导数的应用
一、 函数的单调性
定理1 设f (x )∈C (［a ,b ］)，且在(a ,b )内可导，则
(1) 若对任意x ∈(a ,b )，有f ′(x )＞0,则f (x )在［a ,b ］上严格单调增加； (2) 若对任意x ∈(a ,b )，有f ′(x )＜0,则f (x )在［a ,b ］上严格单调减少． 例1 求函数y =2
2x －ln x 的单调区间．
解 函数的定义域为(0，+∞)，函数在整个定义域内可导，且y ′=4x -1
x
． 令y ′=0解得x =12
±． 当0＜x ＜
12时，y ′＜0；当x ＞12时，y ′＞0，故函数在(0，12］内单调减少，在(12
， +∞)内单调增加．
例2 讨论函数y
解 函数的定义域为(-∞,+∞),当x ≠0时，y ′
当x =0时，函数的导数不存
在．而当x ＞0时，y ′＞0；当x ＜0时，y ′＜0，故函数在(-∞，0)内单调减少，在(0，+
∞)内单调增加．见图4-6．
例3 确定函数f (x )=5335x - 2
33
2
x +5的单调区间．
解 f ′(x )= 2
3
x - 13
x
-
可见，1x ＝０处导数不存在，2x ＝１处导数为零．以1x 和2x 为分点，将函数定义域(-∞,
由表可知，f (x )的单调增加区间为(-∞,0)和(1，+∞)，单调减少区间为(0，1)．
例4 证明：当x ＞0时，1+1
2
x
证 令f (x )=1+
2
x
则 f ′(x )=
1
2． 由于当x ＞0时，f ′(x )＞0，因此f (x )在［０，＋∞)上严格单调增加，即当x ＞0时，f (x )＞f (0)．而f (0)=0,所以当x ＞0时有f (x )＞0，即
1+
1
2
x
例5 证明：当0＜x ＜
π
2
时，sin x +tan x ＞2x ． 证 令f (x )=sin x ＋tan x -2x ,则
f ′(x )=cos x +2
sec x -2，
f ″(x )=-sin x ＋２2sec x tan x =sin x （２3
sec x -1)．
当0＜x ＜π2时，f ''(x )＞0，即在(0，π2
)上f ′(x )严格单调增加．由此有 f ′(x )＞f ′(0)=0，从而f (x )在(0，π
2
)上严格单调增加，即有f (x )＞f (0),也即
sin x +tan x ＞2x ,x ∈(0, π
2
)．
二、 函数的极值
函数的极值是一个局部性概念，其确切定义如下：
定义1 设f (x )在0x 的某邻域U (0x )内有定义．若对任意x ∈U ?
(0x )，有f (x )＜f (0x )［f (x )＞f (0x )］，则称f (x )在点0x 处取得极大值(极小值)f (0x )，0x 称为极大值点(极小值点)．
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点．由定义可知，极值是在一点的邻域内比较函数值的大小而产生的．因此对于一个定义在(a ,b )内的函数，极值往往可能有很多个，且某一点取得的极大值可能会比另一点取得的极小值还要小(见图4-7)．从直观上看，图4-7中曲线所对应的函数在取极值的地方，其切线(如果存在)都是水平的，亦即该点处的导数为零，事实上，我们有下面的定理．
定理2 ［费马（Fe r mat ）定理］ 设函数f (x )在某区间I 内有定义，若f (x )在该区间内的点0x 处取得极值，且f ′(0x )存在，则必有f ′(0x )＝０．
定理3 设f (x )在点0x 连续，在U ?
(0x )内可导，
(1) 若对任意x ∈U ?
(0x -
），f ′(x )＞0；对任意x ∈U ?
(0x +），f ′（x )＜0，则f （x )在0x 取得极大值．
(2) 若对任意x ∈U ? (0x -
），f ′(x )＜0；对任意x ∈U ?
(0x +），f ′（x )＞0，则f （x )在0x 取得极小值．
极值第一判别法和函数单调性判别法有紧密联系．此判别法在几何上也是很直观的，如图4-8所示．
图4-8
有时候，对于驻点是否为极值点判别利用下面定理更简便．
定理4 设f （x )在U (0x )具有二阶导数且f ′（0x )=0，f ″（0x )≠0，则 (1) 当f ″（0x )＜0时，f (x )在0x 取得极大值； (2) 当f ″（0x )＞0时，f (x )在0x 取得极小值． 例1 求f (x )= 3
x -32
x -9x +5的极值．
解 f ′（x )=32
x -6x -9,
f ″（x )=6x -6．
令f ′（x )=0，得1x =-1, 2x =3．而f ″(-1)=-12＜0,f ″(3)=12＞0,所以f (x )的极大值为f (-1)=10,f (x )的极小值为f (3)=-22．
定理4常称为极值第二判别法(或称极值第二充分条件)．
如果在驻点0x 处f ″（0x )=0，那么利用定理4不能判别f (x )在0x 处是否取极值．例如f (x )= 3
x ，不仅f ′（0)=0,而且f ″(0)=0,此时我们可运用定理3来判别．
例2 求函数
32
)1()4()(+-=x x x f 的极值.
解 )1( 函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，除1-=x 外处处可导，且;1
3)1(5)(3
+-=
'x x x f
)2( 令,0)(='x f 得驻点;1=x 1-=x 为)(x f 的不可导点; )3( 列表讨论如下:
)4( 极大值为,0)1(=-f 极小值为.43)1(3-=f
1、设）（则x f x x x f ,ln )(= （ ）
A 、在（0，
e 1）内单调减少 B 、在（+∞,1
e
）内单调减少 C 、在（0，+∞）内单调减少 D 、（0，+∞）在内单调增加
2、 函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间为（ ）
A 、（-5，5）
B 、（∞-，0）
C 、（0，∞+）
D 、（-+∞∞,） 3、函数2
2x y =的单调增加区间为
4、 函数的最大值为)41(3223
≤≤--=x x x y 最小值点为 5、设23
32x x y -= ，则y 的极大点为 极小点为
6、 确定函数31292)(2
3
-+-=x x x x f 的单调区间.
7、 试证明：当0>x 时, 2
2
1)1ln(x x x -
>+.
8、求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值.
9、 求函数 ()3/22
3
x x x f -=的单调增减区间和极值.
10、求①]3,1[,28)(24-∈+-=x x x x f
②]1,1[,)1()(32-∈-=x x x x f 的最大（小）值。
11、求4520x x y -=的最大（小值）。
12、 求出函数20243)(23--+=x x x x f 的极值.
13、求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.
14、求出函数 3
/2)
2(1)(--=x x f 的极值.
15、求函数)1ln(x x y +-=的单调区间、极值
16、 求
14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值.
17、求函数
x x y -=2sin 在??
?
???-2,2ππ上的最大值及最小值.
第五节 最优化问题
在许多实际问题中，经常提出诸如用料最省、成本最低、效益最大等问题，这就是所谓的最优化问题．这类问题在数学上常归结为求一个函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题．
若f (x )∈C (［a ,b ］),且在(a ,b )内只有有限个驻点或导数不存在点，设其为1x , 2x ,…，
n x ，由闭区间上连续函数的最值定理知f (x )在［a ,b ］上必取得最大值和最小值．若最值
在区间内部取得，则最值一定也是极值．最值也可能在区间端点x =a 或x =b 处达到．而极值点只能是驻点或导数不存在的点，
所以f (x )在［a ,b ］上的最大值为[]
,max x a b ∈f (x )=max ｛f (a ),f (1x ),…，f (n x )，f (b )｝;
最小值为[]
,min x a b ∈f (x )=min ｛f (a ),f (1x ),…，f (n x )，f (b )｝．
例1 求f (x )= 4x －８2
x ＋２在［－１，３］上的最大值和最小值． 解 f ′（x )=4x (x -2)(x +2)．
令f ′（x )=0,得驻点3x ＝０，2x ＝２，3x ＝-２(舍去)． 计算f (-1)=-5, f (0)=2, f (2)=-14, f (3)=11． 故有[]
1,3max x ∈-f (x )=f (3)=11,[]
1,3min x ∈-f (x )=f (2)=-14．
例2 设f (x )=x e x
，求它在定义域上的最大值和最小值． 解 f (x )在定义域(-∞，＋∞)上连续可导，且f ′（x )=(x +1)e x
． 令f ′（x )=0,得驻点x =-1．
当x ∈(-∞，-1)时，f ′（x )＜0；
当x ∈(-1，+∞)时．f ′（x )＞0,故x =-1为极小值点．
又lim x →-∞
f (x )=0, lim x →+∞
f (x )=+∞，从而f (-1)= 1
e --为
f (x )的最小值，f (x )无最大值．
下面两个结论在解应用问题时特别有用：
(1) 若f (x )∈C (［a ,b ］)，且在(a ,b )内只有唯一的一个极值点0x ， 则当f (0x )为极大值时它就是f (x )在［a ,b ］上的最大值； 当f (0x )为极小值时，它就是f (x )在［a ,b ］上的最小值．
(2) 若f (x )在［a ,b ］上严格单调增加，则f (a )为最小值，f (b )为最大值； 若f (x )在［a ,b ］上严格单调减少，则f (a )为最大值，f (b )为最小值.
一、 最大利润与最小成本问题
设某种产品的总成本函数为C (Q )，总收益函数为R (Q )(Q 为产量)，则总利润L 可表示为
L （Ｑ）＝Ｒ（Ｑ）－C （Ｑ），我们知道，假如L (Q )在(0，+∞)内二阶可导，则要使利润最大，必须使产量Q 满足条件L ′(Q )=0，即
R ′（Ｑ）=C ′（Ｑ）. (4-5-1)
(4-5-1)式表明产出的边际收益等于边际成本，再根据极值存在的第二充分条件，要使利润最大，还要求L ″(Q )=R ″(Q )-C ″(Q )＜0,即
R ″（Ｑ）＜C ″（Ｑ）. (4-5-2)
(4-5-1)，(4-5-2)两式在经济学中称为“最大利润原则”或“亏损最小原则”．
按照经济学的解释，总成本由固定成本和可变成本两部分构成，且可变成本随产量的增加而增加，因此总成本一般来说没有最小值(除非不生产)，在经济学上有意义的是单位成本(即平均成本)最小的问题，假设某种产品的总成本为C (Q )，则生产的平均成本为
()
()C Q C Q Q
=
， 如果平均成本函数()C Q 可导，则要使()C Q 最小，就必须使产量Q 满足条件［()C Q ］′=0，即
C ′（Ｑ）= ()C Q . (4-5-3)
(4-5-3)式表明产出的边际成本等于平均成本，这正是微观经济学中的一个重要结论．
例1 设每日生产某产品的总成本函数为
C （Ｑ）=1000+60Q -0．32Q ＋０．００１3Q ，
产品单价为60元，问每日产量为多少时可获最大利润?
解 总收益R (Q )=PQ =60Q ,
总利润L (Q )=R (Q )-C (Q )=-1000+0．32Q －０．００１3Q （Ｑ＞0)．
L ′(Q )=0．6Q -0．0032Q ， L ″(Q )=0．6-0．006Q ．
令L ′(Q )=0，得唯一驻点0Q ＝２００，又L ″(0Q )=L ″(200)=-0．6＜0，所以当日产量为0Q =200单位时可获最大利润，最大利润为
L （200）＝－1000＋0.3×2002
－0.001×2003
＝3000(元)．
例4 设某产品的总成本函数为C (Q )=54+18Q +62Q ，试求平均成本最小时的产量水平． 解 因C ′(Q )=18+12Q ，
()C Q ＝
54
Q
+18+6Q ， 令C ′(Q )=()C Q ,得Q =3 (Q ＝－３已舍)，所以当产量Q =3时可使平均成本最小．
二、 库存问题
库存是商品生产与销售过程中不可缺少的一个环节，为了保证正常的生产与销售，必须有适当的库存量，库存量过大，会造成库存费用高，流动资金积压等额外的经济损失，库存量过小，又会造成订货费用增多或生产准备费用增高，甚至造成停工待料的更大损失．因此控制库存量，使库存总费用降至最低水平是管理中的一个重要问题，下面以一个简单模型为例来讨论这一问题．
假定计划期内货物的总需求为R ，考虑分n 次均匀进货且不允许缺货的进货模型．设计划期为T 天，待求的进货次数为n ，那么每次进货的批量为q =
R n ，进货周期为t =T
n
,再设每件物品贮存一天的费用为1c ，每次进货的费用为2c ，则在计划期(T 天)内总费用E 由两部分组成(图4-9)；
图4-9
(1) 进货费1E =2c n =2c R
q
, (2) 贮存费2E =
2q
1
c T ． 于是总费用E 可表示为批量q 的函数
Ｅ＝1E ＋2E ＝
2c R q +2
q
1c q T 最优批量*q 应使一元函数E =f (q )达到极小值，因而*q 满足
d d E
q =-2c R q
+121c T =0,
由此即可求得最优批量*
q 为
*q
； 从而求出最优进货次数为
*
n =
*
R q
最优进货周期为
*
t =
*
T n
最小总费用为
*
E =2c
+121c
例3 某厂每月需要某种产品100件，每批产品进货费用5元，每件产品每月保管费用(贮存费)为0．4元．求最优订购批量*
q 、最优批次*
n 、最优进货周期*
t 、最小总费用*
E ．
解 按已知条件知，R =100,T =1, 1c =0．4, 2c =5,因此可得最优批量为*q
(件)；
最优批次为 *
n =
*
R q
=10050=2(批)； 最优进货周期为 *
t =
*
T n =1
2
(月)； 最小总费用为 *
E
=20(元/月)．
1． 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为Q =40-2P ,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润?
2． 某产品的成本函数为C (Q )=15Q -62
Q ＋3
Q ，
(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?
(2) 求出边际成本，并验证边际成本等于平均成本时平均成本最小．
3．已知某厂生产Q件产品的成本为
C＝２５０００＋２０００Ｑ＋1
40
2
Q（元)．
问：
(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?
(2) 若产品以每件5000元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?
4．某厂全年消耗(需求)某种钢材5170吨，每次订购费用为5700元，每吨钢材单价为2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的13．2%，求：
(1) 最优订购批量；(2) 最优批次；
(3) 最优进货周期；
(4) 最小总费用．
5、设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
6、某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?
7、某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱. 假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元. 为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？
1、A
2、C
3、分析：函数2
2x y =的定义域为（-+∞∞,），2
22ln 2x y ?=' 由得0 y '0 x ，所以函数2
2x y =的单调增加区间为 （0，∞+） 4、分析：，，得驻点令100,66212==='-='x x y x x y 由于805104
1
1
=-=-===-===x x x x y
y
y
y
，，，
可知函数的最大值为)41(3223≤≤--=x x x y 80 ，最小值点为 x=-1 5、分析：2332x x y -=的定义域为（-+∞∞,），)1(6-='x x y 令0='y 得驻点x 1=0，x 2=1，而612-=''x y
且06,0610
21 =''-='
'==x x y y
所以x 1=0为y 的极大点，x 2=1为y 的极小点。
6、解 ).,(:+∞-∞D x x x x f 12186)(2
+-='),2)(1(6--=x x
解方程0)(='x f 得.2,121==x x
当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]
1,∞-上单调增加； 当21< 2,1上单调减少； 当+∞< 7、证 作辅助函数 ,2 1)1ln()(2 x x x x f + -+= 因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且x x x f +-+='111 )(,12x x += 当0>x 时，,0)(>'x f 又.0)0(=f 故当0>x 时，,0)0()(=>f x f 所以.2 1)1ln(2 x x x - >+ 8、解 )3)(1(3963)(2 -+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下： 所以, 极大值,10)1(=-f 极小值.22)3(-=f 9、解 求导数,1)(3 /1--='x x f 当1=x 时,0)0(='f 而 0=x 时)(x f '不存在 , 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下: 由上表可见：函数)(x f 在区间),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区间)1,0(单调减少. 在点0=x 处有极大值, 在点1=x 处有极小值,2 1 )1(- =f 如图. 10、解：①2,2,0),2)(2(4164)(3-=+-=-='x x x x x x x f 驻点 11)3(,14)2(,2)0(,5)1(=-==-=-f f f f 故最大值为11)3(=f ，最小值为14)2(-=f ②0,5 2,3253)1(2)(3332= -=-+ ='x x x x x x x f 可疑点 0)1(,254 53)52(,0)0(,2)1(3=-==-=-f f f f 故最大值为0)1()0(==f f ，最小值为2)1(-=-f 11、解：060)1(,60,1,202023<-=''-=''=-='y x y x x y 又唯一驻点 即1=x 为极大值，同时也是最大值，最大值为15)1(=y 。 12、解 ),2)(4(32463)(2 -+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.2,421=-=x x 又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f 故极大值,60)4(=-f ,018)2(>=''f 故极小值.48)2(-=f 注意：0)(.10=''x f 时, )(x f 在点 0x 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断. .2函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 13、解 由,0)1(6)(2 2 =-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(2 2 --=''x x x f 因,06)(>=''/x f 故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为.0)0(=f 因,0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值. 同理，)(x f 在1=x 处也没有极值. 如图所示. 14、解 ).2()2(3 2 )(31 ≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点. 当2 15、解：函数)1ln(x x y +-=的定义域为（-1，∞+） 2 ) 1(1 ,111x y x y +=''+- ='，令00=='x y 得驻点 由00 x y 得'，函数在（0，∞+）内单调增加 由010 x y -'得，函数 -1，0）内单调减少 根据前面的讨论，x=0为极小值点，其极小值为00 ==x y 16、解 ),1)(2(6)(-+='x x x f 解方程,0)(='x f 得.1,221=-=x x 计算;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f 比较得最大值,142)4(=f 最小值 .7)1(=f 17、解 函数x x y -=2sin 在?? ? ???-2,2ππ上连续,,12cos 2)(-='='x y x f 令,0='y 得.6 π ± =x ,22ππ=??? ??-f ,22ππ-=??? ??f ,6236ππ-=??? ??f .6236ππ+-=?? ? ??-f 故y 在 ?? ? ???- 2,2ππ上最大值为,2π最小值为.2π- 5、解 x BD =(km), x CD -=100(km), .2022x AD += 铁路每公里运费,3k 公路每公里,5k 记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式: CD k AD k y ?+?=35 即 ).1000()100(340052≤≤-++?=x x k x k y 问题归结为：x 取何值时目标函数y 最小. 求导得,340052??? ? ??-+='x x k y 令0='y 得15=x (km). 由于.26100)100(,380)15(,400)0(k y k y k y === 从而当15=BD (km)时，总运费最省. 6、解 设房租为每月x 元，租出去的房子有?? ? ??--1018050x 套，每月总收入为 ,1068)20(1018050)20()(??? ? ? --=??? ??---=x x x x x R ,570101)20(1068)(x x x x R -=?? ? ??--+??? ??-='解,0)(='x R 得350=x (唯一驻点). 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 10890)350(=R (元). 7、解 设每x 天订一次货，那么在运送周期内必须订x 5单位材料. 而平均贮存量大约为运送数量的一半，即2 5x . 因此 每个周期的成本=运送成本+贮存成本=82 56000??+ x x 平均成本()x x x x C 206000+==每个周期的成本，0>x 由()2060002 +-=' x x C 解方程()0='x C ，得驻点 32.173101≈=x ，32.173102-≈-=x （舍去）. 因 ()3 12000x x C =' '，则 ()01>''x C ，所以在32.173101≈=x 天处取得最小值. 贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材85175=?单位材料. §2—6 导数应用举例 我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。 一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义 设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dt ds t s t v = '=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dt s d t s t v a =''='=在力 学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。 例1 某物体的运动方程为() 22 3 102 12秒米取g gt t s - =，求2=t 秒时的速度和加速度。 解： 根据导数的力学意义，得 ()()()()()()()(). 141024242,420242242, 12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v （二）导数的电学意义 设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dt dq t q t I ='= 例2 设通过某导体截面的电量()?ω+=t A q sin （库仑），其中?ω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I 解： 因为()?ω+=t A q sin ，所以 ()()()[]()?ωω?ω+=' +='=t A t A t q t I cos sin （安培）。 二、 导数在经济工作中的应用举例 导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义） 导数几何意义： 0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ． 变式一： 3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12 - 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则 1299a a a +++的值为 . 导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠ 第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题） 的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。 第1课 导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式； 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】 1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h h x f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。 2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873 741234-+-= ，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。 3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。 4．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 3 2π±。 5．（1）已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。 （2）（理科）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1 ()3 ＝15-。 6．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。 解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a 函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数 b a +?=+?∴12132，得b=2 又由c +?+=12122，得1-=c 【范例导析】 例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式2 23q t t =+表示。 （1） 求第5秒内时的电流强度； （2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？ 分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。 解：（1）从时刻0t 到时刻0t t + 通过导体的这一横截面的电量为： 利用导数解决生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 二．利用导数解决优化问题的基本思路： 三、应用举例 例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为 181234.53(m)042x h x x -??==-<< ?? ?．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ??=-=-<< ??? ． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =． 当01x <<时，()0V x '>；当312 x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值． 从而最大体积233 (1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。 例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐 第三章《导数及其应用》单元测试题 一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A)x x f π4)(=' (B)x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D)x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B)[]8,2 (C)[]2,1 (D)[]2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ）2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294 e Ｂ．22e Ｃ．2 e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞， 内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的 第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式： 要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用 了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A 高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足 ，则曲线y=f （x ）在 点（2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（ ）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1.导数应用之函数单调性 欧阳光明（2021.03.07） 题组1： 1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间. 2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间. 3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间. 4.求函数1 ()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++的单调区间. 题组2： 1.讨论函数4322411()(0)43 f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间. 3.求函数321()(2)413 2 m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-的单调性. 题组3： 1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 在区间21()3 3 --， 内是减函数,求a 的取值范围． 2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围. (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a 的取值范围. 3.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a ="b =" -3时，f （x ）=(x +3x -3x -3)e ，故 = (3) 分 当x <-3或0 江苏省2010届高三数学专题过关测试 导数及其应用（1） 班级姓名学号成绩 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号12345678 答案 1. 函数y=x2cos x的导数为 A．y′=x2cos x-2x sin x B．y′=2x cos x+x2sin x C．y′=2x cos x-x2sin x D．y ′=x cos x-x2sin x 2. 若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x－y－1=0，则 A．f′（x0）>0 B．f′（x0）<0 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）不存在 3. 函数 在区间 上的最大值是（ ） A． B． C． D． 4．函数y=x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为 A．0 B．1 C．2 D．4 5.已知函数 在 时取得极值，则实数 的值是（ ） A． B． C． D． 6.在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是（） A． B． C． D． 7.三次函数y=f（x）=ax3+x在x∈（－∞，+∞）内是增函数，则 A．a>0 B．a<0 C．a=1 D．a= 8．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 9.曲线 在点 处的切线方程是 . 10.与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是 ___________． 11.将正数a分成两部分，使其平方和为最小，这两部分应分成 __________和_________． 12.已知函数 在 处可导，且 ，则 . 三、解答题：(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=－1时，取得极大值7；当x=3 导数及其应用 导数是高等数学的重要组成部分，本文通过一些典型例题展示导数在不同学科领域中的应用.使学习者对导数的应用有较全面的了解. 1 导数的概念 定义1[1](89)P 设()y f x =在0x 某邻域有定义，极限0 00 ()() lim x x f x f x x x →--存在，则称函数在0x 点 处可导，该极限称为()f x 在点0x 处的导数，记为0()f x '.有时也记作0 x x y =' 或 x x dy dx =. 令x x x ?+=0，)()(00x f x x f y -?+=?，则有)()()(lim lim 00000x f x x f x x f x y x x '=?-?+=??→?→?. 若极限0 00 ()() lim x x f x f x x x →--不存在，则f 在点0x 处不可导. 定义2[1](90)P 若()f x 在区间I 上每一点可导，则称()f x 为I 上的可导函数，记作()f x '， ()y x '或 dy dx ，且有0lim )(→?='x x f .,)()(I x x x f x x f ∈?-?+ 定理 [1](89) P 若函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，则0()f x '存在的充要条件：0()f x +'与 0()f x -'存在且0()f x +'=)(0x f -'. 例1 确定,a b 值，使函数2 ,1 (),1ax b x f x x x +>?=?≤? 处处可导. 解 要使()f x 在1x =处可导，须在1x =处连续，故有 11 lim ()lim ()(1)x x f x f x f - + →→== 即 1a b +=，又()f x 在1x =处左右导数分别为(10)2,(10)f f a ''-=+= 故必有2a =，从而1b =-，因此当2,1a b ==-时()f x 在1x =处可导，而当1x ≠时，()f x 是可导的，所以当2,1a b ==-时()f x 处处可导. 例2 [2](271) P 假设函数)(x h 为处处不可导的连续函数，以此为基础构造函数()f x ，使()f x 仅 在两点可导，并说明理由. 解 令()f x =)())((x h b x a x --，b a ≠. 易知()f x 连续 导数及其应用课标解读 1、整体定位 《标准》中对导数及其应用的整体定位如下： “微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。” 为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题： （1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。 由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。 （2）导数的运算不宜要求过高 由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y= x 的导数；能利 用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。 （3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。 （4）关注数学文化 重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。 2、课程标准的要求 （1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。 ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y=x 的导数。 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。 ③会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。利用导 1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,f n+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（） A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f(x)=2(x-1)2D．f(x) = -x+3 3.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. 4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间； （2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。 6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。 7．已知a∈R,讨论函数f(x)=e (x2+ax+a+1)的极值点的个数。 8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)≥0; (2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。 （1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。 （2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。 §2—6 导数应用举例 我们知道，函数y = f (X )的导数f '(X 的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率, 因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在 意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。 一、导数在物理上的应用举例 (一) 导数的力学意义 设物体作变速运动的方程为 S =s (t )，则物体运动的速度 v (t )是位移S = s (t )对时间t 的 ds 变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数v (t )=s '(t )=—;此时，若速度v 仍是时间t 的函数 dt d 2 s v (t ),我们可以求速度v 对时间t 的导数v '(t )，用a 表示，就是a = v (t )= s ^t )=—.在力 dt v (t )=s '(t )=6t 2 - gt, a (t )=s "(t )=12t -g, v (2 )= 24 - 2g = 24 - 20 = 4(米/秒 J a (2)=24-g =24-10 = 14(米/ 秒. 导数的电学意义 q 是q=q(t )，则通过该导体的电流 l (t 是电量q = q (t )对 时 间t 的变化率(单位时间内通过的电量)，即电量的一阶导数I (t )=q '(t )=四 dt 设通过某导体截面的电量 q =Asin ?t +W )(库仑)，其中A,◎严为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流 I (t) y = f (x )具有不同的实际 学中, a 称为物体的加速度, 也就是说，物体运动的加速度 a 是位移s 对时间t 的二阶导数。 某物体的运动方程为 S =2t '- 討2(9取10米/秒2 )，求t = 2秒时的速度和加速 解: 度。 根据导数的力学意义, 设通过某导体截面的电量 解: 因为 q = Asin (o t )，所以 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(导数应用举例word版
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