材料现代分析技术
第二章
X射线衍射分析 （2）
课程回顾
§1. X射线的物理学基础
一. 二. 三. 四. 五.
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X射线的发现与伦琴 X射线的产生与X射线谱 X射线与物质的相互作用 X射线的衰减 X射线的防护
§2. 晶体结构
一. 晶体及其基本性质 二. 晶体结构的点阵理论 三. 晶面指数与晶向指数 四. 晶体的对称性、晶系和空间点阵型式 五. 晶体结构的表达
X射线与物质的相互作用
X射线衍射
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成分分 析 无损检测
第二章
X射线衍射分析
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§3. 倒易点阵与晶带定理 §4. X射线衍射几何条件
课堂练习与习题
（相关章节：第一章第三节和第五章第一节）
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§3.倒易点阵与晶带定理
一. 二.
倒易点阵 晶带与晶带定理
§3.倒易点阵与晶带定理
一.倒易点阵
1. 倒易点阵的概念
倒易点阵是由晶体点阵（正点阵）按一定对应关系建立的与 其相联系的另外一个假想空间点阵。 倒易点阵是是晶体点阵的另一种表达形式。
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“倒 - 倒数；易 - 变换”
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空 间（倒易空间）点阵。
倒易空间是正空间的FOUIER变换。由傅立叶变换将晶体的周期性的正点阵变 换成了周期性的倒易点阵。傅立叶变换对于描述晶格与粒子（如光子、电子等）之 间的作用是很便利的。
X射线衍射图样实际上是晶体倒易点阵而不是正点阵的直接映像
§3.倒易点阵与晶带定理
2. 倒易点阵中单位矢量的定义
设正点阵的原点为o，基矢为a、b、c，倒 易点阵的原点为o*，基矢为a*、b*、c*， 则有： a* = (b×c) / V
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b* = (c×a) / V c* = (a×b) / V
式中V为正点阵中单胞的体积：
V = a· (b×c) = b· (c×a) = c· (a×b)
表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和 自己异名的二基矢所成平面。
§3.倒易点阵与晶带定理
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3. 倒易点阵与正点阵
由定义，可得出：
a ? ? b = a ? ? c = b ? ? a = b ? ? c = c? ? a = c? ? b = 0 a ? ? a = b? ? b = c? ? c = 1
即正倒易点阵异名基矢点乘为0，同名基矢点乘为1。
正点阵与倒易点阵互为倒易 正点阵的晶胞体积与倒易点阵的晶胞体积互为倒数
§3.倒易点阵与晶带定理
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<倒易点阵的基本规律>
a) 倒易点阵与所对应的晶体点阵同属于相同的晶 系； b) 倒易点阵与相应的晶体点阵布拉菲结构特征除面 心和体心倒易互换外，其余都是相同的。
§3.倒易点阵与晶带定理
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4. 倒易点阵基矢表达式
a ? = bc sin α / V ? b = ca sin β / V c ? = ab sin γ / V
cos β cos γ ? cos α cos α = sin β sin γ cos α cos γ ? cos β ? cos β = sin α sin γ cos α cos β ? cos γ ? cos γ = sin α sin β
?
§3.倒易点阵与晶带定理
5. 倒易矢量的基本性质
z
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根据定义在倒易点阵中,从倒 易原点到任一倒易点的矢量 称倒易矢量 r*hkl r*hkl = ha
?
+ kb ? + lc ?
r*
重要性质: 1. r*矢量的长度等于其对应晶 面间距的倒数 |r*hkl | = 1/dhkl 2. 其方向与晶面相垂直 r*hkl //N(晶面法线)
z
§3.倒易点阵与晶带定理
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倒易点阵中的一点代表的是正点阵中的一组晶面
011
§3.倒易点阵与晶带定理
6. 晶面间距与晶面夹角公式
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晶面间距公式
1 ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) = r ? r = h a + k b + l c ? h a + k b + l c hkl hkl 2 d hkl = h 2 a ? 2 + k 2b?2 + l 2 c ?2 +2hka ? ?b? + 2hla ? ?c? + 2klb? ?c?
晶面夹角公式
cos ? =
r r
? h1 k 1 l 1
?r
? h2 k 2l2 ? h2 k 2l2
? h1 k 1 l 1
?r
§3.倒易点阵与晶带定理
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正交点阵： ( α = β = ν = 90。) a*=1/ a ，b*= 1/b ，c*= 1/c a*∥a ，b*∥b ，c*∥c ( α? = β? = ν? = 90。) 立方点阵： ( a=b=c，α = β = ν = 90。) a*=b*=c*=1/ a
a*∥a ，b*∥b ，c*∥c ( α? = β? = ν? = 90 ) 晶面法向和同指数的晶向是重合（平行）的，即倒易矢量 r*hkl是与相应指数的晶向[hkl]平行的。
。
§3.倒易点阵与晶带定理
面间距 dhkl 与晶面指标间的关系
（hkl）代表一组相互平行的晶面，任意两个相邻的晶面的面间距都相等
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对正交晶系
α = β = γ = 90
0
1 d = hkl h 2 k 2 l 2 ( ) +( ) +( ) a b c
2
立方晶系
d
d
hkl
=
=
a h +k +l
2 2 2
3
六方晶系
1 h 2 + hk + k 2 l 2 4( )+( ) 2 3a c
hkl
4
§3.倒易点阵与晶带定理
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为什么要引入倒易点阵概念？
（1）极大的简化了晶面与晶面指数表达；
<晶体X射线衍射中核心是对晶体中各个晶面的研究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为？>
（2）衍射原理的表达更加简洁清晰； （3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部分。
§3.倒易点阵与晶带定理
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二. 晶带与晶带定理
1. 晶带的概念
在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个 晶带。 同一晶带中所有晶面 的交线互相平行，其 中通过坐标原点的那 条直线就是晶带轴。 晶带轴的晶向指数 又称该晶带的指数。 它用晶向指数[uvw] 来表示。
§3.倒易点阵与晶带定理
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2. 晶带定律
已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带[uvw]，根据解析几何中 直线与平面的关系，从很容易得到二者之间的关系：
* ruvw ? r HKL = ( u a + v b + w c ) ? ( h a * + k b * + l c *) = 0
得：
hu + kv + lw=0
通常把这个关系式称为晶带定律。 晶带定律给出了晶面与晶向之间的关系，它如果晶向[uvw]包 括在晶面(hkl)中，二者就满足这个关系式。
§3.倒易点阵与晶带定理
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§3.倒易点阵与晶带定理
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3. 晶带定律的应用
1) 当已知某晶带中任意两个晶面的晶面指数，可用晶带定律， 计算出晶带轴的指数。 已知两晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，求交线[uvw]，即晶带轴指数。 h1u + k1v + l1w = 0 h2u + k2v + l2w = 0 得：u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1) 或表示为：
? ? u v w = R × R [ ] h 1 k 1 l1 h2 k 2 l2