实数
知识网络结构图
一、知识性专题
专题1 无理数与有理数的有关问题
例1 在－2，0，2，1，4
3，－0.4中，正数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
例2 请写出两个你喜欢的无理数，使它们的和为有理数，你写的两个无理数是 ．
专题2 平方根、立方根的概念
例3 要到玻璃店配一块面积为1．21 m 2的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 m ．
例4 计算1
021)32010(8-??? ??--+．
例5 已知b ＝a 3＋2c ，其中b 的算术平方根为19，c 的平方根是±3，求a 的值．
专题3 实数的有关概念及计算
例6 把下列各数分别填入相应的集合里：38，3，－3.14159，3
π，722，32-，8
7-，0，－0.??02，1.414，7-，1.2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)． (1)正有理数集合：{ …}；
(2)有理数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}；
(4)实数集合：{ …}．
例7 如图13－13所示，在数轴上点A 和B 之间的整数点有 __
个．
例8 已知a ，b 为数轴上的点，如图13－14所示，求
b a b a ++的值．
专题4 非负数的性质及其应用
例9 若2)3(a -与1-b 互为相反数，则
b
a -2的值为 ． 例10 已知a ，
b ，
c 都是实数，且满足(2－a )2＋82++++c c b a ＝0，且ax ２＋bx
＋c ＝0，求代数式3x 2＋6x ＋1的值．
例11 已知实数x ，y 满足022132=+-+--y x y x ，求y x 5
42-
的平方根．
例12 若a ，b 为实数，且1
1122++-+-=a a a a b ，求3-+-b a 的值．
二、规律方法专题
专题5 实数比较大小的方法
1．平方法
当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a ＞?．
例13 比较32和23的大小．
2．移动因数法
利用a ＝2
a (a ≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
例14 比较34和25的大小．
3．作差法
当a －b ＝0时，可知a ＝b ；当a －b ＞0时，可知a ＞b ；当a －b ＜0时，可知a ＜b ． 例15 比较34与63的大小．
4．作商法
若1=B A ，则A ＝B ；若B A ＞1．则A ＞B ；若B
A ＜1．则A ＜
B ．(A ，B ＞0且B ≠0) 例16 比较3
54和11的大小．
三、思想方法专题
专题6 分类讨论思想
【专题解读】 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，应按所有可能的情况分别讨论．实数的分类是这一思想的具体体现．要学会运用分类讨论思想对可能存在的情况进行分类讨论．要不重不漏．本章在研究平方根、立方根及算术平方根的性质以及化简绝对值时均用到了分类讨论思想．
例17 已知数轴上有A ，B 两点，且这两点之间的距离为24，若点A 在数轴上表示的数为23，则点B 在数轴上表示的数为 ．
专题7 数形结合思想
【专题解读】 实数与数轴上的点是一一对应的，实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体表现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存在．为理解实数的概念及其相关性质提供了有力的帮助．
例18 a ，b 在数轴上的位置如图13－15所示，那么化简2
a b a --的结果是
( )
A ．2a －b
B ．b
C ．－b
D ．－2a ＋b
专题8 类比思想
【专题解读】 本章在学习实数的有关概念及性质、运算时，可以类比已学过的有理数加以理解和运用．
例19 已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身．那么这个数是正数．其中真命题有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例20 设a 为实数，则a a -的值 ( )
A ．可以是负数
B ．不可能是负数
C ．必是正数
D ．正数、负数均可 中考题精选
2.（2011?宁夏，10，3分）数轴上A 、B 两点对应的实数分别是2和2，若点A 关于点B 的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为
3.（2011山西，13，3分）计算：
126sin 45______.--?=
4.（2011贵州毕节，18，5分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，
)0(*>+-+=b a b a b a b a ，如：523232*3=-+=， 那么)4*5(*6＝ 。
5.（2010重庆，17，6分）计算：|－3|＋(－1)2011×(π－3)0212-?? ???
6. 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且
21amn bn +=，则2a b += .
实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0
实数知识点与对应题型 一、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x 2=a ， 那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“2”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。 （2）算术平方根是它本身的数是0和1。 （3）()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a （4）一个数的两个平方根之和为0 二、立方根：（1——9的立方） 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x 3 =a ， 那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质： ①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)( 3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。 4、立方根是它本身的数是1，0，-1。 5、平方根和立方根的区别： （1）被开方数的取值范围不同：在±a 中，a ≥0，在a 3中，a 可以为任意数值。 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。 6、立方根和平方根： 不同点： （1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±a 中的被开方数 a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数. （2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根； （3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0． 共同点：0的立方根和平方根都是0． 三、实数： 1、定义：有理数和无理数统称为实数 无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。 有理数：有限小数或无限循环小数
实数习题集 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ，11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7 +的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。 8 - -+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?-Λ 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 例3．化简： （1）233221-+-+ - 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a a - )0(=a )0(< a
（2 例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？ 总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2 b a +=-，求b a +的平方根 例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简：x z x y y z x z x z ---++++ -。 y x z
第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为 1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 a | |a
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。 数a 的立方根用3a表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 四、实数的运算 有理数的加法法则： a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零． b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则：
实数章节常见题型 一、实数的有关概念及分类 1. 实数3 2-，0，π- ,3.1415926，73，3，33-中无理数有m 个，则=m ---（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2. 下列各数中，不是无理数的是 （ ） A 7 B 0.5 C 2π D 0.151151115…）个之间依次多两个115( 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 32 是分数 4、下列语句中正确的是【 】 (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 5． -的相反数是________，-的相反数是____________。 6．以下说法错误的是( ) A. 是无理数 B. 是无限不循环小数 C. 是实数 D. 是无限循环小数 7．若a 是1- 的相反数，则a 的值为（ ） A.1+ B.—1— C.—1+ D.以上都不是 8．边长为2的正方形的对角线长是（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 9 _________的相反数等于它本身； _________的绝对值等于它本身； _________的倒数等于它本身； _________的平方等于它本身； _________的立方等于它本身； _________的平方根等于它本身； _________的立方根等于它本身； _________的偶次方根等于它本身； _________的奇次方根等于它本身； 10、 5、7分别介于哪两个正整数间？ 请写出3个大小在3和4之间的无理数。
)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a （2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。 （3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-
减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数， 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a 第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义：一般地，如果的等于a，即，那么这个正数x叫 做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做． 规定：0的算术平方根是0. ≥0) 理解：≥ a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x a 当a 3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)； 4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：） 二、平方根 1. 平方根的定义：如果的平方等于a，那么这个数x就叫做a的．即：如果， 那么x叫做a的． 理解：— a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才 有意义。 3. 平方与开平方：的平方等于9，9 4. 一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算 5. 符号：正数a a的算术平方根； 正数a的负的平方根可用 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果的等于的（也叫 做 ），即如果 2. ， 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 理解： — a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 四、实数 1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数 4. 负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： 5. 实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身； 实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的 ________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是 _____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____； 负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2 =0，则x-y 等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 6、若2 a =25, b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是 7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 8、若 a a -=2 ，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。 10、当x 时，式子21 --x x 有意义. 11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简 = 12、若x x =3 ，则=x ；若x x =3，则=x x 1- 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个 《实数》复习与回顾 一、知识梳理 1.平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 2.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。 3.实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义：_____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数围，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数 围的意义_____。 4.实数的运算： （1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。 （2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根， 算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为 __________；__________。 二、考点例析 考点1 平方根、立方根的定义与性质 例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。 ①625 ②（－2）2 ③（－1）3 （2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 ①27 1 ②－343 ③－2 2 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转 化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。 （2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方 根。 解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；② 因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±2)2( =±2； ③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。 （2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。 最新初中数学实数知识点总复习 一、选择题 1．若30,a -=则+a b 的值是（ ） A ．2 B 、1 C 、0 D 、1- 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ． 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值． 2．一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个自然数的算术平方根是( )． A ．x ＋1 B ．x 2＋1 C 1 D 【答案】D 【解析】 一个自然数的算术平方根是x ，则这个自然数是2,x 则它后面一个数的算术平方根是 . 故选D. 3的平方根是( ) A ．2 B C ．±2 D ．【答案】D 【解析】 【分析】 ，然后再根据平方根的定义求解即可． 【详解】 ，2的平方根是， ． 故选D ． 【点睛】 正确化简是解题的关键，本题比较容易出错． 4．1，0( ) A B ．﹣1 C ．0 D 【答案】B 【解析】 【分析】 将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可． 【详解】 四个数大小关系为：10-<< < 则最小的实数为1-， 故选B ． 【点睛】 此题考查了实数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键． 5．下列实数中的无理数是（ ） A B C D ．227 【答案】C 【解析】 【分析】 无限不循环小数是无理数，根据定义解答. 【详解】 =1.1是有理数； ，是有理数； 是无理数； D. 227 是分数，属于有理数， 故选：C. 【点睛】 此题考查无理数的定义，熟记定义是 解题的关键. 6．设,a b 是不相等的实数，定义W 的一种运算；()()()2 a b a b a b a b =+-+-W ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①()6318-=-W ；②a b b a =W W ；③若0a b =W ，则 0b =或0a b +=；④()a b c a b a c +=+W W W ，其中正确的是 （ ） A ．②④ B ．②③ C ．①④ D ．①③ 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简()()()2a b a b a b +-+-，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断． 【详解】 第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题 一、平方根 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ，x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ± 表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方 根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± （根指数２省略） ０有一个平方根,为0,记作00= ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2 ==? ??-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a (应用较广) 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方 后,得____ ３．计算a 的方法????? ? ? ??精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若0>>b a ,则b a > 二、立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a ２. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3． 开立方与立方 开立方：求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是0本身。 三、推广: n 次方根 1． 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个。 n a ± 0的偶次方根为0。00=n 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。 实数易错点和易错题 一、 学习目标与考点分析： 掌握实数的概念，平方根，立方根以及运算。能区分出有理数和无理数。 知道绝对值和倒数的概念，并运算。掌握科学技术；能得出实数在题目中的变化规律。 二、 教学内容： 考点.绝对值的概念、性质 例.(1)若=++ 《实数》 实数运算技巧与典型例题 考点1.实数概念 例1. 下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？ －3, 2 －1， 3， － 0．3， 3－1 ， 1 + 2 ， 31 3 互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： 练习：(1)ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2.求|a+b| 2m 2+1 +4m-3cd 的值. (2)若有理数a 等于它的相反数,有理数b 等于它的倒数, 求1999199919991999b a b a -++的值. 考点2.实数的运算 例2. 计算:｛12 ×（－2）2－(12 )2＋11－ 13 ｝÷| 21996·(-1 2 )1995| 练习: 1. 0.3－1－（－ 16 ）－2＋43－3－1＋（π－3）0 2. 3223)1.0()1 .01 ()43()971()52(-÷---?--?- 实数提高题与常考题型压轴题(含解析) 一．选择题（共15小题） 1．的平方根是（） A．4 B．±4 C．2 D．±2 2．已知a=，b=，则=（） A．2a B．ab C．a2b D．ab2 3．实数的相反数是（） A．﹣B．C．﹣D． 4．实数﹣π，﹣，0，四个数中，最小的是（） % A．﹣πB．﹣C．D．0 5．下列语句中，正确的是（） A．正整数、负整数统称整数 B．正数、0、负数统称有理数 C．开方开不尽的数和π统称无理数 D．有理数、无理数统称实数 6．下列说法中：（1）是实数；（2）是无限不循环小数；（3）是无理数；（4）的值等于，正确的说法有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（） A．2 B．C．﹣2 D．﹣ * 8．的算术平方根是（） A．2 B．±2 C．D． 9．下列实数中的无理数是（） A． B．C．πD．﹣8 10．关于的叙述，错误的是（） A ．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C ．=2 D ．在数轴上可以找到表示的点 11．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）] A．a?b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 12．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（） A．p B．q C．m D．n 13．估计+1的值（） A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间14．估计的值在（） A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间 15．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： @ 指数 运算 21=222=423=8…31=332=933=27… 新运算 、 log22=1 log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3… 根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log 2=﹣1．其中正确的是（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ } 新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题 注意掌握以下公式：① 2 a ? =?? ② 33a a =- 将考点与相关习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型 1、下列说法正确的是（ ） A ．有理数只是有限小数 B ．无理数是无限小数 C ．无限小数是无理数 D ． 4 π 是分数 2、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17是17的平方根。其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、下列结论中正确的是 （ ） A ．数轴上任一点都表示唯一的有理数 B ．数轴上任一点都表示唯一的无理数 C. 两个无理数之和一定是无理数 D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 考点二、有关概念的识别 1、下面几个数：. 0.34，1.010********.064-3π，22 7 5 ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列说法中正确的是（ ） A. 813 B. 1的立方根是±1 C. 1=±1 D. 55的平方根的相反数 3、一个自然数的算术平方根为a ，则与之相邻的前一个自然数是 考点三、计算类型题 126，则下列结论正确的是（ ） A.4.5 实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1）如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数ｘ叫做a的算术平方根。 （２)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做ａ的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1）求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根,记作“a”。 （2)ａ(a≥0)的平方根的符号表达为。 (３）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，ａ的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥０，则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;０的平方根和算术平方根都是０;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。（2)若ａ<0，则ａ没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根（开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类 《 实数》知识点比较： 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2） 6449（3）16 9 1（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。 （1）100（2） 6449（3）16 9 1（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例3、求下列各数的立方根。 （1）1000（2） 27 8 （3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22=（2）256 169 -=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+（2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性???≥≥0 0a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________（2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。 （2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。 例5、若031x 2=+++y ，求2 y x ）（+的值。 例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2 ）（y x -的平方根。 类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空：______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则 （4）《实数》知识点总结及典型例题练习题 第一节、平方根 1. 平方根与算数平方根的含义 平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。 ２.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 0<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)() ) 0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 典型习题： （1）求算数平方根与平方根 1:求下列数的平方根 36 （-4）2 0 10 2:求eg1中各数的平方根 （2）解简单的二次方程 3:2 81250x -= 4 :4(x+1)2=8 （3）被开方数的意义 5:若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1) 6:实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a （4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 考点： 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x 8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义 9: x -11 10.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-x D 、11≥-≤或x (5)非负性 知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．最新第六章实数知识点归纳和典型例题
实数题型总结
二次根式知识点及典型例题练习
实数知识点总结汇编
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点及易错题型
最新初中数学实数知识点总复习
实数知识点、典型例题及练习题单元复习
实数易错点和易错题
七下实数提高题与常考题型压轴题(含解析)-
(完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题
新人教版第六章实数知识点归纳
《实数》题型分类归纳
实数知识点及典型例题练习题总结
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