对数函数
典例分析
题型一 对数函数的基本性质
【例1】 下面结论中，不正确的是
A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数
B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称
C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数
D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>
【例2】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，
43，310，1
5
，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.
A. 2，
43，15，310 B. 2，43，310，1
5 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，1
5
【例3】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.
A B C D
【例4】 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，
上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =（ ）. A.2 B. 2 C. 22 D. 4
0 x C 1
C 2 C 4
C 3 1
y
x
y
1 1
o
x
y
o 1 1
o
y
x
1
1 o
y
x
1 1
【例5】 若23
log 1a <，则a 的取值范围是
A.2
03a <<
B.23
a >
C.2
13
a << D.2
03
a <<
或a ＞1
【例6】 比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8.
【例7】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.
A. 1m n >>
B. 1n m >>
C. 01n m <<<
D. 01m n <<<
【例8】 已知1112
2
2
log log log b a c <<，则（）
A.222b a c >>
B.222a b c >>
C.222c b a >>
D.222c a b >>
【例9】 下列各式错误的是（ ）.
A. 0.80.733>
B. 0.10.10.750.75-<
C. 0..50..5log 0.4log 0.6>
D. lg1.6lg1.4>.
【例10】 下列大小关系正确的是（ ）.
A. 30.440.43log 0.3<<
B. 30.440.4log 0.33<<
C. 30.44log 0.30.43<<
D. 0.434log 0.330.4<<
【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是
A.c ＞a ＞b
B.c ＞b ＞a
C.a ＞b ＞c
D.b ＞a ＞c
【例12】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有
何关系？
【例13】 如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围.
【例14】 若log 2log 20a b <<，则（）
A.01a b <<<
B.01b a <<<
C.1a b >>
D.1b a >>
【例15】 若log 3log 3m n <，求m n 和的关系。
【例16】 比较下列各数大小：
1．0.30.4log 0.7log 0.3与
2．1
2
0.6 3.41log 0.8,log 0.73-
?? ???
和
3．0.30.2log 0.1log 0.1和
【例17】 比较下列各组数的大小：
⑴2log 3.4，2log 8.5； ⑵0.3log 1.8，0.3log 2.7；
⑶log 5.1a ，log 5.9a (0,a >且1)a ≠; ⑷20.3，2log 0.3，0.32.
【例18】 若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a
b 、1
log b b
.
【例19】 已知2
log 13
a
<，求a 的取值范围.
【例20】 设01a <<，,x y 满足：log 3log log 3a x x x a y +-=，如果y
，求此时a 和x 的值．
【例21】 已知6lg lg A p q =+，其中,p q 为素数，且满足29q p -=，求证：34A <<
【例22】 不
312
1
log 202x +>的解集为_______
题型二 对数型符合型复合函数的定义域值域
【例23】 下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）
A.log (0,1)a x
y a a a =>≠ B. y =2
x x
C. log (0,1)x a y a a a =>≠
D. y
【例24】 函
数y ）.
A. (1,)+∞
B. (,2)-∞
C. (2,)+∞
D. (1,2]
【例25】 函
数y = . （用区间表示）
【例26】 求下列函数的定义域：
（1
）y =
(2)y =
【例27】 求下列函数的定义域：
⑴2log a y x =；
⑵log (4)a x -；
⑶y .
【例28】 求下列函数的定义域：
⑴31
log (32)
y x =-；
⑵1log (3)x y x -=-.
【例29】 求下列函数的定义域：
（1）2log a y x =； （2）log (4)a y x =-； （3）2log (9)a y x =-
【例30】 求下列函数的定义域：
⑴()3log 1y x =- ⑵21
log y x
=
⑶7
1
log 13y x
=-
【例31】 求下列函数的定义域：
（1） (
)()3log 1f x x =
++；
（2
）y =
【例32】 函数212
log (617)y x x =-+的值域是（ ）.
A. R
B. [8,)+∞
C. (,3]-∞-
D. [3,)+∞
【例33】 函数2lg(20)y x x =-的值域是
A.y ＞0
B.y ∈R
C.y ＞0且y ≠1
D.y ≤2
【例34】 求下列函数的定义域、值域：
1．y =
2．22log (25)y x x =++
3．213
log (45)y x x =-++
4．y
【例35】 已知函数2()lg[2(1)94]f x mx m x m =++++，
⑴若此函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围；
⑵若此函数的值域为R ，求实数m 的取值范围.
【例36】 对于212
()log (23)f x x ax =-+，
⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；
⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别. ⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，.
⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数.
⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
【例37】 已知函数2328()log 1
mx x n
f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]02，，求m ，n 的值.
【例38】 求函数2
221
()log log (1)log ()1
x f x x p x x +=+-+--的定义域和值域.
题型三 对数型符合型复合函数的单调性
【例39】 下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）.
A. 12
log (1)y x =+ B. 2log y = C. 2
1log y x
= D. 2
0.2log (4)y x =-
【例40】 证明函数y=12
log (2x +1)在（0，+∞）上是减函数；
【例41】 判断函数y=12
log （2x +1)在（-∞,0）上是增减性.
【例42】 讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.
【例43】 求()
20.3log 2y x x =-的单调递减区间
【例44】 求函数()
22log 4y x x =-的单调递增区间
【例45】 求函数212
log (318)y x x =--的单调区间，并用单调定义给予证明。
【例46】 求函数212
log (23)y x x =--的单调区间，并用单调定义给予证明
【例47】 已知()log (1)x a f x a =-(0,a >且1)a ≠，
⑴求()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的单调性；
【例48】 已知6
()log ,(0,1)a
f x a a x b
=>≠-，讨论()f x 的单调性.
【例49】 已知()
log 2x a y a =-在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
【例50】 已知()lg()x x f x a b =-，a,b 为常数
①当a ，0b >且a b ≠时，求()f x 的定义域；
②当10a b >>>时，判断f (x )在定义域上的单调性，并用定义证明
【例51】 设[]2,8x ∈，函数21()log ()log ()2a a f x ax a x =?的最大值是1，最小值是1
8
-，求a
的值。
【例52】 已知函数2
()log 2
a
x f x x -=+的定义域为[],αβ，值域为[]log (1),log (1)a a a a βα--，且()f x 在[],αβ上为减函数. （1）求证α＞2； （2）求a 的取值范围.
【例53】 在函数(01a y log x a =<<，1)x ≥的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别
是t ，t ＋2，t ＋4，
（1）若△ABC 的面积为S ，求S ＝f （t ）； （2）判断S ＝f （t ）的单调性； （3）求S ＝f （t ）的最大值.
题型四 对数函数的综合与应用
【例54】 函数1lg
1x
y x
+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称 D. 直线y ＝x 对称
【例55】 函数())f x x =是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【例56】 函数log a y x =在[2,)x ∈+∞上恒有||1y >，求a 的范围.
【例57】 已知a ＞0，a ≠1，01x <<，比较|log (1)|a x +和|log (1)|a x -的大小.
【例58】 若关于
lg()
2lg lg3
x a x -=-至少有一个实数根，则求a 的取值范围.
【例59】 设a ，b 为正数，若lg()lg()10ax bx +=有解，则求
a
b
的取值范围.
【例60】 如果21
1222
2
log
(1)log
2a a a a +
+
+≤，求a 的取值范围.
【例61】 已知2{|log (583)2}x A x x x =-+>，24{|210}B x x x k =-+-≥，要使A B ，求实
数k 的取值范围.
【例62】 已知log log 2(0a a x y a +=>，1)a ≠，求11
x y
+的最小值.
【例63】 已知2520x y +=，求lg lg x y +的最大值.
【例64】 已知2244x y +=，求xy 的最大值.
【例65】 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。
【例66】 已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求：
（1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.
【例67】 当a 为何值时，不等式215log 1)log (6)log 30a a
x ax ?+++≥有且只
有一解
【例68】 设函数()|lg |f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >，证明：1ab <
【例69】 设124
()min(3log ,log )f x x x =+，其中min(,)p q 表示p 、q 中的较小者，求()f x 的
最大值
【例70】 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人
民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度
y
关于
x
的函数关系式为：
[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中. 当燃料重量为1)m 吨（e 为自
然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.
（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =； （2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
【例71】 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用
瓦/平方米 （2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：10
10lg
I
L I = （单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=?，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：
（1）树叶沙沙声的强度是122110/W m -?，耳语的强度是102110/W m -?，恬静的无限电广播的强度为82110/W m -?. 试分别求出它们的强度水平.
（2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？
【例72】 已知函数()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，
⑴试比较函数值()f x 与()g x 的大小； ⑵求方程|()()|()()4f x g x f x g x -++=的解集.
【例73】 已知函数1,0)((log )(≠>-
=a a x ax x f a 为常数）
（1）求函数f (x )的定义域；
（2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性。 （3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。
【例74】 对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的∈x []n m ,，
均有1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与
)1,0(1
log )(2≠>-=a a a
x x f a
，给定区间[]3,2++a a 。 （1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。
【例75】 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数
()()f x g x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.
2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1． （1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ．
7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案：
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x D ．不确定 解析： 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .故选A. 答案： A 2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析： f (a )＝log 2(a ＋1)＝1 ∴a ＋1＝2 ∴a ＝1.故选B. 答案： B 3．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( ) 解析： 由y ＝a x 解得x ＝log a y ， ∴g (x )＝log a x . 又∵g (2)<0，∴0 A.????22，2 B ．[－1,1] C.????12，2 D.? ???－∞，22∪[2，＋∞) 解析： 函数f (x )＝2log 12 x 在(0，＋∞)为减函数， 则－1≤2log 12 x ≤1， 可得－12≤log 12x ≤12 ， 解得22 ≤x ≤ 2.故选A. 答案： A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1)，则a ＝________. 解析： 函数f (x )的反函数为y ＝log a x ，由题意，log a 3＝1， ∴a ＝3. 答案： 3 6．设g (x )＝????? e x (x ≤0)ln x (x >0)，则g ????g ????12＝________. 解析： g ????12＝ln 12 <0， g ????ln 12＝eln 12＝12 ， ∴g ????g ????12＝12 . 答案： 12 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log 2(9－x 2)； (2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)； (3)f (x )＝2x ＋3x －1 log 2(3x －1)． 解析： (1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0，即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}． 1．函数f (x ）＝错误!的定义域为( ） A.错误! B ．(2，＋∞) C.错误!∪（2，＋∞） D.错误!∪ C ．（2,3)∪（3,4］ D ．(－1，3)∪(3,6] 解析:选C 由错误!得错误!故函数定义域为(2,3）∪（3,4］，故选C. 6．计算:lg 0.001＋ln 错误!＋2 21log 3－＋＝________。 解析：原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋错误!＋错误!＝－1。 答案:－1 7．已知函数f (x )＝错误!关于x 的方程f （x ）＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______． 解析： 问题等价于函数y ＝f （x ）与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1. 答案：（1，＋∞） 8．函数f (x ）＝log 2错误!·log 错误!(2x )的最小值为______． 解析：依题意得f (x ）＝错误!log 2x ·(2＋2log 2x ）＝(log 2x )2＋log 2x ＝错误!2 －错误!≥－错误!, 当且仅当log 2x ＝－错误!，即x ＝错误!时等号成立, 因此函数f （x ）的最小值为－错误!。 答案：－错误! 9．已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，f （0)＝0,当x >0时，f （x ）＝log 12x 。 （1)求函数f （x )的解析式; (2)解不等式f （x 2 －1)>－2。 解:(1）当x 〈0时，－x 〉0,则f (－x ）＝log 12 （－x )． 因为函数f (x ）是偶函数，所以f （－x )＝f （x )． 所以函数f （x ）的解析式为 f (x )＝错误! (2)因为f (4)＝log 错误!4＝－2，f (x ）是偶函数， 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2 二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、描点法： B、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 对数函数 典例分析 题型一 对数函数的基本性质 【例1】 下面结论中，不正确的是 A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数 B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称 C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数 D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >> 【例2】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2， 43，310，1 5 ，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）. A. 2， 43，15，310 B. 2，43，310，1 5 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，1 5 【例3】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）. A B C D 【例4】 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ， 上的最大值与最小值之差为1 2 ，则a =（ ）. A.2 B. 2 C. 22 D. 4 0 x C 1 C 2 C 4 C 3 1 y x y 1 1 o x y o 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1 【例5】 若23 log 1a <，则a 的取值范围是 A.2 03a << B.23 a > C.2 13 a << D.2 03 a << 或a ＞1 【例6】 比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. 【例7】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）. A. 1m n >> B. 1n m >> C. 01n m <<< D. 01m n <<< 【例8】 已知1112 2 2 log log log b a c <<，则（） A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 【例9】 下列各式错误的是（ ）. A. 0.80.733> B. 0.10.10.750.75-< C. 0..50..5log 0.4log 0.6> D. lg1.6lg1.4>. 【例10】 下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<< 【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是 A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞b ＞c D.b ＞a ＞c 【例12】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有 何关系？ 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 《对数函数》教学设计 一、教材分析 《对数函数》是在人教版高中数学第一册（上）第二章第2.8节。函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。学生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。 二、学情分析 学生在初中已经学习过二次函数及其图象，又刚刚学习了指数函数的定义、图象的画法并掌握了相关的性质，有了一定的读图能力，能够根据函数图象抽象概括出一些简单的性质。经过两个多月的教学观察，所教班级的学生数学能力及数学思想的形成还很欠缺，逻辑思维能力也有待加强训练。本节课课前布置学生带着问题预习，让学生找出指数函数与对数函数之间的关系，采用多媒体，采取“诱思探究”的教学方法进行教学，充分发挥学生的积极性和主动性，在独立思考与讨论中获取知识，实现教学目标。 三、设计理念 按照认知规律，从感性认识再到理性研究，由浅入深得出对数函数的概念。然后引导学生利用对称作图法和描点作图法比较作出函数图像。通过观察图象、分析图象特征，得出函数的基本性质。整个教学过程始终贯彻学生为主体、教师为引导的教学理念，综合培养学生动手、动眼、动脑的能力，培养学生的探究合作意识和创新能力。 四、学习三维目标 1、知识目标: ⑴、通过求指数函数的反函数，了解对数函数的概念。 ⑵、能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质。 ⑶、能应用对数函数的性质解有关问题。 2、能力目标: ⑴、培养学生数形结合的意识。 ⑵、让学生学会用比较和联系的观点分析问题，认识事物间的相互转化。 ⑶、了解对数函数在实际问题中的简单应用。 对数函数 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= (); n m n mn m a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 对数函数练习题 1、下列图像正确的是（ ） A B C D 2、若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ） A B C D 3、函数y =)12(log 2 1-x 的定义域为（ ） A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1，1] D ．(－∞，1) 4、已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 5、lg(53++53-)的值为( ) A.1 B. 21 C.2 D.2 6、函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为 A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 7、若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[23,2]- B ．)223,2?-? C ．(223,2?-? D ．()223,2- 8、若函数f （x ）=log a x （0 10、 已知函数2log ()3 x x f x ?=? ?(0)(0)x x >≤，则1[()]4f f 的值是 （ ） A ．9 B ．19 C ．－9 D ．－19 11、函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A.),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B. ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D. )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 12、计算：log 2.56.25＋lg 100 1＋ln e ＋3log 122+= 13、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______ ______ 14、若)10(15 3log ≠>--+=a a x x x f a a 且的奇偶性 17、若1)1(log )1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 18、函数y =(log 41x )2－log 4 1x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 19、求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 20、若函数22log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。 21 、判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 22、已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范 围. 2.2.2 对数函数及其性质 一、教材分析 本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2.2 对数函数及其性质的内容二、三维目标 1．知识与技能 （1）掌握对数函数的概念。 （2）根据函数图象探索并理解对数函数的性质。 2．过程与方法 （1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。 （2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。 （2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。 三、教学重点 对数函数的定义、图象和性质 四、教学难点 用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。 五、教学策略 回顾引入教学法 1.复习引入： （1）指对数互化关系： ? ≠ > =)1 ,0 (a a N a b且 （2） )1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质． （3）细胞分裂问题。 2.研习新课 对数函数的概念： 概念中我们要注意什么问题？ 六、教学准备 回顾交流，适时引入新课 （教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a与分裂次数b的关系式为为a=2b。 师：上述关系式都是什么类型的式子？ 生：都是指数式。 师：你能把它改写成对数式吗？ 生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b 师：请大家观察这两个式子有何共同特征？ (生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程) 生甲：n是m的函数，a是b的函数。 生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。 师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它对应，所以n是m的函数，a是b的函数。 师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表示它们吗？ 生：y=log1.073x，y=log2x 师：能用一个共同的解析式表达吗？ 部分生(齐答)：y=log a x 部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1 师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。 (引入新课，师板书课题：对数函数) 七、教学环节 一、复习导入： （1）知识方法准备 我们在前面学习了指数函数及其性质，那么指数函数具有哪些性质呢？下面我和同学们 对数和对数函数 一、 选择题 1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则N M 的值为（ ） （A ） 4 1 （B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga y a n x log ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）2 1 (m-n) 4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ） 35 1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2 1-等于（ ） （A ） 31 （B ）321 （C ）2 21 （D ）331 6．函数y=lg （ 112 -+x ）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（ ） （A ）（ 32，1）?（1，+∞） （B ）（21，1）?（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2 1 ，+∞） 8．函数y=log 2 1(x 2-6x+17)的值域是（ ） （A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 2 1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（-∞，4 3 ］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2 1 ］ 10．函数y=(2 1)2 x +1+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log ) 2(21 >--x x （B ）)2(1log ) 2(2 1 >--x x （C ）y=-)252(1log ) 2(2 1 <<--x x （D ）y=-)252(1log ) 2(2 1<<--x x 2.3 对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换 底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数 函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数 模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知 f（ logax ） =，其中a＞0，且a≠1． （1）求 f（ x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A ． B ．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A ． B ．C．0 D ． 3．函数的值域是（） A ．B． [0,1] C． [0, D ． {0} 4．设函数的取值范围为（） A ．（－ 1，1）B．（－ 1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A ．奇函数且在（ 0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（ 0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（ - ∞， 0）上单调递减 D ．偶函数且在（ -∞， 0）上单调递增 6．计算=． 7．若 2.5x=1000,0.25y=1000, 求． 8．函数 f(x) 的定义域为 [0,1], 则函数的定义域为． 9．已知 y=loga(2 －ax)在［ 0， 1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是． 10 ．函数图象恒过定点，若存在反函数，则 的图象必过定点． 11．若集合 {x ， xy， lgxy} ＝{0 ， |x|， y} ，则 log8 （ x2＋ y2）的值为多少． 12． (1) 求函数在区间上的最值． (2) 已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求 m 的值； (2)判断 f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数 f(x)=x2 － 1(x ≥1) 的图象是 C1，函数 y=g(x) 的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称． (1) 求函数 y=g(x) 的解析式及定义域M ； (2) 对于函数y=h(x) ，如果存在一个正的常数a，使得定义域 A 内的任意两个不等的值x1 ，x2 都有 |h(x1) － h(x2)| ≤ a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x) 为 A 的利普希茨Ⅰ类函数．试证明： y=g(x) 是 M 上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案： 高一数学对数以及对数函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 对数以及对数函数 二. 学习目标： 1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。 2. 能正确利用对数性质进行对数运算。 3. 掌握对数函数的图象性质。 4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点： 1. 对数 （1）对数恒等式 ① b a b a =log （10≠，N 0>，则 ① N M MN a a a log log )(log += ② N M N M a a a log log log -= [例 （1）5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+ （2）4log ]18log 2log )3log 1[(6662 6÷?+- 解： （1）原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22 22=+--+-= （2）原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662 66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62 6266÷-++-= 12 log 2 log 2log )3log 1(2662 66== ÷-= [例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z y x 643==，试比较x 3、y 4、z 6的大小。 解：设t z y x ===643（1>t ），则t x 3log =，t y 4log =，t z 6log =，从而 4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -=-=-4 lg 3lg 3 lg 44lg 3lg ?-=t 0)3lg 4(lg 4 lg 3lg lg 43<-?= t 故y x 43< 又由6lg 4lg ) 4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2(2)log 3log 2(26464?-=-=-=-t t t t t z y 6 lg 4lg ) 4lg 6(lg lg 232?-=t 而0lg >t ，04lg >，06lg >，3 2 4lg 6lg <，则上式0< 故z y 64<，综上z y x 643<< [例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数，并且5log 5log n m >，试确定m 和n 的大小关系。 解：由n m n m 55log 1 log 15log 5log > ? >0log log log log 5555>?-?n m m n ???>?>-?0log log 0log log 5555n m m n 或???>>?1,1n m m n 或???<<<<<1 0,10n m m n 综上可得1>>m n 或10<< 高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (10) 一、选择题（本大题共13小题，共65.0分） 1. 若a =log 50.2,b =20.5,c =0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( ) A. a 对数以及对数函数 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 对数以及对数函数 二. 教学目标： 1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。 2. 能正确利用对数性质进行对数运算。 3. 掌握对数函数的图象性质。 4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点： 1. 对数 （1）对数恒等式 ① b a b a =log （10≠，N 0>，则 ① N M MN a a a log log )(log += ② N M N M a a a log log log -= ③ M n M a n a log log =（R n ∈） 【典型例题】 [例1] 计算： （1）5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+ （2）4log ]18log 2log )3log 1[(6662 6÷?+- 解： （1）原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22 22=+--+-= （2）原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662 66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62 6266÷-++-= 12 log 2 log 2log )3log 1(2662 66== ÷-= [例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z y x 643==，试比较x 3、y 4、z 6的大小。 解：设t z y x ===643（1>t ），则t x 3log =，t y 4log =，t z 6log =，从而 4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -= -=-4 lg 3lg 3 lg 44lg 3lg ?-=t 0)3lg 4(lg 4 lg 3lg lg 43<-?= t 故y x 43< 又由6 lg 4lg ) 4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2( 2)log 3log 2(26464?-=-=-=-t t t t t z y 6 lg 4lg ) 4lg 6(lg lg 232?-=t 而0lg >t ，04lg >，06lg >，3 2 4lg 6lg <，则上式0< 故z y 64<，综上z y x 643<< [例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数，并且5log 5log n m >，试确定m 和n 的大小关系。 必修1数学 ——对数函数 第一部分：知识点归纳总结 1、对数的定义：若，则数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log b N a = 2、常用对数与自然对数：对数log (a 0,a 1)N a >≠，当底数（1）a=10时，叫做常用对数，记作N lg ；（2）a=e 第二部分：题型归纳强化 1、计算 【1】5 7 1log 7 -=______________ 【2】1( lg 9lg 2) 2 100 -=_________________ 【3】2 2(lg lg lg + 【4】lg lg 8lg lg 1.2 - 【5】2(lg 5)lg 2lg 50+? 【6】n 3927 2489 (log log log log )log +++?n 3 2… 2、运用换底公式log log (01,0)log N N a b b a a b a b N = >≠>、且、证明下列公式。 【1】1log log b a a b = 【2】log log log 1b c a a b c = 【3】log log n n b b a a 【4】log log m n b b a a m n = 【5】1log log b b a a =-【新教材】新人教A版必修一 对数与对数函数 作业
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