2019年深圳市中考数学模拟题
罗湖区2019年初中数学命题比赛试题
第一部分选择题
（本部分共12小题.每小题3分.共36分。每小题给出4个选项.其中只有一个是正确的）1．下列各式中结果为负数的是（）
A．﹣（﹣2）B．|﹣2| C．（﹣2）2 D．﹣|﹣2|
2．某正方体的每一个面上都有一个汉字.如图是它的一种表面展开图.那么在原正方体的表面上.
与“国”字相对的面上的汉字是（）
A．厉B．害C．了D．我
3．下列运算中.正确的是（）
A．（x2）3＝x5 B．x2+2x3＝3x5 C．（﹣ab）3＝a3b D．x3?x3＝x6
4．如图.四个图标中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．某市元宵节灯展参观人数约为470000.将这个数用科学记数法表示为（）A．4.7×106B．4.7×105C．0.47×106D．47×104
6．如图.在3×3的方格中.已有两个小正方形被涂黑.若在其余空白小正方形中任选一个涂黑.则所得图案是一个轴对称图形的概率是（）
A．B．C．D．
7．不等式组的解集是x＞4.那么m的取值范围是（）
A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4
8．如图.△ABC中.AB＝AC.∠B＝30°.点D是AC的中点.过点D作DE⊥AC交BC于点E.连接EA．则∠BAE的度数为（）
A．30°B．80°C．90°D．110°
9．小亮在同一直角坐标系内作出了y＝﹣2x+2和y＝﹣x﹣1的图象.方程组的解（）
A．B．C．D．
10．某书店把一本书按进价提高60%标价.再按七折出售.这样每卖出一本书就可盈利6元.设每本书的进价是x元.根据题意列一元一次方程.正确的是（）
A．（1+60%）x＝6 B．60%x﹣x＝6
C．（1+60%）x﹣x＝6 D．（1+60%）x﹣x＝6
11．小李家距学校3千米.中午12点他从家出发到学校.途中路过文具店买了些学习用品.12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（）
A．B．
C．D．
12．已知：如图.在正方形ABCD外取一点E.连接AE.BE.DE.过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1.PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
第二部分非选择题
填空题（本题共4小题.每小题3分.共12分）
13． a+b＝0.ab＝﹣7.则a2b+ab2＝．
14．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝3.BC＝4.以点C为圆心.CA为半径的圆与AB交于点D.
则BD的长为．
15．如图.按此规律.第行最后一个数是2017.则此行的数之和．
16．在平面直角坐标系中.O为坐标原点.B在x轴上.四边形OACB为平行四边形.且∠AOB＝60°.
反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内过点A.且与BC交于点F．当F为BC的中点.且S△AOF ＝12时.OA的长为．
解答题（本题共7小题.其中第17题5分.第18题6分.第19题7分.第20分8分.第21题8分.第22题9分.第23题9分.共52分）
17．计算：cos245°+﹣?tan30°．
18．先化简.再求值：（+）÷.其中x＝．
19．某校学生会向全校3800名学生发起了“献爱心”捐款活动．为了解捐款情况.学生会随机调查了部分学生的捐款金额.并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②.请根据相关信息.解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为.图①中m的值是；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数是、众数是和中位数是；（3）根据样本数据.估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
20．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性.工人师傅欲减小传送带与地面的夹角.使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为3米
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2.5米的通道.请判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走.并说明理由．（参考数据：≈1.4.≈1.7．）
21．某网店准备经销一款儿童玩具.每个进价为35元.经市场预测.包邮单价定为50元时.每周可售出200个.包邮单价每增加1元销售将减少10个.已知每成交一个.店主要承付5元的快递费用.设该店主包邮单价定为x（元）（x＞50）.每周获得的利润为y（元）．
（1）求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）该店主包邮单价定为多少元时.每周获得的利润大？最大值是多少？
22．如图.AB是⊙O的弦.过AB的中点E作EC⊥OA.垂足为C.过点B作直线BD交CE的延长线于点
D.使得DB＝DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12.DB＝5.求△AOB的面积．
23．如图.在平面直角坐标系中.抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3.0）、B（1.0）两点.其顶点为D.
连接AD.点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式.并写出顶点D的坐标；
（2）如图1.过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2.抛物线上是否存在一点Q.使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标.若不存在请说明理由．
罗湖区2019年初中数学命题比赛试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D D C B A A C B C C A 二．填空题（共4小题）
13．0 ．14．．15． 673.13452． 16．8 ．
解析：
第12题解析
【考点】：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°.∠PAD+∠BAP＝90°.
∴∠EAB＝∠PAD.
又∵AE＝AP.AB＝AD.
∵在△APD和△AEB中.
.
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB.
∴∠APD＝∠AEB.
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP.∠APD＝∠AEP+∠PAE.
∴∠BEP＝∠PAE＝90°.
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE.交AE的延长线于F.
∵AE＝AP.∠EAP＝90°.
∴∠AEP＝∠APE＝45°.
又∵③中EB⊥ED.BF⊥AF.
∴∠FEB＝∠FBE＝45°.
又∵BE＝＝.
∴BF＝EF＝.
故此选项正确；
④如图.连接BD.在Rt△AEP中.
∵AE＝AP＝1.
∴EP＝.
又∵PB＝.
∴BE＝.
∵△APD≌△AEB.
∴PD＝BE＝.
∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此选项不正确．
综上可知其中正确结论的序号是①②③.
故选：A．
【点评】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理.
综合性比较强.解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
第16题解析
【考点】：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【解答】解：如图作AH⊥OB于H.连接AB．
∵四边形OACB是平行四边形.
∴OA∥BC.
∵∠AOB＝60°.设OH＝m.则AH＝m.
∵BF＝CF.A、F在y＝上.
∴A（m.m）.F（2m.m）.
∵S△AOF＝12.
∴?（m+m）?m＝12.
∴m＝4（负根已经舍弃）.
∴OA＝2OH＝8.
故答案为8．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义.平行四边形的性质等知识.解题的关键是学会利用参数.构建方程解决问题.属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共7小题）
17（5分）．计算：cos245°+﹣?tan30°．
【解答】解：原式＝（）2+﹣×
……………………………………2分
＝+﹣1
………………………………………………………4分
＝．
…………………………………………………………5分
【点评】本题考查了特殊角三角函数值.熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18．（6分）先化简.再求值：（+）÷.其中x＝．
【解答】解：原式＝[+]?
＝（+）?
………………………………………2分
＝?
＝.
……………………………………………………4分
当x＝时.原式＝＝﹣1．
……………………………………6分
【点评】本题主要考查分式的化简求值.解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（7分）【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；条形统计图；算术平均数；中位数；
众数．
【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8＝50（人）.
…………………1分
m＝100﹣20﹣24﹣16﹣8＝32.
…………………………2分
故答案为：50.32；
（2）∵＝（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）＝16.
∴这组数据的平均数为：16.
……………………………………3分
∵在这组样本数据中.10出现次数最多为16次.
∴这组数据的众数为：10.
……………………………………4分
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列.其中处于中间的两个数都是15.
∴这组数据的中位数为：（15+15）＝15；
………………………………………5分
（3）∵在50名学生中.捐款金额为10元的学生人数比例为32%.
∴由样本数据.估计该校3800名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%.有3800×32%＝1216.
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有1216人．
………………………………………7分【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中
位数要把数据按从小到大的顺序排列.位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据.注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20．（8分）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中.sin∠ABD＝.
∴AD＝AB×sin∠ABD＝3×＝3.
……………………………………………2分
∵∠ADC＝90°.∠ACD＝30°.
∴AC＝2AD＝6.
答：新传送带AC的长度为6米；
………………………………………………4分
（2）距离B点5米的货物MNQP不需要挪走.
理由如下：在Rt△ABD中.∠ABD＝45°.
∴BD＝AD＝3.
由勾股定理得.CD＝＝3≈5.1.
………………………………………………6分
∴CB＝CD﹣BD≈2.1.
PC＝PB﹣CB≈2.9.
∵2.9＞2.5.
∴距离B点5米的货物MNQP不需要挪走．
………………………………………………8分
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．
21．（8分）【考点】一元二次方程的应用．
【解答】解：（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）．
答：每周获得的利润为2210元；
………………………………………………2分
（2）由题意.y＝（x﹣35﹣5）[200﹣10（x﹣50）]
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x2+1100x﹣28000；
…………………………5分
（3）∵y＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250.
∵﹣10＜0.
∴包邮单价定为55元时.每周获得的利润最大.最大值是2250元．
…………………………8分【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用.二次函数的应用.找到关键描述语.找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
22．（9分）【考点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB.DB＝DE.
∴∠A＝∠OBA.∠DEB＝∠DBE.
∵EC⊥OA.∠DEB＝∠AEC.
∴∠A+∠DEB＝90°.
∴∠OBA+∠DBE＝90°.
∴∠OBD＝90°.
∵OB是圆的半径.
∴BD是⊙O的切线；
…………………………………………………………………………4分
（2）过点D作DF⊥AB于点F.连接OE.
∵点E是AB的中点.AB＝12.
∴AE＝EB＝6.OE⊥AB.
又∵DE＝DB.DF⊥BE.DB＝5.DB＝DE.
∴EF＝BF＝3.
∴DF＝＝4.
∵∠AEC＝∠DEF.
∴∠A＝∠EDF.
∵OE⊥AB.DF⊥AB.
∴∠AEO＝∠DFE＝90°.
∴△AEO∽△DFE.
∴.
即.得EO＝4.5.
∴△AOB的面积是：＝27．
………………………………………………9分
【点评】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质.解答本题的关键是明确题意.找出所求问题需要的条件.利用数形结合的思想解答．
23．（9分）此题来源于广东中山市
【考点】二次函数综合题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3.0）、B（1.0）两点.
∴.得.
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4.
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1.4）.
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3.顶点D的坐标为（﹣1.4）；
(3)
分
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m.
.得.
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6.
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）.
∴设点P的坐标为（p.2p+6）.
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+.
∵﹣3＜p＜﹣1.
∴当p＝﹣时.S△PAE取得最大值.此时S△PAE＝.
即△PAE面积S的最大值是；
………………………………………………………………6分（3）抛物线上存在一点Q.使得四边形OAPQ为平行四边形.
∵四边形OAPQ为平行四边形.点Q在抛物线上.
∴OA＝PQ.
∵点A（﹣3.0）.
∴OA＝3.
∴PQ＝3.
∵直线AD为y＝2x+6.点P在线段AD上.点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上.
∴设点P的坐标为（p.2p+6）.点Q（q.﹣q2﹣2q+3）.
∴.
解得.或（舍去）.
当q＝﹣2+时.﹣q2﹣2q+3＝2﹣4.
即点Q的坐标为（﹣2+.2﹣4）．
………………………………………………………9分
【点评】本题是一道二次函数综合题.解答本题的关键是明确题意.找出所求问题需要的条件.求出相应的函数解析式.利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．