第4讲 一元一次方程和二元一次方程组
考纲要求
备考指津
1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题.
中考中多以选择题、填空题、解方程(组)的形式考查方程(组)的解法，结合社会关注的热点，考查列方程(组)解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．
考点一 等式及方程的有关概念 1．等式及其性质
(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程．
(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 考点二 一元一次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax ＋b ＝0(a ≠0)，其解为x ＝b a
-
. 2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.
考点三 二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程
(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．
(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．
(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解． 2．二元一次方程组
(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：???
?
?
a 1x ＋
b 1y ＝
c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2
(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．
(3)二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 考点四 二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )
的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．
2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．
考点五 列方程(组)解应用题
步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．
1．(a －1)x |a |
＋5＝0是一元一次方程，那么a ＝__________，x ＝__________.
2．已知?
????
x ＝1，
y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )．
A ．1
B ．3
C ．－3
D ．－1
3．方程组???
??
x ＋y ＝1，
2x －y ＝5的解是( )．
A ．?
??
??
x ＝－1
y ＝2
B ．?
??
??
x ＝－2
y ＝3
C ．?
??
??
x ＝2
y ＝1
D ．?
??
??
x ＝2
y ＝－1
4．若有方程组???
?
?
x ＋2y ＝4，2x ＋y ＝6，
则x －y 的值是( )．
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
5．2011年5月长江中下游发生严重干旱，受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
一、一元一次方程的解法
【例1】 解方程：2x ＋13－10x ＋1
6
＝1.
解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6， 去括号，得4x ＋2－10x －1＝6， 移项，得4x －10x ＝6－2＋1， 合并同类项，得－6x ＝5，
系数化为1，得x ＝－5
6
.
解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
二、二元一次方程组的有关概念
【例2】 已知????? x ＝2，y ＝1是二元一次方程组?
????
mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )．
A ．4
B ．2
C ． 2
D ．±2
解析：∵????? x ＝2，y ＝1是方程组?
????
mx ＋ny ＝8，
nx －my ＝1的解．
∴
?
??
??
2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得?
??
??
m ＝3，
n ＝2.
∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2.
答案：B
方程组的解适合于方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．
三、二元一次方程组的解法
【例3
】 解方程组：?
???? 3x －y ＝5，
5x ＋2y ＝23.
①②
解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③ ②＋③得11x ＝33，∴x ＝3.
把x ＝3代入①得9－y ＝5，∴y ＝4.
所以原方程组的解为?
??
?? x ＝3，
y ＝4.
方法二：用代入消元法解方程组．
由①得y ＝3x －5，③
把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23， 所以11x ＝33，则x ＝3. 把x ＝3代入③得y ＝4.
所以原方程组的解为?
????
x ＝3，
y ＝4.
解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或-1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．
四、列方程(组)解决实际问题 【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务，需要用到甲、乙两种原料．已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg 和0.3 kg ，生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg 和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg 和3 600 kg ，如果所进原料全部用完，求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套？
解：设生产亚运会标志x 套，生产亚运会吉祥物y 套．
根据题意，得?
???? 0.4x ＋0.5y ＝2 300，
0.3x ＋y ＝3 600.
①②
①×2－②×1得0.5x ＝1 000， ∴x ＝2 000.
把x ＝2 000代入②得600＋y ＝3 600， ∴y ＝3 000.
答：该厂能生产亚运会标志2 000套，生产亚运会吉祥物3 000套．
对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．