初一升初二数学培优教材(培训学校专用资料)
目录
第一讲平方根 (1)
第二讲立方根 (4)
第三讲平方根和立方根的应用 (8)
第四讲实数 (12)
第五讲二次根式的化简 (16)
第六讲分母有理化 (20)
第七讲二次根式的乘除法 (23)
第八讲二次根式的复习 (27)
第九讲二次根式的混合运算 (30)
第十讲勾股定理 (33)
第十一讲勾股定理逆定理 (36)
第十二讲勾股定理的应用（一） (40)
第十三讲勾股定理的应用（二） (43)
第十四讲勾股定理综合 (47)
第十五讲勾股定理小测 (50)
第十六讲图形的平移与旋转 (54)
第十七讲综合检测 (58)
I
初一升初二数学培优全套精编教材
第1页 共63页
第一讲 平方根
【学习目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；
2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；
3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】
1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；
（3）a 0≥（0≥a ）。 2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。其中a 叫做被开方数。
?
?
?<-≥==)0()
0(2
a a a a a a ()
a a =2
()0≥a
【典型例题】
例1、 求下列各数的算术平方根与平方根
（1）25 （2）100 （3）1
（4）0 （5）9
4
（6）7
例2、 计算
（1）81 （2）4
1
（3）-169
例3、计算
（1）()
2
64 （2）2
4925???
? ?? （3）()2
2.7
（4）()2
2- （5）2544369+
+ （6）416
925
-?
例4、当2
2-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？
【经典练习】
1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225
121
（3）12
（4）0.01 （5）()2
5- （6）（-10
1）2
2、计算
（1）2
8116????
?? （2）()25.0-
（3）146449+
（4）4
1
225.0+? 3、判断
（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为
16
1的平方根是±41,所以161=±41
（ ）
4、121---x x 有意义，则x 的范围___________
5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2
C.a =±m
D.±a =±m
【课后作业】
1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3
B.3－3
C.a 0
D.－（a 2+1）
2、2a 等于（ ） A.a
B.－a
C.±a
D.以上答案都不对
3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根 C.a =±S
D.S =a
4、当x ___________时，x 31-是二次根式．
5、要使2
1
-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算
（1）-
169
64
（2）2243+ 【记一记 】
100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=
第二讲 立方根
【学习目标】
1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握立方根与平方根的区别。
3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。
4.会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。
【知识要点】
1、立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（或叫做三次方根）。
2、立方与立方根的关系：若有x 3=a 成立，则a 是x 的立方，x 就是a 的立方根。 注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。
3、开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，a 叫做被开方数。 注：a a =33 ，a a =33)(
4、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 注：正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。
【典型例题】
例1、（1）由于3)3(-的-27，则 是 的立方根。
（2）若
=b 成立，则 是 的立方； 是 的立方根。
例2、（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，他的立方等于8？
（2）－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ 例3、求下列各数的立方根
（1）512 （2）8
3
3- （3）0 （4）216.0-
例4、比较三个数的大小:359-,0,36
例5、若124-++b a =0，则a b -的立方根是多少？
★例6、已知 x=n m n m -++3是m+n+3的算术平方根，y=322+-+n m n m 是m+2n 的立方根，求y-x 的立方根.。
【经典练习】
一、填空题：
1、若3)5.0(=0.125，则 是 的立方根．
2、64的立方根是________．
3、38--的立方根是________ 二、判断并加以说明．
1、81-的立方根是2
1
±； （ ）
2、5-没有立方根； （ ）
3、
2161的立方根是6
1
； （ ）
4、9
2-
是7298-的立方根； （ ）
5、负数没有平方根和立方根； （ ）
6、a 的三次方根是负数，a 必是负数； （ ）
7、立方根等于它本身的数只能是0或1； （ ）
8、如果x 的立方根是2-，那么8-=x ； （ ） 9．5-的立方根是3
5-； （ ） 10、216
1
-的立方根是没有意义； （ ） 11、271-
的立方根是3
1
-； （ ） 三、选择题：
1、 8的立方根是（ ）
A 、2
B 、-2
C 、4
D 、+2 2、364的立方根是（ ）．
A 、16
B 、34
C 、4
D 、8 3、计算
3825-的结果是（ ）.
A.3
B.7
C.-3
D.-7 4．下列叙述正确的是（ ）．
A ． 37是7的一个立方根
B ．)11(3-的立方是11
C ．如果x 有算术平方根，则x ＞0
D ．如果x 有平方根，它一定有立方根 四、计算题
1、已知276433-++b a =0，求 b b a )(+的立方根。
★2、若3x+1的平方根是+4，求9x+19的立方根.
【课后作业】
一、判断题： 1、
729125的立方根是+9
5
（ ） 2、 负数没有立方根 （ ） 3、 -37是-7的立方根 ( ) 4、 若33y x =，则x=y ( ) 5、 若x ≥y ，则33y x ≥ （ ）
二．选择题
1、若m<0,则m 的立方根是（ ）
A 、3m
B 、 -3m
C 、+ 3m
D 、 3m - 2、如果36x -是6-x 的立方根，那么（ ）
A 、x<6
B 、x=6
C 、6≤x
D 、x 是任意实数 三、填空题
1、若x<0,2x = ,33x =
2、比较大小 ：32 35-
3、2)4(-的算术平方根与3)4(-的立方根的乘积是
4、若33)5(-=x ，则1--x = 四、求下列各数的立方根． （1）1- （2）10001 （3）343- （4）8
5
15
五、能力拓展题。
已知b a +=+117，d c +=-117，（c a ,为整数，d b ,为正的纯小数），求d b + 的平方根。
第三讲 平方根和立方根的应用
【学习目标】
1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念；
2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方的运算。
3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。
【知识要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系： （1） 区别：
A 、根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
B 、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。
C 、 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。
（2） 联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。
特别注意： a a =2)( a a =2 a a =33 a a =33)( 2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。 3、比较两个无理数的大小：（1）＞b 0≥a ?＞b
（2）a ＞b 3
a ?
＞3b 或 3a ＞3b
4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。
5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。
【典型例题】
例1、下列说法，正确的有（ ）
（1） 只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a 有立方根，那么a 一定是正数 ；（3）如果a 没有平方根，那么a 一定是负数 ；（4）立方根等于它本身的数是0；（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A ．1个
B 2个 C3个 D4 例2、a.由于6443=，则 是 的立方； 是 的立方根。 b.若 a -＞0,则=22)(a ; =33a 例3、
13-的相反数是 ；2-的绝对值是 ；()33
1-的倒数是 。
例4、A.若a=2
3-,b=-∣－
2
∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.
A. a ＞b ＞c
B. c ＞a ＞b
C. b ＞a ＞c
D. c ＞b ＞a B.比较大小：5.1
4
5
；3
213+m 322-m ；3 32
例5、多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（ ），有立方根的是（ ）
A ．－﹙－2﹚
B ．3)3(-
C ．
2
)1(- D ．11.1
例6、如果53-x +1有意义，则x 可以取的最小整数为 ，若有意义，最小值是 。 例7、 A 、解方程 8)12(3-=-x
B 、若8-+b a =0，则a b 的立方根是多少？
【经典练习】
一、 判断题
（1） 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根 （ ） （2）如果a 没有平方根 ，那么a 也没有立方根 （ ） （3）如果a 有立方根 ，那么a 也有平方根 （ ）
（4）算术平方根等于它本身的数为0 （ ） （5） a 的三次方根是负数，a 必是负数 （ ） （6） 36344
=4363
4 （ ） 二、填空题 1、
81的平方根是_______，
4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 。
2、21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________。
3、若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 。
4、 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3
3-m 有意义。
5、25-的相反数是 ；333-的倒数是 。 三、选择题
1、12+x 的算术平方根是2，则=x （ ） A.23
-
B. 23
C. 21
D. 2
1-
2、 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是( ) A. 0 B. 1 C. 0 和1 D. -1和1
3、若-a-b ＞0，则2)(b a +=（ ）.
A. -a-b
B. b a +
C. b a -
D. b a +
4、比较大小：A.若a=2)5(--,b=-∣－1∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A. a ＞b ＞c B. c ＞a ＞b C. b ＞a ＞c D. c ＞b ＞a
5、若a<0，则下列各数有平方根的是（ ）
A. -a
B.2a -
C.32a -
D. a -- 四、计算题
1、 解方程： （1） 4(x+1)2=8 （2） 27)1(83=-x
2、若a ＞0，3422-+-b a =0成立，则a b a 22-的算术平方根、平方根及立方根分别是多少？
【课后作业】
一、判断题：
1、下列说法中正确的是（ ） A 、－4没有立方根 B 、1的立方根是±1 C 、
36
1的立方根是61
D 、－5的立方根是35-
2、在下列各式中：327
10
2 =34 3001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3、下列说法中，正确的是（ ）
A 、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B 、一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C 、负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 4、若81
-
x +x -8
1有意义，则3x =______. 二、.判断下列各式是否正确成立.
1、 若｜a ｜＞b ,则a 2＞b 2 （ ）
2、若a ＞b ，则a ＞b ，且3a ＞3b （ ）
3、 32633=33·326
3 （ ）
三、填空题
1、 平方根是它本身的数是____； 立方根是其本身的数是____；算术平方根是其本身的数是________。
2、 若a ＜0，则(3a -)－3=_________.
3、 若a 2=1，则3a =_________.
4、π的5次方根是_________.
5、若±3a a =，则a 是 。
6、－0.008的立方根的平方等于_________.
四、解方程 (x －1)3=－
64
1. 第四讲 实数
【学习目标】
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。理解数轴上的点与实数一一对应关系，并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。
3、能利用化简对实数进行简单的四则运算。在探索分类、化简、运算的过程中，获得解决问题的方法和经验。
【知识要点】
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。
按定义分：实数可以分为有理数和无理数；整数和分数都是有理数，即有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数
按正负分：实数可以分为正实数、0、负实数；正实数分为正有理数和正无理数；正有理数分为正整数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数；负有理数分为负整数和负分数。
注：对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏。π也是无理数。 2、实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。 （1）a 与b 互为相反数?0=+b a ，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与b 互为倒数?1=ab ，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。 （3）绝对值的非负性：0≥a
3、比较两个实数的大小：做差法；平方法；取近似值法；倒数法
在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于负数；正数大于0；负数小于0；两个负数相比较，绝对值大的反而小。 4、实数的四则运算及化简
（1）有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律） （2）化简遵循无理数的化简原则，一直化为最简的为止。
【典型例题】
例1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内：9,7,41,2，π，0.373773773773…，2
5，
3
2，-5，-38，0，35中，
有理数集合： 无理数集合： 正数集合： 负数集合： 例2、(1) 2
2
-
的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 . (2) 在数轴上离原点距离是5的点表示的数是 .
(3) 125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，0的立方根是 。正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 . 例3、比较下列各组数的大小：
（1）13+-与15+- （2）53与112
（3）1311-与1410- （4）2
21-与4
1-
例4、计算下列各式
（1）6
83? （2）)23)(23(+-
（3）222222513683)4(--++-- （4）)625()23(2-+
例5、若y=,122--+-x x 则y x 是多少？
【经典练习】
1、填空题
（1）在数轴上表示与3的点距离最近的整数点表示的数是 。 （2）已知数轴上两点A 、B 到原点的距离分别是2和2，则=?B A 。 （3）若03
3
3=-
++y x ，则=2001)(xy 。 （4）计算：)12(18+-= 。
★（5）已知ABC ?的三边长为c b a ,,，且b a 和满足04412=+-+-b b a ，则c 的取值范围为 . 2、比较下列各组数大小
⑴140 12 ⑵ 2
1
5- 5.0 ⑶π 14.3
3、已知,m n 为实数，且320m n -+-=，求n m
4、已知012=-+-y x ,且x y y x -=-,求y x +的值.
【课后作业】
一、填空题
1、一个的算术平方根是8，则这个的立方根的相反数是 .
2、若642=x ，则=x 3 .
3、2-3的相反数是 ；绝对值是 .
4、化简(1)52- = ； (2)π-3= .
5、若b a ,互为相反数，d c ,互为倒数，则=++333cd b a .
6、比较大小：(1)67 76； (2)51- 31-；
7、已知x x -+-11有意义，则x 的平方根为 。
8、已知0)8(652=++++-z y x ，求13+-+z y x 的值__________。 9、若1a b -+与24a b ++互为相反数，则2006()a b += 。 二、解答题
1、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值．
三、计算题 （1）27
1
3?- （2）)138)(138(-+
（3）)83)(31()35(2-++-
第五讲 二次根式的化简
【学习目标】
1、 本节的重难点是2a 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而2a 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。
2、 能够利用二次根式的性质化简二次根式，且结果为最简二次根式。
3、 通过二次根式的学习，让学生形成分类讨论的数学思想与方法。
【知识要点】
1、二次根式的重要性质 ：
注1：式子中a a =2中的a 可以取任意实数，同时注意与a a =2)(的区别。 注2：
中a 既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，
等等，总之它是一个整体概念。
2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式成为同类二次根式
【典型例题】
例1、计算下列各题，并回答以下问题：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5）； （6）
（7） ； （8） ．
1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？
2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？
3、用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。 例2、填空题
1、当 _________时，
；
2、当 时， ，当 时， ；
3、若a a -=-1)1(2，则 ________；
4、 当
时，
=2
)
2(a a ；
5、当a+2<0时，442++a a 的化简结果是 ；
6、23
8n m 化为最简二次根式是 ；
例3、选择题
（1）如果x x =-2成立，那么（ ）
（A ）x=0 （B ）x<0 （C ）x ≥0 （D ）x ≤0 （2） 下列各式中正确的是（ ） （A ）
1
12-=-a a （B ）
b
a
ab b = （C ）
b a b a +=+2
)( （D ）24a a = （3）下列各组中，是同类二次根式的是（ ）
（A ）2与6 （B 3与9 （C ）2与8 （D ）3与6
例4、（1）化简232a （ ）
（2）若1≤a ≤2，化简2122-++-a a a
（3）化简1216822+--++x x x x （4- 【经典练习】 一、填空题 1、 当 _________时，a a =2)(成立。 2、=-2)2(x 3、若a ＞c ，则=-2)(a c 4、若a ＞3 4 ，则=-2)43(a 5、若a <0，则=+-a a a 322 二、选择题 ★1、若n 24是整数，则正整数n 的最小值为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2、31)53(2-+-化简的结果为（ ） A 、4 B 、632- C 、326- D 、6 3、若)0(9≥-=n n a 是整数，则a 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、9 D 、0和9 三、化简题 1、若a
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