几何重要定理的应用及推广
摘要：本文主要介绍中学数学中应用非常广泛的若干重要定理，对这些定理的证明和应用给出详细的证明。首先介绍最简单的勾股定理、余弦定理，由这两个定理证明出stewart定理与ptolemy定理[1]，并且给出了这四个定理的等价证明。
其次本文对menelaus定理和ceva定理给出详细的证明和应用，讨论在三角形的过某个顶点的直线与对边平行的，从而Mnelaus定理和ceva定理失效的条件下，将这两个定理分别推广到第一和第二角元形式。最后，采用质点几何学的方法证明了欧拉线定理, 并将其推广到高维以及位似形的情况
关键词：余弦定理 stewart定理 ptolemy定理 menelaus定理 ceva定理
Abstract: The paper mainly introduces some important theorems that widely used in the study of middle school mathematics and gives the proofs and applications of these theorems in detail. First of all, the thesis presents the simplest theorems------Pythagorean Theorem and the law of cosines. And based on these two theorems, the thesis proves the existence of Stewart theorem and Ptolemy theorem, and gives the equivalent proof of the four theorems. Secondly, the thesis introduces the particular proofs and applications of Menelaus theorem and Ceva theorem. It discusses the phenomenon that the straight line that crosses the vertex of a triangle always parallels to the side of the triangle that opposite to the vertex. (And accordingly, the thesis extends Menelaus theorem and Ceva theorem to the first and second Angle yuan form when the two theorems fail in some situations.) At last, by using the Particle geometry, the thesis proves the Euler farrowed theorem and extends it to the hyperdimentional case and bits like shape case. Key words: cosine theorem, Stewart theorem, Ptolemy theoem, Menelaus theorem, Ceva theorem
1. 勾股定理、余弦定理、Stewart定理和Ptolemy定理
在中学数学中，我们最新接触的是勾股定理[2]，在小学奥数中可能就已经出现，因而也是我们最熟悉的定理之一，余弦定理[1]是我们高中阶段在学习几何过程中出现的，它对解决求三角形边长的问题有非常广的应用。而Stewart定理和Ptolemy定理[1]相较前两个定理稍显难度，在几何教改前的一段时间内是属于初等几何的内容，但是随着中学几何的
改革把这两个定理剔除了，但是在中学奥数中我们经常能见到它们的影子，对于解决几何图形的长度如果运用这两个定理的话会达到事半功倍的效果。 1.1勾股定理、余弦定理、Stewart 定理和Ptolemy 定理的等价证明
在中学几何学中，某些定理之间存在着一定的联系，清楚这些联系，对于更好地学习和掌握几何学知识具有非常重要的意义，在接下来的篇幅中，我们主要介绍勾股定理、余弦定理、Stewart 定理和Ptolemy 定理这四个著名定理的等价证明[3]。
一、勾股定理→余弦定理
余弦定理：三角形中锐(钝)角对边的平方，等于其他两边的平方和减去(加上)这两边中的一边与另一边在它上面的射影之积的两倍。
图1.1
证明：在ABC ?中过点A 作BC 边上的垂线AD ，D 为垂足，则由勾股定理可得：
222222;AC AD DC AB BD AD =+=+
消去AD ，并用BC BD -代替DC ，经整理得到：
2222AC AB BC BC BD =+-? 得证
二、余弦定理→Stewart 定理
Stewart 定理：已知ABC ?及其底边上B 、C 两点间一点D ，求证：
222AB DC AC BD AD BC BC BD DC ?+?-?=??
图1.2
作ABC ?中BC 边上的高线AH ，不妨设H 点在D 、C 点之间，在ACD ?和ABD ?中，由余弦定理知：
2222AC AD DC DC DH =+-?
2222AB AD BD BD DH =++?
用BD 和DC 分别乘以两式并相加得：
22222()AC BD AB DC AD BD DC DC BD BD DC ?+?=?++?+?
222AC BD AB DC AD BC CD BD ?+?=???
既：
222AB CD AC BD AD BC BC BD DC ?+?-?=??
三、Stewart 定理→Ptolemy 定理[4]
Ptolemy 定理：圆内接四边形中，两对角线之积等于两双对边乘积之和。
图1.3
证明：设圆内接四边形ABCD 的对角线交点为E ，在ABC ?中，由Stewart 定理知：
222AB CE BC AE BE AC AE EC AC ?+?-?=??
再由于CED ?～ABE ?，BEC ?～AED ? 则有：
,,CE CD AE AD AE ED
BE AB BE BC BE EC
=== 经整理得：
AB CD BC AD BD AC ?+?=? 得证
四、Ptolemy 定理→勾股定理
勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
图1.4
证明：在三角形ABC 中，90B ∠= ，作ABC ?外接圆圆，O 点必为AC 边上的重点，连接BO 且延长BO 交圆O 于D 点，再连接AD 及CD ，则四边形ABCD 为圆内接矩形，由Ptomely 定理知：
AC BD AB CD BC AD ?=?+?
即：
222AC AB BC =+
1.2 Stewart 定理和Ptolemy 定理的应用
Stewart 定理的应用[5]
例：如图所示，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 平分BD 于E ，求证：
222222AB BC CD DA AC +++=
图1.2.1
证明：由Stewart 定理知：
在ABD ?中，222DE BE
AB DA AE BE DE BD BD ?+?=+? (a) 在DBC ?中，222=ED BE
BC CD EC DE EB BD BD
?+?+? (b) 又1
==2
DE BE BD ，代入(a)(b)两式相加后得：
2222221
22
AB BC CD DA AE EC DE EB ++++?（+）= 由相交弦定理知：DE BE AE EC ?=?，代入上面的等式得：
22222222
1
22
()AB BC CD DA AE EC AE EC
AE EC AC ++++?=+=（+）= 即：
222222AB BC CD DA AC ++=（+） Ptolemy 定理的应用[6]
例：已知圆O 是正三角形ABC 的外接圆，
P 为圆O 上任意一点，2AB BC CA a ===，求证：
22228PA PB PC a ++=
图1.2.2
证明：由Ptolemy 定理知：PA BC PC AB PB CA ?+?=?,而2AB BC CA a ===
PB PA PC ∴=+,于是2222PB PA PC PA PC =++?
故：
222222()PA PB PC PA PB PA PC ++=++?.
而由余弦定理知：
2222cos AC PA PC PA PC APC =+-??∠
222cos 120PA PC PA PC =+-??∠? 22PA PC PA PC =++? 又知222(2)4AC a a ==，22228PA PB PC a ∴++= 得证
2．Menelauss 定理和Ceva 定理
在几何教学，特别是在中学数学中，以上四个定理的应用是非常常见也是应用非常广泛的，由于上面定理比较简单，故不再加以推广。下面，我们再来介绍难度稍微大点的Menelauss 定理和Ceva 定理[7]。 2.1 Menelauss 定理和Ceva 定理的证明
(Menelau 定理) 假如123A ,A ,A 分别在三角形ABC 的,,BC CA AB 所在的直线上，则
123A ,A ,A 共线的充要条件是
111111A 1A B B C C A
C B A C B
??=
图2.1.1
证明：首先过点,,A B C 做垂线''',.AA BB CC ，得到下列等式:
'''111'
'
'
111A ,
,
A B
B C
C AA B B C C A C
B A
C B
CC
AA
BB
=
=
=
将他们相乘之后我们得到：
''
1111''
1111A A 1A A CC AA B
B C C A B C B A C B C AA BB
??=??= 现在，假设BC 和11B C 交于点''A ，那么
''11''111A B
B C C A
B A
C B A C ??= 因此：
''1''
1A A A B B C
A C
=
所以我们得到点''1A ,A 重合且都在直线BC 上，因此1A ，1B 和1C 共线。
(Ceva 定理) 三角形ABC 的顶点与一点M 所连的直线依次交对边于点1A ，1B ，1C ，那么：
111111A 1A B B C C A
C B A C B
??=
图2.1.2
证明:
首先，假设M 点在三角形的内部。考虑三角形1
AAC ,应用Menelaus 定理可以得到：
1111
1B C
MA
BA B A MA BC
?
?
= (a)
现在，再来考虑三角形1AA B ，则1,,C C M 满足:
1111
A 1A C A
CB
M C B C MA
?
?
= (b)
将(a)，(b)两式相乘就得到所要的结果
假设11AA ,BB 相交于P 点，CP 的连线交AB 于''C ,则：
''
11
''1
11AC BA CB AC B A C B
??=
通过假设有：
11
1
1
111BA CB AC AC B A C B
?
?
=
因此，''1''
1AC AC C B
C B
=
因此，得出1C 和''C 两点在直线AB 上是重合的。 2.2 Menelaus 定理与Ceva 定理的应用 例
[8]
：在OAB ?的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使=13OM OA --→
--→
：
：，=14ON OB --→
--→
：：，设线段AN 与BM 交于点P ，记,OA a OB b --→
→--→
→
==，用 a →
，b →
表示向量OP --→
。
图2.2.1
先给出高中常规解法（待定系数法）如下： 解法一：∵B 、P 、M 共线∴ 记s BP PM --→
--→
=
∴ 1111113(1)13(1)
s s s OP OB OM OB OA b a s s s s s s --→
--→--→--→--→→→
=+=+=+++++++--------① 同理，记AP t PN --→--→
= ，得：
114(1)
t OP a b t t --→
→→
=+++--------②
∵ a →,b →
不共线∴ 由①、②得：
113(1)114(1)
s t s t s t ?=?++?
?
?=?++? 解之得：
928
3
s t ?=???
?=??∴321111OP
a b --→→→=+ 上述解法的基本思想是：先设法求出点P 分AN 、BM 的比，理论依据：一个是教材例题
的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于,s t 的方程。
由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两个定理来解决。
图2.2.2
解法二[9]：
OAN ?被直线MPB 所截，由梅涅劳斯定理，得：
1OM AP NB MA PN BO ??= 即13
124
AP PN ??= ， ∴
8
3AP PN = ∴ 38381321111111141111OP OA ON OA OB OA OB =+=+?=+
或者，OBM ?被直线NPA 所截，得：
129
1,1,,332
ON BP MA BP BP NB PM AO PM PM ?=??=∴=即：
∴29291321111111131111
OP OB OM OB OA OA OB =+=+?=+
可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。
例[7]：(1999年全国高中联赛)如下图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于点G ，求证：GAC EAC ∠=∠。
图2.2.3 图2.2.4
证明：连接BD 交AC 于点H ，对BCD ?及点F 应用ceva 定理，有：
1CG BH DE
GB HD EC
??= AH 平分BAD ∠，由角平分线的性质，可得：
BH AB
HD AD
=， 故：
1CG AB DE
GB AD EC
??= 过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线L ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J ，则：
,CG CL DE AD
GB AB EC CJ
== 所以
1CL AD
AB CJ ?=，从而CJ CL =。 又//,//CL AB CJ AD ，所以有：
180180ACL BAC DAC ACJ ∠=?-∠=?-∠=∠
因此：
ACL ACJ ???，即有LAC JAC ∠=∠，故GAC EAC ∠=∠ 得证
2.3 Menelaus 定理与Ceva 定理的推广
Menelaus 定理和Ceva 定理作为平面几何中证明点共线和三线共点的工具, 虽然非常得力, 但在处理过程中往往需要较高或较多的技巧.，有时我们用Menelaus 定理证明三点共线时, 可能需用Menelaus 定理的必要性三次、五次甚至更多次，利用Ceva 定理证明三线共点时也是一样。相反, 与之相关的一些角的正弦之间的关系则非常容易确定，另外, Ceva 定理还有一个致命的弱点, 一个难以逾越的障碍, 这就是必须要求过三角形的三个顶点的三条直线都与其对边相交.，如果过三角形的某个顶点的直线与对边平行, 则Ceva 定理即告失效, 似乎鞭长莫及, 必需另辟蹊径。
这里我们将介绍Meneluas 定理与Ceva 定理的角元形式, 它们将使得有时用Menelaus 定理证明三点共线或用Ceva 定理证明三线共点的坎坷之途变成一条便捷的通道, 同时挽救使Ceva 定理失效的情形, 使之过三角形的某个顶点的直线与对边相交或平行的不同情形统一起来。
为给出Meneluas 定理与Ceva 定理的两种角元形式, 我们先证明两个引理.。 引理1(分角线定理) 设P 为ABC ?的边BC 所在直线上的任意一点, 则
sin sin BP AB BAP
CA PAC
PC ∠=?
∠ (a) 证明 如下图所示, 注意(a)式两边或同为正值或同为负值, 因此,我们只需对无向线段与无向角的情形证明(a)式即可.
由正弦定理, 有
sin sin BP BAP AB APB ∠=∠, sin sin CA CPA
PC PAC
∠=∠ 两式相乘, 并注意sin sin APB CPA ∠=∠即知(1?1)式成立
.
B
B
P
P
C
图2.3.1
引理2 设0180,.(,)θαβππ<
sin()sin sin()sin θαβθβα-=-
当且仅当αβ=, 或αβπ+=
证明: 由三角函数的差角公式, 并注意sin 0θ≠, .(,)αβππ∈-, 有
sin()sin sin()sin θαβθβα-=-?
(sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )sin θαθαβθβθβα-=-?
sin cos sin sin cos sin θαβθβα=?
sin sin()0θαβ-=?sin()0αβ-=??αβ=, 或αβπ+=
定理1 设D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 、AB (所在直线)上的三点, 则D 、E 、F 三点共线的充分必要条件是
sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACF
DAC EBA FCB
∠∠∠??=-∠∠∠ (b)
证明 如图1?4, 1?5所示, 由引理1, 我们有
sin sin BD AB BAD CA DAC
DC ∠=?∠, sin sin CE BC CBE
AB EBA EA ∠=?∠, sin sin AF CA ACF BC FCB FB ∠=?∠ 三式相乘, 得
sin sin sin sin sin sin BD CE AF BAD CBE ACF
DAC EBA FCB
DC EA FB ∠∠∠??=??∠∠∠ 于是, 由Menelaus 定理即知, D 、E 、F 三点共线?
1BD CE AF
DC EA FB
??=-?
sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACF DAC EBA FCB ∠∠∠??=-∠∠∠
A B
C
D
F
E
A
F E
B
C
D
图2.3.2 图2.3.3
我们将定理1称为Menelaus 定理的第一角元形式. 显然, 它与Menelaus 定理是等价的.
定理2设D 、E 、F 分别是ABC ?所在平面上的三点, 则..AD BE CF 三线共点或互相平行的充分必要条件是
sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACF
DAC EBA FCB
∠∠∠??=∠∠∠ (c)
证明 设直线AD 与BE 交于一点P , 如图2.3.4,2.3.5所示, 则由正弦定理, 有
sin sin sin sin sin sin BAP CBP ACP
PAC PBA PCB
∠∠∠??∠∠∠
sin sin sin 1sin sin sin BAP CBP ACP PB PC PA PBA PCB PAC PA PB PC
∠∠∠=??=??=∠∠∠ 但
sin sin sin sin BAP BAD PBA EBA ∠∠=∠∠, sin sin sin sin CBP CBE
PCB FCB
∠∠=∠∠
所以
sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACP
DAC EBA PCB
∠∠∠??=∠∠∠ (d)
当AD ∥BE 时, 如图2.3.6,2.3.7所示, 过点C 作CP ∥AD , 则
,,BAD EBA DAC ACP CBE PCB ∠=∠∠=∠∠=∠
此时(d)式显然成立.
于是, 直线..AD BE CF 三线共点或互相平行?,,P C F 三点共线?ACP ∠与ACF ∠相等或互补. 而PCB ACB ACP ∠=∠-∠, FCB ACB ACF ∠=∠-∠.从而由引2及(d)式 即得,
ACP ∠与ACF ∠相等或互补?sin sin sin sin ACP ACF
PCB FCB
∠∠=∠∠?(c)成立. 故直线,,AD BE CF 三
线共点或互相平行?(c)成立.
B C
B
P
图2.3.4 图2.3.5
E
E
图2.3.6 图2.3.7
我们将定理2称为Ceva定理的第一角元形式. 当直线,,
AD BE CF分别与ABC
?的边,,
BC CA AB所在直线相交时, 可设,,
D E F分别在直线,,
BC CA AB上. 此时由引理1容易证明Ceva定理的第一角元形式与Ceva定理也是等价的.
在Ceva定理的第一角元形式中, 我们没有涉及到直线,,
AD BE CF中是否有与ABC
?
的边平行的情形, 因而在使用时不必担心这种情形是否会出现.
定理3设,,
D E F分别是ABC
?的三边,,
BC CA AB (所在直线)上的三点, O是不在ABC
?的三边所在直线上的一点, 则,,
D E F三点共线的充分必要条件是：
sin sin sin
1
sin sin sin
BOD COE AOF
DOC EOA FOB
∠∠∠
??=-
∠∠∠
(e)
A
B D
O
F
E
O
A
F
E
C D
B
图2.3.8 图2.3.9
证明如图2.3.8,2.3.9所示, 由引理1,我们有
sin
sin
BD OB BOD
OC DOC
DC
∠
=?
∠
,
sin
sin
CE OC COE
OA EOA
EA
∠
=?
∠
,
sin
sin
AF OA AOF
OB FOB
FB
∠
=?
∠
所以
sin sin sin sin sin sin BD CE AF BOD COE AOF
DOC EOA FOB
DC EA FB ∠∠∠??=??
∠∠∠ 于是, 由Menelaus 定理即知, ,,D E F 共线?1BD CE AF
DC EA FB
??=-?(e)式成立.
我们将定理3称为Menelaus 定理的第二角元形式, 它显然与Menelaus 定理也是等价的.
同样, 由引理1可得与Ceva 定理等价的Ceva 定理的第二角元形式:
定理 4 设,,D E F 分别是ABC ?的三边,,BC CA AB 所在直线)上的三点, O 是不在ABC ? 的三边所在直线上的一点, 则,,AD BE CF 三线共点或平行的充分必要条件是
sin sin sin 1sin sin sin BOD COE AOF
DOC EOA FOB
∠∠∠??=∠∠∠ (f)
在Menelaus 定理与Ceva 定理的基础上, 再加上Menelaus 定理与Ceva 定理的角元形式, 我们处理三点共线与三线共点问题就会方便多了。 因为在这些三点共线与三线共点问题中, 有的计算线段比较方便(这当然适于用Menelaus 定理与Ceva 定理), 有的计算角度比较容易, 这时, Menelaus 定理与Ceva 定理的角元形式就派上用场了。
3.欧拉线定理
初等几何学中有一条著名的定理----欧拉线定理[9],但只是平面的情况,并且只是对重心,外心和垂心而言,莫绍揆教授的《质点几何学》一书以点矢空间为基础,对仿射几何与欧氏几何(度量几何)进行讨论,其方法对于初等几何学中多点共线和多线共点等问题的证明尤为有效,我们采用质点几何学的方法,证明了欧拉线定理,并且将欧拉线定理推广到更一般的情况----更高维的情况,情况及涉及其它心的情况。 3.1欧拉线定理及其证明
定理3.1 [10] ABC ?的外心Q ，重心P ，垂心H 共线，则2PH QP =，如图所示 这就是著名的欧拉线定理(在图1中,,L M N 分别为边,,AB BC CA 的中点)。
图3.1.1
为证明欧拉线定理，先给出下列预备知识：
1）质点几何学中，ABC ?的外心Q ，重心P ，垂心H 分别表示为(以下各式中的三角函数中的
,,,2,2,2A B C A B C 表示角度，其余表示点矢。
sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2A A B B C C
Q A B C
++=
++
3
A B C P ++=
AtgA BtgB CtgC
H tgA tgB tgC
++=
++
2) ABC ?中的两个恒等式
sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=
tgA tgB tgC tgAtgBtgC ++=
此两式的推导如下：
sin 2sin 2sin 22sin cos 2sin cos 2sin cos A B C A A B B C C ++=++
2sin cos()2sin cos()2sin cos()A B C B A C C A B =-+-+-+ 2sin (sin sin cos cos )
C A B A B +-
6sin sin sin 2cos (sin cos sin cos )2sin cos cos A B C C A B B A C A B =-+- 6sin sin sin 2cos sin 2sin cos cos A B C C C C A B =--
6sin sin sin 2sin (sin sin cos cos )2sin cos cos A B C C A B A B C A B =---4sin sin sin A B C = ()tgA tgB tgC tgA tgB tg A B ++=+-+
1tgA tgB
tgA tgB tgAtgB
+=+-
-
()1tgA tgB tgA tgB tgAtgB tgA tgB
tgAtgB +-+--=
-
()1tgA tgB tgAtgB
tgAtgB
+=-
-
tgCtgAtgB =- tgAtgBtgC =
所以：
sin 2sin 2sin 24sin sin sin A A B B C C
Q A B C
++=
AtgA BtgB CtgC
H tgAtgBtgC
++=
证明：由于
sin 2sin 2sin 24sin sin sin A A B B C C
Q A B C ++=
1
(sin cos sin cos sin cos )2sin sin sin A A A B B B C C C A B C
=++ 1
[sin (sin sin cos cos )2sin sin sin A A B C B C A B C
=-+ sin (sin sin cos cos )sin (sin sin cos cos )]B B C A C A C C A B A B -+-
11()()22A B C AtgA BtgB CtgC tgAtgBtgC =++-++ 3122
P H =
- 所以23Q H P +=，于是ABC ?的外心Q ，重心P ，垂心H 共线，则2PH QP =，欧拉线定理证明完毕。
3.2.广义的欧拉线定理及其证明
定理3.2 若111A B C ?是三角形ABC ?的中点三角形，则111A B C ?和ABC ?有共同的重心P ，
111A B C ?和ABC ?的123(,,)m m m 质心1,Q Q 和P 共线，并且12PQ PQ =，如图所示[10]。
图3.2.1
证明：根据质点几何学，对ABC ?的重心P 有
3P A B C =++, 对111A B C ?有
1112,2,2A B C B C A C A B =+=+=+
故对111A B C ?的重心1P 有：
1
3P A B C =++1()2
B C C A A B =+++++A B C =++3P = 所以111A B C ?和ABC ?有共同的重心P 。 而对ABC ?的123(,,)m m m 质心Q 有：
123123()m m m Q m A m B m C ++=++
11112311231123()m m m Q m A m B m C ++=++
233112111
()()()222m m A m m B m m C =
+++++ 12312331
()()22
m m m P m A m B m C =++-++ 所以131
22
Q P Q =
-，于是123Q Q P +=，因此1,Q Q 和P 共线，并且12PQ PQ =。 此定理表明111A B C ?和ABC ?的同名心Q ，1Q 和它们共同的重心P 共线，并且12PQ PQ =，如Q 为外心，则因111A B C ?的外心即ABC ?的垂心，因此，欧拉线定理是本定理的特例。 3.3.更广义的欧拉线定理及其证明
定义 若1211K A A B C K K K -=++,1121
K B A B C K K K
-=++， 1112
K C A B C K K K
-=++，则111A BC ?称为ABC ?的重心位似三角形，此处K 可为任何实数[10]
。
定理3.3 若111A B C ?是ABC ?的重心位似三角形，则111A B C ?和ABC ?有共同的重心P ，且
111ABC ?和
ABC ?的123(,,)m m m 质心1,Q Q 和P 共线，并且1(3)K PQ KQ P -=，如图所示。
图3.3.1 图3.3.2
证明：根据质点几何学，对ABC ?的重心P 有3P A B C =++。
对111A B C ?,由于1211K A A B C K K K -=++,1121
K B A B C K K K
-=++， 1112K C A B C K K K -=++，
故对111A B C ?的重心1P 有：
111133P A B C A B C P =++=++=
所以111A B C ?和ABC ?有共同的重心P 。
123123123()m m m Q m A m B m C ++=++,
对111A B C ?的123(,,)m m m 质心1Q 有：
123112131()m m m Q m A m B m C ++=++
1213211121112
(
)()()K K K m A B C m B A B C m A B C K K K K K K K K K ---=++++++++1231233()3()m m m P K m A m B m C n K ++-=+++
所以133
K Q P Q K K -=+
，于是13(3)KQ P K Q =+-, 因此1,Q Q 和P 共线，并且1(3)K PQ KQ P -=
若2K =，则111A B C ?为ABC ?的重点三角形，此时有12PQ Q P =。
致谢
首先，衷心感谢我的指导老师！无论是论文的选题、开题、文献综述、外文翻译、论文撰写和修改都凝聚了导师的心血和汗水。导师即使工作再忙，也时刻关心我论文的撰写情况，给予我悉心的指导。再次感谢在论文撰写过程中曾给予我帮助的同学，感谢他们的支持！
参考文献：
1.徐五光.Ptolemy 定理及其推广.杭州师院学报.1986年第二期.
2.李建泉.与勾股定理有关的若干问题.中学数学.2007年第5期.
3.王景河. 四个著名几何定理的等价性证明.农垦师专学报.1997年第四期.
4.李伟年.Ptolemy 定理的应用.滨州师专学报.1994.12.
5.陈金红等.Stewart 定理的应用例说.中学数学杂志.2008年第8期.
6.徐五光.Ptolemy 定理及其推广.杭州师院学报.1986年第二期.
7.徐道.Ceva 定理的推广.绍通师专学报.1990.
8.李恩凤.高等几何与初等几何的关系.青海师专学报.2001年第6期. 9.饶克勇. 从三角形的中线到欧拉线.绍通师专学报.1997.6.
10.王叙贵.张宝元.罗金龙.欧拉线定理的推广.昆明师范高等专科学校学报.2004.
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
牛顿第二定律的系统表达式 一、整体法和隔离法处理加速度相同的连接体问题 1.加速度相同的连接体的动力学方程： F 合 = （m 1 +m 2 +……）a 分量表达式：F x = （m 1 +m 2 +……）a x F y = （m 1 +m 2 +……）a y 2. 应用情境：已知加速度求整体所受外力或者已知整体受力求整体加速度。 例1、如图，在水平面上有一个质量为M的楔形木块A，其斜面倾角为α，一质量为m的木块B放在A的斜面上。现对A施以水平推力F， 恰使B与A不发生相对滑动，忽略一切摩擦，则B对 A的压力大小为( BD ) A 、 mgcosα B、mg/cosα C、FM/(M+m)cosα D、Fm/(M+m)sinα ★题型特点：隔离法与整体法的灵活应用。 ★解法特点：本题最佳方法是先对整体列牛顿第二定律求出整体加速度，再隔离B受力分析得出A、B之间的压力。省去了对木楔受力分析（受力较烦），达到了简化问题的目的。 例2.质量分别为m1、m2、m3、m4的四个物体彼此用轻绳连接，放在光滑的桌面上，拉力F1、F2分别水平地加在m1、m4上，如图所示。求物体系的加速度a和连接m2、m3轻绳的张力F。（F1＞F2） 例3、两个物体A和B，质量分别为m1和m2，互相接触放在光滑水平面上，如图所示，对物体A施以水平的推力F，则物体A对B的作用力等于 ( ) A．F F F F 3、B 解析：首先确定研究对象，先选整体，求出A、B共同的加速度，再单独研究B，B 在A施加的弹力作用下加速运动，根据牛顿第二定律列方程求解． 将m1、m2看做一个整体，其合外力为F，由牛顿第二定律知，F=(m1+m2)a，再以m2为研究对象，受力分析如右图所示，由牛顿第二定律可得：F12=m2a，以上两式联立可得：F12= ，B正确． 例4、在粗糙水平面上有一个三角形木块a，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个木块b和c，如图1所示，已知m1＞m2，三木块均处于静止， 则粗糙地面对于三角形木块（ D ） A．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右。B．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左。C．有摩擦力作用，组摩擦力的方向不能确定。D．没有摩擦力的作用。 二、对加速度不同的连接体应用牛顿第二定律1．加速度不同的连接体的动力学方程：b c a
. 一．平面几何 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则 有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 222 22a c b m a -+= 4． 垂线定理：2 2 2 2 BD BC AD AC CD AB -=-?⊥ 高 线 长 ： C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定 理） 角平分线长：2 cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中 p 为周长一半） 6． 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===， （其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222 -+= 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2 ·DC +AC 2 ·BD －AD 2 ·BC ＝BC ·DC ·BD 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙ O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作 一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2 －r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过 点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点 18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、 △BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向 外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙ C 1 、 ⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半 径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2 =R 2 －2Rr ． 22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和． 23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分 成2：1的两部分；)3 ,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC
1、勾股定理与几何证明的综合问题练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高. 证明：（1）CD2=AD ?BD （这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） 1 1 1 （2）AC 2+ BC 2 = CD2 练习二、将勾股定理应用于四边形 1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD. （1）证明：若AC ⊥BD ，则AB2+CD2=AD2+BC 2； 2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d. 求证： 2 ≤a2+b2+c2+d 2≤ 4 . 假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形 ∴a2+b2+c2+d2=m12+m22+n12+n22+p12+p22+q12+q22∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a2+b2+c2+d2=m12+(1-m1)2+n12+(1-n1)2+p12+(1-p1)2+q12+(1-q1)2整理之后得到： a2+b2+c2+d2=2*(m1-/2)2+1/2+2*(n1-/2)2+1/2+2*(p1-/2)2+1/2+2*(q1-/2)2+1/2=2*[(m1-1/2)2+(n1-1/2)2+(p1-1/2)2+(q1-1/2)2] + 2 m1、n1、p1、q1 的长都是最大为1 最小为0 它们都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大那么a2+b2+c2+d2的最小值就是2，最大值就是4
专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。
课题：牛顿第二定律应用（一） 目的：1、掌握应用牛顿定律分析力和运动关系问题的基本方法。 2、培养学生分析解决问题的能力。 重点：受力分析、运动和力关系的分析。 难点：受力分析、运动和力关系的分析。 方法：启发思考总结归纳、讲练结合。 过程：一、知识点析： 1．牛顿第二定律是在实验基础上总结出的定量揭示了物体的加速度与力和质量的关系。数学表达式：ΣF=ma或ΣFx＝Ma x ΣF y =ma y 理解该定律在注意： （1）。瞬时对应关系；（2）矢量关系；（3）。 2．力、加速度、速度的关系： （1）加速度与力的关系遵循牛顿第二定律。 （2）加速度一与速度的关系：速度是描述物体运动的一个状态量，它与物体运动的加速度没有直接联系，但速度变化量的大小加速度有关，速度变化量与加速度（力）方向一致。 （3）力与加速度是瞬时对应关系，而力与物体的速度，及速度的变化均无直接关系。Δv=at，v=v +at，速度的变化需要时间的积累，速度的大小还需考虑初始情况。 二、例题分析： 例1。一位工人沿水平方向推一质量为45mg的运料车，所用的推力为90N，此时运料车的加速度是1.8m/s2,当这位工人不再推车时,车的加速度。 【例2】物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图3-2所示，在A点物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回，则以下说法正确的是： A、物体从A下降和到B的过程中，速率不断变小 B、物体从B上升到A的过程中，速率不断变大 C、物体从A下降B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大，后减小 D、物体在B点时，所受合力为零 【解析】本题主要研究a与F 合 的对应关系，弹簧这种特殊模型的变化特点，以及由物体的受力情况判断物体的运动性质。对物体运动过程及状态分析清楚，同时对物体 正确的受力分析，是解决本题的关键，找出AB之间的C位置，此时F 合 =0，由A→C 的过程中，由mg>kx1，得a=g-kx1/m，物体做a减小的变加速直线运动。在C位置
第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
初中数学知识重点整理 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： 。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、 CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。
牛顿第二定律的应用 Prepared on 22 November 2020
寒假作业4 （考查：牛顿第二定律的应用） 一、选择题（1-12单选，13-22多选） 1．如图，水平面上一个物体向右运动，将弹簧压缩，随后又被弹回直到离开弹簧，则该物体从接触弹簧到离开弹簧的这个过程中，下列说法中正确的是( ) A. 若接触面光滑，则物体加速度的大小是先减小后增大 B. 若接触面光滑，则物体加速度的大小是先增大后减小再增大 C. 若接触面粗糙，则物体加速度的大小是先减小后增大 D. 若接触面粗糙，则物体加速度的大小是先增大后减小再增大 2．静止在光滑的水平面上的物体，在水平推力F的作用下开始运动，推力F 随时间t变化的规律如图所示，则物体在 1 0~t时间内( ) A. 速度一直增大 B. 加速度一直增大 C. 速度先增大后减小 D. 位移先增大后减小 3．质量为M的木块位于粗糙水平桌面上，若用大小为F的水平恒力拉木块时，其加速度为a，当拉力方向不变，大小变为2F时，木块的加速度大小为a′，则 （） A. 2a>a′ B. 2a 【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和)． 即：ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥? 定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立； () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠ ??∴=??=? =∠=∠∴?? ∴=??=? ∴?+?=?+ ∴?+?≥? 证：在四边形内取点，使， 则：和相似 又且和相似 且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、 一、直接应用托勒密定理 例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB， ∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC． 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是 圆内接四边形． 由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD， 求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进 而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC 的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于 D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形妙引线 借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起 来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理， 有AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.已知△ ABC 中，∠ B=2∠ C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM ? =+ 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和， 求证： 关于系统牛顿第二定律的应用 眉山中学邓学军 牛顿第二定律是动力学的核心内容，它深刻揭示了物体产生的加速度与其质量、所受到的力之间的定量关系，在科研、 生产、实际生活中有着极其广泛的应用。本文就牛顿第二定律在物理解题中的应用作些分析总结， 以加深学生对该定律的认 识与理解，从而达到熟练应用的效果目的。对于连接体问题，牛顿第二定律应用于系统，主要表现在以下两方面： 其一，系统内各物体的加速度相同。 则表达式为：F =( m i +m 2+…)a ，这种情况往往以整个系统为研究对象，分析 系统的合外力，求岀共同的加速度。 例1 ?质量为m i 、m 2的两个物体用一轻质细绳连接，现对 m i 施加一个外力F ，在如下几种情况下运动，试求绳上的拉 力大小。 m 1 m 2 m i m 2 ⑶m i 、m 2放在光滑斜面上向上作加速直线运动 解析：对整体：F —( m i + m 2) g sin a=( m i + m 2) a 对 m 2： T — m 2g sin a = m 2 a 解得：T = m i m 2 ⑷m i 、m 2放在粗糙斜面上向上作加速直线运动 解析：对整体： F —( m i + m 2) g sin a — g( m i + m 2) g cos a=( m i + m 2) a 对 m 2： T — m 2g sin a — g( m i + m 2) g cos a = m 2 a 其二，系统内各物体的加速度不同。 这种题目较难，牛顿第二定律的基本表达式为: F m i a i mba 2 L ，这是一个矢量表达式，可以分为以下几种情形： 1. 系统中只有一个物体有加速度，其余物体均静止或作匀速运动。 例2?如图示，斜面体 M 始终处于静止状态，当物体 m 沿斜面下滑时，下列说法正确的是: A ?匀速下滑时，M 对地面的压力等于(M +m ) g B. 加速下滑时，M 对地面的压力小于(M + m ) g ⑵m i 、m 2放在粗糙水平面上作加速直线运动: T = m 2 —F 解得：T = m 2 m i m 2 ⑸m i 、m 2放在光滑水平面上在 F 作用下绕0i 02作匀速圆周运动 解析：对整体：F =( m i + m 2) a 对 m 2： T = m 2 a (连接绳子极短) 解得：T = m 2 > F 01 [m2 -| ml m i m 2 ⑴m i 、m 2放在光滑水平面上作加速直线运动: T = m 2 牛顿第二定律应用的典型问题 ——陈法伟 1. 力和运动的关系 力是改变物体运动状态的原因，而不是维持运动的原因。由知，加速度与力有直接关系，分析清楚了力，就知道了加速度，而速度与力没有直接关系。速度如何变化需分析加速度方向与速度方向之间的关系，加速度与速度同向时，速度增加；反之减小。在加速度为零时，速度有极值。 例1. 如图1所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是（） 图1 A. 小球刚接触弹簧瞬间速度最大 B. 从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上 C. 从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小 D. 从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大 解析：小球的加速度大小决定于小球受到的合外力。从接触弹簧到到达最低点，弹力从零开始逐渐增大，所以合力先减小后增大，因此加速度先减小后增大。当合力与速度同向时小球速度增大，所以当小球所受弹力和重力大小相等时速度最大。故选CD。 例2. 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动，探测器通过喷气而获得推动力，以下关于喷气方向的描述中正确的是（） A. 探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B. 探测器加速运动时，竖直向下喷气 C. 探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D. 探测器匀速运动时，不需要喷气 解析：受力分析如图2所示，探测器沿直线加速运动时，所受合力方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，由牛顿第三定律可知，喷气方向斜向下方；匀速运动时，所受合力为零，因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下。故正确答案选C。 图2 2. 力和加速度的瞬时对应关系 （1）物体运动的加速度a与其所受的合外力F有瞬时对应关系。每一瞬时的加速度只取决于这一瞬时的合外力，而与这一瞬时之间或瞬时之后的力无关。若合外力变为零，加速度也立即变为零（加速度可以突变）。这就是牛顿第二定律的瞬时性。 （2）中学物理中的“绳”和“线”，一般都是理想化模型，具有如下几个特性： ①轻，即绳（或线）的质量和重力均可视为零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等。 平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 1=??=??B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线 、、分别是、、证：设 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件； 。 的交点，证明：与是的中点，是上，在点 的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB AR QA CQ ，则 、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理??CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴?∴= ====??=∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?????＝ 依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形 即：则：的平分线中，作在证：Θ 1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； 共线； 、、证明点引的垂线的垂足， 、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2? 三点共线； 、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上； 线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝ ，则：又得： ，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ''' ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=??=???PC BP PC BP Θ三点共线； 、、求证：， ，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =???? C B A 1 A 1 B 1 C 三点共线； 、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得 且将上面三条式子相乘， 证：易得：1111 1 1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB cos AP BC AC PAC cos AP PCA cos CP AB CB , PCB cos CP PBC cos BP CA BA ???=∠+∠∠=∠∠=∠∠?∠?-=∠?∠?-=∠?∠?-=Θ 勾股定理在几何中的应用 【教材来源】：节选自人教版八年级下册第十七章 【教学目标】： 一、知识与技能：掌握勾股定理在实际问题中的应用 二、过程与方法：经历勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的 应用方法 三、情感、态度与价值观：培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股 定理的应用价值 【重难点、关键】： 重点：勾股定理的实际应用 难点：勾股定理的灵活应用 关键：把握好直角三角形的三边关系，充分利用勾股定理 【教学过程】 一、回顾交流（导课） 1、勾股定理的内容是什么，用文字进行描述？ 2、勾股定理的简单练习 在△，∠90°， （1）如果10，2，则。 （2）如果a、b、c是连续整数，则。 （3）如果8，a：3：5，则。 3、勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。 二、例题分析 [问题探究1]：大家都能再数轴上表示有理数，但是对于等理数我们能不能也用数轴表示出来？ 思路点拨：可以利用勾股定理在数轴上做出 （1）在数轴上找到一点A，使1； （2）过A点做垂线垂直于数轴，垂足为A，在上街区线段1； （3）连接，以O为圆心，为半径画圆弧，弧与数轴正方向的焦点C的点 思考提问：（1）请同学归纳一下出赛数轴上画出的方法 （2）你能在数轴上表示吗？试一试 [问题探究2]：在直角三角形中，∠90度，12，4，D 在上且8，E 在上，且△的面积是△的1/4，求和的长。 思路点拨： 求长时：可过D 作垂直于于F ， 可求出2/38/3，2/316/3 再由△的面积是△的1/4， 求出3，因而7/3 求长时：在△中由勾股定理求的3 教师活动：给出题目组织学生探究，巡视引导学生进行思考，然后请两位同学上台演示纠正 三、随堂练习 （1）已知：如图，∠∠90°，∠60°， 4，2。求：四边形的面积。 （2）．已知：如图，四边形中，∥， ⊥，⊥，∠60°，1， 求的长。 四、 本节小结 通过两个探究，领会勾股定理的应用思想，如：如何在数轴上表示无理数点，可以解决实际情景中的问题等。在解题过程中要充分利用勾股定理，要学会构造一定辅助线来帮助解题，达到活学活用的水平。 五、 作业布置 1、课后习题1、 2、3 2、趣味探索： A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 都是正方形, 且G 的边长为7,求A 、B 、C 、D 、 E 、F 的面积之和 A B C D E B C D A A B C D E F G E D F B C A 牛 顿第二定律的应用 一、计算题 1．如图所示，在游乐场里有一种滑沙运动．某人坐在滑板上从斜坡的高处A 点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B 点后，沿水平的滑道再滑行一段距离到C 点停下来。若人和滑板的总质量m = 60 kg ，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ= 0．50，斜坡的倾角θ= 37°（sin37° = 0．6，cos37° = 0．8），斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g 取10 m/s 2．求： （1）人从斜坡上滑下的加速度为多大？ （2）若AB 的长度为25m ，求人到B 点时的速度为多少？ 2．如图所示，物体的质量m=4 kg ，与水平地面间的动摩擦因数为μ=0．2，在与水平方向夹角为37°、大小为10 N 的恒力F 的作用下，由静止开始加速运动，取g=10m/s 2,已知sin 37°= 0．6，cos 37°= 0．8，试求： （1）物体运动的加速度的大小a ； （2）若1t =10 s 时撤去恒力F ，物体还能继续滑行的时间2t 和距离 x ． 3．放于地面上、足够长的木板右端被抬高后成为倾角为0137θ=的斜面，此时物块恰好能沿着木板匀速下滑，重力加速度取10m/s 2，sin370=0．6,cos370=0．8,求 （1）物块与木板间的动摩擦因数； （2）若将此木板右端被抬高后成为倾斜角为0253θ=的斜面，让物块以一定初速度v 0=10m/s 从底端向上滑， 能上滑离底端的最远距离是多大． 4．如图所示，物体的质量m=4kg ，与水平地面间的动摩擦因数为μ=0．2，在与水平面成37°，F=10N 的恒力作用下，由静止开始加速运动，当t=5s 时撤去F ，（g=10m/s 2，sin37°=0．6，cos37°=0．8）。求： （1）物体做加速运动时的加速度a ； （2）撤去F 后，物体还能滑行多长时间？ 5．如图所示，水平地面上有一质量m=2．0kg 的物块，物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0．20，在与水平方向成θ=37°角斜向下的推力F 作用下由静止开始向右做匀加速直线运动。已知F=10N ，sin37o=0．60，cos37o=0．80，重力加速度g 取10m/s 2，不计空气阻力。求： （1）物块运动过程中所受滑动摩擦力的大小； （2）物块运动过程中加速度的大小； （3）物块开始运动5．0s 所通过的位移大小。 6．如图所示，粗糙斜面固定在水平地面上，用平行于斜面的力F 拉质量为m 的物块，可使它匀速向上滑动，若改用大小为3F 的力，扔平行斜面向上拉该物体，让物体从底部由静止开始运动，已知斜面长为L ，物块可看作质点，求： （1）在力3F 的作用下，物体到达斜面顶端的速度； （2）要使物体能够到达斜面顶端，3F 力作用的时间至少多少？认识平面几何的61个著名定理
平面几何的几个重要定理--托勒密定理
关于系统牛顿第二定律的应用
牛顿第二定律应用的典型问题
平面几何的几个重要的定理
【教案】 勾股定理在几何中的应用
高一物理必修一牛顿第二定律的应用
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