?+??????+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，
且????????????????????>???????≤≤???????≤=??????
?222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n n
n n a X n U
2)(20/0ε+
?
???????>?+??????≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，
即22)(220/0/0/εε+??????+<
?
?h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，
因当n > N 1且 | y ? y 0 | < h 时，2
)()(2
)(0//0/ε
ε
+
<
y F y F y F a X a X a X n ，
在区间?????
?
++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 ? y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
εε
ε+<+≤+?????
?+
<)(2
)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，
在区间?????
?
??2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 ? y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
εεε?>?≥??????
?
?>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，
即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε
故)()(//y F y F a X W
Y X n n →，a
X Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为
+∞<<∞?+=
x x n n
x p n ,)
1π()(．
试证：0P
n X →．
证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π
1)1π(}|{|2
2εεε
εε
ε
n nx dx x n n X P n ==+=
π
π2)arctan(lim π2}|0{|lim =?==
→εεn X P n n n ， 故0P
n X →．
13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为
?????<<=.
,0;0,1
)(其他ββx x p
其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βP
n Y →．
证：对任意的ε > 0，P {| Y n ? β | < ε} = P {β ? ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β ? ε}
= 1 ? P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β ? ε} = 1 ? P {X 1 ≤ β ? ε} P {X 2 ≤ β ? ε} … P {X n ≤ β ? ε}
n
???
???????=β
εβ1， 则11lim }|{|lim =???
?
???????
????
???=
→+∞→n
n n n Y P βε
βεβ， 故βP
n Y →．
14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为
?
?
?<≥=??.,0;
,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y P
n →．
证：对任意的ε > 0，P {| Y n ? a | < ε} = P {a ? ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}
= 1 ? P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 ? P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}
εεεn n
a a x n a a x dx ?∞
++??∞++???=????????=??
?????=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =?=
→+∞
→εεn n n n a Y P ，
故a Y P
n →．
15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U
(0, 1)．令n
n
i i n X Y 11??
?
?????
=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．
证：设∑∏===???
?????==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 1
01
?=?==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 1
21
22=+?==∫x x x x x xdx X E i ，
1)](ln [)(ln )Var(ln 22=?=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1?==∑=n i i n X E n Z E ，n X n
Z n
i i
n 1
)Var(ln 1
)Var(1
2
==∑=，
由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2
2
1)
Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =
≤
≥?，
则01
lim }|)({|lim 02
=≤≥?≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥?+∞→εn n n Z E Z P ，1)(?=→n P n Z E Z ，
因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e ?→=P
Z n n Y ， 故c Y P
n →，其中1e ?=c 为常数．
16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从
(0, 1)
上的均匀分布，试证：)()(11
ξξ??→F F P
n
． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (?∞) = 0，F (+∞) = 1，
则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F ?
>，2
)(h M F 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (? M ? 1), F (M + 1)] 且 | y ? y * | < δ 时，| F ?1( y ) ? F ?1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (?M ), F (M )] 中任一点，记x * = F ?1( y *)，有x * ∈ [?M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥?|*|x x ，就有 δ≥?|*)(|y x F ，
根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (?∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) ? F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ N 时，*)(1y F n ?满足ε N 时，h M F M F P F F P n ?>?∈≥
由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=
→εξξF F P n n ，
故)()(11ξξ??→F F P
n
．
17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = μ，试证：
μP n k k X k n n →?+∑=1
)1(2
．
证：令∑=?+=n
k k n X k n n Y 1
)1(2
，并设Var (X n ) = σ 2， 因μμμ=+?+=+=∑=)1(2
1
)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E n
k n ， 且22
221
222
2
)
1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=
++?+=
+=∑=n n n n n n n n k n n Y n
k n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，2)1(32
41)
Var(1}|{|1σε
εεμ++?
=?
≥
?++?+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =
n X k n n Y →?+=∑=1
)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：
E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．
试证：
2
1
21σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．
证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222
)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，
故}{2n
X 满足辛钦大数定律条件，}{2n
X 服从大数定律，即2
1
21σP n k k X n →∑=．
19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令
∑==n i i X n X 11，∑=?=n i i n X X n S 1
22
)(1．
试证：
22
σP
n
S →．
证：2
122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i n
i i n i i n i i i n i i n
?=???
?????+?=+?=?=∑∑∑∑∑=====，
设E
(X n ) = μ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即μP n
k k X n X →=∑=1
1，
则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22
μP
X →，
因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222
)]([)Var()(μσ+=+=n n n X E X X E 存在，
则}{2n
X 满足辛钦大数定律条件，}{2n
X 服从大数定律，即22
1
21μσ+→∑=P n k k X n ，
故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222
1
22)(1σμμσ=?+→?=∑=P n i i n
X X n S ．
20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记
??
?=.
,0;
,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==n
i i n X S 1，试证明：
0)(P
n n n S E S →?． 证：因n X P i 1}1{==，n
X P i 1
1}0{?==，
且i ≠ j 时，)1(1}1{?=
=n n X X P j i ，)
1(1
1}0{??==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=
，??
?
????=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(?=
n n X X E j i ，)
1(1
1)1(1)()()(),Cov(2
2?=??=?=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1
==∑=n
i i n X E S E ，1)
1(1
)1(11),Cov(2
)Var()Var(211=???+?
=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S n
j i j i n
i i n ， 可得0)]()([1
)(=?=???????n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==??
?????， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，
2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =???
????≤?
?????≥?????????， 则01lim )()(lim 022=≤?
?????≥?????????≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故
0)(P
n n n
S E S →?．
习题4.2
1． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．
1
.02.03.04.03
210P
X
解：特征函数? (t ) = e it ? 0 × 0.4 + e it ? 1 × 0.3 + e it ? 2 × 0.2 + e it ? 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．
2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 ? p ) k ? 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求
E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数it
it
k k it
it
k k itk p p p p p p t e
)1(1e )]
1([e
e
)
1(e )(1
1
1
1
??=?=??=∑∑+∞
=?+∞
=??； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t ??=???????????=′?，有)()0(2X iE p
i
p ip ===′?，
故p
X E 1
)(=
； 因3
3
2
]e )1(1[]
e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]
e )1(1[e )(it it it it
it it
it it
p p p i p p ip p i ip t ???+?=
???????????=′′???， 有)(2)2()0(2223X E i p
p p p p =??=??=
′′?，可得2
2
2)(p p X E ?=， 故22
2112)Var(p p
p p p X ?=???
???????=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
r
k r p p r k k X P ?????
???????==)1(11}{，k = r , r + 1, …
试求X 的特征函数．
解：特征函数∑∑+∞=??+∞
=??+???=????
????????=r k r k it r k itr r r k r k r itk
p r k k r p p p r k t )
(e
)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ? ∑∑+∞=?=???+∞
=?=??=+???=r k p x r k r r it r
k p x r k r it it
it
dx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()
()!1()e ()1()1()!1()e (L it
it it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!
1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (?=?=???=+∞=???????=?????????=??????????=∑r
it it
r it r it p p p p ??
??????=??=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．
（1）)0(,e 2)(|
|1>=
∫∞??a dt a x F x t a ； （2）)0(,1
π)(222>+=∫∞?a dt a
t a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2
)()(x a a
x F x p ?=′=，
故???
????
??+
+=????
??+=?=+∞
?∞
?+∞+?∞?+∞+∞??∫∫∫0
)(0
)(0)(0)(||1e e 2e e 2e
e 2)(a
it a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ? 2
2
2112a
t a a it a it a +=???
?????+=； 因2
22222221)
(22)()(a t t
a t a t a t +?=?+?=′?，有)(0)0(1
X iE ==′?， 故E (X ) = 0；
因3
22
4
2242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +?=+?+??+??=′′?， 有)
(22)0(222641X E i a a a =?=?=′′?，可得22
2)(a X E =， 故2222
02)Var(a
a X =?=；
（2）因密度函数2
2221
π)()(a
x a x F x p +?=′=， 则∫+∞∞?+?=dx a x a t itx 2
2
21
e π)(?， 由第（1）小题的结论知
∫∞+∞
?=+=dx x p a t a t itx )(e )(1222
1?，
根据逆转公式，可得
∫∫∞+∞??∞+∞???+?===dt a
t a dt t a x p itx itx x a 222
1||1e π21)(e π21e 2)(?， 可得
||||22
2e πe 2
π21e y a y a ity
a a a dt a t ???+∞∞?=?=+?∫， 故|
|||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx a
x a t ??+∞∞?=?=+?=∫?； 因?
??>?<=′?,0,e ,
0,e )(2
t a t a t at
at ? 有a a ?=+′≠=?′)00()00(22??，即)0(2?′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．
5． 设X ~ N (μ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (μ, σ 2)，有X 的特征函数是2
2
2e
)(t t i t σμ??
=，
则)(e
)(22
2
2t i t t t i σμ?σμ??=′?
，)(e
)(e )(22
222
2
22
2σσμ?σμσμ??+??=′′?
?
t t i t t i t i t ，
因)()(3e
)(e
)(222
322
2
22
2σσμσμ?σμσμ????+??=′′′?
?
t i t i t t t i t t i ，
有?″′(0) = e 0 ? (i μ )3 + e 0 ? 3i μ ? (?σ 2) = ? i μ 3 ? 3i μσ 2 = i 3E (X 3) = ? i E (X 3)， 故E (X 3) = μ 3 + 3μσ 2； 又因222
2222
422
)4()(3e
)()(6e
)(e
)(2
22
22
2σσσμσμ?σμσμσμ??+????+??=?
?
?
t t i t t i t t i t i t i t ，
有? (4)(0) = e 0 ? (i μ )4 + e 0 ? 6(i μ)2 ? (?σ 2) + e 0 ? 3σ 4 = μ 4 + 6μ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = μ 4 + 6μ 2σ 2 + 3σ 4．
6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ b (n + m , p )．
证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为? X (t ) = ( p e it + 1 ? p ) n ，? Y (t ) = ( p e it + 1 ? p ) m ， 则X + Y 的特征函数为? X + Y (t ) = ? X (t ) ?? Y (t ) = ( p e it + 1 ? p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．
7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ P (λ1 + λ2)．
证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为)
1(e
1e )(?=it
t X λ?，)
1(e
2e )(?=it
t Y λ?，
则X + Y 的特征函数为)
1)(e
(21e )()()(?++==it
t t t Y X Y X λλ???，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．
8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．
证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为1
1)(αλ???
?
?
????=it t X ，2
1)(αλ???
?
?
????=it t Y ，
则X + Y 的特征函数为)
(211)()()(ααλ???+?+?
?
?
????==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．
9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ χ 2 (n + m )．
证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为2
)
21()(n X it t ??=?，2
)
21()(m Y it t ?
?=?，
则X + Y 的特征函数为2
)
21()()()(m n Y X Y X it t t t +?+?==???，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．
10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp
(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y n
i i n ∑==．
证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，
有X i 的特征函数为1
1)(???
?
????=?=λλλ
?it it t i X ，
则∑==n
i i n X Y 1的特征函数为n
n
i X Y it t t i n ?=???
????==∏λ??1)()(1
，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．
11．设连续随机变量X 的密度函数如下：
+∞<<∞??+?=x x x p ,)
(π1)(2
2μλλ， 其中参数λ > 0, ?∞ < μ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, μ )．
（1）试证X 的特征函数为exp{i μ t ? λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当μ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证? X + Y (t ) = ? X (t ) ?? Y (t )，但是X 与Y 不独立；
（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：
)(1
21n X X X n
+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为2
2π1)(*x
x p +?=λλ
，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为? * (t ) = e ?λ | t |，且X = X * + μ 的密度函数为)(π1
)(μλλ?+?=x x p ， 故X 的特征函数为? X (t ) = e i μ t ? * (t ) = e i μ t ? e ?λ | t | = e i μ t ?λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, μ1)，X 2 ~ Ch (λ2, μ2)，且相互独立，
有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λμ??=，||222e )(t t i X t λμ??=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλμμ???+?++==，
这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, μ1 + μ2)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, μ1 + μ2)； （2）当μ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为? X (t ) = e ?| t |，
又因Y = X ，有Y 的特征函数为? Y (t ) = e ?| t |，且X + Y = 2X ，
故X + Y 的特征函数为? X + Y (t ) = ? 2X (t ) = ? X (2t ) = e ?| 2t | = e ?| t | ? e ?| t | =? X (t ) ?? Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；
（3）因X i ~ Ch (λ, μ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，
有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λμ??=， 则)(1
21n n X X X n
Y +++=
L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n t
i n n
i X n
i X n
Y i i
n ????λμλμ===??????==????
?
????
???==∏∏，
故根据特征函数的唯一性定理知
)(1
21n X X X n
+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶
函数．
证：方法一：根据随机变量X 与?X 的关系
充分性：设X 的特征函数? X (t )是实的偶函数，有? X (t ) = ? X (?t )，
则?X 的特征函数? ?X (t ) = ? X (?t ) = ? X (t )，根据特征函数的唯一性定理知?X 与X 同分布，
因X 的密度函数为p (x )，有?X 的密度函数为p (?x )，
故由?X 与X 同分布可知p (?x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (?x ) = p (x )， 因?X 的密度函数为p (?x )，即?X 与X 同分布，
则?X 的特征函数? ?X (t ) = ? X (?t ) = ? X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ??=====???， 故X 的特征函数? X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系
充分性：设连续随机变量X 的特征函数? X (t )是实的偶函数，有? X (t ) = ? X (?t )，
因∫+∞∞
??=dt t x p itx )(e π21)(?，有∫∫+∞∞?+∞∞???==?dt t dt t x p itx
x it )(e π21)(e π21)()(??， 令t = ?u ，有dt = ?du ，且当t → ?∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → ?∞，
则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iux
iux x u i ==?=??=?∫∫∫+∞∞
??+∞∞???∞∞+????， 故p (x ) 关于原点对称；
必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (?x ) = p (x )，
因∫+∞
∞
??==dx x p E t itx
itX
)(e )(e
)(?，有∫∫+∞
∞
??+∞
∞
??==?dx x p dx x p t itx x
t i )(e )(e
)()(?，
令x = ?y ，有dx = ?dy ，且当x → ?∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → ?∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ??==?=??=?∫∫∫+∞
∞
?+∞
∞
??∞
∞
+??，
且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ??====?=??， 故X 的特征函数? X (t )是实的偶函数．
13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N
(μ , σ 2
)分布，试求∑==n
i i X n X 1
1的分布．
证：因X i ~ N (μ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为2
2
2e
)(t t i X t i σμ??
=，
则∑==n i i X n X 11的特征函数为n
t t i n t n t i n n
i X n i X n X n t t t i i 2211112
222e
e
)()(σμσμ????
??
??
???
?????????====???
???==∏∏，
这是正态分布???
?
????n N 2,σμ的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知???
?????=∑=n N X n X n
i i 21,~1σμ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞
n n np lim ，则
L ,2,1,0,e !
),,(lim ==
?∞
→k k p n k b k
n n λλ．
证：二项分布b (n , p n )的特征函数为? n (t ) = ( p n e it + 1 ? p n ) n = [1 + p n (e it ? 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，
因)
1(e
)
1(e )
1(e 1
e )]
1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim ????→→∞
→∞
=?+=?+=it
it n n n np p it
n p n it n n n n p p t λ?，
这正是泊松分布P (λ)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知L ,2,1,0,e !
),,(lim ==
?∞
→k k p n k b k
n n λλ．
15．设随机变量X ~ Ga (α, λ)，证明：当α → ∞时，随机变量ααλ)(?X 按分布收敛于标准正态变量．
证：因X ~ Ga (α, λ)，有X 的特征函数为α
λ???
?
?
????=it t X 1)(，令αα
λ
ααλ?=?=
X X Y ， 则Y 的特征函数为α
αα
ααλ??????
??
??????=????????=it t t it X it
Y 1e
e )(，
可得???
????????????+?=???????????=αα
αααα?it it it it t Y 1ln 1ln )(ln ，
令α
1
=
u ，当α → ∞时，有u → 0，且21
u =
α，)]1ln([1)(ln 2
itu itu u t Y ?+?=?， 则2)1(2lim )1(2)(lim 21lim )
1ln(lim
)(ln lim 2202
0020t itu t itu u u it u
itu it
it u
itu itu t u u u u Y ?=??=???=??+
?=?+?=→→→→∞
→?α，
可得2
2
e
)(lim t Y t ?
∞
→=?α，这正是标准正态分布N (0, 1)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知α
α
λ?=
X Y 按分布收敛于标准正态变量．
习题4.3
1． 设{X k }为独立随机变量序列，且
L ,2,1,2
1
}ln {==±=k k X P k
证明{X k }服从大数定律． 证：因{X k }为独立随机变量序列，
且02
1
ln 21)ln ()(=?+??=k k X E k ，
k k k X E X E X E X k k k k ln 2
1
)ln (21)ln ()()]([)()Var(22222=?+??==?=，k = 1, 2, …，
则n n
n n n k n X n X n n
k n
k k
n k k ln ln 1ln 1
)Var(1Var 1
11
1=×≤==???
?????∑∑∑===，有0Var 1lim 1=???
?????∑=+∞→n k k n X n ， 故{X k }满足马尔可夫大数定律条件，{X k }服从大数定律．
2． 设{X k }为独立随机变量序列，且
L ,2,1,21
1}0{,2
1
}2{=?===±=k X P X P k k k 证明{X k }服从大数定律． 证：因{X k }为独立随机变量序列，
且021*******)2()(1221
2=?+??
????
??+?
?=++k k k k k k X E ，
121)2(2
11021)2()()Var(122
221
222=?+??
????
??+?
?==++k k k
k k k k X E X ，k = 1, 2, …，
即方差有共同的上界，
故{X k }满足切比雪夫大数定律条件，{X k }服从大数定律． 3． 设{X n }为独立随机变量序列，且P {X 1 = 0} = 1，
L ,3,2,2
1}0{,1}{=?===
±=n n
X P n n X P n n 证明{X n }服从大数定律．
证：因{X k }为独立随机变量序列，E (X 1) = 0，Var (X 1) = 0，
且012101)()(=?+??
?
?????+?
?=k k k k k X E k ， 21)(2101)()()Var(2222=?+??
?
?????+?
?==k k k k k X E X k k ，k = 2, 3, …， 即方差有共同的上界，
故{X k }满足切比雪夫大数定律条件，{X k }服从大数定律． 4． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p ．令
?
?
?+=.,0;
1,1其他出现次试验中次及第若在第A n n X n 证明{X n }服从大数定律．
证：因X k 的分布为
22110p
p P X k ? 则E (X k ) = p 2，Var (X k ) = p 2 (1 ? p 2)，
又因当 | i ? k | ≥ 2时，X i 与X k 相互独立，且Cov (X k , X k +1) = E (X k X k +1) ? E (X k )E (X k +1) = p 3 ? p 4，
则)])(1(2)1([1),Cov(2)Var(1Var 14
3221
1111p p n p np n
X X X n X n n k k k n k k n k k ??+?=??????+=????????∑∑∑?=+==， 即0Var 1
lim 12=???
?????∑=+∞→n k k n X n ， 故{X n }满足马尔可夫大数定律条件，{X n }服从大数定律．
5． 设{X n }为独立的随机变量序列，且
P {X n = 1} = p n ，P {X n = 0} = 1 ? p n ，n = 1, 2, …，
证明{X n }服从大数定律．
证：因{X k }为独立随机变量序列，且E (X k ) = p k ，Var (X k ) = p k (1 ? p k ) ≤ 1，即方差有共同的上界，
故{X n }满足切比雪夫大数定律条件，{X n }服从大数定律． 6． 设{X n }为独立同分布的随机变量序列，其共同分布函数为
+∞<<∞?+=
x a
x
x F ,arctan π121)(． 试问：辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？ 解：因{X n }为独立同分布的随机变量序列，
且密度函数+∞<<∞?+?=?
??
????+?=
′=x x a a a a x x F x p ,1π111π
1)()(， 则+∞=+=+?=+??=+∞+∞+∞∞?+∞∞?∫∫∫02
20222
2)ln(ππ21π||)(||x a a dx x a x a dx x a a x dx x p x ， 即X n 的数学期望不存在，
故辛钦大数定律对此随机变量序列不适用．
7． 设{X n }为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为
L ,2,1,2
1
}2{2===k k X P k k n
试问{X n }是否服从大数定律？
解：因{X n }为独立同分布的随机变量序列，且∑∑+∞
=+∞
==?=12121
212)(k k k k n k
k X E 收敛，
故{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律．
8． 设{X n }为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为
L ,3,2,lg }{22===k k
k c
k X P n ，
其中
1
222lg 1?∞+=???
?????=∑k k k c ，
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计期末总结
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
概率论与数理统计课后习题答案
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
概率论与数理统计模拟试题
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
概率论与数理统计课后习题答案
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8
{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
《概率论与数理统计》第三版-课后习题答案
习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??；
概率论与数理统计练习题及答案
概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2=? ≤?，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 4．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。 (A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿ (A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿ A ． B A ? B ． A B ? Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P 7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的 是＿＿＿＿＿ A ． 0()1F x ≤≤ B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x == Ｄ．{}()P X x f x == 8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是＿＿＿＿ Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4 22 1 1 ()i i K X X σ==-∑ Ｄ．4 2 1 1()3i i S X X ==-∑ 9．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ． ()()P A B P A += B ．()()P AB P A =
