第二讲 矩阵及初等变换（4节）
在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。
本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
1.2.1矩阵的概念
定义2.1 由m n ?个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表
11121212221
2
n n m m m n
a a a a a a a a a
称其为m 行n 列矩阵，记作
11121212221
2
n n
m m m n m n
a a a a a a a a a ???
? ? ? ???
。 其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。矩阵常用大写字母m n A ?，m n B ?… ...表示，或简记m n A ?=()ij m n a ?，m n B ?=()ij m n b ?… … 等.
注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 23231
0-2=2
5
-3A ????
??? ， 2行2列矩阵 2222
2
1=1
6B ????
?-??。 例2.1例：给个具体的矩阵表示实例
1.2.2矩阵的运算
矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运算.
定义2.2 若两个行列相同的矩阵()
()
,ij ij m n
m n
A a
B b ??==其对应元素相等，即
()
ij
m n
a ?=()
ij m n
b ?
则称矩阵A 与B 相等，记作A B =。
每个元素都是0的矩阵叫做零矩阵，用m n O ?表示，要注意的是行列不同的零矩阵不相等。如 ()1322
000
00
0????
≠
???
定义2.3 设()
()
,ij ij m n
m n
A a
B b ??==，令()ij m n
C c ?==()ij ij m n a b ?+，称C 为矩阵A 与
矩阵B 的和. 记作C A B =+. 记()
ij m n
A a ?-=-，称（－A ）是矩阵A 的负矩阵. 则有
A B -=A B +-（）=()ij ij m n a b ?-
注：定义2.2和定义2.3的条件是要求两矩阵的行和列要相同。我们把2个同行同列的
矩阵叫作同型矩阵。 例2.2 设121
03
50
1X -????
+=
? ?????
，求X . 解 由题意X 是2行2列矩阵，可令X =a
b c
d ??
???，则 a b c d ??
???=10120135-????- ? ?????=023
4?? ?--??
. 称100
1??
???为二阶单位矩阵，记2E .相应有三阶单位阵31
000100
1E ??
?
= ? ???
以及n 阶单位矩阵1
000
100
1n E ?? ?
?= ? ???
等。 定义2.4 非零数k 与矩阵()ij m n
A a ?=的乘积记作kA ，规定kA ＝()
ij m n
ka ?.
即，非零常数k 与矩阵A 乘积等于用k 乘以A 的每一个元素。换句话说，当A 中每一个元素都有相同公因子k 时，才能把k 提出A 外。
例如24126
02308241--????
? ?= ? ? ? ?--?
??
?
定义2.5 设()
()
,i j i j m s
s n
A a
B b ??==，那么A 与B 的乘积为记()i j m n
C c ?=，即
C AB ==()i j m n c ?
其中11221
...s
ij i j i j is sj ik
kj k c a b a b a b a
b ==+++=
∑(1,2...;1,2...)i m j n ==
即，用左边矩阵A 的第i 行元素与右边矩阵B 的第j 列元素对应相乘再相加后，得C 中元素i j c .
例2.3 设某家电公司两分厂2012年第四季度空调、电视机、冰箱的产量矩阵已表示为11121321
22
23a a a a a a ??
???
，现设空调、电视机、冰箱每台的销售价分别为112131,,d d d ；每台的利润分别为122232,,d d d .若记单位售价和单位利润的矩阵为B ，则11
1221
2231
32d d B d d d d ??
?= ? ???
.
如设两厂的该季度的总销售价分别为1121,m m ；总利润分别为1222,m m .若记总销售价和总利润的矩阵为M ，则11
1221
22m m M m m ??
=
???
，其中 11111112211331m a d a d a d =++； 21211122212331m a d a d a d =++； 12111212221332m a d a d a d =++； 22211222222332m a d a d a d =++.
按产量、单价、总价间的关系，称M 为A 、B 的乘积也是自然的.
例2.4 设33321100
12
11,1210
110A B ??-????
? ?
=-=- ? ? ? ?-?
??
?.求A B . 解: 由定义2.5 ，1
10012
111210
11
0AB -????
? ?=-- ? ? ? ?-????
= = 1011011112201111211210100211110210?+-?-+??+-??? ??+?-+-??+?+-? ? ?-?+?+?-?+?+???（）（）（）（）（）（）（）（）=1
1241
1-??
?-
? ?-??
显然不是任意2个矩阵都能相乘。只有m s A ?的列数等于s n B ?的行数AB 才有意义.本例中B 有2列，A 有3行，所以B A 无意义.
由此可知当A B 存在时，B A 未必存在，即使B A 存在，也不一定有=A B B A ，即矩阵乘法一般不满足交换律.如果AB BA =，称A B 与可交换。
例2.5 设130
1A ??
=
???
，求所有与A 可交换的矩阵B . 解：因为A B =B A ，所有B 应为22?矩阵.可设11
1221
22x x B x x ??
=
???
，则 A B ＝11122122130
1x x x x ???? ?
?????＝1121
12222122
33x x x x x x ++??
???
B A =11122122130
1x x x x ????
? ?????＝11111221
212233x x x x x x +??
?+??
再由定义2.2有
11211112221112
21
21222122
3333x x x x x x x x x x x x +=??
+=+??
=??=+? 解方程组，得 2111220,x x x ==，取112212,x x a x b ===（,a b 为任意常数）.于是，所有与A 可交换的矩
阵为0
a b B a ??
=
???
（,a b 为任意常数）. 矩阵的基本运算具有下列性质
（1）结合律：()()A BC AB C =，()()()k AB kA B A kB ==；
（2）分配律：左乘 ()A B C AB AC +=+，右乘 ()B C A BA CA +=+； （3）m m n m n E A A ??=，m n n m n A E A ??=.
例2.6 用矩阵的运算形式表示线性方程组
1111221121122222
11
22............
...n n n n m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
+++=??
+++=??
??+++=? ... ... (2.1) 解 令
11
121212221
2
.....................
n n m m m n m n a a a a a a A a a a ??? ? ?= ?
???，12n x x X x ?? ? ?= ? ??? ，
12
n b b b b ??
? ?= ? ???
，则有
A X =
11121
2122
2
1
2
.....................
n n m m m n a a a
a a
a a a a ?? ? ? ? ???
12n x x x ?? ? ? ? ??? =1
2n b b b b ?? ?
?= ? ???
成立. 即方程组(2.1)可表示为A X b =.称A X b =是方程组的矩阵方程（或矩阵表达形式），称A 是方程组的系数矩阵，(),A b =11
1211212222
1
2
.....................
n n m m m n
m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ?
???
是方程组的增广矩阵。 例如，方程组62
x y x y +=??
-=-?的系数矩阵A =111
1?-?
?
??，增广矩阵(),A b =1
61
1
21-?? ???
，方程组的矩阵方程A X b =.其中x X y ??
= ???
.
定义2.6 设A 是n 阶方阵，定义0A E =,1A A =，211A A A =，...11k k A A A +=，其中
k 为正整数.即...k k A AA A =
个，称为A 的k 次幂。
不难看出A 的k 次幂具有如下的性质： （1）方阵才有幂
（2）k l k l A A A +=，()k l kl A A =.
思考：一般()k
k
k
AB A B ≠，为什么？请举例. 例2.7 设11111
111
11111
1
1
1A ---?? ?---
?= ?--- ?---??
，求100A . 解： 24A E =， ∴ 100
2
50
50
50
()
(4)
4A
A E E ===.
设有n 次多项式2012()n
n f x a a x a x a x =++++ 及n 阶方阵A ，令
2012
()n
n f A a E a A a A a A =++++ ... ... (2.2) 称(2.2)为矩阵多项式。
例2.8 设2
1
0()23,4
3f x x x A -??
=--=
???
，求()f A .
解： 21
010104
34389A --??????==
? ? ???????
. 且2
()23f A A A E =--，故 ()f A ＝10101
023894301-??????--
? ? ???????＝0
00
0?? ???
. 定义2.7 （1） 把矩阵A 的行与列对调后得到的矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T A . （2） 如果T A =A ，称A 为对称矩阵。 注：若A 是m 行n 列的矩阵，那么T A 就是n 行m 列矩阵 例如，矩阵23
32
101
11,1
30
3
616T
A A ????-?? ?==-
? ??? ??
?； B =1
212
0414
5-?? ?
- ? ?-?
?
, 有T B B =,因而B 是对称矩阵. 转置矩阵具有如下的运算规律： （1）()T T A A =; （2）();T T T A B A B +=+ （3）()T T A A λλ=; （4）().T T T AB B A =
推广: 1221(...)...T T T T
n n A A A A A A =
证明: (只证明4) 设()(),i j i j A a B b ==，显然()T A B 与T T B A 同型.而()T
A B 的第i
行j 列元素等于AB 的第j 行i 列元素如下所示：
1122...j i j i js si a b a b a b +++ ...... (2.3)
(2.3)式恰好是T B 中第i 行与T A 中第j 列对应元素乘积之和，即是T T B A 中第i 行j 列元素.
例2.9 已知1
42101,3022
1
21
2
3A B -??-??
?
==-
? ?-?? ?-?
?
，求()T A B . 解 法1：可先求A B ，再求()T
A B .
A B = 1421
013022
1
21
2
3-??
-?? ?-
? ?
-?? ?-?
?
=065312
8-??
?--??
∴ ()T
A B =036
1258-?? ? ? ?--?
?
法2：可先求T T B A 和 ，然后再求T T B A
1
3140222
3T
B
-?? ?=- ? ?-?
?，120112T
A ??
?= ? ?--?
?
∴ T T B A =1
314
0222
3-??
?- ? ?-?
?1
20112?? ? ? ?--??=036125
8-??
? ? ?--??
例2.10 设A 为n 阶方阵，证明T A A 及T AA 都是对称阵. 证明： ()().T T T T T T A A A A A A == 故T A A 是n 阶对称方阵.
同理可证T AA 也是n 阶对称方阵.
注：两个对称方阵的乘积未必是对称方阵. 例如 122
3A B ??=
???2
00
1?? ?-??=224
3-??
?-??
非对称矩阵. 例2.11 设列矩阵12(,...)T
n X x x x =满足1T X X =，E 为n 阶单位，
令2T
H E X X =-，
证明H 是对称矩阵，且T HH E =. 证： (2)2()2T
T T T T T
T
H
E X X E X X E X
X H =-=-=
-=,所以H 是对称矩阵.
2
(2)(2)2()2()4T
T
T
T
T
T
T
T
T
HH
E XX E XX E E XX XX E XX XX E =--=--+=
最后我们要强调的是：（1）矩阵中存在,A O B O ≠≠但AB O =的情形，故由AB O =不能得出A O =或B O =；若A O ≠，而()A X Y O -=，也不能得出X Y =；
例如 1
00000=1
01
10
0??????
? ? ???????
（2）矩阵乘法消去律不成立。
例如4
158A -??=
???，210
0,3823B C ????== ? ?????，有2
31624A C B C ??
== ???
且C O ≠但A B ≠.
1.2.3 矩阵的初等变换
在第一讲中我们注意到与解方程每一步对应数表的变化，这种数表之间的变化就是对矩阵进行初等变换。
定义2.8 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1、对矩阵调某两行元素（对调矩阵,i j 两行对应元素，记作i j r r ?）；
2、以数0k ≠乘以矩阵一行中的所有元素（第i 行乘0k ≠，记作i r k ?或i k r ）；
3、把矩阵某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去（第j 行的0k ≠倍加到第
i 行，记作i j r k r +）.
将定义中的“行”换成“列”，即为矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把行“r”换成列“c”，如交换两列i j c c ?）.
注：对矩阵进行的初等变换不是对矩阵进行恒等运算，所以矩阵A 经过初等变换到B ，A 与B 之间只能用箭头“→“或“ ”连接，即
1
0122
10035
1
2A -?? ?=- ? ?-?
?2122r r +???????→（第一行倍加到第二行）1
01201-2435
1
2A -??
?
=
? ?-?
?
,显然A B ≠. 下面我们把第一讲中与方程组同解的数表之间的运算关系用矩阵初等变换的形式表达出来。
例2.12 求方程组1
3121
23122323
x x x x x x x -=??
+=??-++=?的解
解 先写出方程组的增广矩阵。令 1
011
20132A -??
?= ? ?-?
? 123b ?? ?= ? ???，则增广矩阵(,)A b =1
0111
20213
23-??
? ? ?-?
?
对增广矩阵进行初等行变换，得
(,)A b =1
0111
202
13
23-??
? ? ?-?
?
21
3
1
r r r r
--???→1
011021103
14-??
?
? ??
?
→
32
3
2r r -???→10110
2111500
2
2
?? ?-
? ? ?- ??
?23
1322r r r r +-???→100402061500
2
2
?? ?- ?
? ?- ??
?
→ 2
31
22r r -???→1004010300
15-
??
?
? ?-?
?
由最后一个矩阵，可得到方程组解：123
4
35x x x =-??
=??=-?.
通过本例可看出，利用矩阵的一系列初等行变换，就可以求出方程组的解，这种方法将在第四讲中详细讲解。
下面我们给出矩阵行阶梯形、矩阵行最简形、矩阵标准形概念。 例 2.13 对矩阵11161
012121
0A ??
?
=-- ? ?-?
?
进行下列初等行变换： 213111161
1161
012012812
1003
6r r r r A --????
? ?
=--???→ ? ? ? ?-?
???
→ 32
31
1160
12800
2
6r r -?? ?
???→ ? ???
... ... (2.4) 称（2.4）是矩阵行阶梯形.其特点是112233,,a a a 下方的元素全为零（就像3个阶梯）。一般矩阵行阶梯形的特点是，经过行的一系列初等变换后，新矩阵的1122,,ss a a a 下方元素全为零；
我们对（2.4）做进一步的行变换
123
121
11610120128012800
1
300
1
3r r r ---????
? ?
???→ ? ? ? ??
???
→ 13
23
21
001010200
1
3r r r r +-?? ?
???→ ? ???
... ... (2.5)
称（2.5）是矩阵行最简形。其特点是它前三行前三列元素正好构成一个单位矩阵。一般矩阵行最简形的特点是，在对矩阵A 经过一系列行的初等变换后，如果保留了r 行元素不为零，那么在新的矩阵中一定可以取出r 行r 列构成一个r 阶的单位矩阵；
矩阵行最简形也可理解为在只用行变换的情况下，使得变换后的矩阵中0元素的个数达到最多。显然如果对（2.5）继续使用行变换也不会使0的个数增加。
再对（2.5）使用列变换
123
121
11610120128012800
1
300
1
3r r r ---???? ? ????→ ? ? ? ??
??
?1323
21
001010200
1
3r r r r +-??
?
???→ ? ??
?
→ 41
4243
2,31
000010000
1
0c c c c c c ---?? ?
?????→ ? ???
... ... (2.6) 称（2.6）是矩阵标准形。其特点是变换后的矩阵左上角是一个三阶单位阵，其余元素为零。一般矩阵标准型特点是，在变换后的新矩阵的左上角是一个r 阶的单位矩阵，而其余元素都是零。
注意：
（1）矩阵行阶梯形与矩阵行最简形的形式不唯一；但矩阵标准形唯一。 例如 A =1
5122
-5-3-1-312
63??
? ? ??
?15120-15-5-5027
9
9??
????→ ? ???
行变???→行变 1
5120
-15-5-500
0?? ?
???→ ? ??
?
行变
=B 行阶梯形。 或15122
-5-3-1-312
6
3?? ? ? ??
?1
5120279900
0??
?
???→ ? ??
?
行变=C 行阶梯形 B 和C 都是A 的行阶梯形，但显然B ≠C
（2）矩阵的初等变换可以逆向操作：若矩阵A 经过i k r , i c k r +,变换成了矩阵B.那么对于B 施以
1i r k
及i i c k c -就可以将矩阵B 还原为矩阵A ；
（3）我们在上面都是以行变换为例来介绍的，如果做列变换的话，步骤类似.
例2.14 对11161
012121
0??
?
-- ? ?-??
进行初等列变换，求其列阶梯形矩阵和列最简形 解： 11161
0001
0001
0121128110012
1
013
613
6
18??????
? ? ?--???→---???→- ? ? ? ? ? ?----?
????
?
列变列变 10001
10013
6
0?? ?
???→- ? ?-??
列变
... ... (2.7) 所以列阶梯形矩阵为
1000110013
6
0?? ?
- ? ?-?
?
... ... (2.7) 例2.15 求矩阵0132=2
14323
21A -??
?
- ? ?-??的一个行阶梯形、行最简形以及矩阵的标准形。 解 3112(2)01322
1432
1432
1430132013223
2
123
2
102
6
4r r r r +-?---??????
? ? ?-???→-????→- ? ? ? ? ? ?---?
??
??
?
32
122(1)214320750
1320132000000
0r r r r -+---???? ? ????→-????→- ? ? ? ?????
11275102
20
13200
0r ??-
? ???→- ? ? ?
?
?
1000010000
0?? ?
???→ ? ???
列变换
，故 A 的一个行阶梯形2
1430
13200
0-??
?
- ?
??
?；行最简形 75102
2013200
0??-
? ?- ? ? ??
?
； 最简形10000
10000
0??
? ? ??
?
。
1.2.4 学生自主学习部分
前面我们已经给出了零矩阵、方阵、单位矩阵、转置矩阵、对称矩阵等这些特殊矩阵的定义，但在后面的学习过程中仍会遇到下面的几个特殊矩阵的情形：
（1）行（列）阵：只有一行的矩阵称为行距阵，记为121(...)n n A a a a ?=；只有一列的矩阵称为列矩阵，记为121n
n
a a B a ??? ?
?= ? ??? .显然有()
112
323T
?? ?= ? ???
(2) 对角阵 ：方阵1122000
00
nn a a A a ?? ?
?= ? ???
称为对角阵. (3 )上（下）三角阵 方阵1112122 0
...0
n n nn a a a a a a ?? ?
? ?
???
称为上三角阵; 方阵11
21
221
2
000
...
n n nn a a a a a a ??
? ? ? ???
称为下三角阵. (4) 反对称阵 如果方阵A 满足 T A A =-,称A 为反对称矩阵。
例 T A =0110111
0310313
013
0T
--????
? ?-=- ? ? ? ?--?
??
?=-0
1110313
0--?? ?
- ? ??
?
= -A A 是反对称矩阵。
（5）分块矩阵 在矩阵A 的行和列之间用虚线把矩阵的元素分成若干部分，每一部分视为一个小矩阵，并称之为A 的子矩阵，以每个子矩阵再作为元素构成的矩阵，就是矩阵A 的分块矩阵。
例 1
20
010843
140251
0011
1?? ?
- ? ? ? ?- ? ??
?
=11
1221
223131A A A A A A ??
? ? ???
,
其中
()111,2A =；()120,0A O ==；21
103125A -?? ?= ? ???
； 22
8
44010A ?? ?
= ? ?-??
；()310,1A =；()321,1A = 下面我们再来讨论矩阵方程求解问题：
矩阵方程是一般方程定义的推广，常见的有下面三种形式：
,,
.AX B XA B AXB C ===
其中 ,,A B C 是已知矩阵，X 是待求矩阵。
这里我们只考虑A X B =的情形。下面我们利用矩阵初等变换方法解方程组的过程来求解矩阵方程。
例2.16 求解矩阵方程A X B =，其中2
1012101
2A -?? ?=- ? ?-?
?，512314B -??
?=- ? ??
?
分析：矩阵方程A X B =与方程组的矩阵式A X b =的区别是b 只是列矩阵，而B 可以是多列矩阵。我们可以把B 分块成()1
2B b b =，其中1b 和2b 都是列矩阵。我们就可以把
矩阵方程A X B =拆分为两个方程组11AX b =和22AX b =来求解，其中()1
2X X X =.
解：首先求出方程组11AX b =的解，利用A X B =对应增广矩阵的初等变换
()
12
10512121
0301
003121203210121010101
2
101
2
100
4
400
1
1A b -----????????
? ? ? ?=--→-→-→- ? ? ? ? ? ? ? ?----?
??
??
??
?
()
271
0042
10112131
03119121303250124010201
2
401
2
400
4
171700
1
4A b ?
?-
?----?????? ? ? ? ?
?=-→-→-→- ? ? ? ? ? ? ?---
??
??
??
? ?- ??
?
还原为方程组后解得1311X -?? ?
=- ? ?-??
,2
7
492174X ??- ?
?
?=- ?
? ?- ???
，故 ()1
27349
=1
21714X X X ??--
? ? ?=-- ? ? ?-- ???即为所求。 我们还可以把上面两个增广矩阵的变换过程可以合二为一，即
()()
1
221051121231
212312123210510321501
2
1
401
2
1
401
2
1
4A B A
b b ------??????
? ? ?==--→--→- ? ? ? ? ? ?---?
??
??
?
71
03011100341
030119004417012140101201
2
1
4171700
1
1
00
1
1
44????---
?
?-?? ? ? ?
? ?→-→-→-- ? ? ? ?-
? ??
? ? ?---- ? ??
??
? 我们看到此时矩阵右端出现了7349
1
21714??--
? ?
?-- ? ? ?-- ???的形式，与之前的求解答案X 完全一致。 以后在求解矩阵方程方程时不需要再拆分，直接用初等变换的方法来求解即可。 问题与思考：
（1） 如果两个分块矩阵做加、减以及乘积运算需要满足什么条件？ （2） 设矩阵A 分块为11
12132122
23A A A A A A ??
???
，问 T
A =？ （3）求解123252
213134
343X ????
? ?= ? ? ? ??
??
? 答案：3
22313X ?? ?=-- ? ??
?
（4）矩阵方程XA B =与A X B =是否相等？为什么？
（5）矩阵方程XA B =能否用A X B =的求解方法？考虑下面矩阵方程
23101
012X -??
??
=
? ?-??
?
?
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解；
(C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时，
3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的 通解为 . 9．设，，
，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把 的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.
（A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件 . 16．设方程组有无穷多个解，则 . 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解
毕业论文文献综述 信息与计算科学 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 一、前言部分 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、主题部分 2.1矩阵和线性代数的概念介绍 2.1.1 线性代数的概念介绍
矩阵与线性方程组 问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？ 答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。 问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？ 答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解： 当n A r =)(时，只有零解； 当n A r <)(时，有非零解。 非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。 其中),(~ b A A = 为增广矩阵。 问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。 证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结
导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A
与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→
2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义
定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→． 定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则
矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 2.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B) 为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵
§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16
2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4
所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3
矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 目的要求 1．掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。了解矩阵等价的概念． 2．理解矩阵秩的概念并掌握其求法． 3．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件． 4．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法． 3.2 重要公式和结论 3.2.1 矩阵的秩 1．若，则. 2．对于任意矩阵，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，的行阶梯形中非零 行的行数就等于矩阵的秩. 3．矩阵秩的性质： ①； ②； ③若，则； ④若、可逆，则； ⑤； ⑥；
⑦； ⑧若，则. 3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆 1．三种初等变换对应着三种初等矩阵，且初等矩阵具有以下性质： ，，， ，， . 2．设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵； 3．方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得 . 4．方阵可逆的充分必要条件是. 5．阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使． 6．对于方阵，若，则（1）可逆；（2）． 7．设有阶矩阵及阶矩阵，若，则（1）可逆；（2）． 3.2.3 线性方程组的解 1．元线性方程组， ① 无解的充分必要条件是；
② 有解的充分必要条件是； ③ 有唯一解的充分必要条件是； ④ 有无穷多解的充分必要条件是. 2．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是. 3.3例题分析 例3.1 设，求． 分析对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩. 解，故. 例3.2设，则的秩( . (A 必为2 (B 必为3 (C 可能为2，也可能为3 (D 可能为3，也可能为4. 分析先将化成行阶梯形，再确定矩阵的秩. 解因为，可知，当时，，否则.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组
（1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 .
4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，， ，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）.
（A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）.
（A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解.
线性代数 第一次讨论课 1;要求 2;正文 3;个人总结 丁俊成00101209 第一部分：要求 线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。 讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。 第一次讨论课内容 矩阵初等变换及其应用 请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。 第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。
1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 第二部分：正文 矩阵的初等变换及其应用 矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。 一．两个矩阵的等价 矩阵等价的定义为： 若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。 根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质 （1）反身性任一矩阵A与自身等价；
华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，