函数定义域、值域专题教案与练习
一、函数的定义域 1.函数定义域的求解方法
求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得.一般地,我们约定:如果不加说明,所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合. (1)若)(x f 是整式,则定义域为全体实数.
(2)若)(x f 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数. (3)若)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式为非负的全体实数. (4)若)(x f 为对数式,则定义域为真数大于零的全体实数。
(5)若)(x f 为复合函数,则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定.如:)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数)]([x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出. (5)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定. 2.求函数定义域的常见问题:
(1)若已知函数解析式比较复杂,求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解;
(2)由)(x f y =的定义域,求复合函数)]([x g f 的问题,实际上是已知中间变量)(x g u =的值域,求自变量x 的取值范围问题;
(3)对含有字母参数的函数,求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论; (4)若是实际问题除应考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. 二、求函数的值域常用方法
(1)观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数值域求解; (2)单调性法:利用函数的单调性求解
(3)换元法:通过对函数解析式进行适当换元,可以将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。
三、初等函数:指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域
1.指数函数:)1,0()(≠>=a a a x f x
,定义域:R x ∈;值域:),0()(+∞∈x f ; 2.对数函数:)1,0(log )(≠>=a a x x f a ,定义域:),0(+∞∈x ;值域:R x f ∈)(
3.幂函数:α
x x f =)(()R ∈α,其定义域、值域随α的取值而不同,但在),0(+∞∈x 都有意义。
四、例题分析 例1:求函数x
x
x x f 1
2112)(-
-+
+=的定义域。
例2:求函数21
)2lg()1ln()(-
++-+=x x x x f 的定义域。
例3:已知函数)(x f 的定义域为)4,1(,求函数)(log 2x f 的定义域; 变式:已知函数)2(x
f 的定义域为)4,1(,求函数)(x f 的定义域。
例4:已知函数52)(2
+-=x x x f ,求:⑴在R 上的值域;⑵)3,1(-∈x 上的值域; 变式1:⑴求函数5
222
+-=x x y 的值域;⑵)52(log 2
2
1+-=x x y 的值域;⑶522+-=
x x y 的值域。
变式2:求函数x x y -+=12的值域。
例:1.求下列函数的定义域:
(1)2
322
---=
x x x
y (2)x x y -?-=11
(3)x
y --=
113 (4)2253x x y -+-=
(5)()???
??--=x
x x x f 2341 (6)t 是时间,距离()t t f 360-=
2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
3.若函数()3
1
2
3
++-=
mx mx x x f 的定义域是R ,求m 的取值范围。 练习:
1.求下列函数的定义域:
(1)()142
--=x x f ; (2)()2
14
32-+--=
x x x x f
(3)()x
x f 11111++
=
; (4)()()x
x x x f -+=
1
2.已知()x f 的定义域为[]1,0,求函数()??
?
??++=3
42
x f x
f y 的定义域。
三、函数值和函数的值域
例1、求下列函数的值域:(观察法)
(1)2415+-=x x y (2)1
2342
2--+-=x x x x y
例2.求函数3
27
4222++-+=x x x x y 的值域(反解法)
例3.求函数12--=x x y 的值域(配方换元法)
例4.求函数()22
415≥+-=
x x x y 的值域(不等式法)
例5.画出函数[]5,1,642
∈+-=x x x y 的图像,并根据其图像写出该函数的值域。(图像法)
练习:
1.求下列函数的值域:
(1)23+=x y (2)x x f -+=42)(
(3)1+=x x y (4)x
x y 1+=
2.求下列函数的值域:
(1)242
-+-=x x y (2)12++=x x y (3)3
221
22+-+-=x x x x y
五、练习巩固 1.函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
A ),31(+∞-
B )1,31(-
C )3
1,31(- D )3
1,(--∞ 2.下列函数中,值域是(0,+∞)的是 A 13+-=
x x y B )0(12>+=x x y C 12
++=x x y D 2
1-
=x
y
3.设?
??>≤=0,ln 0
,)(x x x e x g x 则=)]([x g g __ _____ 。
4.函数x x y 21-+=的值域为 ,函数x x y 21--=的值域是 。
5.已知函数322
++=x x y ,根据所给定义域,求其值域.
(1)R x ∈; (2)}0|{≥∈x x x ; (3)]2,2[-∈x ; (4)}2,1,0,1,2{--∈x 。
6.求下列函数的值域:⑴322++=x x y ;⑵322
)2
1(++=x x y ;⑶)32(log 22++=x x y 。