配方有
MN
=
2
1)22(2+-
a ≥
2
2
即当a =
2
2时，
MN
取最小值
2
2.
注：对空间图形中含有一些“动态”因素(象距离、角度等)的问题,可考虑能否把这一动源作为自变量,构造目标函数,用函数的思想来处理.
8．2004年湖北（18）如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.试确定点F 的 使得D 1E ⊥平面AB 1F.
分析：以A 为坐标标原点，建立如图所未的空间直角坐标系.
运用方程思想(借助向量的数量积)求解.
A
B
D
C
E F
N
M K
设DF=x ，则A （0，0，0），B 1（1，0，1）,
D 1（0，1，1），
E ??
? ??0,21,1，F （x ，1，0）
∴??
?
??--=1,21,11E
D ， )0,1,(x AF =. 于是D 1
E ⊥平面
F AB 1∴?=?01AF E D ??? ??--1,21,1.)0,1,(x =0
?x 既2
1
=
x
.故当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F. 在近几年的高考试题中,立方体不仅包涵了所有的数学思想方法,密切了与中学数学中其它内容的联系,更体现着从静到动,从单一到多方面,从立方体本身应用问题到利用立方体去解决问题的发展变化.仔细研究这些变化对学好空间几何无疑是有裨益的. 几点思考：
1.加强对立方体的研究,对空间图形的研究以培养学生的空间想象能力,数形转换能力与逻辑思维能力.
⑴对立方体本身的研究：如：立方体的内切球,外接球,球与立方体的棱相切等；立方体与正四面体的联系；以正方体各面的中点为顶点可构成正八面体等.
⑵对空间图形问题中解题方法的研究：以立方体为载体的方法有：平移求角法,割体补形法,面积射影法,体积相等法,侧面展形法,转化化归法,空间向量法等.
⑶构造立方体以解决有关问题(第二册下B 19P 3)“已知三个平行平面α、β、γ与两条直线 、m 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、
F(图1),求证：EF
DE
BC AB =
.”解答此题时学生很容易误将 与m 共面去理解造成错误.其实构造正方体(图2)可加强直观性以帮助学生理解.
图1 图2
通过对立方体及空间图形的研究可培养学生的认识空间图形的能力,建立起空间概念,准确地理解并熟练运用概念、性质、公理、定理进行判断、推理与转化(如：①线线、线面、面面垂直关系的转化及平行关系的转化,②把空间距离和角向平面距和平面角的转化,③文字语言、符号语言、图形语言三者的相互转化.)等
2.加强立方体与其它内容的渗透的研究：立方体与排列组合的结合,象染色问题,计数问题；立方体与解析几何的结合,象轨迹问题；立方体与函数方程的结合,象最值问题；立方体与代数三角的结合,象角度距离问题；立方体与其它学科的结合,象化学晶体问题等.这样有助于对正方体的深刻认识与实际应用.
3.通过对立方体及空间图形的研究挖究高考解答题的模式.
高考解答题往往是要解决两大问题：一是证明题,二是计算题.处理方式有两种：⑴在证明中要以典型的三段论的形式,严格按照演绎推理的步骤完成推理的论证；计算时并非单纯的数字计算,而是与作图与证明相结合的,立体几何计算题的主要步骤可归纳为：“画—证—算”三步.“画”是画图,添加必要的辅助线,或画出所要求的几何量,或进行必要的转换化,“证”是证明,证明所画的几何量即为所求,然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连,环环相扣,相互制约,是解决立体几何题的思维程序.⑵由垂直关系建立空间直角坐标系,运用向量处理即可.
例谈点到平面距离的求法
立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。
点到平面的距离的求法可分为三大类： 一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定
转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。 1、 用定义直接构造法
120ABC ∠=,且
例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ?是等腰三角形，
2AB BC a ==，
SA ⊥面ABC ，SA=3a 。求点A 到平面SBC 的距离。 解：作AD BC ⊥交BC 于D,连结SD.
SA ⊥ 平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥
又SD AD D ?=,BC ∴⊥平面SAD 。又BC ?平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ?平面ADS=SD
∴过点A 作AH SD ⊥于H ，则AH ⊥平面SBC 。在Rt SAD ?中，
SA=3a,
0sin 60AD AB ==
，32
a
AH ∴=
=
故点A 到平面SBC 的距离为
32
a 。 【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。 2、转移构造法 （1）利用平行线转换点 例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC
b ===（b >a ）
（1）求证：
11AC AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离.
解：(1)连结
1A B ,则11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。知
111A C AB ⊥，得1111AC ABB A ⊥面,知11AC AB ⊥。
（2）由（1）得1
11ABC AAC ⊥面面.
11111,A B AB A B ABC ∴ 平面1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离
过
1A 作11AG AC ⊥于G , 11AB ACC A ⊥ 平面, 1
AB AG ∴⊥ 从而1
1AG ABC ⊥平面. 故1A G
即为所求的距离。易求1A G b
=。
【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，是我们常用的方法。 （2）对称转移或利用定比分点
例3、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD = b ，PA ⊥平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点．求P 到平面BQD 的距离．
解：过A 作AE BD ⊥垂足为E ，连结QE 。∵平面BQD 经过线段PA 的中点，∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离．在
△AQE 中，作AH ⊥QE 于H ．∵BD ⊥AE ，BD ⊥QE ，∴BD ⊥平面AQE ．∴BD ⊥AH ，AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平
面BQD 的距离．
在Rt △AQE 中，∵AQ =c ，AE =
2
2b a ab +，∴AH =
2
22222a c c b b a abc ++.
例4、已知正方体的棱长为1，O 为上底面1111A B C D 的中心。
求点O 到平面
11ABC D 的距离。
A
A
析：点
1A 到平面1111A B C D 的距离为线段1A E
的长，易求得12
A E =
.又O 为
11A C 的中点，故点O 到平面11ABC D 的距
。
【点评】 转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现着转化的思想。 二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时 1、等体积法（利用三棱锥的体积公式） 例5、已知在棱长为1的正方体-ABCD A B C D ''''中，E 、F 分别是A B ''、CD 的
中点，求点B
到平面
AEC F '的距离。
解：连结AE 、BF 、EF ，则点B 到平面
AEC F '的距离即为点B 到平面AEF 的
距离。设点B
到平面AEF 的距离为h, 根据--=E ABF B AEF V V 则
11
=33
ABF AEF EG S h S ,得h
【点评】 由于四面体以不同面为底的体积相等，因而等体积法的关键是将距离看成是某四面体的高。 2、 运用面面角或利用斜线和平面所成的角
例6、在直角梯形ABCD 中，0
90D BAD ∠=∠=,
1
2
AD DC AB a ==
=。将ADC ?沿AC 折起使D 到'D ，如果二面角'D AC B --为060，求点'D 到面ABC 的距离。
?
A
解：设'
D 在平面ABC 内的射影为O,
E 为AC 的中点，连结OE
由于'
D E
AC ⊥,故'D EO ∠为二面角的平面角，即'D EO ∠＝0
60。又'D E =
2，所以'D O ='D
E 0sin 60 ＝4
a 。 例7、已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离.
解：设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR
⊥，Ｒ为垂足． 又EB GM ⊥,
所以平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ。又ＥＲ为它们的交线 ∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得
10
2
=?=?=MG CG MB RB MG MB CG
RB ，
在Ｒｔ△ＲＥＢ中, sin sin 11
BR BER ER
θ
=∠=
=
于是得所求之距离
sin 11
d EB BER =?∠=
. B
A
【点评】此法体现着角与距离间的转化，另一个变化是利用距离求角，应引起我们的足够重视。 3、利用两平行平面的距离确定 对上例，有如下的计算方法：
解： 把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB 1于N ，TG 交DD 1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有平面GTM//平面PDB 。它们之间的距离就是所求之距离，于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置。
而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离。则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：
BN S d S V CDB PDB ?=?=??（*）.易求出BN=
23，CP=4
3
，
，
BD=24
，
PBD S ?=
，8=?CDB S 由关系式（*）可得，
3
2
83118?=?d 于是平行平面间的距离
11
11
2=
d ,即点B 到面EFG
的距离为
11
。 【点评】若两平面平行，则平面内的任一条直线到另一个平面的距离等于两平面间的距离，对于分别位于两个平行平面内的异面直线之间的距离也等于两平面间的距离。在解题过程中要注意体会。 三、向量法
例8、 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中
AB=4，
BC=2，CC 1=3，BE=1.
求： 点C 到平面AEC 1F 的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A （2，0，0），
C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，
11,
,(2,0,)(2,0,2),2.(0,0,2).
AEC F AF EC z z F ∴∴=-=-∴=∴
由为平行四边形由得 设1n 为平面AEC 1F 的法向量，
)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然
110,041020200,n AE x y x y n AF ??=?+?+=????-?+?+=?=??? 由得??
?
??-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即1
11),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角
为a ，则
.33
33
4116
1
133|
|||cos 1111=
++
?=
?=
n CC α
∴C 到平面AEC 1F 的距离为1||cos 3d CC α===
。
【点评】若点P 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为
n ，则点P 到平面α的距离公式为d =
当我们学习了空间解几以后，还有点到平面的距离公式，这里从略。
主体几何中的识图技巧
如何解决立体几何问题的关键在于空间想像能力的培养、逻辑能力的培养、化归能力的培养，而逻辑思维能力，在初级学习及以题设为根据，以某何体为依托，这样会给空间想象力插上翱翔的翅膀。
如何以面为依托，来确定相关元素之间的位置关系——面要画得舒展， 突破体的束缚。
例1：△ABC 为等边三角形，边长为12，C 在2面内， AB 到面距离分别为6和3，求△ABC 与2所成二面角的大小。 先将面ABC 扩展与2交于P ， 就清楚的看出∠ACA ’为所求的 ∠ACA ’=
2
1
，∠ACA ’=30° 例2：正四棱柱ABCD —AB 1C 1D 1中，过B 作截面交正四棱柱于FG ，AG=CE ，且面ABCD 与面BEFG 成45°，AA 1=10，AB=1，求ABCD —BEFG
将面BEFG 扩展截面ABCD 交于FG ， 由于AG=CE ，就很容易得到∠FBD=45°，
FD=BDtg45°=BD=
2及AG=CE=
2
2
，
故V=2·V B —ADFG= 2·
2
222331112222[2131=?=??+?
或V 为以ABCD 为 底面高为DF 的长方
体体积的一半而V=1×1×
2
2
212=?
例3：三棱锥P-ABC 中，PA=a, PB=PC=2a, ∠APB=∠APC=45°，
cos ∠BAC=
3
2
，D 、E 为PB 、AB 的中点， 求面PAC 与面DEC 所成角 本题中以扩展的面PAC 的扩展的 面DEC （l // PA ，l // DE ） 从而∠ACE 为所求
2、以扩展的二面角为依托，来确定相关元素的相互关系——技巧2，舒展的二面角为参照体系。
例4：矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，沿BD 将距形ABD 折起，使面ABD 和面CBD 成120°，求AC 的距离 本题以扩展的二面角2—BD-β 衬托了矩形折起的相关位置，
就可以利用二面角的平面角的
定义及求法作出AE 、CF 及矩形EFCG ， 从而得出CG ⊥AG ，AC 的长度就可以 Rt △ACG 中求解
AG 2=AE 2+EG 2+AGEG=3AE 2=3(
5
12)2
AC2=AG2+CG2=3(
5
12)2+(
57
)2=
2
5481
, AC=
5481
例5：斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的倒棱与底面边长都是2， 倒棱与底面所成的角为60°，侧面ABB1A1⊥底面ABC （如图） （1）求证B 1C ⊥C 1A
（2）求C 1A 与A 1B 1所成的角 （3）求V A —A 1B 1C 1的体积
本题如果将与底面垂直的侧面及底面ABC 放在扩展的直二面角内，以扩展的直二面角 为依托则A 1B 1⊥面AD 1C 1?A 1B 1⊥AC 1，则 菱形AA 1C 1C ? A 1C ⊥AC 1，所以AC 1⊥面 A 1B 1C ，故AC 1⊥B 1C ，△B 1CD ≌△AD 1C 1， 所以S △A 1B 1C 1=
6，?A —A 1B 1C=
12
6
631=?
3、以线面相交为依托，完成相等或成比例的距离求基本形为：直线AB 与α于0 AO=BO ，则A 到α的距离可以转化B 到而α的距离EO=KBO （K ∈R +）， 则E 到α的距离也可以转化为B 到α的距离
例6：在三棱锥P-ABC ，PA=PB=PC ，BC=2a ，AC=a ，AB=3a ，点P 到平面ABC
（1）求二面角P-AC-B 的大小 （2）求点B 到平面PAC 的距离 本题中由于PA=PB=PC ，P 在面ABC 上的射影O 为BC 中点，作OD ⊥AC ， 则∠PDO 为二面角P-AC-B 的平面角即 ∠PDO=60°。另一方面，面POD ⊥面PAC ， 很容易求出O 到面PAC 的距离，不易求B 到 面PAC 的距离，但BC=2OC ，所以可以转化 O 到面PAC 距离的2倍，即
2
3
a ，又如CG ⊥面 ABCD ，ABCD 为正方形，AB=2，CG=1，E 、F 为AB 、AD 的中点，求B 到面EFG 的距离，对于这个问题的解法多方面的在这里，我们可以由B 到面EFG 的距离，由直线段AB 转到A ，又由AC 转到C ，即BC 到面EFG 距离的
3
1 4、以正方体、长方体等为依托，达到距离、体积等求解
例7：（1）四个半么径为R 的球成品字两两相切放在桌上，求最高点到桌面距离
（2）三个半径为R 的球两两相切放在桌面上，它们中间放一个尽可能大的球，则这个球的半么为多少？ 这两个题都可以球心为多面体的顶点构造图形形成转化如下图：
例8：（1）已知CH 4分子中两氢原子的距离为a ，求碳氢原子间距离（或外接球的半径） （2）求四面边长为5、6、7的全等三角形的三棱锥的体积 第一题我们以正方体为依托，构造下图： 两氢原子的距离转化为正方体面对角长， 碳氢原子的距离转化为正方体对角长的一半， 比直接由正四面体的性质求解简明、迅速。 二题我们以长方体为依托，构造下图，同 上题的转化方式一样，我们不妨设长方体的 长宽高分别为a 、b 、c ，则a 2+b 2=72 b 2+c 2=52 a 2+c 2=62从而得出c=
6,a=30,b=19
，
V=abc-4·
2
131?abc=abc-32abc= 31
abc=
319306=例9：将一个小球放入一长方体的容器内，且与共点的三侧面相接触，小球上有一点到这三个面的距离分别为3、3、6，试分析小球半径可能情况。
由于小球与三个面都相切，所以球心到
三个面的距离都是
R ，故可以构造正方体， 其边长为R ，小球上一点到三面距离为3、3、6， 故可以构造长方体，其边长分别为3、3、6，如下图， 故R 2=(6-R)2+(R
2-32)2?R=3或r=9
以上这些说是技巧，有点自我夸张，只不过是自己对立几解题和教学的一点认识与体会，实际上是熟能生巧。
立体几何题怎么解
高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 例1 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°
讲解:（1）正方形ABCD 是四棱锥P —ABCD 的底面, 其面积 为,2
a
从而只要算出四棱锥的高就行了.
⊥PB 面ABCD, ∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ，
∴PA ⊥DA ， ∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tg60°=
3a,
3
23
3331a a a V =?=
∴锥
. （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形. 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，
C E A C E
D C
E AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.
设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，.2
2
a AD AE OA a =<<=∴
在.0)
2)(2(2)2(cos ,2
222<-+=??-+=
∠?AE
OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中 故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.
本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理 能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题. 例2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，
∠ACB=900
，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=2
3
，D 为AB 的中点.
（1）求证：AB 1⊥平面CED ；
（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
讲解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900
，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面
∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE
∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段
∵CE=
2
3，AC=1 , ∴CD=
.22
∴2
1)()(22=-=CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.
在Rt △CEA 中，CE=
2
3，BC=AC=1,∴∠B 1AC=60
∴
260
cos 12
1==
AB ， ∴2)()(2
211=-=AB AB BB , ∴
21
1==
∠BC
BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例3 如图a —l —β是120°的二面角，A ，B 两点在棱上，AB=2，D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C 在β内，?ABC 是等腰直角三角形∠ACB=.900
求三棱锥D —ABC 的体积；（2）求二面角D —AC —B 的大小； （3）求异面直线AB 、CD 所成的角.
讲解: (1) 过D 向平面β做垂线，垂足为O ，连强OA 并延长至E.
DAE
OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为
二面角a —l —
β
的平面
角.
.60,120 =∠∴=∠DAO DAE 3
,2=∴==DO AB AD .
ABC
? 是等腰直角三角形，斜边
AB=2.,1=∴?ABC
S 又D 到平面β的距离DO=.3.3
3=
∴-ABC D V （2）过O 在β内作OM ⊥AC,交AC 的反向延长线于M,连结DM.则AC ⊥DM.∴∠DMO 为二面角D —AC —B 的平面角. 又在△DOA 中，OA=2cos60°=1. 且.2
2
,45=
∴=∠=∠OM CAE OAM
.6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ （3）在
β
平在内，过C 作AB 的平行线交AE 于F ，∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角.
A C F C A F DF CF AF CF AF A
B ?=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形，又AF 等于
C 到AB 的距离，即△ABC
斜边上的高,.1==∴CF AF
.7.7.7120cos 2222=∠∴==
∠∴=?-+=∴DCF tg CF
DF
DCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成
的角为arctg .7
比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.
例4在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图① 图②
讲解: 设容器的高为x ．则容器底面正三角形的边长为x a 32-,
2()()(0()()V x x a x a a ∴=
?-<<=?-- 54)3323234(16133a x a x a x =-+-+≤.当且仅当 .
54
,183,32343max a V a x x a x ==-=时即. 故当容器的高为a 183时，容器的容积最大，其最大容积为.54
3a
对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:
某企业设计一个容积为V 的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r 和圆柱的高h 为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.
例5 已知三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ． （1）求证：AP ⊥平面BDE ； （2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；
（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比．
讲解: (1）∵PC ⊥底面ABC ，BD ?平面ABC ，∴PC ⊥BD ．
由AB=BC ，D 为AC 的中点，得BD ⊥AC ．又PC ∩AC=C ，∴BD ⊥平面PAC ． 又PA ?平
面、PAC ，∴BD ⊥PA ．由已知DE ⊥PA ，DE ∩BD=D ，∴AP ⊥平面BDE ． （2）由BD ⊥平面PAC ，DE ?平面PAC ，得BD ⊥DE ．由D 、F 分别为AC 、PC 的中点，得DF//AP ．
由已知，DE ⊥AP ，∴DE ⊥DF. BD ∩DF=D ，∴DE ⊥平面BDF ． 又 DE ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BDF ．
（3）设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2．则h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3, .312323
131
21=?=????==∴??----PBC PBF
PBC
A PBF
E ABC P EB
F P S h S h V V V V
故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
值得注意的是, “截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.
例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O 1且 平行于母线AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点 到准线的距离）为p 的抛物线. （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积．
讲解: （1）设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ， 由题意得：R l
ππ2=,即2
1cos 1==l
R ACO ,
所以母线和底面所成的角为.600
（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON ，其中O 为截面 与AC 的交点，则OO 1//AB 且.2
11
AB OO =
在截面MON 内，以OO 1所在有向直线为y 轴，O 为原点，建立坐标系，则O 为抛物的顶点，所以抛物线方程为x 2
=－2py ，点N 的坐标为（R ，－R ），代入方程得 R 2
=－2p （－R ），得R=2p ，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为22221248p p p R Rl πππππ=+=+.
将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题:一圆柱被
一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的
长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母 线长为1，则该几何体的体积等于 ．
例7 如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a ， DC=a ，F 、G 分别为EB 和AB 的中点. （1）求证：FD ∥平面ABC ；（2）求证：AF ⊥BD ； (3) 求二面角B —FC —G 的正切值. 讲解: ∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点，
A
E
D
∴FG=
2
1
EA ，又EA 、DC 都垂直于面ABC, FG=DC ， ∴四边形FGCD 为平行四边形，∴FD ∥GC ，又GC ?面ABC ，∴FD ∥面ABC.
（2）∵AB=EA ，且F 为EB 中点，∴AF ⊥EB ① 又FG ∥EA ，EA ⊥面ABC ∴FG ⊥面ABC ∵G 为等边△ABC ，AB 边的中点，∴AG ⊥GC. ∴AF ⊥GC 又FD ∥GC ，∴AF ⊥FD ②
由①、②知AF ⊥面EBD ，又BD ?面EBD ，∴AF ⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG ⊥GB ，GC ⊥GB ，∴GB ⊥面GCF. 过G 作GH ⊥FC ，垂足为H ，连HB ，∴HB ⊥FC. ∴∠GHB 为二面角B-FC-G 的平面角. 易求3
3
22
3,2
3
=
=∠∴=
a a GHB tg a GH
. 例8 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且
D 1P ∶PA=DQ ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ ∥平面CDD 1C 1； (2) 求证PQ ⊥AD ；(3) 求线段PQ 的长.
讲解: （1）在平面AD 1内，作PP 1∥AD 与DD 1交于点P 1， 在平面AC 内，作QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1，连结P 1Q 1. ∵
12
5
1=
=QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1 . 由四边形PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q 1 而P 1Q 1?平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C 1
（2） AD ⊥平面D 1DCC 1， ∴AD ⊥P 1Q 1， 又∵PQ ∥P 1Q 1， ∴AD ⊥PQ. （3）由（1）知P 1Q 1// PQ,
125
QB DQ C Q DQ 11==，而棱长CD=1.∴DQ 1=
175.同理可求得 P 1D=17
12. 在Rt △P 1DQ 1中，应用勾股定理, 立得P 1Q 1=
171317517122
2
221=??
?
??+??? ??=+DQ D P .
做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P , Q 分别是BD,1AD 上的动点,试求PQ
的最小值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看.
并与如下2002年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示?
如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a
).20(<求MN 的长；
当a 为何值时，MN 的长最小；
当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建
空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难
关.
以棱柱为载体的立体几何三大问题例析
棱柱是一个重要的几何体，以棱柱为背景的空间线线、线面、面面的平行与垂直问题；空间的各种距离问题；空间的各种角的问题，是高考命题的热点，应引起高度重视。解此类问题可以充分利用棱柱的特定关系和有关性质，把问题简化。 例1.如图1，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点。 （1）求证：BD 1∥平面C 1DE ；
（2）试在棱CC 1上求一点，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ；
分析：（1）设法在平面DEC 1上找出一条直线平行BD 1，连CD 1于O 点，连OE 即可。（2）要证两个面垂直，必须先证到线面垂直。由已知易证C 1E ⊥A 1B 1，以此过B 1点作直线B 1P ⊥C 1E 即可找到P 点。（3）要设法作出二面角的平面角。 证明：如图2，（1）连CD 1交CD 1于O 点，连OE
因为O 是CD 1的中点，所以OE ∥BD 1，所以BD 1∥平面C 1DE 。 （2）过B 1点作B 1P ⊥C 1E ，交CC 1于P 点。在正方形BCC 1B 1中，易证R t B C P ?11≌R t C C E ?1，得P 是CC 1的中点。 因为A 1B 1⊥平面B 1C ，CE 1
?平面B 1C 所以A 1B 1⊥C 1E
又因为C 1E ⊥B 1P ，所以C 1E ⊥平面A 1B 1P 所以平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE
故取CC 1的中点P ，就有平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE
评析：在（1）小题中关键是找出OE ，最容易误用OC 代替OE ；在（2）小题中如果不能从已知面关系中合理地推测P 点的位置，或不能作出正确的辅助面都会使解题思路受阻。
例2.已知正方体A B C D A B C D -1111的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。 分析：求异面直线A 1B 与D 1B 1的距离，关键是找出它们的公垂线段，而线线垂直可通过线面垂直或者三垂线定理而得到。 证法1：直接法
如图4，设MN 是A 1B 与D 1B 1的距离，即MN ⊥D 1B 1，MN ⊥A 1B
过M 作MP ⊥A 1B 1，则PN ⊥D 1B 1 过N 作NQ ⊥A 1B 1，则MQ ⊥A 1B 故
A M M QA M Q 11
=，?为等腰直角三角形，而MP ⊥A 1Q ，所以P 为A 1Q 的中点 A PP M P Q 1
== 同时P Q Q N Q B ==1
因此
A P P Q Q
B P M Q N a 11
3=====，而AM M Q a 123
== 在△NMQ 中，有M N a a a
=?? ??
?+?? ?
??=233332
2
证法2：极值法
如图5，在
A B 1上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1，PN ⊥D 1B 1，则MN ⊥D 1B 1，只要求出MN 的最小值即可。
设
A M x 1
=，则M P x A P x ==222
2
1
， 所以
P B a x 1
22=-?? ?
?
? ()
P N a x a x =-?? ??
?
?=-22451
22·s i n M N P M P N x a a =+=-?? ??
?+
222
2
22322323 当x
a =
23时，MN 取得最小值3
3
a
证法3：等积法 如图6，因
AB D C 11
∥，故A 1B ∥CB 1D 1，则要求A 1B 与D 1B 1的距离转化为求A 1B 与平面CB 1D 1的距离。
图6
考虑B —CB 1D 1，先设底面为△BCB 1，则锥高为D 1C 1，得：
V a a a =?? ???
=131216
23· 现将△CB 1D 1视为底面则高为B 到△CB 1D 1的距离（即所求之异面直线距离），设距离为h ，则
()()
S a a a C B D ?11
122601223232222
=?==··s i n V a h =?? ??
?13322··
由V a =
16
3
，解得：h a =33
图7
证法4：转化法
因△A 1BD ∥△D 1CB 1，故所求异面直线A 1B 与D 1B 1的距离转化为求此两平行平面的距离。先考查四面体A —A 1BD ，设A 到面A 1BD 的距离为d ，得：
()
V a d =?????
?131223
22·
又V a a a =
?? ?
??
=131216
23·，所以有d a =33 因为AC ⊥BD ，所以A 1O ⊥BD
同理BO 1⊥A 1D 取A 1D 中点O 1，设
A O
B O P 11
=，则P 是△A 1BD 中心 连结AP ，易证AP ⊥平面A 1BD ，即
A P d a A O a
==
=332
2
， 设∠C A C 1
=θ，则cos θ==332263a
a ，而
A C A C a a 1
236
3== 则AC 1必与PA 重合，即正方体的主对角线必穿过△A 1BD 与△D 1CB 1中心，且与这两个平面垂直。
因为AP C P d a ===
113
3
所以A C a 13
= 所以
PP a 13
3
=
PP 1是两个平行平面间的距离，也就是异面直线A 1B 与D 1B 1间的距离。
评析：求两异面直线间的距离的关键是找出它们的公垂线段，其方法有直接法、极值法、等积法、转化法等，要根据题目特点，灵活选用解题方法，对于以棱柱为载体的距离问题，必须切实把握棱柱这一几何体的本质特征及有关性质。 例3.如图8，已知直三棱柱A B CA B C -111
中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A A
16=，M 是CC 1的中点。 求证：AB 1⊥A 1M
图8
分析：要证明AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立，在一个平面内，通过证AC 1⊥A 1M 得出结论并不难。 证明：连结AC 1
因为A C M C C C C A 1111
362
26
32====， 所以R t A C C R t M C A ??111~ 即∠∠A C C M A C 111= 所以∠∠∠∠A M C A C C A M C M A C 111111190+=+=? 所以C C B C 111⊥，又B C A C 1111⊥ 所以BC 11⊥
平面AC 1，由三垂线定理知，AB 1⊥A 1M
历年高考题中的翻折问题
86理科
(8)在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有 (A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△
SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面
93北京卷
（23）如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P ,则面PCD
与面ECD 所成的二面角为 度.30
1996高考理科
(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC
折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为d
(20)（本小题满分12分）
在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD=90?,AD=DC=
2
1
AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC 折起，使D 到D'.记面ACD'为α,面ABC 为β.面BCD'为γ. (i)若二面角α-AC -β为直二面角（如图二），求二面角β-BC -γ的大小; (ii)若二面角α-AC -β为60?（如图三），求三棱锥D'-ABC 的体积。
全国高考文科数学立体几何综合题型汇总
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
文科立体几何知识点方法总结高三复习
立体几何知识点整理（文科） 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法 用线 直实 现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 3.线线垂直： 方法一：用线面垂直 实现。 方法二：三垂线定理及其逆定理。 方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则m l⊥。 三．夹角问题。 (一)异面直线所成的角： (1) 范围：] 90 , 0(? ? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： (计算结果可能是其补角 ) θ c b a l
方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[?? 当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围：]180,0[?? (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一：计算121212 cos n n n n n n ?= ? 步骤二：判断θ与12n n 的关系，可能相等或者互补。 四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。 步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。 如图，m 和n 为两条异面直线，α?n 且α//m ， 则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。 如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段， '//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为： 高考题典例 考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考点2 异面直线的距离 A B C D O F
立体几何练习题及答案
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
2015年高考文科数学立体几何试题汇编
图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 2 3 （B ）3 （C ）2 （D ）13 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
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A C D 图2 B A C D 图1 1 C 1B 1 A 1D C B A D F E 1，(本小题满分14分)如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥； （Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积． 2，（本小题满分13分） 如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求几何体的体积. 3，（本小题满分14分）、已知几何体1111ABCD A B C D -的直观图如图所示，其三视图中主视图是长边为3的矩形，左视图是边长为2有一个角等于60°的菱形。 （1）求证平面1AD C ⊥平面11A DCB （2）求四棱锥1111D A B C D -的体积 4．（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点. （1）证明：//FH 平面1A EG ； （2）证明：AH EG ⊥； （3）求三棱锥1A EFG -的体积. 5.（本小题满分14分） 如图，已知三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC, AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ) 求证：DM ∥平面APC ：(Ⅱ) 求证：平面ABC ⊥平面APC ； (Ⅲ) 若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM 的体积． 6．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 中点,AC BD F =. (Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ；(Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD ； (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC -的体积. ABCD 90ADC ∠=?//CD AB 4,2AB AD CD ===ADE ?AC ADE ⊥ABC D ABC -BC ⊥ACD D ABC -3 2 2 A 1 B 1 A D C B D 1 C 1 俯视图 左视图 主视图 A C A 1E F
立体几何习题精选
立体几何习题精选 1.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8，12，则其对角线的长为 (A)3 (B)5 (C) 26 (D)29 2.在空间，下列命题中正确的个数为 ①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行； ③平行于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行； （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D ．垂直于同一个平面的两个平面平行 4．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、若平面α//β，直线a ? α，直线b ?β，那么直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行 （C ）异面 （D ）不相交 6、已知直线 则平面平面,,//,//b a a =βαβα a 与b （A ）相交 （B ）异面 （C ）平行 （D ）共面或异面 7.棱长为a 的正方体外接球的表面积为 22224.3.2..a D a C a B a A ππππ 8、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ） （A ）若l β?，且αβ⊥，则l α⊥ （B ）若l β⊥，且//αβ，则l α⊥ （C ）若m αβ= ，且l m ⊥，则//l α （D ）若l β⊥，且αβ⊥，则//l α 9.设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ． l m l ⊥=?⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=?,,m C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ． αβα⊥⊥⊥m n n ,, 10、一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是 边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（ ） A ． 1 2π B ． C D ．4π 11、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ） （A ）若l β?，且αβ⊥，则l α⊥ （B ）若l β⊥，且//αβ，则l α⊥
高考立体几何文科大题及标准答案
高考立体几何大题及答案 1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ， 2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，o ∠ABM=60。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====， 120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平 面ABE 所成角的正弦值． A C B A 1 B 1 C 1 D E
4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
6.（2009安徽卷文）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ， 和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多 面体ABCDEF 的体积。 7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球 面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 O A P B M D
2019年高考试题汇编文科数学--立体几何
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题
高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； (2)求证：平面1A AC ⊥平面BDE ； (3)求直线BE 与平面1A AC 所成角的正弦值. 2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F.求证：EF ∥平面ABCD. 3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点． （1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1,3AP AD ==三棱锥P ABD -的体积34 V =求A 到平面PBC 的距离．
A D B C P E 4．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥DC； 5．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，// AB DC，⊥ = ∠PA DAB, 90ο底面ABCD，且1 PA AD DC ===，2 AB=，M是PB的中点． （1）求证：CM PAD P面； （2）证明：面PAD⊥面PCD； （3）求AC与PB所成的角的余弦值； （4）求棱锥M PAC -的体积。 6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点 A B C D P N
（1）求证：AN∥平面MBD; （2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值; （3）求二面角M-BD-C的余弦值. 7．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点。 求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC⊥平面BDE 8．在四棱锥ABCD P-中，底面ABCD为矩形，ABCD PD底面 ⊥，1 = AB，2 = BC，3 = PD，F G、分别为CD AP、的中点． (1) 求证：// FG平面BCP； (2) 求证：PC AD⊥； F G P D C B A 9．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱111 ABC A B C -中，3 AC=，5 AB=，4 BC=，P M D C B A N
立体几何练习题
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E
高三文科数学立体几何专题练习加详细答案
高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//
【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q
【新课标】备战高考数学专题复习测试题_立体几何(文科)
高考第一轮复习专题素质测试题 立体几何（文科） 班别______学号______姓名_______评价______ （考试时间120分钟，满分150分，试题设计：隆光诚） 一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．（10全国Ⅱ）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱 AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 2.（09福建）设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线， 则//αβ的一个充分而不必要条件是（ ） A. 1////m l βα且 B. 12////m l l 且n C. ////m n ββ且 D. 2////m n l β且 3.（08四川）直线l α?平面，经过α外一点A 与l α、都成30?角的直线有且只有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.（08宁夏）已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 5.（10湖北）用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ； ④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .其中真命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 6．（10新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为（ ） A.3πa 2 B.6πa 2 C.12πa 2 D. 24πa 2 7．（08全国Ⅱ）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为?60，则该棱锥的体积
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
高考文科数学专题5 立体几何 高考文科数学 (含答案)
专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；
③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )
届高三文科数学立体几何空间角专题复习
届高三文科数学立体几何空间角专题复习 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1：两异面直线所成的角 例1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABC A B C -中，若 90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的 角等于（ C ） (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练： 1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) （A ） 1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 35 2.如图，直三棱柱111ABC A B C -，90BCA ?∠=，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点， 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ．21 C ．15 30 D ． 10 15 3.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ） A ． 55 B ． 53 C ． 5 5 D ．35 第3题图 第4题图 第5题图 4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线 1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
