听课随笔 第11课时等比数列的概念和通项公式 【学习导航】
知识网络
学习要求
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；
3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
【自学评价】
1. 等比数列的性质： （1）n m
n m a a q
-=（,m n N +
∈）；
(2）对于k 、l 、m 、n ∈N *，若m n p q
+=+，
则a k a l =a m a n .；
（3）每隔k 项（k N +
∈）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列； 4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。 2. (1) 若{a n }为等比数列，公比为q ，则{a 2n }
也是等比数列，公比为q 2
. (2) 若{a n }为等比数列，公比为q (q ≠－1),则{a 2n －1+a 2n }也是等比数列，公比为q 2. (3) 若{a n }、{b n }是等比数列，则{a n b n }也是等比数列.
(4) 三个数a 、b 、c 成等比数列的，则
??
?≠=0
2abc ac
b 【精典范例】
【例1】已知四个数前3个成等差，后三个
成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数. 【解】 设所求四个数为
q a 2－aq ，q
a
，aq ，aq 3 由①得a 2＝16 ∴a ＝4或a ＝－4由②得2a 2q 2－a 2q 4＝－128 将a 2＝16代入整理得
q 4－2q 2－8＝0解得q 2＝4 ∴q ＝2或q ＝－2 因此所求的四个数为
－4，2，8，32或4，－2，－8，－32. 【点评】 根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a 、q 表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两个数设为
q
a
，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.
【例2】若a 、b 、c 成等比数列，
试证：a 2＋b 2，ac ＋bc ，b 2＋c 2也成等比数列.
【证明】 由a 、b 、c 成等比数列， 则a ·b ·c ≠0且b 2＝ac
(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝(a 2＋ac )(ac ＋c 2)＝ac (a ＋c )2＝b 2(a ＋c )2＝(ab ＋bc )2 显然a 2＋b 2、b 2＋c 2都不等零，
且ab ＋bc ≠0∴a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列.
【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a ，b ，c 成等比，可证明b 2＝ac ，要注意说明a 、b 、c 全不为零.
追踪训练一
1．在等比数列{a n }中，a 1=8
1
,q =2,则a 4与a 8的等比中项是( B ) A.±4 B.4 C.±
41 D. 4
1 2．在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个
数列的前9项的乘积等于( B )
A.512
B.－512
C.256
D.－256 3．2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于( A ) A.54 B.27 C.9 D.3 4．已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( A ) A.5 B.10 C.15 D.20 5．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1，a 3，a 9成等比数列，则
10
429
31a a a a a a ++++的值为
16
13.
【选修延伸】
听课随笔
【例3】在{}n a 中，23,111+==+n n a a a ，试求{}n a 的通项n a
【解】设)(31αα+=++n n a a 则
α231+=+n n a a 可得α＝1 )1(311+=+∴+n n a a ，
}1{+∴n a 为等比数列，首项为11+a =2,公
比为3
1321-?=+∴n n a ， 1321-?=∴-n n a
【例4】在{}n a 中，3
,111+==+n n
n a a a a ，
试求{}n a 的通项n a
【解】原式可变为：
13
1
1+=
+n
n a a ，
∴可构造为
)2
11(32111+=++n n a a }211{+∴n a 为等比数列，首项
2
32111=+a ，公比3
1
32
3211-?=+∴
n n a ， 132
-=∴n
n a 【例5】在{}n a 中111132
n n n a a ++=
+，15
,6
a =求｛n a ｝的通项n a
【解】法一： 原式变形为：123
2
2
1
1+?=
?++n n n n a a ，设)2(3
2
211αα+?=
+?++n n n n a a ， 即3
2322
1
1α-?=
?++n n n n a a ， 3-=∴α，
即)32(3
2321
1-?=-?++n
n n n a a ，
}32{-?∴n n a 为等比数列，首项3
21-?a ＝3
4
-，公比32
1)3
2
(3432--=-?∴n n n a ，
n
n n a 32
23-
=
∴ 法二：
设)2
(31211n n n n a a α
α
+=+
++，即 1
121331++-=n n n a a α3-=∴α 即23
(312311n n n n a a -=-++，
}23
{n n a -∴为等比数列，
首项231-a ＝3
2
-，公比31，
1
313223-???
??-=-∴n n n a ，
n n n a 3
2
23-=∴
追踪训练二
1．在等比数列｛a n ｝中，若a 2·a 8=36,a 3＋a 7＝15，则公比q 值的可能个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4 2．在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于( B )
A.8
B.10
C.12
D.2＋log 35 3．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( C )
A.三边边长之比为3∶4∶5
B.三边边长之比为1∶3∶3
C.较小锐角的正弦为
21
5-
D.较大锐角的正弦为2
1
5-
4．公差不为0的等差数列第二、三、六项
构成等比数列，则公比为 ( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 5．已知数列满足a 1=87,且a n +1=21a n +3
1,n ∈N * (1)求证{a n －
3
2
}是等比数列. (2)求数列{a n }的通项公式.
【解】
(1)【证明】 由a n +1 =
21a n +3
1
得
听课随笔
a n +1－
)32(2132-=n a 又a n －32
≠0 ∴
213
2321=-
-
+n n a a 即，数列{a n －32
}构成等比数列.
(2)由(1)知a n －32=(a 1－32)（2
1）n －
1,
且a 1=8
7
即a n =(a 1－2
1)(32n －1+32
=32)21(2451+-n =3
2)21(352++n
等比数列的通项公式(教案) 一、教学目标 1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。 2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。 二、教学重点、难点各种结论的推导、理解、应用。 三、教学过程 1、导入复习等比数列的定义： 通项公式： 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、新知探索例1 在等比数列中，（1）已知；（2）已知、，分析（1）根据等比数列的通项公式，得（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组解得所以问：上面的第（2）题中，可以不求而只需求得q就得到吗?分析在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，的表达式中，始终满足结论1 数列是等比数列，则有。再来看一下例1中（2）的另一种解法：，所以q=2，所以习题2、3（1） 2、在等比数列中，（1）已知；（2）已知、分析（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。方法一方法二，所以q=3，所以。（2），所以例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数
成等比数列。分析设此三个数为，公比为q，则由题意得243，，3成等比数列；，所以得故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9、问：观察一下例2中，当时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2、3（1） 6、在等比数列中，，，求的值。分析得，同理得例3 已知等比数列的通项公式为，求首项和公比q、分析在例3中，等比数列的通项公式为，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点均在函数的图像上。问：如果一个数列的通项公式为，其中，都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？分析，，所以是等比数列。一般可以看作是等比数列通项公式的变形，，其中结论2 等比数列的通项公式均可写成（，为不等于零的常数）的形式。反之成立。习题2、3（1） 5、在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？（2） （n>2）是否成立？（3）你能得到更一般的结论吗？分析 （1），所以成立。（2），所以成立。（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有，可以猜测：在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有、证，所以、结论3 在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是
课 题：数列通项公式的求法 课题类型：高三第一轮复习课 授课教师：孙海明 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用公式求通项（2）累加法 求通项（3）累乘法求通项，并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养学生观察、辨析、运用的 综合思维能力，掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想, 提高学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识—再实践”的辨证唯物 主义观点。 教学重点、难点： 重 点：数列通项公式的基本求法 难 点：复杂问题的化归转化 教学方法与教学手段： 教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力） 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程： 一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么？（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题：数列通项公式的求法》 [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的 重视，提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、利用公式求通项 《先给出例题，分析总结方法》 师生互动： 请同学分析叙述解题过程，老师板书。 {}{}{}{}的通项公式求且数列是各项都为正数的等比 为等差数列设高考卷一例、n n n n b a b a b a b a b a ,,13,21,1,,)07(355311=+=+=={}{}1 2223545322)1(212,202 74,1341,21210,,-==-+===>-===++=+=++=+>n n n n n b n n a d q q q q q d b a q d b a q q b d a ，，则所以所以（舍）因为或解得依题得的公比为等比数列的公差为解：设等差数列
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
等比数列通项公式及性质 1．若等比数列的首项为98，公比为2 3，3 1 n a ，则该数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 8等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．±21 3 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 8.等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4 a 4＋a 5的值为( ) A.12 B ．±1 2 C ．2 D ．±2 9．(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 11．(2009·重庆)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n 12．在等比数列{a n }中， （1）若a 4＝27，q ＝－1 3，则a 6＝____________；a n ＝________.（2）若a 2＝18，a 4＝8，则 a n ＝________. 13．等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程3x 2－11x ＋6＝0的两根，则log 2(a 1a 2…a 10)＝________. 14．在7和56之间插入a ，b 两数，使7，a ，b,56成等差数列，插入c ，d 两数，使7，c ， d,56 成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________.
【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______． 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ． 【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ， ，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--， ，，，中，则6=q ． 【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝31 32 ，则105a a 等于 ． 【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=， 则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______． 【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ． 典例分析 等比数列的通项公式与求和
【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212 n a a a +++=L ________． 【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ． 【例11】 在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -， 则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -
《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2
等比数列通项公式及性 质练习 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
等比数列通项公式及性质 1．若等比数列的首项为98，公比为23，3 1 n a ，则该数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) D ．2 5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 8等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．±21 3 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 8.等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) B ．±12 C ．2 D ．±2 9．(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
人教版高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案 教案说明： 设计思想：建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程。学生不是被动的信息吸收者，而是意义的主动建构者，这种建构不可能由其他人代替，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。教师应该时刻注意让学习任务始终处于学生的“最近发展区”，并提供一定的“支架”和辅导。学生应该在教师的帮助下，发展自己控制学习过程的能力。因此，本节课教师做为学习的引导者，通过同学之间的合作交流激发学生亲身经历数学建构的过程。 教学内容分析：数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，本章对数列的定位是做为一种函数结合数列自身的特点来学习的，在通过实际问题引入数列概念后，使学生体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情景的数学模型。等比数列做为特殊的数列也是函数，实际上就是指数函数，是反映自然规律的重要的数学模型之一，与等差数列一样在现实生活中也有广泛的应用。因此，数列是高中数学的重要内容，同时也是高考重点考察的内容。等比数列是在等差数列学习的基础上进行的，对应指数函数的模型，因此对思维能力有更进一步的要求。一方面考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项及等比数列的性质的灵活运用，这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿；另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合，加以导数和向量等新增内容，使数列题更有了施展的舞台；因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明,运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材.等比数列的概念和通项公式做为等比数列学习的基础，更起到至关重要的作用。 本节课的教法特点：学生对等差数列的定义和基本性质都已经有了初步的理
数列求通项公式教学设计 教学目标： 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用 公式求通项（2）累加法求通项（3）累乘法求通项， （4）构造法求通项并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养 学生观察、辨析、运用的综合思维能力，掌握由特 殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想,提高 学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识 —再实践”的辨证唯物主义观点。 教学重点、难点： 重点：数列通项公式的基本求法 $ 难点：复杂问题的化归转化 教学方法与教学手段： 教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力） 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程： 一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，
灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题：数列通项公式的求法》 ( [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的重视，提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、回顾上节课讲过的公式法，已知n S 求n a ，累加法及其简单应用 给出练习题目，引导学生自主做题，并让一位学生黑板演示 教师引导学生分析例题题干，总结特点：“明确数列是用何种求和方法” 《多媒体》给出同类的练习让学生巩固方法及解题过程。 、 2、累乘法求通项 回忆等比数列定义及通项公式的推导过程，引出“累乘法求通项”，利用类比的方法引导学生自己总结累乘法所适合的结构类型：已知数列相邻两项之比。给出例题让学生分析叙述解题过程。 例：已知数列}{n a ，满足 n n a a n n 11+=+，且21=a ，求该数列的通项公式 引导学生类比累加法，思考解题方法。并逐步给出答案，引导学生怎样分析解决问题。给出练习 练习1.已知数列}{n a 满足n n n a a 2.1=+，且11=a ，求该数列的通项公式 [
构造等比等差数列求通项公式 一． 预备知识： 问题：已知数列{}n a 的首项为14a =. （1）若12n n a a -=+，求n a ； （2）若12n n a a -=，求n a （3）若1(3)2(3)n n a a --=-； （4）若1(1)3(1)n n a a --=- （5）若1()()n n a A B a A --=-（A ，B 为常数且n a A ≠，B 0≠），求n a 上述2,3,4,5题从结构形式上看有何共同特点_______________________ 公比与哪项的系数有关 _____________________________________ 二． 典例分析： 例1：已知111,22(2,)n n a a a n n N -+==+≥∈，求n a 反思：（1）确认什么类型可以化归成等比数列如何化 巩固练习：1.已知数列{}n a 的首项为16a =. (1) 若131(1)n n a a n +=+≥，求n a ；（2）1124(2),n n a a n +-=+≥求n a 2.已知数列{}n a 中，13a =，1323n n a a +=-，求n a 例2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,a =当2n ≥时，1.n n a tS n -+=求{}n a 的通项公式
一：预备知识：（1）已知数列{}n a 中，11a =，12(2),n n a a n -=+≥求n a （2）已知数列{}n a 中，11a =，1 112,n n a a --=求n a （3）已知数列{}n a 中，11a =，1130n n n n a a a a -+--=，求n a （4）已知数列{}n a 中，11a =，112250n n n n a a a a -+--=，求n a 上述2,3,4题形式有何共同特点 你能出一道类似的题目吗 推广：110n n n n Aa Aa Ba a ---+=（AB 0≠），且1a c =，求n a 二. 典例分析： 例:3：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足1120n n n n S S S S +++-=且11a =，求n a 变式练习：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足113n n n a S S ++=，且12a =，求n a 练习1：设(),(2)x f x a x =+()x f x =有唯一解，111(),()()1003 n n f x f x x n N ++==∈，求2004x 的值及n x 2.已知函数()(0)3 ax f x b bx = ≠+的图像经过点()3,1，且方程()f x x =有两个相等的实数根.（1）求实数,a b 的值；（2）若正项数列{}n a 满足：113,()2n n a a f a +==，求通项n a 3．已知数列{}n a ，1121,43 n n n a a a a +==+，求{}n a 的通项公式 4.已知数列{}n a 满足：11,1,21n n n a a a a +==+求数列11n n a a +?????? 的前n 项和 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111(2), 2.21n n n S S n a S --= ≥=+ （1）求证：1n S ??????是等差数列； （2）求n a 的表达式.
一、选择题： 1.在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （） A ．4 B ． 2 3 C ． 9 16 D ．2 2．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ????=L ，那么36930a a a a ????L 等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152 二、填空题： 3.等比数列{an}中,a 1=2,a 9=32,则q=. 4.已知一个等比数列的第5项是 94，公比是－31 ，它的第1项是. 5．在等比数列{a n }中，已知a 1=2 3 ，a 4=12，则q =_________，a n =______． 6.在81和３中间插入2个数和，使这4个数成等比数列． 7．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =____． 8．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a =． 9.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于. 10.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于. 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += 12.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为3 1 的等比数列，则a n 等于。 三、解答题： 13.在等比数列{a n }中， (1)已知{}n a 是递增的等比数列，,4,2342=-=a a a 则{}n a 的公比q ，及通项公式n a （2）已知n a a a a a n 求,2 1 ,18,367463= =+=+ 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式． 15.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。 一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（）
等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系？ 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗？是什么？ <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么？也就是，这个公式在什么条件下成立？ 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.
数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式
等比数列的通项公式 教学重难点： 1、等比数列的概念和性质 2、如何判断一个等比数列 3、构造辅助数列转化为等比数列 授课内容： 一、 知识点 1、 等比数列的概念 （1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻的一项之 比为常数，则这个数列为等比数列 （2） 数列{}n a 中，1n n a q a +=（常数），则称n a 为等比数列 注：等比数列中不能出现0 2、 通项公式 (1) 通项公式：11n n m n m a a q a q --== (2) 等比中项：a,G,b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，此时 G= 注意：①在a,b 同号时，a,b 的等比中项有两个；异号时，没有等比中 项 ②在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项） 都是它的前一项与后一项的等比中项 ③ “a,G,b 成等比数列” ? “2(,0)G ab a b =均不为”，可以 用它来判断或证明三数成等比数列 （3） 通项公式的应用： 32324123112-1 +++++n n n n a a a a a a a q a a a a a a a -+??====??==?? 例1、 已知等比数列{}n a 中，5a =7，8a =56，求数列{}n a 的通项公式n a
例2、在等比数列{}n a 中，已知36471+=36+=18=2 n a a a a a ，，，求n 3、 性质 （1）若(,,,),n m p q m n p q m n p q N a a a a *+=+∈?=?则 （2）若等比数列{}n a 的公比为q,则11q n a ?????? 是以为公比的等比数列 （3）一组等比数列{}n a 中，下标称等差数列的向成等比数列 （4）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 （5）从数列的分类来说： {}110,10,01n a q a q a ?????当或时的数列的递增数列 {}110,010,1n a q a q a ?????当或时的数列的递减数列 当q=1时，数列{}n a 为常数数列 当q ?0时，数列{}n a 为摆动数列 例、实数等比数列{}n a 中，37112712++=28=512n a a a a a a a ，，求
等比数列的通项公式 例1 已知{a n}为等比数列， 求证：当m＋n=p＋l时 a m·a n=a p·a l 证明： 设等比数列的首项a1，公比为q， ∵m＋n=p＋l ∴a m·a n=a p·a l得证． 评注： 本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷． 例2 在等比数列{a n}中 (1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n． 分析：利用等比数列的定义和性质整体观察． 解 (1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3， (2)由已知可以看到 ∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1 ∴a n=2n-1． 评注： 以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷． 例3 在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10= [ ] A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解： 根据等比中项的性质， a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95． ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 =log3(a1a2 (10) =log395 =5log39 =10． 故正确答案为(B)． 评注： (1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷． (2)对等比数列{a n}，有以下结论： 例4 若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为 [ ] A．5 B．28 C．35 D．40
6．3 等比数列的通项公式 一、教学目标 1.知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 2.能力目标： （1）应用等比数列的通项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等比数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力． 3.情感目标： （1）经历等比数列的通项公式的探索，增强学生的创新思维； （2）关注数学知识的应用，形成对数学的兴趣。 二、教学重难点 1.教学重点：等比数列的通项公式． 2.教学难点：等比数列通项公式的推导． 三、教学过程 （一）创设情境兴趣导入 做一做：将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数 （二）动脑思考探索新知 新知识： ?=（层）； 第1次对折后纸的层次为122 ?=（层）； 第2次对折后纸的层次为224 第3次对折后纸的层次为428 ?=（层）； 第4次对折后纸的层次为8216 ?=（层）； 第5次对折后纸的层次为16232 ?=（层）． 各次对折后纸的层次组成数列 2，4，8，16，32． 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．
由定义知，若{}n a 为等比数列，q 为公比，则1a 与q 均不为零，且有1n n a q a +=，即 1n n a a q +=? (6.5) （三）巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列{}n a 中，15a =，3q =，求2a 、3a 、4a 、5a ． 解 213243545315, 15345, 453135, 1353405.a a q a a q a a q a a q =?=?==?=?==?=?==?=?= 试一试：你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ （四）动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列{}n a 的公比为q ，则 ()()2123211234311, , ,a a q a a q a q q a q a a q a q q a q =?=?=??=?=?=??=? …… 依此类推，得到等比数列的通项公式： .11-?=n n q a a 知道了等比数列{}n a 中的1a 和q ，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 想一想：等比数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和q ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ （五）巩固知识 典型例题 例2求等比数列
等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7
学而思高中完整讲义：数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式 与求和.学生版 【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和 n S =_______． 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ． 【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ，，，若数列{}n b 有 连续四项在集合{}5323193782--， ，，，中，则6=q ． 【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝3132 ，则105a a 等于 ． 【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=， 则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______． 【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； 典例分析
⑵求n a 的通项公式及10S ． 【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则 222 12n a a a +++=L ________． 【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ． 【例11】 在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++ (314) log b +等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -， 则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -