2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）
）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤?
在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =
【答案】A
【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==在0x =处连续11.22
b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）
()()111
101011010()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>
【答案】B
【解析】
()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01
10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则
()112112()2103
f x dx x dx --=-=-
()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B
当lim(0n n x →∞
+=时，lim 0n n x →∞= ()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞
+=时，lim 0n n x →∞=
【答案】D
【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞
==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A ）22(cos 2sin 2)x x Ae
e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x
x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++
【答案】A
【解析】特征方程为：2
1,248022i λλλ-+=?=±
222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+
故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C.
（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y
??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <
【答案】C 【解析】
(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y
??>
所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）
()s
（A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t =
（D ）025t >
【答案】B
【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为0
1200(t),(t),t t v dt v dt ??则乙要追上甲，则 0210(t)v (t)10t v dt -=?
，当025t =时满足，故选C.
（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -?? ?= ? ???
，则123(,,)A ααα=（ ）
（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+
【答案】 B
【解析】
112312323000
11(,,)(,,)1
2222P AP AP P A αααααααα-??
?
?
?
? ? ? ?=?=?==+ ? ?
? ? ? ??????
?,
因此B 正确。
（8）设矩阵2002101
00021,020,020*********A B C ????????????
===??????????????????
,则（ ）
（A ）,A C B C 与相似与相似 （B ）,A C B C 与相似与不相似
（C ）,A C B C 与不相似与相似 （D ）,A C B C 与不相似与不相似
【答案】B 【解析】由0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1,
因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，即100~020002A ??
? ? ???
由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.
因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，∴~A C ，但B 不相似于C.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 曲线21arcsin y x x ??
=+ ???的斜渐近线方程为_______
【答案】2y x =+
【解析】
()22lim lim(1arcsin )1,lim lim arcsin 2,
2x x x x y
y x x x x x y x →∞→∞→∞→∞=+=-==∴=+ (10) 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t ?=+?=?确定，则2
20
t d y
dx ==______
【答案】1
8-
【解析】
()'
220222cos cos ,11cos sin (1)cos 1
181t t
t t t t t dy
dx dy t
t e dt dt dx e t d y t e te d y
e dx dx dx
e dt ===+?=+?? ?-+-+???==?=-+
(11) 20ln(1)
(1)x dx x +∞+=+?_______
【答案】1
【解析】
20002020
ln(1)
1
ln(1)(1)1ln(1)1
1(1)1
1.
(1)x dx x d x x
x dx x x dx x +∞+∞
+∞
+∞
+∞
+=-+++?+?=--??++??
==+????
(12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则
(,)______f x y =
【答案】y
xye
【解析】,(1),(,)(),y y y y x y f ye f x y e f x y ye dx xye c y ''==+==+?故 ()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，
因此()0c y '=，即()c y C =，再由(0,0)0f =，可得(,).
y f x y xye =
【答案】
【解析】
（13）1
1
0tan ______y x dy dx x =??
【答案】ln cos1.
【解析】交换积分次序：
1
1
110000tan tan tan ln cos1x y x x dy dx dx dy xdx x x ===?????. （14）设矩阵41212311A a -????=????-??的一个特征向量为112?? ? ? ???
，则_____a =
【答案】-1
【解析】设112α?? ?= ? ???
，由题设知A αλα=，故 4121111211323112222a a λλλλ-?????????? ??? ? ? ?=?+= ??? ? ? ? ??? ? ? ?-??????????
故1a =-.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10
分）求极限0lim t x dt +→
【解析】0
t x →，令x t u -=，则有
00t x u x u x dt du du ++=-=???
00330
022
03
0022=lim lim 2lim 3
2x x u x u x x u x x du e du x x du x x +→→→→====???原式
（16）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )x y f e x =，求0x dy dx =，220
x d y dx = 【答案】2'''1
11200(1,1),(1,1),x x dy d y f f dx
dx ==== 【解析】 ()()
0'''''12121002''2''''''2''111221221222''''111220
(,cos )(0)(1,1)
sin (1,1)1(1,1)0(1,1)
(sin )(sin )sin cos (1,1)(1,1)(1,1)x x x x x x x x x x y f e x y f dy
f e f x f f f dx d y f e f e x f e x f x f e f x dx
d y f f f dx =====?=?=+-=?+?=?=+-+-++-?=+- 结论：
'10
2''''11122
0(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)
x x dy
f dx
d y f f f dx ====+-
（17）（本题满分10分）求21lim ln 1n
n k k k n n →∞=??+ ???∑
【解析】 2111221
020********lim ln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214
n n k k k x x x dx x dx x x dx n n x →∞=-++=+=+=+?-=+∑???
（18）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程33
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值
【答案】极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=
【解析】
两边求导得： 2233'33'0x y y y +-+= （1）
令'0y =得1x =±
对（1）式两边关于x 求导得 ()2
266'3''3''0x y y y y y +++= （2） 将1x =±代入原题给的等式中，得1110
x x or y y ==-????==??， 将1,1x y ==代入（2）得''(1)10y =-<
将1,0x y =-=代入（2）得''(1)20y -=>
故1x =为极大值点，(1)1y =；1x =-为极小值点，(1)0y -=
（19）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x
+→><，证明：
()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；
()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I ）()f x 二阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x
+→>< 解：1）由于0()lim 0x f x x
+→<，根据极限的保号性得
0,(0,)x δδ?>?∈有
()0f x x <，即()0f x < 进而()0(0,)0x f δδ?∈<有
又由于()f x 二阶可导，所以()f x 在[0,1]上必连续
那么()f x 在[,1]δ上连续，由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得：
至少存在一点(,1)ξδ∈，使()0f ξ=，即得证
（II ）由（1）可知(0)0f =，(0,1),()0f ξξ?∈=使，令()()'()F x f x f x =，则(0)()0f f ξ== 由罗尔定理(0,),'()0f ηξη?∈=使，则(0)()()0F F F ηξ===，
对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理：
12(0,),(,)ηηηηξ?∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠，使得12'()'()0F F ηη==，即
()2'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y x y y =+≤计算二重积分()2
1D
x dxdy +??。 【答案】
54π 【解
析】()()22sin 22222
0051122cos 4
D D D D x dxdy x dxdy x dxdy dxdy d r d π
θπθθθπ+=+=+=+=?????????? （21）（本题满分11分）设()y x 是区间30,2?? ???内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线L: ()y y x =上任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,p Y ，法线与x 轴相交于点()
,0p X ，若p p X Y =，求L 上点的坐标(),x y 满足的方程。
【答案】
【解析】设(),()p x y x 的切线为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =得()()p Y y x y x x '=-，法线
()1()()Y y x X x y x -=--',令0Y =得()()p X x y x y x '=+。由p p X Y =得
()()y xy x x yy x ''-=+，即1()1y y y x x x ??'+=- ???。令y u x =，则y ux =，按照齐次微分方程的解法不难解出21ln(1)arctan ln ||u u x C x
++=-+, （22）（本题满分11分）设3阶矩阵()123,
,A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+。 ()I 证明：()2r A =
()∏若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解。
【答案】（I ）略；（II ）通解为1121,11k k R ???? ? ?+∈ ? ? ? ?-????
【解析】
（I ）证明：由3122ααα=+可得12320ααα+-=，即123,,ααα线性相关， 因此，1230A ααα==，即A 的特征值必有0。
又因为A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0. 且由于A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00λλλλ?? ?Λ=≠≠ ? ??
?
∴()()2r A r =Λ=
（II ）由（1）()2r A =，知3()1r A -=，即0Ax =的基础解系只有1个解向量，
由12320ααα+-=可得()12311,,22011A ααα???? ? ?== ? ? ? ?--????，则0Ax =的基础解系为121?? ? ? ?-??
， 又123βααα=++，即()12311,,1111A αααβ???? ? ?== ? ? ? ?????，则Ax β=的一个特解为111?? ? ? ???
，
综上，Ax β=的通解为1121,11k k R ???? ? ?+∈ ? ? ? ?-????
（23）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换
X QY =下的标准型2
2
1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q .
【答案】22
122;0,36 a Q f x Qy y y ? ===-+ ?
【解析】
123(,,)T f x x x X AX =，其中21411141A a -??
?
=- ? ?-??
由于123(,,)T f x x x X AX =经正交变换后，得到的标准形为22
1122y y λλ+，
故214
()2||01110241r A A a a
-=?=?-=?=-，
将2a =代入，满足()2r A =，因此2a =符合题意，此时2
1
411
141
2A -?? ?=- ? ?-??，则 123214
||11103,0,6412
E A λλλλλλλ---=-+-=?=-==--，
由(3)0E A x --=，可得A 的属于特征值-3的特征向量为1111α?
?
?
=-
? ???
；
由(6)0E A x -=，可得A 的属于特征值6的特征向量为2101α-?
? ?
= ? ???
由(0)0E A x -=，可得A 的属于特征值0的特征向量为3121α?? ?= ? ???
令()123,,P ααα=，则1360P AP --?? ?= ? ???
，由于123,,ααα
彼此正交，故只需单位化即可：
)
))1231,1,1,1,0,1,1,2,1,T T T βββ=-=-=， 则(
)1230Q βββ? == ?，3
60T Q AQ -?? ?=
?
??
? 2
2
12312(,,) 36x Qy f x x x y y =-+
2016年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210
2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x
x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 【详解】对于x
x y 1sin
+=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤
（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤
4．曲线???++=+=1
4722t t y t x , 上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→220x x ξlim （ ）
（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）3
1 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠???y
x u 及
02222=??+??y
u x u ，则（ ）．
（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；
（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
7．行列式d
c d
c b a b a
00000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．?∞-=++1
25
21dx x x ． 10．设)(x f 为周期为
4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．
11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=??
? ??2121,|dz ．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点??
? ??=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质
心坐标=x ．
14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围
是 ．
三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim x x dt t e t x t x 111211
2+--?+∞→．
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．
17．（本题满分10分）
设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算
??++D dxdy y
x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分） 设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x x e y e z y z x z 222224)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：
（1） []b a x a x dt t g x a ,,)(∈-≤≤
?0；
（2） ??≤?+b
a dt
t g a a dx x g x f dx x f b a )()()()(． 20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x x
x x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ． 21．（本题满分11分）
已知函数),(y x f 满足)(12+=??y y
f ，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．
22．（本题满分11分）
设????
? ??---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．
（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系；
（2） 求满足E AB =的所有矩阵．
23．（本题满分11分）
证明n 阶矩阵??????? ??111111111 与??????
? ??n 00200100 相似． 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )
(A) 2+∞
? (B) 2ln x dx x +∞? (C) 21ln dx x x +∞? (D) 2x x dx e +∞? (2) 函数()20sin lim(1)x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内( )
(A) 连续
(B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点
(D) 有无穷间断点
(3) 设函数()1cos ,00,0
x x x f x x αβ?>?=??≤?(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤
(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤
(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐
点的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ??+=- ??
? ，则11u v f u ==??与11u v f v ==?? 依次是 ( ) (A) 1,02 (B) 10,2 (C) 1,02
- (D) 10,2- (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =
，y =
围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),D
f x y dxdy =?? ( ) (A)
()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr π
θπθθθθ?? (B)(
)3
4cos ,sin d f r r rdr ππθθθ? (C) ()1
3sin 21
42sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ?? (D) (
)3
4cos ,sin d f r r dr π
πθθθ?
(7) 设矩阵21111214a a ?? ?= ? ???A ,21d d ?? ? ?= ? ???
b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω
(C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω
(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为222123
2y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )
(A)2221232y y y -+ (B) 222123
2y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t
=??=+? 则 212t d y dx == (10)函数2()2x f x x =?在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________
(11) 设()f x 连续，()()2
0x x x f t dt ?=?，若()()11,15??'==，则()1f =
(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()
y x 取得极值3，则()y x = .
(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则()0,0dz = .
(14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式
B = .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分）
设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，
求,,a b k 的值.
(16) (本题满分10分)
设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π
=≤≤及直线0y =，2x π
=所围成的平面区域，1V ，2V 分
别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.
(17) (本题满分11分)
已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)x
x f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值.
(18) (本题满分10分)
计算二重积分
()D x x y dxdy +??，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥
(19)(本题满分 11 分)
已知函数(
)1X f x =
+??，求()f x 零点的个数？
(20) (本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差
成正比，现将一初始温度为120C ?的物体在20C ?的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30C ?，若要将该物体的温度继续降至21C ?，还需冷却多长时间？
(21) (本题满分10分)
已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，
设b a >，曲线()y f x =在点()()
,b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.
(22) (本题满分 11 分) 设矩阵101101a A a a ?? ?=- ? ???
且3A O =.
(1) 求a 的值；
(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .
(23) (本题满分11 分)
设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??相似于矩阵12000031B b -?? ?= ? ???
.
（1）求,a b 的值；
为对角阵. （2）求可逆矩阵P，使1
P AP