吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试
数学理试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若复数i a a z )1(12-+-=（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ） A.1± B. 1- C. 0 D. 1 2.设)2,1(=，),2(k =，若⊥+)2(，则实数k 的值为（ ） A. 2- B. 4- C. 6- D. 8-
3.在等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102
=+-x x 的两根，则=++201410082a a a
（ ） A ．10
B ．15
C ．20
D ．40
4．如图，正三棱111C B A ABC -的正视图是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图的
面积为（ ）
A ．16
B ．32
C ．34
D ．38
5.在非直角ABC ?中 “B A >”是“B A tan tan >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 在等比数列{}n a 中，若21=a ，052=+a a ，{}n a 的n 项和为n S ，则=+20162015S S （ ）
A ．4032
B ．2
C ．2-
D ．4030-
7.在边长为1的等边ABC ?中，E D ,分别在边BC 与AC 上，且DC BD =，EC AE =2 则=?（ ） A. 21-
B. 31-
C. 41-
D. 6
1- 8.已知曲线1ln 34
2+-=
x x y 的一条切线的斜率为21
，则切点的横坐标为（ ） A. 3
B. 2
C. 1
D.
2
1
9.将函数)4
6sin(
π
+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
，再向
A
B
C 1A
1B 1C
主视图
右平移
8
π
个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ） A.???
??0,16π B. ??
?
??0,9π C. ??
?
??0,4π D. ??
?
??0,2π 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 35
（c 为双
曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（ ） A ．
25 B ．2
5
3 C ． 23 D ．53
11．函数)(2
2R ∈-=x x y x
的图象大致为（ ）
12.已知函数??
?>≤+=0
,
log 0,
1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，
4x ，且4321x x x x <<<，则4
2
32131
)(x x x x x +
+的取值范围是（ ） A. ),1(+∞- B. (]1,1- C. )1,(-∞ D. [)1,1- 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量)2,1(-=a ，)3,2(=b ，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 . 14．已知4)1(221
≤+≤
?
dx kx ，则实数k 的取值范围为 .
15．下列命题中，正确的是 （1）曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ； （2）函数x y 216-=
的值域是[]4,0；
（3）已知)cos 1,1(),cos 1,(sin θθθ-=+=b a ，其中)23,
(π
πθ∈，则b a ⊥； （4）O 是ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足：???
? ??++=C C OA OP sin sin λ
， ()+∞∈,0λ，则直线AP 一定通过ABC ?的内心；
16.数列{}n a 中，21=a ，72=a ，2+n a 是1+n n a a 的个位数字，n S 是{}n a 的前n 项和，则
=-72427a S .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 在
ABC
?中，内角
C
B A ,,所对的边分别为
c
b a ,,，若
C A C A B tan tan )tan (tan sin =+.
（1）求证：c b a ,,成等比数列；（2）若2,1==c a ，求ABC ?的面积S .
18.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点)cos ,2
1
(2
θP 在角α的终边上，点)1,(sin 2-θQ 在角β的终边上，
且2
1-
=?OQ OP ． （1）求θ2cos 的值；（2）求)sin(
βα+的值．
19.（本小题满分12分）
已知函数x a x f =)(的图象过点)21
,1(，且点),1(2
n a n n -)(*N n ∈在函数x
a x f =)(的图象上．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n a a b 2
1
1-
=+，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：5 在长方体1111D C B A ABCD -中，1=AD ，21==AB AA ．点E 是线段AB 上的动点，点M 为C D 1的中点． （1）当E 点是AB 中点时，求证：直线ME ∥平面11A ADD ； A B C D 1A 1B 1C 1D M (20题图) （2）若二面角C E D A --1的余弦值为 15 15 4，求线段AE 的长． 21. （本小题满分12分） 已知椭圆：)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为32，离心率 为 3 3 ，动点P 在直线3=x 上，过2F 作直线2PF 的垂线l ，设l 交椭圆于Q 点． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； 22. （本小题满分12分） 设函数x x x f ln )2()(2 +=，R a ax x x g ∈+=,2)(2 （1）证明：)(x f 是),0(+∞上的增函数； （2）设)()()(x g x f x F -=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x F 恒成立，求a 的取值范围. 数 学 试 题 （理）参考答案 一、选择题（每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D D B A A D C A B 二、填空题（每题5分，共20分） 13. 9<λ且1-≠λ 14. ??? ???2,32 15. （1），（3），（4） 16. 955 三、解答题 17. 【答案】解： （1）由已知C A C A B tan tan )tan (tan sin =+.得：C A C A C C A A B cos cos sin sin )cos sin cos sin (sin =+，----2分 即：C A C A B sin sin )sin(sin =+，即：C A B sin sin sin 2 =---------4分 由正弦定理：ac b =2 ，所以：c b a ,,成等比数列.------------5分 （2）由（1）知：ac b =2 ，2,1==c a ，所以：2= b ，------------6分 由余弦定理：432122412cos 222=??-+=-+=ac b c a B ，所以：4 7 sin =B -------------8分 所以：4 7 472121sin 21= ???== B ac S --------10分 18.【答案】解： （1）因为21-=?OQ OP ，所以2 1cos sin 212 2-=-θθ，------------2分 即：21cos )cos 1(2122-=--θθ，所以3 2cos 2 =θ，------------4分 所以311cos 22cos 2 =-=θθ．------------6分 （2）因为32cos 2=θ，所以31sin 2 =θ，所以)32,21(P ，)1,3 1(-Q ， 又点)32,21(P 在角α的终边上，所以5 3 cos ,54sin ==αα ---------8分 同理 10 10 cos ,10103sin = - =ββ ---------10分 所以： 10 10 )10103(53101054sin cos cos sin )sin(-=-?+?=+=+βαβαβα--------12分 19. 【答案】解： （1）由条件知：21= a ，所以：x x f 2 1 )(=，-----------2分 )(x f 过点), 1(2n a n n -，所以：122 1-=n n n a --------------4分 所以：12 2 -=n n n a -------------5分 （2）n n n n n n n b 2 1 222)1(22+=-+=-----------7分 =n S n n n n 2 1)12(21)12(217215213132++-++?+?+? - =n S 2 1 +?+?32215213112 1 )12(21)12(21)32(+-++-+-+n n n n n n -------------10分 所以：525 25<+- =n n n S -----------12分 20. 【答案】解： （1）证明：取1DD 的中点N ，连结ME AN MN ,,， -------1分 MN ∥CD 21，AE ∥CD 2 1 ------3分 ∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知ME ∥AN --------4分 ?AN 平面11A ADD ，?ME 平面11A ADD ∴ME ∥平面11A ADD -------6分 （2）解：设 AE m =，如图建立空间直角坐标系-----------7分 1(1,0,0),(1,,0),(0,2,0),(0,0,2)A E m C D ， )0,2,1(),2,2,0(),0,,0(),2,0,1(1m D m --=-==-= 平面E AD 1的法向量为),,(1111z y x n =，由011=?AD n 及01=?n 得)1,0,2(1=n 平面EC D 1的法向量为),,(2z y x n =， 由012=?D n 及02=?n 得 )1,1,2(2m n -=--------10分 15 542 )2(525cos 2= +--= = m m θ，即 012916202 =+-m m 解得：23=m 或1043=m （舍去） 所以：2 3 =AE -------------12分 21. 【答案】解： （1）由条件得：???? ???+====22233322c b a a c e a ，解得：2,1,3===b c a ， 所以椭圆E ：12 32 2=+y x ---------------5分 （2）设),(),,3(110y x Q y P Q F PF 22⊥ ，所以：022=?F PF ，即：0)1(2101=+-y y x ------------7分 又因为：1 2 101211011133x x y y y x y y x y K K OQ PQ --=--?=，且)31(2212 1x y -=，--------10分 代入化简得：3 2 -=OQ PQ K K ---------12分 22.解：若证明)(x f 是),0(+∞上的增函数，只需证明0)(≥'x f 在),0(+∞恒成立， 即：02ln 2)(≥++ ='x x x x x f 0)12ln 2(2≥++?x x x 012 ln 22≥++?x x -------4分 设),0(,12ln 2)(2+∞∈++=x x x x h ，3 234 242)(x x x x x h -=-=' 所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(2 ln 2)(>=++ ='x xh x x x x x f ，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数.------6分 （2）由02ln )2()()()(2 2 ≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得： x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，------------8分 设x x x x x G 2 22ln )2()(-+= 则2 2) 1)(ln 2()(x x x x G --='， 所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增------------9分 所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022 )1()(>+-= -e e G e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，--------11分 只需2-≤a -------12分
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