勾股定理与折叠问题题型 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
与直角有关的折叠问题（一）
1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是()
A. 12厘米
B. 15厘米
C. 20厘米
D. 21厘米
2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折
叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为()
A. 6
B. 5
C.
D.
3.如图1，四边形ABCD是一
矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且
AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是()
A. B.
C. D.
4.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF
折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE
的长是()A. B. C.
D.
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸
片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，
则AB的长是()
A. 2cm
B.
C. 4cm
D.
6.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边，
现将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为()
A. 2
B.
C.
D.
7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C
落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为()
A. B. C. D.
8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且
，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的
点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是()
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①④
9.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点上．若AB=16，BC=32，则BF的长为()
A. 15
B.
C. 16
D. 17
10.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折
叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点
G．若，则()
A. B. C. D.
11.如图，折叠直角三角形纸片ABC的直角∠C，使点C落
在斜边AB上的点E处，已知，∠B=30°，则DE 的长为()
A. B. C. D.
12.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为()
A. B. C. D. 6
13.如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边的中
点P处．若∠DPE=60°，则矩形的周长为()cm．
A. B. C. D.
14.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在处，若，
DE=2，则的长为()A. B. C. D.
15.如图1是一个直角三角形纸片，∠C=90°，∠A=30°，
BC=3cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，
如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点
A′处，如图3，则折痕DE的长
为()
?
?
? A. 3cm B. C.
2cm D.
16.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸
片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为()
A. 6
B.
C. 3
D.
A B C E 勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。 … BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF 的长． 例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，?若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少 $ A B , 第11题图 A E B C D ￥ F
2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?3，BC=7 ，求重合部分△EBD 的面积 例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗 ( 对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 — A E C D B A D B C E F
小专题（二）利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC= 5 cm, BC= 10盯，将厶ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE则CD的长为（） 25 B. 15 A. cm 2 2 cm 25 D. 15 C. , cm 4 cm 4 2.如图所示，有一块直角三角形纸片，/ C= 90°, AC= 4 cm, BC= 3 cm,将斜边AB 翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD则CE的长为（） A. 1 cm B . 1.5 cm C. 2 cm D . 3 cm 3.（青岛中考）如图，将长方形ABCD& EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上， 若AB= 6, BC= 9,则BF的长为（） A. 4 B . 3 2 C. 4.5 D . 5 4.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点F处，折痕为AE且EF= 3,则AB的长为（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 6 5.（铜仁中考）如图，在长方形ABCD中, BC= 6, CD= 3,将厶BCD沿对角线BD翻折， 点C落在点C'处，BC交AD于点E,则线段DE的长为（） 15 15 A. 3 B. C . 5 D. 4 2 6.如图，在长方形ABCD中AB= 4, AD= 6, E是AB边的中点，F是线段BC上的动点， 将厶EBF沿EF所在直线折叠得到△ EB F,连接B‘ D,则B‘ D的最小值是（） A. 2 10- 2
B. 6 C. 2- 13 - 2 D. 4 7.如图所示，在△ ABC 中，/ B = 90°, AB= 3, AC= 5,将厶ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE 则厶ABE 的周长为 ____________ . 8 如图，在 Rt △ABC 中, Z C = 90°, BC= 6 cm , AC= 8 cm ,按图中所示方法将△ BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C 点，那么△ ADC 的面积是 _______________ . 9. 如图，已知Rt △ ABC 中, Z C = 90°, AC= 6, BC= 8,将它的锐角A 翻折，使得点A 落在BC 边的中点D 处，折痕交AC 边于点E ,交AB 边于点F ,则DE 的值为 _____________ . 10. 如图，在 Rt △ABC 中，Z B = 90°, AB= 3, BC= 4,将厶ABC 折叠，使点B 恰好落 在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB' = ____________ . 11. 为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级 （1） 班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制 作手工作品的第一、二个步骤是： ① 先裁下了一张长BC= 20 cm ,宽AB= 16 cm 的长方形纸片ABCD ② 将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算 EC FC 的长. 类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题 1.如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm ,高AB 为5 cm , BC 是直径，一只蚂蚁从点 A C. 13 cm 12 cm,底面周长为18 cm ,在杯内离杯底4 cm 的点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是（ A. 6 cm B . 12 cm 16 cm 2.如图，圆柱形玻璃杯，高为
专题：勾股定理在折叠问题中应用 .知识要点 (1) 折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等 (2) 利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 二典例解析 (一)三角形的折叠 1. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，AC=6 AB=10 D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落 在AB上，求CD的长 2. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，D为AB上一点，将/ ABC沿DE折叠，使点B与点A重合, ①若AC=4 BC=8求CE的长 ②若AC=24 BC=32求折痕DE的长 D C E
（二）矩形的折叠 1. 如图，折叠矩形纸片ABCD先折出折痕（对角线）BD再折叠，使AD落在对角线BD上, 得折痕DG 若AB = 2，BC = 1，求AG
2. 如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm 求EC的长. 变式：如图.在直角坐标系中，矩形ABC0的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3），将矩形沿对角线AC 翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为 ______________ 3. 如图，矩形纸片ABCD AB=4cm BC=8cm现将A C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF的长； ②求重叠部分△ AEF的面积; ③求折痕EF的长. B E
（三）正方形的折叠 1?将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN ①求线段CN的长； ②求AM ③求折痕MN的长 MN折叠，使点B落在CD边上变式：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿 的B处，点A对应点为A，且BC 3，则AM的长是 ________________
与直角有关的折叠问题（一） 1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( ) A. 12厘米 B. 15厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( ) A. 6 B. 5 C. D. 3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm， AD=10cm，E是AD上一点，且AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE 重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( ) A. B. C. D. 4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着 EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC， 则CE的长是( )A. B. C. D. 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将
纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( ) A. 2cm B. C. 4cm D. 6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边，现将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为( ) A. 2 B. C. D. 7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C 落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD 为( ) A. B. C. D. 8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE； ②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( ) A.252 cm B.152 cm C. 254 cm D.154 cm 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm 3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( ) A ．4 B ．3 2 C ．4.5 D ．5 4．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B.154 C ．5 D.15 2
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( ) A．210－2 B．6 C．213－2 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD， ②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．
勾股定理之折叠问题、等面积法（讲义） 一、 知识点睛 1. 折叠问题处理思路 （1）找折痕（对称轴）； （2）转移、表达； （3）利用勾股定理建等式． 2. 等面积法 当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑等面积法解决问题，即利用图形面积的不同表达方式建等式． 二、精讲精练 1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则线段CD =__________． D E A B C N M F C B E D A 第1题图 第2题图 2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处， 点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 C' A D E B C F 4. 如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ， BC =10cm ，则EF =________．
A' A D M F C B E D A 5. 如图，在矩形ABCD 中，BC =4，DC =3，将该矩形沿对角线 BD 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于点E ，求EF 的长． 6. 如图，在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，把△ABC 折 叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积． 7. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'，且B'C =3，则CN =______，AM =______. 8. 若直角三角形两直角边长分别为6cm ，8cm ，则斜边上的高 A B C D E F
专题：勾股定理在折叠问题中应用 一.知识要点 （1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等. （2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 二.典例解析 （一）三角形的折叠 1.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长 2.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°， D 为AB 上一点，将⊿ABC 沿DE 折叠，使点B 与点A 重合， ①若AC=4，BC=8，求CE 的长 ②若AC=24，BC=32，求折痕DE 的长 A C B D C ′ C B E C B E
A B D F E C G A ′ ? D A B C 1.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上， 得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 2.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ， 求EC 的长. 变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上， 边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的 坐标为 3.如图，矩形纸片ABCD ，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF 的长； ②求重叠部分△AEF 的面积； ③求折痕EF 的长. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｄ′
1.将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为 MN ①求线段CN 的长； ②求AM ； ③求折痕MN 的长 变式：如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上 的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是___________. A ′ D A B C N M
C E 勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC ?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。 BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5， 例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，?若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 第11题图 A E B C D F
2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积 例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 A E B A D B C E F
例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠， 使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，求CD 对应练习：1、如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积. 2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG . A C D B E G A B
与直角有关的折叠问题 （一） 1?如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH, 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD 的长是（） 2.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合， 则折痕EF 的长为（） .门「 A. 6 B. 5 C. D.厂 斗 “ 门 Ml 3?如图1，四边形 ABCD 是一矩形纸片，AB=8cm ，AD=10cm ，E 是AD 上一点，且 图1 图2 图3 A. 12 厘米 B. 15 厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 向右折 GFC 的 AE=8cm .操作：（1） 将厶AFB 以BF 为折痕 过去，得图3 .则厶 面积是（） 得折痕AF ,如图2 ; （
A. ltm 2 B. 2cm 2 C . Sen 2 D. 4cm 2 4.如图，已知边长为5的等边三角形 ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上 5?如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD=6cm ，点E 在BC 上，将纸 片沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点F 处，且ZAEF= /CEF ,则 AB 的长是（） A. 2 cm 6.如图，CD 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，直角边’’ 乙"，现将△ BCD 沿CD 折叠，点 B 恰好落在AB 的中点E 处，则图中阴影部分的面积为 I J A. 2 B. 2 屯 C.晶 D. 7.如图，在矩形ABCD 中将厶BCD 沿对角线BD 翻折，点C 的点D 的位置，且ED 丄BC ,则CE 的长是（）A. - 「 B. 10-5^3 C . 5^3-5 D. 20-10 C. 4cm 落在「处，AD 与BC 交于点E ,连接AC',则AC':BD 为（） B. 1 - D. - C D
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义） ? 课前预习 1. 观察图形，回顾轴对称的性质： （1）全等变换：对应边________，对应角_________； （2）对应点所连的线段被对称轴_____________． 2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段 EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（ ） A ．38° B ．39° C ．40° D ．41° 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线 AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示） ? 知识点睛 1. 轴对称（折叠）的思考层次 （1）全等变换：对应边_______、对应角_______． （2）对应点与对称轴： ①对应点所连线段_____________________； l A' B' C' C B A O F E D C B A D E A B C
②对称轴上的点_______________________． （3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形． （4）作图： 核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形． 特征举例： ①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线； ②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上． ? 精讲精练 1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________． 第1题图 第2题图 2. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______． 3. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在 BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______． 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别 交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________． 第4题图 第5题图 5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处， 点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________． D E A B C F E D C B A B F C D A E D E A B C M C B D A B' A'