平面向量
一．向量概念
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：a
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量AB 的长度（或称模）：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记作||AB
． 3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即||1AB =
；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0
；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：////a b c
；
（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：a b =
； （5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a
；
（2）零向量与零向量相等，记作00=
；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
【典例分析】
例1 如图1，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别 写出图中与向量OA ，OB ，OC
相等的向量。
例2 如图2，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC
的三等分点，且||AD 2=，||5BC = ，求||EF ．
例3 在直角坐标系xoy 中，已知||5OA =
，OA 与x 轴正方向所成的角为30 ，与y 轴正方向所
成的角为120
，试作出OA ．
A C E
F O
B D （图1）
A
E B D
F C
（图2）
例4．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
（A ）OB 、CD 、FE 、CB （B ）AB 、CD 、FA 、DE
（C ）FE 、AB 、CB 、OF （D ）AF 、AB 、OC 、OD
二．向量的加法
1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB BC AC +=
．
规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=
．
说明：①共线向量的加法： a b a b +
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b ，求作向量a b +
.
作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a = ，AB b = ，则OB a b =+
. （1） （2） 2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：AB BC AC +=
．
（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b
为邻边作ABCD
，则以A
为起点的对角线AC 就是a 与b
的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：a b b a +=+
．
结合律：()()a b c a b c ++=++
．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++ ；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++
．
【典例分析】
例 1 如图，一艘船从A 点出发以23/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流
速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
A B C
b a
O B A b
a A B C D b
a C
D A C
E
F O
D
B
例2 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为23，AB a = ，BC b =
，AC c = ， 试作出向量a b c ++
，并求出其模的大小。
例3 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，
则飞行的路程为 ；两次位移的和的方向为 ， 大小为 千米．
三．向量的减法
1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -
。 说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：()a a --= ；()()0a a a a +-=-+=
．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示()a b a b -=+-
．
3．向量减法的法则： 已知如图有a ，b ，求作a b - ．
（1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则BA a b =-
．
说明：a b -
可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =- ，
则BA BO OA a b =+=- ．
思考：若//a b ，怎样作出a b -
？ C D A
E B a
b
b a
B
A a b - O C
B b -
O A a
四.向量的数乘
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ
，它的长度与方向规定如下：
（1）||||||a a λλ=
；
（2）当0λ>时，a λ 的方向与a
的方向相同；
当0λ<时，a λ 的方向与a
的方向相反；
当0λ= 时，0a λ=
． 2．实数与向量的积的运算律：
（1）()()a a λμλμ=
（结合律）；
（2）()a a a λμλμ+=+
（第一分配律）；
（3）a b λλλ+ （a+b ）=（第二分配律）．
例1 计算：（1）(3)4a -? ； （2）3()2()a b a b a +--- ； （3）(23)(32)a b c a b c +---+
．
3．向量共线的充要条件：
定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a
共线的充要条件是有且只有一个实数λ，
使得b a λ= ．
例2 如图，已知3AD AB = ，3DE BC = ．试判断AC 与AE
是否共线．
例3 判断下列各题中的向量是否共线：
（1）21245a e e =- ，12110
b e e =- ；
（2）12a e e =+ ，1222b e e =-
，且1e ，2e 共线．
例4 设12,e e
是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =- ， 若
A ，
B ，D 三点共线，求k 的值。
A B C
D
E
4．平面向量基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只
有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+
．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①1e ，2e
均非零向量；
②1e ，2e
不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一；
④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =
．
【典例分析】
例5 已知向量1e ，2e （如图），求作向量12235
e e -+．
例6如图 的两条对角线相交于点M ，且A B a = ，AD b = ，用a 、b 表示MA 、MB 、MC
和MD ．
例7 如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈
，用OA 、OB 表示OP ．
例8已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+ ，4BC a b =-- ，53CD a b =--
， 求证：ABCD 是梯形。
2
e 1e D
b C B a
A M O
B
P A
A
C
B D
五．平面向量基本定理
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+
，
（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =
．
其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a
在y 轴上的坐标。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标也相同； （3）(1,0)i = ，(0,1)j = ，0(0,0)= ； （4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
例1 如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d
， 并求出它们的坐标。
2．平面向量的坐标运算：
问题：已知11(,)a x y = ，22(,)b x y =
，求a b + ，a b - ． 解：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++ 即()1212,a b x x y y +=++ ．
同理：1212(,)a b x x y y -=--
．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； （2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4．实数与向量的积的坐标：
已知(,)a x y = 和实数λ，求()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
y
x O (,)A x y
j
i a
O x y a A 1A 2A
b c d O x 22(,)B x y
11(,)A x y y
归纳：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--
；
（2）11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++
，
1212(,)a b x x y y -=-- ，11(,)a x y λλλ=
； (3)．向量a 与非零向量b 平行的充要条件是：(,0)a b R b λλ=∈≠ .例 2 已知(2,1)a =
，
(3,4)b =-
，求a b + ，a b - ，34a b + 的坐标．
解：a b + =(2,1)(3,4)(1,5)+-=-；a b -
(2,1)(3,4)(5,3)=--=-；
34a b + 3(2,1)4(3,4)(6,19)=+-=-．
例2已知 ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-、(1,3)-、(3,4)，求顶点D 的坐标。
例3已知(1,2)a =- ，(3,1)b =- ，(11,7)c =- ，且c xa yb =+
，求x ，y ．
六.平面向量的坐标运算
1．向量平行的坐标表示：
设11(,)a x y = ，22(,)b x y =
，（0b ≠ ），且//a b ， 则(,0)a b R b λλ=∈≠
，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.
∴1212
x x y y λλ=??=?，∴12210x y x y -=. 归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式： ①//a b (0)b ≠? (,0)a b R b λλ=∈≠ ； ②//a b (0)b ≠ 且设11(,)a x y = ，22(,)b x y =?
12210x y x y -=（1212,,,x x y y R ∈）
【典例分析】
例1 已知(4,2)a = ，(6,)b y =
，且//a b ，求y ．
例2 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线．
例3 已知(2,3)a = ，(1,2)b =-
，若ka b - 与a kb - 平行，求k ．
例4已知点(1,1)A --，(1,3)B ，(1,5)C ，(2,7)D ，向量AB 与CD
平行吗？直线AB 与直线CD 平行吗？
七．向量的数量积
1．向量的夹角：
已知两个向量a 和b （如图），作OA a = ，OB b =
，则
AOB θ∠=（0180θ≤≤
）叫做向量a 与b 的夹角。 当0θ=
时，a 与b 同向；
当180θ=
时，a 与b 反向；
当90θ=
时，a 与b 的夹角是90 ，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ??
叫做a 与b 的数量积（或
内积），记作a b ? ，即||||cos a b a b θ?=??
．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：
O
A
B
a
b
θ
如图，OA a = ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=
．
||cos b θ
叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它
是一负值；当90θ= 时，它是0；当0θ= 时，它是||b ；当180θ= 时，它是||b -
． （2）a b ? 的几何意义：数量积a b ? 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ
的乘积。
【典例分析】
例1 ①已知||5a = ，||4b = ，a 与b 的夹角120θ=
，则a b ?= ；
②已知||4b = ，a 在b 上的投影是1||2
b
，则a b ?= ；
③已知||5a = ，||4b =
，32a b ?=- ，则a 与b 的夹角θ= （3）数量积的性质：
设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b
的夹角，则
①cos ||||a b
a b θ?= ；
②当a 与b 同向时，||||a b a b ?= ；当a 与b 反向时，||||a b a b ?=- ；
特别地：2
||a a a ?= 或||a a a =? ；
③||||||a b a b ?≤
； ④a b ⊥ 0a b ??=
； 若e 是与b
方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ?=?=
．
【典例分析】
例2已知正ABC ?的边长为2，设BC a = ，CA b = ，AB c = ，求a b b c c a ?+?+?
．
例3已知||3a = ，||3b = ，||23c =
，且0a b c ++= ，求a b b c c a ?+?+? ．
O A
B
b
1()B
θ
a
O A
B
b
θ1B O
A
B
b a
1B θ
4．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+
， ∴22
112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ?=++=+?+?+ 1212x x y y =+.
从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ?=+
．
5．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度：(,)a x y = ? 222
22||||a x y a x y =+?=+ ； ②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则222121()()AB x x y y =-+-
；
③夹角：1212
2222
1122
cos ||||a b x x y y a b x y x y θ?+==?+?+ ；
④垂直的充要条件：∵0a b a b ⊥??=
，即12120x x y y +=
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
【典例分析】
例4 设(5,7),(6,4)a b =-=--
，求a b ? ．
例5已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ?是直角三角形。
例6在Rt ABC ?中，(2,3)AB = ，(1,)AC k =
，求k 值。
答案
一、1、OA=DO=CB=EF OB=EO=FA=DC OC=FO=AB=ED
2、EF=3
4、D
二、1、4km/h、方向与流速的夹角为?
60
2、8
3、400km、东偏北?
45、2002km
四、1、（1）-12a (2)5b (3)- a+5b-2c
2、共线
3、（1）共线（2）共线
4、-8
6、MA=-（a+b）/2 MB=(a-b)/2 MC=（a+b）/2 MD=(b-a)/2
7、OP=t(OB-OA)
8、证明：AD
=AB+BC+CD
=-8a-2b
=2(-4a-b)
∴AD=2AB即AD AB
∴ABCD是梯形
五、1、a=2i+2j=（2,2）b=-2i+2j=(-2,2) c=-2i-2j=(-2,-2)
d=2i-2j=(2,-2)
2、D（2,2）
3、x=2，y=-3
六、1、3
2、证明： AB=(2,4) BC=(1,2) ∴AB BC即A、B、C三点共线
3、k=±35/5
4、平行、平行
七、1、○1-10 ○28 ○3arccos-32/20
2、-8
3、-3-93/2
4、-2
6、k=-2/3或11/3或3±13/2
最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁， 在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一 平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数 问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充
O A P Q B a b 第4题 法. 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是 且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简得 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线， 则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若＝a ，＝b ，则＝， ＝ (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，， =a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21 33+a b OQ 12 33 +a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D C E F A 例1
高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z － ＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D
第六章 平面向量与复数 , 第32课 向量的概念与线性运算 激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________． 知识梳理 1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．
第一节平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线 C ．不可能都是零向量 D ．不可能都是单位向量 例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 等价于四边形 ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．④⑤ CA 2．向量的线性运算 平行四边形法则 例3：化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC → D ．0 例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B ．BE C ．A D D ．CF (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23 BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 巩固练习： 1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________． 2．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB → 的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确 定 3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________ 4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于( ) A ．－BC ＋12BA B ．－B C －12BA C ．BC －12 BA D ．BC ＋12 BA 5．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ；③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE → . DD 1 2 巩固练习 1。16a ＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB →＝AC →＋CB → ＝－3a ＋2b ，∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →. ∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23 b .∴CE →＝CD →＋DE → ＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b. 3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________ 例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
平面向量复习讲义 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是 || AB AB ± )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0 )； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，终点相同。（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形， 则AB DC = 。（5）若,a bb c == ，则a c = 。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ， 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的线性运算： （1）向量加法： ①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ， ＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记作+a b 定：a + 0-= 0 + a =a, 当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
第06练-平面向量与复数 一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（ ） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交
点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】 虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ， 切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ， 所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】 本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （ ） A ．1 2 - B ．0
中学数学竞赛讲义——平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λf 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作 a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos
平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos
高考数学专题练习：平面向量与复数 1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A 2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13 C.13 D ．3 解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝ －26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13 ＝－3. 答案：A 3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝ ±12＋32＝2,故选D. 答案：D 4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( ) A ．1 B.62 C. 2 D ．4 解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1） 由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ， 代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一 向量的概念 思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 梳理 向量与数量 (1)向量：既有________，又有________的量统称为向量． (2)数量：只有________，没有________的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法 思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 思考3 单位向量的模长是多少？ 梳理 (1)向量的表示 ①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度 也叫作有向线段AB →的长度，记作________． ②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________． ③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a → , b → , c → ，…来表示． (2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量 思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？ 梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量． (2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线． ①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行． 类型一 向量的概念 例1 下列说法正确的是( ) A ．向量A B →与向量BA →的长度相等 B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数 1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ） ＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________． 答案：－3 解析：由a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3. 4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________． 答案：－i 解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i ＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________． 答案：2 解析：由2＋ai 1－i ＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2. 6. 若z －·z ＋z ＝154 ＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 答案：－12 ＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154 ＋2i ，所以?????x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得?????x ＝－12，y ＝2， 所以z ＝－12 ＋2i. 7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________． 答案：2 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2. 8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________. 答案：19
第4讲 极化恒等式 一．选择题（共3小题） 1．已知ABC ?是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值为( ) A ．3- B ．6- C ．2- D ．83 - 【解析】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0A ，，(2,0)B -，(2,0)C ， 设(,)P x y ，则(PA x =-，)y -，(2,)PB x y =---，(2,)PC x y =--， 所以则()PA PB PC +的最22(2)(23)(2)242x x y y x y =--+--=-+ 222[2(3]x y =+-； 所以当0x =，y =()PA PB PC +取得最小值为2(3)6?-=-， 故选：B ． 2．在等腰直角ABC ?中，90ABC ∠=?，2AB BC ==，M ，N （不与A ，C 重合）为AC 边上的两个动点，且满足||2MN =BM BN 的取值范围为( ) A ．3 [2 ，2] B ．3 (2 ，2) C ．3 [2 ，2) D ．3 [2 ，)+∞ 【解析】解：以等腰直角ABC ?的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系， 如图所示；则(0,0)B ，直线AC 的方程为2x y +=； 设(,2)M a a -，则01a <<， 由||2MN =(1,1)N a a +-；
∴(,2)BM a a =-，(1,1)BN a a =+-； ∴2213(1)(2)(1)2222()22 BM BN a a a a a a a =++--=-+=-+ ． 01a <<，∴当12a = 时，BM BN 取得最小值32 ， 且0a =或1时，2BM BN =，无最大值； ∴BM BN 的取值范围是3 [2 ，2)． 故选：C ． 3．正ABC ?P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是( ) A ．33[,]22 - B ．31[,]22 - C ．13[,]22 - D ．11[,]22 - 【解析】解：如图所示． 由正ABC ?P 在其外接圆上运动． 120AOB ∴∠=?，1R = =． ∴()()AP PB OP OA OB OP =-- 2 OP OB OP OA OB OA OP =--+ cos 1cos120cos POB AOP =∠--?+∠ 1 2cos cos()2AOB AOP POB =∠∠-∠- 1cos()2 AOP POB =-∠-∠- ， 1cos()1AOP POB -∠-∠， ∴31[,]22 AP PB ∈-． 故选：B ．
《必修4》 第二章 平面向量 一、知识纲要 1、向量的相关概念： （1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a 。 向量又称矢量。 ①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。 记作：|AB |或｜a ｜。 向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。 ①｜a ｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。 （4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。 若向量a 是单位向量，则｜a ｜= 1 。 2、 向量的表示： （1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。 （2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b → 等； （3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的 坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。此时｜a ｜。 若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。
专题复习___________平面向量与复数 【例题选讲】 例1. 设z ∈C ，求满足z+z 1 ∈R 且|z －2|=2的复数z. 解法一：设z=a+bi ，则z+z 1=a+bi+i 1 b a +=a+bi+2 2i b a b a +- =a+ 22 a a b ++(b －22b a b +)i ∈R ∴b=22b a b +∴b=0或a 2+b 2 =1 当b=0时，z=a ， ∴|a －2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b ≠0时，a 2+b 2=1 又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2 =4 解得a=41，b=±415，∴z=41±415i 综上，z=4或z=41 ±415i 解法二：∵z+z 1∈R ，∴z+z 1 =z +z 1 ∴(z －z )－z z z z -=0，(z －z )·2 2||1||z z -=0 ∴z=z 或|z|=1，下同解法一 例 2. 四边形ABCD 中,AB a = , BC b = ,CD c = , DA d = ,且a b b c c d d a ?=?=?=? ，判断四边形ABCD 是什么图形？ 分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件， 对a+b=－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：∵a+b+c+d=0， ∴a+b=－（c+d ）， ∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a|2+2a ·b+|b|2=|c|2+2c ·d+|d|2 ， ∵a ·b=c ·d ， ∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2 ……② ①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2 ，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a=－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ， ∴四边形ABCD 为矩形. 例3. 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、 解，设C(x,0)(x ＞0) 则=(－x,a), =(－x,b) 则·=x 2 +ab cos ∠ 22222b x a x ab x +++ 令t=x 2 +ab 故cos ∠ACB= 11)(1 )(1 222 +?-+--t b a t b a ab 当t 1=ab 21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab +2、