一、选择题
1．已知函数()5
3
32f x x x x =+++，若()()24f a f a +->，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．(),1-∞
B ．(),2-∞
C ．()1,+∞
D ．()2,+∞
2．已知函数(),0,
,0.lnx x f x kx x >?=?≤?
，若0x R ?∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取
值范围是（ ） A ．(],1-∞
B ．1,e
??-∞ ??
?
C ．[)1,-+∞
D ．1,e ??-+∞????
3．若幂函数()f x 的图象过点122?? ? ???
，则函数()
()e x f x g x =的递减区间为（ ） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-
D ．()
(),02,-∞+∞
4．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()201920191f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,2020
B ．()2019,+∞
C ．()2020,+∞
D ．()2019,2020
5．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意()1212,x x x x ≠，不等式
()()1212f x f x x x -<-恒成立”的只有（ ）
A ．1
()f x x
=
B ．()||f x x =
C ．()2f x x =
D ．2()f x x =
6．设函数()2
1ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+
D ．()
(),10,-∞-+∞
7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12
a b
+的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．3+
D ．3+
8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若?x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1}
B ．(－1，0)∪(0，1)
C ．(－1，1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．函数()2
62x
f x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,1--
10．设函数()()
2
3x
f x x e =-，则（ ）
A ．()f x 有极大值，且有最大值
B ．()f x 有极小值，但无最小值
C ．若方程()f x a =恰有一个实根，则3
6a e >
D ．若方程()f x a =恰有三个实根，则3
60a e <<
11．已知函数()2sin 3f x xf x π'??=- ?
??
，则()f x 在,22ππ??-????上的最小值为（ ） A ．
12
π
- B ．
12
π
+ C ．12
π
-
- D ．12
π
-
+
12．已知函数()f x 的导函数()f x ，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．-12
二、填空题
13．()f x 的定义域为()(),00,-∞?+∞，()f x '是导函数，且满足
()2()0xf x f x '->，若()f x 是偶函数，()11f =，则不等式()2f x x >的解集为
__________. 14．已知函数2ln ()a x
f x x x
=
-，对于12,[2,2020]x x ∈，且当21x x >时，恒有()()
1221
0f x f x x x ->，则实数a 的取值范围为__________. 15．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________． 16．函数()x f x e =图像上的点到直线22ln2y x =-的最小距离为______．
17．若()ln f x x =与()2
g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切
线，则a =_________.
18．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________． 19．已知函数()cos x
f x x
=
，则()f x '=___________. 20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则
()f e =__________． 三、解答题
21．已知函数3
2
1()12
f x x x ax =-
++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2
??-???
?
上的最大值．
22．已知函数()(1)ln f x x x ax a =++-.
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 23．已知函数2()3(6)ln ()f x x a x a x a R =+--∈ （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）当1a =时，证明：对任意的2
0,()352x x f x e x x >+>++.
24．运动员小王在一个如图所示的半圆形水域(O 为圆心，AB 是半圆的直径)进行体育训练，小王先从点A 出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P 处，再从点P 沿着弧PB 跑步至点B 处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A 处，本次训练结束.已知1500m OA =，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m /s ，4m /s ，10m /s ，设θ∠=PAO 弧度.
（1）试将小王本次训练的时间t 表示为θ的函数()t θ，并写出θ的范围； （2）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由. （参考公式：弧长l r α=，其中r 为扇形半径，α为扇形圆心角.） 25．已知函数()2
ln f x x x
=
+. （1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间1,e e ??????
上的最大值和最小值.
26．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值． （1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；
（2）若对[]
1,2x ∈，不等式()2
f x c <恒成立，求c 的取值范围．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据题意，设()()5
3
23g x f x x x x =-=++，分析可得()g x 为奇函数且在R 上为增函
数，据此可得原不等式等价于()()2g a g a >-，结合函数的单调性可得2a a >-，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，设()()5
3
23g x f x x x x =-=++，其定义域为R ，
则()()
()5
3
3g x x x x g x -=-++=-，则()g x 为奇函数，
又由()4
2
5910g x x x '=++>，则()g x 在R 上为增函数，
故
()()()()()()24222222f a f a f a f a f a f a ??+->?->--+?->---??
()()2g a g a ?>--()()2g a g a ?>-，必有2a a >-，
解得1a >，即a 的取值范围为()1,+∞. 故选：C ． 【点睛】
利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：
（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式
()()12f g x f g x ????
式即可；
（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式
()()12f g x f g x ????
等式即可.
2．D
解析：D 【分析】
由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】
由题意可得：存在实数0
0x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，
假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=，
则0
ln x k x =-
， 令()ln x
h x x
=-， 则()2
ln 1
x h x x -'=
， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，
令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，
则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1
min e h x h x h e e e
≥==-=-， 所以1
k e
≥-， 故选：D. 【点睛】
关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.
3．B
解析：B 【分析】
根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()
()e
x f x g x =的单调递减区间. 【详解】
因为()f x
为幂函数，且过点12?????，所以设()f x x α
=
，所以1=22α
? ??
，所以2α=，所以()2f x x =，
所以2()e
x x g x =，则(2)()e x x x g x '
-=，
当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>， 所以()
()e
x f x g x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()
f x
的单调递减区间.
4．D
解析：D 【分析】
构造函数()()
f x h x x =，根据导数可判断函数单调递减，由()()2019120191
f m f m ->-，结合函数定义域可解得. 【详解】
令()()f x h x x =
，()0,x ∈+∞，则()()()
2xf x f x h x x
'-'=， 因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减． 因为()()()201920191f m m f ->-，20190m ->，所以
()()201912019
1
f m f m ->
-，
即()()20191h m h ->，所以20191m -<且20190m ->，解得20192020m <<， 所以实数m 的取值范围为()2019,2020． 故选D ． 【点睛】
易错点点睛，本题的容易忽略定义域20190m ->，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.
5．A
解析：A 【分析】
2121|()()|||f x f x x x -<-可化成
1212|()()|
1||
f x f x x x -<-，表示的是函数图象上任意两点连线的斜
率的绝对值，而四个选项中的函数都是(1,2)上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在(1,2)内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是(1,1)-或是(1,1)-的子集即可． 【详解】
解：因为对于区间(1,2)上的任意1x ，212()x x x ≠，2121|()()|||f x f x x x -<-恒成立” 所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是(1,2)上的可导函数，则在(1,2)内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为 在(1,2)上四个函数的导数绝对值是否满足恒在(0,1)取值即可， 对于21:|()|A f x x '=
，当(1,2)x ∈时，
1
()(,1)(0,1)4
f x '∈?，故A 符合题意； 对于B ：由题意()f x x =，()1f x '=，故B 不满足题意； 对于C ：函数()2f x x =，所以()21f x '=>，故C 不满足题意；
对于:()2D f x x '=，当(1,2)x ∈时，()(2f x '∈，4)，故D 不满足题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．
6．B
解析：B 【详解】
()21
ln 2
f x x ax bx =--,
,
,由
得
，
()()()111
1ax x f x ax a x x
+-=
-+-=-', 若
,由
,得,当
时,
,此时
单调递增；
1x > 时,
,此时
单调递减；
所以是
的极大值点．
若
,则由,得
或
．
时
的极大值点, ,解得
．综上：,的取值范围时
．故选B ．
【点晴】
本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对
求导,得
,由
得
,将代入到导函数中,可得
()()()111
1ax x f x ax a x x
+-=
-+-=-',接下来分和
两种情况,结合函数的单
调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．
7．D
解析：D 【分析】
由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a
a b a b
+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】
因为函数ln()y x b =+的导数1
y x b
'
=
+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，
所以
1
1x b
=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=， 又a 、b 为正实数，
所以
()12122333b a a b a b a b a b ??+=++=++≥+=+ ???，
当且仅当1a =，2b =.
所以
12
a b +的最小值是3+. 故选：D. 【点睛】
本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】
解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：
22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-
则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：
()g x ∴在(0,)+∞单调递减，
由()()2
1x f x f -21x <-
()()2211x f x x f ∴-<-
即()()1g x g < 即1x >；
当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-
综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-?，)+∞， 故选：D ． 【点睛】
主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．
9．B
解析：B 【分析】
求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】
()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，
∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<， 由()()010f f ''<，
故()f x 的极值点所在的区间为()0,1， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程()f x a =的根的情形． 【详解】
由题意2
()(23)(1)(3)x
x
f x x x e x x e '=+-=-+，
∴当3x <-或1x >时，()0f x '>，当31x -<<时，(00f x '<， ()f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递增，在(3,1)-上递减． ()f x 极大值＝36
(3)f e
-=
，()f x 极小值＝(1)2f e =-，
x
()f x →+∞，
∴(1)f 也是最小值．()f x 无最大值． 作出()y f x =的图象，和直线y a =，如图， 当1a =或36a e >时，()f x a =有一个根，当3
6
0a e <<时，()f x a =有三个根．
故选：D ．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．
11．D
解析：D 【分析】
求得函数的导数()2cos 3f x f x π??''=- ???
，得到1()32f π'=，得到()sin f x x x =-，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2sin 3f x xf x π'
??=- ?
??
，可得()2cos 3f x f x π??''=- ???， 令3
x π
=
，可得()2cos 3
33f f π
ππ'
??
'=-
?
??
，解得1()32f π'=， 即()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，
当2x π=-
，函数取得最小值，最小值为()sin()1222
f x πππ
=---=-+. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了函数的导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
12．B
解析：B 【分析】
将()2f '看出常数利用导数的运算法则求出()f x '，令2x =求出()2f '代入()f x '，令
5x =求出()5f '即可．
【详解】 解：
()2()322f x x xf '=+，
()()622f x x f '∴=+'， ()(2)1222f f '∴=+'
(2)12f '∴=- ()624f x x '∴=- (5)65246f '∴=?-=
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清()2f '是常数，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】构造函数分析出函数为偶函数且在上为增函数将所求不等式变形为可得出可得出由此可解得原不等式的解集【详解】构造函数该函数的定义域为由于函数为偶函数则所以函数为偶函数当时则所以函数在上为增函数可得 解析：()
(),11,-∞-+∞
【分析】 构造函数()()
2f x g x x
=
，分析出函数()g x 为偶函数且在()0,∞+上为增函数，将所求不等式变形为()()1g x g >，可得出()
()1g x g >，可得出1x >，由此可解得原不等式的解集. 【详解】 构造函数()()
2f x g x x
=
，该函数的定义域为()(),00,-∞?+∞， 由于函数()f x 为偶函数，则()()
()
()
()2
2
f x f x
g x x
x g x --==-=
，所以，函数()g x 为偶函数.
()()()()()243
22x f x xf x x f x f x g x x x
''?-?-'==， 当0x >时，()2()0xf x f x '->，则()0g x '>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，
()11f =，可得()()21111f g =
=，由()2
f x x >可得()2
1f x x
>，即()()1g x g >， 所以，()
()1g x g >，1x ∴>，解得1x <-或1x >. 因此，不等式()2
f x x >的解集为()
(),11,-∞-+∞.
故答案为：()(),11,-∞-+∞.
【点睛】
方法点睛：该题主要考查利用导数求解函数不等式，在解题的过程中，思路如下： （1）构造函数，利用导数，结合已知条件，判断函数的单调性与奇偶性； （2）根据题中所给的函数零点，判断函数值符号，可得出不等式，求解即可.
14．【分析】依题意构造函数则函数在上单调递减利用导数研究函数的单调性则恒成立再根据参变分离即可得解【详解】解：由可知则函数在上单调递减∴∵∴∴实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数的求导构造函 解析：(,24]-∞
【分析】
依题意，构造函数()()F x xf x =，则函数在[2,2020]上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则()0F x '
≤恒成立，再根据参变分离，即可得解. 【详解】
解：由()()
1221
0f x f x x x ->，2120202x x ≥>≥，可知()()1122x f x x f x >，则函数()()F x xf x =在[2,2020]上单调递减.32()()ln ,()30a
F x xf x a x x F x x x
'=
=-=
-≤，∴33a x ≤.
∵[2,2020]x ∈，∴33224a ≤?=，∴实数a 的取值范围为(,24]-∞. 故答案为：(,24]-∞. 【点睛】
本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
15．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本 解析：7a b +=
【分析】
先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】
解∵函数322
()f x x ax bx a =--+
∴2()32f x x ax b '=--，
又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，
∴2
320110a b a b a --=??--+=?，∴411a b =-??=?或3
3a b =??=-?
当411a b =-??=?时，2
()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意； 当33
a b =??=-?时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b += 【点睛】
本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
16．【分析】根据函数图象结合几何关系寻找与直线平行的直线与相切切点到直线的距离即为所求【详解】根据函数图象只需寻找与直线平行的直线与相切切点到直线的距离就是函数图像上的点到直线的最小距离由题令则到直线的 解析：
25
【分析】
根据函数图象，结合几何关系，寻找与直线22ln2y x =-平行的直线与()x
f x e =相切，切点到直线的距离即为所求. 【详解】
根据函数图象，只需寻找与直线22ln2y x =-平行的直线与()x
f x e =相切，切点到直线
22ln 2y x =-的距离就是函数()x f x e =图像上的点到直线22ln 2y x =-的最小距离，
由题()x f x e =，()x f x e '=，令2,ln 2()x
f x e x =='=，
则()ln 2,2到直线22ln 2y x =-的距离最小， 2ln 22ln 225
2
41
--=
+.
【点睛】
此题考查求曲线上的点到直线距离的最小值，通过等价转化，只需寻找与直线
22ln2y x =-平行的直线与()x f x e =相切，且点即为所求点，数形结合求解. 17．或【分析】在曲线上取切点利用导数得出得出的值可求出切线的方程再将该切线方程与二次函数解析式联立利用求出实数的取值范围【详解】在曲线上取切点由题意可得得切点坐标为则所求切线方程为由于直线与函数的图象相
解析：3或1-. 【分析】
在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，利用导数得出()1f t '=得出t 的值，可求出切线的方程，再将该切线方程与二次函数()2
g x x ax =+解析式联立，利用0?=求出实数a 的取
值范围. 【详解】
在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，()ln f x x =，()1
f x x
'∴=，
由题意可得()1
1f t t
'=
=，得1t =，切点坐标为()1,0，则所求切线方程为1y x =-. 由于直线1y x =-与函数()2
g x x ax =+的图象相切，联立得2
1
y x y x ax =-??=+?
， 消去y 并整理得()2
110x a x +-+=，则()2
214230a a a ?=--=--=，
解得1a =-或3，故答案为3或1-. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线方程，在求解直线与二次函数图象相切的问题，可以将直线方程与二次函数解析式联立，利用判别式为零来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函 解析：e
【分析】 求出
'()f x ，分0m ≤，1
0m e <≤，1m e
>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，
从而得到m 的值. 【详解】
()1
'(),0,mx f x x e x
-=
∈， 当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3
m e
=，舍；
当1
0m e
<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，
()()min 12f x f e me ==-=，故3
m e
=，舍；
当1m e >
时，若10,x m ??
∈ ???，'()0f x <，故()f x 在10,m ?? ???
上为减函数； 若1,x m ??∈+∞
???，'()0f x >，故()f x 在1,m ??
+∞ ???
上为增函数； 所以min 11
()ln 2f x m m m
=?
-=，故m e =，符合； 综上，m e =，故填e . 【点睛】
求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．
19．【分析】根据导数的运算法则求导即可【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了导数的运算法则掌握法则和常用导数公式是关键属于基础题
解析：
2
sin cos x x x
x
-- 【分析】 根据导数的运算法则，求导即可． 【详解】
()22
cos x xsinx cosx xsinx cosx f x x x x '
'--+??===- ???
． 故答案为2
sin cos x x x
x --．
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则，掌握法则和常用导数公式是关键，属于基础题
20．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化
解析：-1.
【解析】
分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x
''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e
''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e
=-+=-，
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.
三、解答题
21．（1）210x y -+=；（2）4927
． 【分析】
（1）当2a =时，求得函数的导数2
()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线
()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2
()32f x x x '=--，根据导数的符
号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】
（1）当2a =时，函数3
2
1()212
f x x x x =-
++， 可得2
()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=
又由()01f =，
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.
（2）由3
2
1()12
f x x x ax =-
++，可得2()3f x x x a '=-+， 因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，
此时3
2
1()212
f x x x x =-
-+，且2()32f x x x '=--， 令()0f x '=，即2320x x --=，解得2
3
x =-或1x =， 当2
3
x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当2
13
x -
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增，在区间2
(,1)3
-上单调递减， 所以()1
1,(2)52
f f =--=-， 因为24931(),()32724
f f -=
=， 所以函数()f x 的最大值为2
49()3
27
f -=. 【点睛】
解决函数极值、最值综合问题的策略：
求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）440x y --=；（2）2a ≥-. 【分析】
（1）先写出当2a =时，()f x 解析式，再求导，根据导数的几何意义可得4k =切，再由点斜式写出切线的方程．
（2）先求出()f x '，在求出()f x ''，通过分两种情况2a -，2a <-，讨论()f x ''的正负，进而得()f x '的增减性，推出()f x '最小值的范围，进而判断()0f x 是否恒成立，即可得出答案． 【详解】
解（1）当2a =时，()(1)ln 22f x x x x =++-，1
()ln 2x f x x x
+'=++，(1)4f '=，所以切线斜率4k =，
又(1)0f =，所以切线方程为4(1)y x =-，即440x y --=. （2）11()ln ln 1x f x x a x a x x +'=+
+=+++，22111
()x f x x x x
-''=-=. 当[1,)x ∈+∞时，()0f x ''≥，所以()'
f x 在[1,)+∞上单调递增，
所以()(1)2f x f a ''≥=+.
①当20a +≥即2a ≥-时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以
()(1)0f x f ≥=，满足题意.
②当20a +<即2a <-时，必存在0(1,),x ∈+∞当0[1,),()0x x f x '∈<，
0(,),()0x x f x '∈+∞>，所以()f x 在0[1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以min 0()()(1)0f x f x f =<=，所以()0f x ≥不恒成立，所以2a <-不满足题意.
综上，a 的取值范围为2a ≥-. 【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等
式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'
f x 的正负，得增减区间；
（2）不等式变形为ln 20x e x -->，令()ln 2x h x e x =--，由()h x '的单调确定其有唯一零点0x ，得出0x 为()h x 极小值点，也是最小值点，证明最小值即得． 【详解】
（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞
由已知得26(6)(6)(1)
()6(6)a x a x a x a x f x x a x x x
+---+=+--==
' 当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 当0a >时，由()0f x '>，得6a x >
，由()0f x '<，得06
a
x << 所以函数()f x 的单调递增区间为,6a ∞??+
???，单调递减区间为0,6a ?? ???
综上，当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,6a ∞??+
???，单调递减区间为0,6a ??
???
． （2）当1a =时，不等式2
()352x f x e x x +>++可变为ln 20x e x -->. 令()ln 2x
h x e x =--，则1()x
h x e x
'=-
，可知函数()h x '
在(0,)+∞单调递增，.. 而1
31303h e ??=-< ?'??
，(1)10h e '=-> 所以方程()0h x '=在(0,)+∞上存在唯一实根0x ，即0
1x e x =
当()00,x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；
所以()0
0min 00000
111
()ln 2ln 220x x h x h x e x x x e x ==--=
--=+-> 即 ln 20x e x -->在(0,)+∞上恒成立， 所以对任意2
0,()352x
x f x e x x >+>++成立. 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题．把不等式化简
后，引入新函数，由导数得出新函数的最值，证明最值符合不等关系即可证原不等式．这里对导函数的零点不能求得具体数，可以得出其存在性，得出其性质（范围），然后利用导数的零点化简原函数的最值，以证结论． 24．（1）()1500300,0,22t cos θπθθθ??
??
=++∈ ? ??
???
；（2）不能超过40分钟，理由见解析. 【分析】
（1）在OAP △中，得到2AP OAcos θ=， 在扇形OPB 中，()2PB OA θ=?，再由
2BA OA =，然后根据小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m /s ，4m /s ，
10m /s 求解.
（2）根据（1）的结果，利用导数法求解. 【详解】
（1）在OAP △中，23000AP OAcos cos θθ==，
在扇形OPB 中，()23000PB OA θθ=?=， 又23000BA OA ==， 所以小王本次训练的总时间：
()2410
P A A t B P B θ=
++
3000300030002410cos θθ=++.
15003002cos θθ??=++ ???，0,2πθ??
∈ ???
．
（2）由（1）得()1'15002t sin θθ?
?=-- ???
， 令()'0t θ=，得1
2sin θ=，6
πθ∴=， 列表如下，
从上表可知，当6
θ=
时，()t θ取得极大值，且是最大值，
()t θ∴
的最大值是1500cos 3006612t πππ???
?=++
? ????
? 125300π=+， 32<， 3.2π<，
7502125 3.230022006t π??
∴
． 22004060
∴小王本次训练时间不能超过40分钟．
【点睛】
本题主要考查函数的建模问题以及函数的最值与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
25．（1）30x y +-=；（2）max 1()21f x f e e ??==- ???
，()min (2)1ln 2f x f ==+ 【分析】 （1）由()2ln f x x x
=
+得()12f =，切点为()1,2，由()212
f x x x '=-，求出
()11f '=-即为斜率，即可写出在点()()1,1f 处的切线方程.
（2）根据导数判断()f x 在区间1,e e ??????
的单调性，即可求出最值.
【详解】
由()2
ln f x x x
=
+得()12f =，所以切点为()1,2， 因为()212
f x x x
'=-，所以()11f '=-，
曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2(1)1y x -=--， 即30x y +-= ，
曲线()y f x =在点()(
)
1,1f 处的切线方程为：30x y +-=. （2）()22122x f x x x x
='-=
-， 由()0f x '>得2x e <<， 由()0f x '<得
1
2x e
<<， 所以()f x 在1,2e ??
???
单调递减，在()2,e 单调递增，
所以()min (2)1ln 2f x f ==+，
121f e e ??
=- ???
，()21f e e =+
()1f f e e ??> ???，所以max 1()21f x f e e ??
==- ???
， 综上所述：()min (2)1ln 2f x f ==+，max 1()21f x f e e ??
==- ???