§2.5 指数与指数函数
1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分
数指数幂的意义是a －m n ＝1
n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0
的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋
s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .
2．指数函数的图象与性质
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)(4
(－4))4＝－4.
( × ) (2)(－1)24＝(－1)1
2
＝－1.
( × ) (3)函数y ＝a －
x 是R 上的增函数．
( × ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)． ( × ) (5)函数y ＝2x
－1
是指数函数．
( × )
(6)函数y ＝(14
)1－
x 的值域是(0，＋∞)．
( √ ) 2．若a ＝(2＋3)－
1，b ＝(2－3)－
1，则(a ＋1)－
2＋(b ＋1)
－2
的值是
( )
A ．1 B.14 C.2
2
D.23
答案 D
解析 a ＝(2＋3)－
1＝2－3，b ＝(2－3)－
1＝2＋3，
∴(a ＋1)－
2＋(b ＋1)－
2＝(3－3)－
2＋(3＋3)－
2
＝112－63＋112＋63＝23
. 3．设函数f (x )＝a
－|x |
(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则
( )
A ．f (－2)>f (－1)
B ．f (－1)>f (－2)
C ．f (1)>f (2)
D ．f (－2)>f (2)
答案 A 解析 ∵f (x )＝a
－|x |
(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －
2＝4，∴a ＝12
，∴f (x )＝????12－|x |＝2|x |， ∴f (－2)>f (－1)．
4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)
解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0 5．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －1 2 －3·2x ＋5的最大值为________． 答案 52 解析 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x － 1－3·2x ＋5，∴y ＝12 t 2－3t ＋5 ＝12(t －3)2＋12 ， ∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝5 2 . 题型一 指数幂的运算 例1 化简： (2)(－278 )32 -＋(0.002)21 -－10(5－2)－ 1＋(2－3)0. 思维启迪 运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算． 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (1)化简4 16x 8y 4(x <0，y <0)得 ( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y 答案 (1)D (2)8 5 题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如 图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 (2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 思维启迪 对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案 (1)D (2)1 解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x － b 在定义域上单调递减，所以0 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究． (1)函数y ＝e x ＋e － x e x －e －x 的图象大致为 ( ) (2)若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 答案 (1)A (2) 3 解析 (1)y ＝e x ＋e － x e x －e －x ＝1＋2 e 2x －1 ，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1 ＋2 e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确． (2)当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]，∴a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0 例3 (1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ (2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －1 2 |x |. ①若f (x )＝3 2，求x 的值； ②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 思维启迪 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值 或值域来解决． 解 (1) 函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴 下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0 当x ≥0时，f (x )＝2x －1 2 x ， 由2x －12x ＝3 2 ，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－1 2， ∵2x >0，∴x ＝1. ②当t ∈[1,2]时，2t ????22t －122t ＋m ??? ?2t －1 2t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)， ∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． 思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构． 设函数f (x )＝ka x －a － x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集； (2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a － 2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1. (1)因为f (1)>0，所以a －1 a >0，又a >0且a ≠1， 所以a >1. 因为f ′(x )＝a x ln a ＋a － x ln a ＝(a x ＋a － x )ln a >0， 所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4. 所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝3 2 ， 即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－1 2(舍去)． 所以g (x )＝22x ＋2 －2x －4(2x －2－ x )＝(2x －2－ x )2－4(2x －2－ x )＋2. 令t (x )＝2x －2－ x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)， 即t (x )≥t (1)＝3 2， 所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 换元法解决与指数函数有关的值域问题 典例：(10分)(1)函数y ＝(1 2)x 2＋2x －1的值域是 ( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0,4] D ．[4，＋∞) (2)函数y ＝(14)x －(1 2 )x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________． 解析 (1)设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(1 2)t . 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(1 2 )t 为关于t 的减函数， 所以0 2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]． (2)因为x ∈[－3,2]，若令t ＝(12)x ，则t ∈[1 4 ，8]． 则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋3 4 . 当t ＝12时，y min ＝3 4 ；当t ＝8时，y max ＝57. 所以所求函数值域为[3 4，57]． 答案 (1)C (2)[3 4 ，57] 温馨提醒 和指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化. 方法与技巧 1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0 3．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 失误与防范 1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域． 3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围. A 组 专项基础训练 一、选择题 1．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( ) 答案 C 解析 当x ＝1时，y ＝0，故函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C 符合． 2．已知a ＝ 5－1 2 ，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >n D ．m 答案 D 解析 ∵0< 5－12<1，∴f (x )＝a x ＝(5－12 )x ， 且f (x )在R 上单调递减， 又∵f (m )>f (n )，∴m 3．若函数f (x )＝a |2x － 4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 答案 B 解析 由f (1)＝19得a 2＝1 9 ， ∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13 )|2x － 4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 4．若存在负实数使得方程2x －a ＝1 x －1成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1) 答案 C 解析 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1 x －1和y ＝2x －a 的图象 知，当a ∈(0,2)时符合要求． 5．已知实数a ，b 满足等式2 014a ＝2 015b ，下列五个关系式：①0 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B 解析 设2 014a ＝2 015b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得 (1)若t >1，则有a >b >0； (2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0； (3)若0 故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 二、填空题 7．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 答案 5±1 2 解析 若0 1－a ＝1， 即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－5 2 (舍去)． 若a >1，则a －a － 1＝1，即a 2－a －1＝0， 解得a ＝1＋52或a ＝1－5 2 (舍去)． 综上所述a ＝5±1 2 . 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞) 解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点． 三、解答题 9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )； (2)若不等式(1a )x ＋(1 b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)， ∴? ???? b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x . (2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(1 3)x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(1 3)x ， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝5 6， 故所求实数m 的取值范围是(－∞，5 6 ]． 10．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)． ①当0 a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ????1a ＝????1a ＋12 －2＝14. 所以????1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝1 3 . 又因为a >0，所以a ＝1 3 . ②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈???? 1a ，a ， 此时f (t )在???? 1a ，a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝1 3 或3. B 组 专项能力提升 1．设函数f (x )＝????? 1x (x >0)， e x (x ≤0)，若F (x )＝ f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 C 解析 当x >0时，F (x )＝1 x ＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)． 2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.??? ?0，12 答案 D 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0 2. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求． 图(1) 图(2) 综上，0 2 . 3．关于x 的方程????32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ??? ?－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0 <1， 从而0<2＋3a 5－a