专题七 数学思想方法
第18讲 分类讨论思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．
分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．
讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．
引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．
简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．
注：能回避分类讨论的尽可能回避．
1. 一条直线过点(5，2)且在x 轴、y 轴上截距相等，则该直线方程为________________． 答案：2x －5y ＝0或x ＋y －7＝0
解析：分直线过原点和不过原点两种情况．
2. 已知函数 f (x)＝?????x ，x ≥0，x 2，x<0，
则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是____________．
答案：(－∞，－3)∪(1，3)
解析：题意即为?????3－2x≥0，x 2>3－2x ，或?
????3－2x<0，x 2>（3－2x ）2， 解得x<－3或1 3. 函数f(x)＝ax 2－a （a ＋1）x ＋12 （a ＋1）的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是________． 答案：0≤a≤1 解析： 由题知ax 2－a(a ＋1)x ＋12 (a ＋1)≥0对x∈R 恒成立，分a ＝0和a ＞0两种情况讨论． 4. 数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n ＋r(n∈N *)，则其通项a n ＝____________． 答案：a n ＝? ????3＋r ，n ＝1，4n －1，n ≥2且n∈N * 解析：在使用公式a n ＝S n －S n －1时要注意条件n≥2，n ∈N *. 题型一 三角题中对角范围的讨论 例1 在△ABC 中，已知sinB ＝154 ，a ＝6，b ＝8，求边c 的长． 解：sinB ＝ 154，a ＜b ，若B 为锐角，则cosB ＝14 ，由余弦定理得b 2＝c 2＋36－2363c3cosB ＝64，即c 2－3c －28＝0，∴ c ＝7；若B 为钝角，则cosB ＝－14 ，由余弦定理得b 2＝c 2＋36－2363c3cosB ＝64，即c 2＋3c －28＝0，∴ c ＝4，故边c 的长为7或4. (注： 在三角形中，内角的取值范围是(0，π)，b ＞a ，cosB ＝±14 ，则B 可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论) 已知△ABC 的内角A 的大小为120°，面积为 3. (1) 若AB ＝22，求△ABC 的另外两条边长； (2) 设O 为△ABC 的外心，当BC ＝21时，求AO →2BC →的值． 解：(1) 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 于是3＝12bcsinA ＝34bc ，所以bc ＝4. 因为c ＝AB ＝22，所以b ＝CA ＝ 2. 由余弦定理得BC ＝a ＝b 2＋c 2－2bccosA ＝b 2＋c 2＋4＝2＋8＋4＝14. (2) 由BC ＝21得b 2＋c 2＋4＝21，即b 2＋16b 2－17＝0，解得b ＝1或4. 设BC 的中点为D ，则AO →＝AD →＋DO →， 因为O 为△ABC 的外心，所以DO →2BC →＝0， 于是AO →2BC →＝(AD →＋OD →)2BC →＝AD →2BC →＝12(AB →＋AC →)2(AC →－AB →)＝12(AC →－AB →)＝b 2－c 22 . 所以当b ＝1时，c ＝4，AO 2BC ＝b 2－c 22＝－152 ； 当b ＝4时，c ＝1，AO 2BC ＝b 2－c 22＝152 . 题型二 求函数最值时对所含参数的讨论 例2 函数f(x)＝x 2－2ax ＋1在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，求： (1) g(a)的解析式； (2) g(a)的最大值． 解：(1) f(x)＝x 2－2ax ＋1＝(x －a)2＋1－a 2.当a≤－1时，函数f(x)在[－1，1]上单调 增，g(a)＝f(x)min ＝f(－1)＝2＋2a ；当a≥1时，函数f(x)在[－1，1]上单调减，g(a)＝f(x)min ＝f(1)＝2－2a ；当－1＜a ＜1时，二次函数f(x)的对称轴方程为x ＝a ，g(a)＝f(x)min ＝f(a) ＝1－a 2 .综上，g(a)＝?????2－2a ，a ≥1，1－a 2，－1＜a ＜1，2＋2a ，a ≤－1. (2) 当a≥1时，g(a)＝2－2a 单调减，g(a)max ＝g(1)＝0；当－1＜a ＜1时g(a)＝1－a 2 ，g(a)max ＝g(0)＝1；当a≤－1时，g(a)＝2＋2a 单调增，g(a)max ＝g(－1)＝0. 综上，g(a)的最大值为1. 解关于x 的不等式a （x －1）x －2 ＞1(a∈R 且a≠1)． 解：原不等式可化为（a －1）x ＋（2－a ）x －2 ＞0， 当a ＞1时，原不等式与? ????x －a －2a －1(x －2)＞0同解．
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